1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme.

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1 Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition, égalité de vecteurs Exercice 1 : A vue d œil, dire s il existe une translation qui transforme la figure (1) en la figure (2) Exercice 2 : 1) Tracer deux parallélogrammes et tels que les points, et ne soient pas alignés 2) Démontrer que = 3) En déduire que = Exercice 3 : Compléter le tableau suivant ( On pourra s aider d une figure ) : Langage habituel est l image de par est l image de par la translation de vecteur est un parallélogramme est un parallélogramme est le milieu de est le milieu de Langage vectoriel = = = = Exercice 4 : 1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point 2) Démontrer que est un parallélogramme Exercice 5 : Soit un triangle tel que = 5, = 6 et = 3 1) a) Construire le point tel que = b) Déterminer l image de par la translation de vecteur 2) a) Construire le point symétrique de par rapport à b) Montrer que = c) En déduire que est l image de par la translation de vecteur

2 Sommes de vecteurs Exercice 6 : On considère le triangle ABC ci dessous 1) a) Construire le point D tel que = b) Démontrer que = 2) a) Construire le point E tel que =0 b) Démontrer que = 3) En déduire l image du point C par la translation de vecteur Exercice 7 : On considère les quatre points, B, et suivants : 1) a) Construire le point E, image du point par la translation de vecteur b) Démontrer que = 2) a) Construire le point F tel que = b) Démontrer que = 3) En déduire l image du point E par la translation de vecteur Exercice 8 : Sur la figure ci-contre, construire les points D,E, F, définis par les égalités : 1) AD = AB + BC 2) AE = AB + AC 3) BF = BA + CA + CB

3 Exercice 9 : ABCD est un parallélogramme, M et N sont les milieux respectifs des côtés [ AD ] et [ BC ] Représenter chacun de ces vecteurs Que constate-t-on? 1) AD + MB + NA 2) AB + MD + CM 3) CM + MA + MD + AN 4) CM + DN + AD Exercice 10 : ABCD est un parallélogramme de centre O 1) Démontrer que OA + OB + OC + OD = 0 2) Démontrer que pour tout point M, MA + MB + MC + MD = 4MO Exercice 11 : Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure 1) AD = DB A) ABCD est un parallélogramme 2) AB = CD B) ABDC est un parallélogramme 3) DC = DA + DB C) D est le milieu de [ AB] 4) AD = BC D) ADBC est un parallélogramme Exercice 12 : Partie 1 : On considère un segment [ AB ] de milieu I a) Que peut-on dire du vecteur IA + IB? b) Démontrer alors que pour tout point M, on a MA + MB = 2MI Partie 2 : Application On considère un triangle ABC et on considère A, B et C les milieux respectifs des segments [ BC ], [ AC ] et [ AB ] a) Appliquer la formule établie à la partie 1) aux vecteurs AA', BB ', CC ' b) En déduire que AA' + BB' + CC ' = 0 c) On note G le centre de gravité du triangle ABC Déduire de b) que GA + GB + GC = 0 Exercice 13 : Simplifier au maximum les expressions suivantes : 1) AB AC CB 2) BC BA + BD BC 3) AB CA + BC BA 4) AC + CB + BA + CB 5) BC BA + BD BC 6) DE DF + EF ED

4 Produit par un réel Exercice 14 : Sur le quadrillage ci dessous, construire les points,, et tels que : =2 = 3 = 4 =2 Exercice 15 : Sur le quadrillage ci - dessous, placer les points,,,, et tels que : AE = AC DF = CA AG = AB CH = BA BI = BD DJ = CD Exercice 16 : Sur le quadrillage ci dessous, construire les points,, et tels que : =2 = 2 3 = 2 2 =2 4

5 Colinéarité Exercice 17 : On considère un quadrilatère quelconque 1) Construire les points,, et milieux respectifs de,, et 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de 4) En déduire la nature du quadrilatère Exercice 18 : 1) Construire un triangle tel que =6, =5 et =4 2) Construire les points et tels que = et =3 3) Montrer que = 3 4) Exprimer en fonction de et 5) En déduire la position relative des droites () et () Exercice 19 : 1) Construire un parallélogramme et placer les points et milieux respectifs de et 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) Que peut on en déduire? Exercice 20 : 1 3 1) Construire un parallélogramme et placer les points et tels que : CE = CD et BF = BC 3 2 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) En déduire l alignement des points, et Exercice 21 : 1) Construire un parallélogramme et placer les points et tels que : 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) En déduire l alignement des points, et 1 BE = AB et AF = 3AD 2 Exercice 22 : 1) Construire un triangle et placer les points, et tels que : 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) Que peut on en déduire? 3 CD = BC, AE = AC et BF = 2BA 2

6 Exercice 23 : Construire un triangle et placer les points, et tels que 1 3 BD = BA + BC, CE = BA et BF = DA ) Montrer que EF = AB + AD 3 2 2) Exprimer en fonction de et 3) Que peut on en déduire? Exercice 24 : On considère un parallélogramme ABCD On place deux points E et F sur la droite (BD) On construit alors les points G et H tels que BAEG et BAFH soient aussi des parallélogrammes 1) Montrer que CH = DF et CG = DE 2) En déduire que les points C, G et H sont alignés Exercice 25 : Droite d Euler d un triangle Soit ABC un triangle On note A, B, C les milieux respectifs des côtés [BC], [AC], [AB] On note G le centre de gravité du triangle, on a vu à l exercice 12, que G vérifiait GA + GB + GC = 0 On note O le centre du cercle circonscrit 1) Faire une figure dans le cas où le triangle est quelconque (ni isocèle ni rectangle) 2) Soit H le point défini par OH = OA + OB + OC ( 1) a) Etablir que : AH = 2 OA' BH = 2 OB ' CH = 2 OC ' b) En déduire H appartient aux trois hauteurs du triangle ABC c) Que représente alors le point H 1 que OH = 3OG 3) Déduire de la relation ( ) Que peut-on alors en conclure pour les points A, B et C? Note : Lorsque le triangle n est pas équilatéral, les points O, G et H sont distincts et alignés La droite ainsi formée est appelée la droite d Euler du triangle

7 Coordonnées de vecteurs O, i, j orthonormé Pour les exercices suivants, on se place dans un repère ( ) Exercice 26 : Etudier la colinéarité des vecteurs : u v Exercice 27 : Soient A( 1, 2) B( 5, 2) C ( 2, 3) D( 4, 3) Montrer que ABCD est un parallélogramme Exercice 28 : Soient A( 3, 2) B( 5, 3) C ( 13,8) 1) Montrer que les points A, B, C sont alignés 2) Donner une équation de la droite ( AB ) Exercice 29 : Soient A( 3,2) B( 1,5 ) C ( 2,2) 1) Déterminez les coordonnées des points M, N et P définis par 2) Quelle est la nature des quadrilatères AMCB et BNCA? 3) Déterminer les coordonnées du milieu I de [BC], puis vérifier que Que représente le point P pour le triangle ABC? 1 AM = BC, BN = AC et PA + PB + PC = AP = AI 3 Exercice 30 : Soient A( 2, 3) B( 3,1) C ( 4, 3) Déterminer les coordonnées du point D sur l axe des abscisses tel que ( AD) / / ( CD ) Exercice 31 : Soient A( 1, 4) B( 2,1) C ( 6,5) 1) Faire une figure que l on complètera au fur et à mesure 2) Déterminer une équation de la droite (AI) où I est le milieu de [BC] 3) Déterminer une équation de la droite passant par B et parallèle à la droite (AC) 4) Résoudre la système suivant : x + 3y = 13 x + 5y = 3 Interpréter graphiquement le résultat 10 5) Montrer que les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont 3, 3 6) Soit D le point tel que BGCD soit un parallélogramme Calculer les coordonnées de D 7) Montrer que D appartient à la droite (AI)

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