Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

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1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Eercice : Soit f : ], + [ R la fonction définie par : f() + + Déterminer les ites de f, si elle eistent, en 0 et en +. Allez à : Correction eercice : Eercice : Soit f : R R la fonction définie par f() E ( ) Montrer que f admet une ite en 0 et déterminer cette ite. Allez à : Correction eercice : Eercice 3 : Déterminer les ites suivantes Allez à : Correction eercice 3 : + + a) 0 0 ln( + ) c) 0 sin () ; b) + ; ; d) ln() Eercice 4 : Calculer Allez à : Correction eercice 4 : E(ln()) + Eercice 5 : Calculer, si elles eistent les ites E(ln( )) + Allez à : Correction eercice 5 : et ln( + ) 0 Eercice 6 : Soit f : R R définie par f(0) 0 et f() + Déterminer l ensemble des points où elle est continue. Allez à : Correction eercice 6 : si 0

2 Eercice 7 : Calculer si elles eistent.. Allez à : Correction eercice 7 : ln( + e ) e Eercice 8 : Soit f n : R R l application définie, pour tout n N, par : f n () ln( + n ) +. Montrer qu il eiste c n [0,] tel que f n (c n ) 0.. Montrer que f n est strictement croissante sur R +, en déduire que c n est unique. Allez à : Correction eercice 8 : Eercice 9 : Soit f la fonction définie sur [, + [ par f n () n, avec n.. Montrer qu il eiste un unique n > tel que f n ( n ) 0. Montrer que f n+ ( n ) > En déduire que la suite ( n ) est décroissante et quelle converge vers une ite l. 4. Déterminer l. Allez à : Correction eercice 9 : Eercice 0 : Soit n N. Soit f n une fonction définie sur [0,] par : f n () n. Montrer qu il eiste un unique n [0,] telle que f n ( n ) 0.. Montrer que pour tout n N, f n+ ( n ) > 0, 3. En déduire que ( n ) n N est monotone et qu elle converge vers une ite l. 4. Supposons qu il eiste M R tel que pour tout n N 0 n M < a. Calculer la ite de n n lorsque n tend vers l infini. b. Montrer qu il y a une contradiction et en déduire la ite de ( n ) n N Allez à : Correction eercice 0 : Eercice :. Soient a et b des nombres réels tels que a < b et f une application de [a, b] dans [a, b] a) On suppose que pour tout (, y) [a, b] [a, b] on a : f() f(y) y Montrer que f est continue sur [a, b]. En déduire qu il eiste [a, b], tel que f(). b) On suppose maintenant que pour tout (, y) [a, b] [a, b] y on a : f() f(y) < y Montrer qu il eiste un unique [a, b], tel que f(). On désigne par f l application de [0,] dans R, définie pour tout [0,] par : f() ln( + ) a) On pose

3 M ma [0,] f () Montrer que M <. b) En déduire, en montrant que f([0,]) [0,], qu il eiste un unique [0,] tel que f(). On notera cet élément. c) Montrer que l application f est injective. On définit la suite ( n ) n N de nombres réels par la donnée de : 0 [0,] et n+ f( n ) si n 0 d) Montrer que si 0, alors pour tout n 0, n. e) On suppose que 0. Montrer que pour tout n 0 n+ M n f) En déduire que pour tout 0 [0,], la suite ( n ) n N converge vers. On donne 0,69 < ln() < 0,7 et,79 < ln(6) <,8. Allez à : Correction eercice : II Continuité dérivabilité Eercice : Les fonctions f, g et h: R R définies par : Sont-elles dérivables en 0? Allez à : Correction eercice : f() ; g() 3 5; h() cos ( ) Eercice 3 : Soit f la fonction définie sur [0,] par 0 si 0 ln() f() { + si 0 < < 0 si. Montrer que fest continue sur [0,].. Montrer qu il eiste c ]0,[ telle que f (c) 0. (on ne demande pas la valeur de c). Allez à : Correction eercice 3 : Eercice 4 : Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer la dérivée lorsqu elle eiste :. f() ln(ln()) si >. g() ln(e + ) si R 3. h() { e si < 0 0 si 0 ln() si > 0 Allez à : Correction eercice 4 : Eercice 5 : Soient a et b deu réels Soit f: R R la fonction définie par 3

4 sin(a) si < 0 f() { si 0 e b si > 0. A l aide de la règle de L Hospital déterminer la ite suivante cos() sin () 0. Déterminer a et b pour que f soit continue sur R. 3. Déterminer a et b pour que f soit dérivable sur R. Allez à : Correction eercice 5 : Eercice 6 : Soit a et b deu nombres réels. On définit la fonction f: R R par a + b si 0 { si > 0 +. Donner une condition sur b pour que f soit continue sur R.. Déterminer a et b tels que f soit dérivable sur R et dans ce cas calculer f (0). Allez à : Correction eercice 6 : Eercice 7 : Soit f: ]0, + [ R l application définie par. Etudier les variations de f.. Comparer les réels e π et π e. Allez à : Correction eercice 7 : f() e e Eercice 8 : On considère l application f: [,] R, définie par : { f() ( + ), si 0 f() 0 si 0. Montrer que f est continue sur [,].. Montrer que f est dérivable sur ],[ et déterminer f () sur ],[. 3. Montrer que l application dérivée f : ],[ R est continue sur ],[. Quel est l ensemble des ],[ pour lesquels f () Dresser le tableau de variation de f et tracer son graphe. En déduire que f est injective. 5. On désigne par f la bijection de [,] sur f([,]) définie par f () f(), pour tout [,] et on désigne par f sa bijection réciproque. Justifier l eistence et déterminer (f ) (0). Allez à : Correction eercice 8 : Eercice 9 : Soit f: R R la fonction définie par : f() { e si < 0 a + b + c si 0 Déterminer a, b et c dans R tels que f soit C (c est-à-dire deu fois dérivables et que la dérivée seconde soit continue). Est-ce que dans ce cas f est C 3? Allez à : Correction eercice 9 : 4

5 Eercice 0 : On considère la fonction f de R dans R définie par : sin() si < 0 f() { si 0 + si > 0. La fonction f est-elle continue sur R?. Déterminer l ensemble des points où f est dérivable? 3. Calculer la dérivée de f au points où elle est dérivable? Allez à : Correction eercice 0 : Eercice : Soit f: [0,] R la fonction définie par : si 0 < f() { + + λ si. Déterminer, s ils eistent, les λ R pour que f soit continue.. Déterminer, s ils eistent, les λ R pour que f soit dérivable. Allez à : Correction eercice : Eercice : Soit f la fonction définie sur R par : f() { e si 0 0 si 0. Montrer que f est continue sur R.. Pour tout 0 calculer f (). 3. Calculer f () 0 0 Que peut-on en déduire? 4. Déterminer les ites de f en ±. 5. Dresser le tableau de variation de f et tracer sommairement son graphe. Allez à : Correction eercice : Eercice 3 : Soit f: R R une fonction telle que, y R, f() f(y) sin() sin(y). Montrer que la fonction f est π-périodique.. Montrer que f est continue sur R. 3. Montrer que f est dérivable en π et calculer f ( π ). Allez à : Correction eercice 3 : Eercice 4 : Calculer les dérivées des fonctions f: R R g: R {kπ, k N} et h: R R définies par Montrer aussi que f() ln(e ) ; g() ln(sin ()) ; h() + + 5

6 Allez à : Correction eercice 4 : h () h() + Eercice 5 : Les fonctions f, g: R R définies par f() sin() et g() ln( + ) Sont-elles dérivable en 0? Allez à : Correction eercice 5 : Eercice 6 : Calculer, lorsqu elles eistent, les dérivées des fonctions suivantes :. f : ln(3 + sin()). f : ln( + ) 3. f 3 : ln ( +cos() cos() ) 4. f 4 : + 5. f 5 : sin((e ) ) 6. f 6 : sin() Allez à : Correction eercice 6 : Eercice 7 : Les fonctions f, g et h: R R définies par : f() { sin ( ) si 0, g() { sin ( ) si 0 ; 0 si 0 0 si 0 h() { sin ( ) si 0 0 si 0 ; i() { 3 sin ( ) si 0 0 si 0 Les fonctions f, g, h, i sont-elles continues en 0, dérivables en 0, de classe C en 0. Allez à : Correction eercice 7 : Eercice 8 : Soit g: [0,] R de classe C telle que g() 0. Soit f n : [0,] R définie pour tout n > 0 par f n () n g(). Montrer que pour tout n > 0, il eiste α n ]0.[ telle que : sup ]0.[ f n () f n (α n ) et f n (α n ) 0. Calculer f n (α n ) en fonction de α n, g (α n ) et n. En déduire sup f n () Allez à : Correction eercice 8 : n + ]0.[ III Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis. Eercice 9 : Soit f la fonction f: R R définie par f() { 3 6 si si <

7 Montrer qu il eiste c ]0[ tel que : f() f(0) ( 0)f (c) Déterminer les valeurs possible de c. Allez à : Correction eercice 9 : Eercice 30 :. Montrer que pour tout, y réels on a : sin() sin (y) y. Montrer que pour tout > 0 < ln( + ) < + Allez à : Correction eercice 30 : Eercice 3 : Soit f une application de l intervalle [0,] dans R. On suppose que f est continue sur [0,], dérivable sur ]0,[, que f(0) 0 et que pour tout ]0,[, on a f () 0. Montrer que f conserve un signe constant sur ]0,[. Allez à : Correction eercice 3 : Eercice 3 : Soit f: [0,] R une application continument dérivable sur [0,] (ce qui signifie que f est continue et dérivable sur [0,] et que f est continue sur [0,]). On suppose de plus que f(0) 0, et que, pour tout [0,], on ait f () > 0. Montrer qu il eiste un nombre réel m > 0 tel que, pour tout [0,], on ait : f() m Allez à : Correction eercice 3 : Eercice 33 : que : Soit f: [0,] R une fonction continue telle que f(0) f(). Montrer qu il eiste c [0, ] telle Allez à : Correction eercice 33 : f(c) f (c + ) Eercice 34 : Soit f n : [0,] R définie par f n () n sin(π). Montrer qu il eiste α n ]0,[ tel que f n (α n ) 0. On pourra appliquer le théorème de Rolle en rappelant les hypothèses.. Calculer f n (α n ) en fonction de α n, de n et de cos(πα n ). 3. En déduire la ite de f n (α n ) lorsque n tend vers l infini. Allez à : Correction eercice 34 : Eercice 35 : Soient a et b deu réels tels que a < b. Soit f une fonction deu fois dérivable sur [a, b] telle que f(a) f(b) 0 et pour tout ]a, b[, f () 0. Montrer que, pour tout [a, b], f() 0. Allez à : Correction eercice 35 : Eercice 36 : 7

8 Soit f une fonction continue sur [a, b], avec f(a) f(b) 0, telle que f soit dérivable sur ]a, b[ et telle que sa dérivée soit strictement décroissante, c est-à-dire que la fonction f est strictement décroissante.. Montrer qu il eiste c ]a, b[ tel que f (c) 0.. Montrer si t ]a, c[ alors f (t) > 0 et que si t ]c, b[ alors f (t) < Montrer que f est strictement croissante sur [a, c] et décroissante sur [c, b]. On pourra utiliser le théorème des accroissements finis (on fera attention au fait que f n est pas dérivable en a et en b. 4. Montrer que f admet un maimum global en c. 5. Montrer que pour tout [a, b], f() 0. Allez à : Correction eercice 36 : Eercice 37 : Soient a et b des réels tels que 0 < a < b.. A l aide du théorème des accroissements finis montrer que < ln(b) ln(a) < b. Soit f: [0,] R, de classe C sur [0,] et deu fois dérivable sur ]0,[ telle que : f(0) 0; f() 0; f (0) > 0 et f () < 0 De plus on supposera que ]0,[, f () < 0... Montrer qu il eiste α > 0 tel que pour tout [0, α], f () > 0... Montrer que f(α) > On suppose qu il eiste β ]0,[ tel que f(β) 0, montrer qu il eiste c ]0, β[ et c ]β, [ tel que f (c ) f (c ) 0, en déduire une contradiction..4. Déterminer le signe de f() pour tout ]0,[. 3. On considère la fonction f définie par : f() ln(a + ( )b) ln(a) ( ) ln(b) Montrer que f vérifie les hypothèses du (En particulier on vérifiera que f est bien définie [0,]. Puis que pour tout ]0,[ ln(a + ( )b) > ln(a) + ( ) ln(b) Allez à : Correction eercice 37 : Eercice 38 : Soient a et b des réels tels que a < b.. A l aide du théorème des accroissements finis montrer que ()e a < e b e a < ()e b. Soit f: [0,] R, de classe C sur [0,] et deu fois dérivable sur ]0,[ telle que : f(0) 0; f() 0; f (0) < 0 et f () > 0 De plus on supposera que ]0,[, f () > 0... Montrer qu il eiste α > 0 tel que pour tout [0, α], f () < 0... Montrer que f(α) < On suppose qu il eiste β ]0,[ tel que f(β) 0, montrer qu il eiste c ]0, β[ et c ]β, [ tel que f (c ) f (c ) 0, en déduire une contradiction..4. Déterminer le signe de f() pour tout ]0,[. 3. On considère la fonction f définie par : f() e a+( )b e a ( )e b Montrer que f vérifie les hypothèses du (En particulier on vérifiera que f est bien définie [0,]. Puis que pour tout ]0,[ Allez à : Correction eercice 38 : 8 a e a+( )b < e a + ( )e b

9 Eercice 39 : Soit p un entier, p.. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis qu il eiste un réel c dans l intervalle ]0,[ tel que : ln(ln(p + )) ln(ln(p)) (p + c) ln(p + c). En déduire l inégalité : 3. Démontrer que Allez à : Correction eercice 39 : ln(ln(p + )) ln(ln(p)) < p ln(p) ( n + ln() + 3 ln(3) + + n ln(n) ) + Eercice 40 :. Enoncer le théorème des accroissements finis.. Soit n N, n. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction ln sur l intervalle [n, n + ], montrer que : n + < ln(n + ) ln(n) < n 3. Pour n N, n, on pose : u n n + + n n Montrer que la suite (u n ) n 0 est convergente et déterminer sa ite. Allez à : Correction eercice 40 : Eercice 4 : Soit P(X) un polynôme à coefficient réel de degré n. Montrer que l équation P() e n a qu un nombre fini de solutions réelles. Allez à : Correction eercice 4 : Eercice 4 : Soit f: [0,] R une fonction continue telle que f(0) 0 et f() On suppose f dérivable en 0 et en et que f (0) f () 0 Montrer qu il eiste α ]0,[ tel que f(α) α f(α) α On pourra utiliser la fonction g: [0,] R définie par si 0 f() g() { f() si ]0,[ En déduire que f(α) α Allez à : Correction eercice 4 : si Eercice 43 : Soit f: [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On pose φ() () 3 (b 3 a 3 )f(). Montrer que φ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, calculer φ (). 9

10 . Calculer φ(a) et φ(b). En déduire qu il eiste c ]a, b[ tel que : 3c () (b 3 a 3 )f (c) Allez à : Correction eercice 43 : Eercice 44 : Soit f: [a, b] R une application continue, on suppose que f est dérivable sur ]a, b[, et que pour tout [a, b], f() > 0. Montrer qu il eiste c ]a, b[ tel que f(b) f (c) f(a) e(b a) f(c) Allez à : Correction eercice 44 : Eercice 45 : Soit f: [0, + [ R une application continue, dérivable dans ]0, + [, telle que f(0) 0. On désigne par g: ]0, + [ R définie par g() f(). Montrer que g est dérivable sur ]0, + [ et calculer g (). Montrer que si f est croissante sur ]0, + [, il en est de même de g. Allez à : Correction eercice 45 : Eercice 46 : Soient a et b deu réels tels que a < b. Soit f: [a, b] R une application continue sur [a, b] telle que f(a) < f(b).on suppose de plus que f est dérivable en a et en b et que f (a) f (b) 0.. On pose g() f() f(a) ( a) i. Montrer que g() f() f(b) ( b) ii. Montrer que g est dérivable en a et en b. Calculer g (a) et g (b). iii. En déduire qu il eiste η > 0 tel que ]a, a + η], g() < 0 et qu il eiste η > 0 tel que [b η, b[, g() > 0. En déduire qu il eiste c ]a, b[ tel que g(c) Montrer que Allez à : Correction eercice 46 : f(c) f(a) c a f(c) f(b) c b Eercice 47 : On considère une fonction f: R R dérivable en tout réel a.. Que déclare le théorème des accroissements finis à propos de : f(a + h) f(a) h. Montrer que : a f () l l f (a) a + f () l l f (a) 3. Soit g une fonction croissante de R dans R, soient 0

11 E {g(), < a} et F {g(y), y > a} Montrer que E admet une borne supérieure notée m et que F admet une borne inférieure notée M. Puis montrer que m g(a) M 4. Montrer que g() m et g(y) M + a 5. Montrer que si la dérivée f de f est croissante alors cette dérivée est continue. Allez à : Correction eercice 47 : y a CORRECTIONS Correction eercice : En 0 le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, il s agit donc d une forme indéterminée. Première méthode On va multiplier par l epression conjuguée. f() + + ( ) ( + + )( ) ( ) + ( + ) ( ) 0 0 Deuième méthode On va utiliser la règle de L Hospital, on pose Par conséquent ( ) ( ) f() 0 0 g() et h() + + g () et h () + + g () 0 h () g() f() h() En + le numérateur tend vers l infini et le dénominateur est de la forme +, il est donc luimême une forme indéterminée. On peut penser à multiplié par l epression conjuguée mais en regardant cette epression on voit que l on retombe sur une forme indéterminée, on peut aussi penser à la règle de L Hospital mais est encore une forme indéterminée (que l on pourrait arranger assez facilement) nous allons donc voir une autre technique. En + > 0 donc f() + + ( + ) ( + ) f() +

12 Allez à : Eercice : Correction eercice : Pour commencer on peut regarder comment se comporte f() pour des petites valeurs de, prenons par eemple avec p N {0,} p Lorsque p + Si par eemple avec p N {0,} p f() p E ( p p) ( p) p f() p E ( p + p) p (p ) + p Il semble bien que f admette une ite et que cette ite soit. Mais pour l instant nous n avons rien démontré. Pour tout > 0 réel il eiste un unique n N tel que En fait n E ( ) On en déduit que n + < n On additionne ces deu inégalités Ce qui équivaut à n < n + et n < n n + n + < n + n n n n + < n + n On en déduit que E ( ) vaut n ou n, ce que l on résume par n E ( ) n () On reprend les inégalités n + < n () Le but est de «multiplier» les inégalités () et les inégalités (), si tous les termes étaient positifs, il n y aurait pas de problèmes mais dans les inégalités () les termes sont négatifs alors on va tout multiplier par n E ( ) n + () On multiplie alors les inégalités () par les inégalités () n n + E ( ) n + (3) n D après n < n + 0 n + On fait tendre n vers + dans (3) et on obtient E ( ) f() 0 >0 0 >0

13 Pour la ite en 0 on peut faire un raisonnement semblable ou remarquer que si y n est pas un entier (ce qui est le cas puisque le but est de faire tendre y vers 0) E( y) E(y) pour < 0 f() E ( ) ( E ( + ) ) ( )E (( ) ( )) f( ) > 0, on peut appliquer le résultat ci-dessus Comme la ite de est aussi nulle Finalement 0 <0 f( ) f() 0 <0 f() 0 0 Ce qui montre à la fois que f admet une ite lorsque 0 (avec 0) et que cette ite est. Allez à : Eercice : Correction eercice 3 : a) Il s agit d une forme indéterminée. On va multiplier par l epression conjuguée. + + ( + + )( ) ( ) 3 + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Eercice 3 : b) Il s agit d une forme indéterminée. On va multiplier par l epression conjuguée ( + + )( ) ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C est la ite des termes de plus haut degré Car le dénominateur tend vers l infini, finalement Autre méthode En +, > 0 donc ( )

14 + + ( + ) ( + ) Le numérateur tend vers et le dénominateur vers l infini, donc la ite du quotient tend vers 0. Allez à : Eercice 3 : c) Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, il s agit d une forme inderterminée, nous allons utiliser la règle de L Hospital, on pose f() ln( + ) et g() sin () Alors f () + et g () sin() cos() f () g () + sin() cos() sin() ( + ) cos() On a «séparé» la partie indéterminée de la partie où il n y a pas de problème sin() (+ ) cos() Comme on sait que On a D autre part Finalement 0 0 ln( + ) sin () sin() sin() 0 0 ( + ) cos() ( sin() ( + ) cos() ) 0 sin() 0 ( + ) cos() 0 0 Allez à : Eercice 3 : d) Posons t + t Première méthode On sait d après le programme de terminale que ln( + t) t t 0 t ln() ln( + t) t ln() Deuième méthode On utilise la règle de L Hospital, on pose f() ln() et g() Alors f () et g () f () g () f () g () f() g()

15 Troisième méthode ln() ln() ln() La ite de ce quotient en est la ite du tau de variation de la fonction ln en, ln étant dérivable, cette ite vaut ln () c est-à-dire ( ) Allez à : Eercice 3 : Correction eercice 4 : Par définition de la partie entière, E(ln()) est l unique entier tel que : E(ln()) ln() < E(ln()) + Pour assez grand ( > e, ce qui équivaut à ln() > et donc E(ln()) > 0) on a 0 < E(ln()) ln() En divisant cette inégalité par > 0 Comme On a Allez à : Eercice 4 : Correction eercice 5 : Pour tout R + On divise par > 0 0 < E(ln()) ln() ln() 0 + E(ln()) 0 + E(ln( ) ln( ) < E(ln( ) + ln( ) < E(ln( ) ln( ) ln( ) On pose t + lorsque + ln( ) Et ln( ) ln(t) 0 lorsque t + t t ln(t) t Par conséquent 0 < E(ln( )) ln( ) E(ln( )) 0 + La ite de ln(+) en 0 est une forme indéterminée car ln( + ) 0 et 0 lorsque 0. Nous allons utiliser la règle de L Hospital, on pose f() ln( + ) et g() Alors f () + et g () + f () g () + + 5

16 Allez à : Eercice 5 : f() 0 g() f () 0 g () 0 + Correction eercice 6 : Notons déjà que cette fonction est définie sur R et continue sur R il reste à étudier la continuité en 0. D autre part, nous allons donc distinguer deu cas < 0 et > 0. Si < 0 alors f() + donc f() 0 Si > 0 alors f() + + donc f() 0 + Par conséquent f() f() Ce qui montre que f n est pas continue en 0. Allez à : Eercice 6 : Correction eercice 7 :. Le numérateur et le dénominateur tendent vers +, il s agit d une forme indéterminée. Nous allons transformer le numérateur : ln( + e ) ln(e (e + )) ln(e ) + ln(e + ) + ln( + e ) ln( + e ) + ln( + e ) + ln( + e ) ln( + e ) 0 lorsque tend vers +, par conséquent ln(+e ) 0 lorsque + et. 7 Allez à : Eercice 7 : 7 ln( + e ) + 7 n est définie que pour des > lorsque 0 + lorsque 0 donc e 0 lorsque 0. Il s agit d une forme indéterminée. Il est à peu près clair que la règle de L Hospital ne donne rien, on va faire un changement de variable X X, ainsi X + lorsque e (X ) 7 4 e X X 7 8e X Il s agit d une forme indéterminée dont le résultat est connu (l eponentielle l emporte) et vaut 0. 7 Lim 0 + e X + X7 8e X 0 Correction eercice 8 :. Si l énoncé avait demandé «montrer qu il eiste un unique c n [0,] tel que f n (c n ) 0 on aurait étudier la fonction f n sur [0,] en espérant pouvoir montrer que cette fonction est une bijection et que f n (0) et f n () soient de signe distincts, mais ce n est pas le cas. L autre théorème qui permet ce genre de résultat (sans l unicité) est le théorème des valeurs intermédiaires. 6

17 f n est une fonction continue sur [0,], f n (0) < 0 et f n () ln() > 0, d après le théorème des valeurs intermédiaires il eiste c n [0,] tel que f n (c n ) 0.. Alors là, il faut calculer la dérivée de f n (car, évidemment f n est dérivable) f n () nn + n + nn + + n + n > 0 Pour tout [0, + [, par conséquent f n est une bijection de [0,] sur [f n (0), f n ()] [, ln()], comme 0 [, ln()], f n admet un unique antécédent du réel 0, bref il eiste un unique c n [0,] tel que f n (c n ) 0. Allez à : Eercice 8 : Correction eercice 9 :. f n () n n > 0 + f n () + f n () + f n est une bijection de ], + [ sur ], + [, comme 0 ], + [, il eiste un unique n ], + [ tel que f n ( n ) 0.. On a n n n n 0 donc n + n f n+ ( n ) n n+ n n n+ n n n n ( n ) > 0 Car n >. 3. f n+ est une bijection croissante donc f n+ est aussi une bijection croissante f n+ ( n ) > 0 f n+ ( n ) > f n+ ( n+ ) f n+ (f n+ ( n )) > f n+ (f n+ ( n+ )) n > n+ La suite ( n ) est décroissante et minorée par donc elle converge vers une ite l 4. Si l > alors n > l n n > l n n n + n + Ce qui est impossible car pour tout n on a n n n + Le terme de gauche tend vers + et celui de droite vers l +, il y a une contradiction. l. Allez à : Eercice 9 : Correction eercice 0 :. f n () nn < 0, f n (0) et f n () 0 f n () f n (). f n est une bijection de [0,] sur [, ], comme 0 [, ], il eiste un unique n [0,] tel que f n ( n ) 0. Or f n+ ( n ) n n n+ 7

18 f n ( n ) n n n 0 n n n f n+ ( n ) n n n+ n n n+ n n n ( n ) 0 Car n > 0 et n > La question. Entraine que f n+ ( n ) 0 f n+ ( n+ ) La bijection réciproque de f n+ est décroissante donc f n+ (f n+ ( n )) f n+ (f n+ ( n+ )) Ce qui entraine que n n+ La suite ( n ) n N est croissante, de plus elle est majorée par donc elle converge vers une ite finie. 4. a. 0 n M entraine que 0 n n M n comme la ite de M n est 0, n n 0 n + b. Comme Cela entraine que n n n 0 Ce qui est impossible car l [0,] Par conséquent l. Allez à : Eercice 0 : l 0 l Correction eercice :. a) Soit 0 [a, b], pour tout ε > 0, il eiste η ε > 0 tel que [a, b], 0 ε f() f( 0 ) 0 ε Cela montre que f est continue en 0, pour tout 0 [a, b], f est continue sur [a, b]. On pose g() f(), g est une application continue g(a) f(a) a 0 Carf(a) [a, b] a f(a) b 0 f(a) a g(b) f(b) b 0 Car f(b) [a, b] a f(b) b f(b) b 0 D après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste c [a, b] tel que g(c) 0, ce qui équivaut à f(c) c, il reste à changer le nom de c pour obtenir le résultat. Pour montrer que f est continue en un 0 R quelconque. Première méthode : ε > 0, η ε > 0, 0 < ε f() f( 0 ) 0 < ε f est continue en 0 quelconque, donc sur R. Deuième méthode Pour montrer que f est continue en un 0 R quelconque. 0 f() f( 0 ) 0 0 f() f( 0 ) On en déduit que 8

19 f() f( 0 ) 0 0 Ce qui est équivalent à f() f( 0 ) 0 Autrement que f est continue en 0 quelconque, et donc sur R. Allez à : Eercice : b) Comme f() f(y) < y f() f(y) y On peut appliquer le résultat du a). Il eiste [a, b] tel que f(), il reste à montrer l unicité de. Supposons qu il eiste [a, b] et [a, b], avec tels que f( ) et f( ) Alors f( ) f( ) < Ce qui entraine que < Or 0 donc cette dernière est fausse, par conséquent il eiste un unique [a, b] tel que f(). Allez à : Eercice :. a) Etudions la fonction f sur l intervalle [0,] f () + La dérivée de cette fonction est f () ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Tableau de variation de la fonction f : 0 f () + 0 f () On en déduit que 0 M < Allez à : Eercice : b) D après le tableau ci-dessus [0,], f () 0 donc f est croissante (et même strictement croissante puisque la dérivée ne s annule qu en un point), donc f([0,]) [f(0), f()] [ln(), ln(6)] [0,] d après les données à la fin de l eercice. De plus, d après la formule des accroissements finis, pour tout, y [0,], il eiste c [, y] si < y ou c [y, ] si y < tel que f() f(y) f (c)( y) Ce qui entraine que f() f(y) f (c) y M y < y On peut donc appliquer le résultat du. b), il eiste donc un unique [0,] tel que f( ) Remarque : on pouvait aussi montrer que la fonction g définie par g() f() est une bijection. Allez à : Eercice : c) D après b), f est strictement croissante sur [0,] donc elle est injective. 3 9

20 Remarque : si vous n êtes pas convaincu, il suffit d utiliser la contraposée de l injectivité f( ) f( ) En effet, si alors < ou >, dans le premier cas f( ) < f( ) car f est strictement croissante et dans le second cas f( ) > f( ) car f est strictement croissante. Allez à : Eercice : d) si 0 alors montrons, par récurrence, que pour tout n 0, n. n f( n ) f( ) n+ Car f est injective (on a utilisé la contraposée de l injectivité), car f( ) et f( n ) n+, cela montre que pour tout n 0. n Allez à : Eercice : e) D après l inégalité du b) f() f(y) M y On applique cette formule à n et y f( n ) f( ) M n pour tout n 0 n+ M n Comme n n+ M n Allez à : Eercice : f) Montrons par récurrence que pour tout n 0. n M n 0 Pour n 0 l inégalité est évidente, montrons que l inégalité au rang n entraine l inégalité au rang n +. D après e) n+ M n D après l hypothèse de récurrence n+ M n M M n 0 M n+ 0 pour tout n 0 n M n 0 Et enfin 0 < M < entraine que M n 0 lorsque n +, cela montre que n n + Allez à : Eercice : Correction eercice : Comme toujours on a deu méthodes, soit on calcule la ite du tau de variation, soit on essaye de montrer que la fonction est C en 0. Première méthode : tau de variation f(0) 0 Et alors f() f(0) 0 f() f(0) Par conséquent f est dérivable en 0 et f (0) 0 Pour g, il y a un problème, est-ce que g est définie pour < 0? La réponse est oui, mais ce n est pas une évidence. En général α n est pas définie pour < 0, par eemple n est pas définie 0 0

21 pour < 0, lorsque α p q avec p N et q N et q impair alors p q est définie sur R, en effet, q est une bijection sur R (ce qui est fau si q est pair), elle admet donc une bijection réciproque notée Et alors q, ensuite rien n empêche d élever cette fonction à une puissance positive. g(0) 0 g() g(0) 0 g() g(0) ± Selon que < 0 ou que > 0, ce qui est important c est que cette ite n est pas finie, donc g n est pas dérivable en 0. h(0) cos(0) h() h(0) cos ( ) 0 Cette ite est indéterminée, on peut penser à utiliser la règle de L Hospital, mais dériver cos ( ) n a rien de réjouissant (et il faudrait absolument distinguer le cas < 0 et > 0) et puis rien ne dit que cette fonction soit dérivable. Réfléchissons un peu, le numérateur est toujours négatif, alors que le dénominateur est négatif si < 0 et positif si > 0, alors, sauf si la ite eiste et qu elle est nulle, l éventuelle ite sera différente en 0 et 0 +. C est pour cela que l on va faire deu cas, < 0 et > 0. Si < 0, on pose h, donc h cos ( ) cos(h) h cos(h) h Maintenant il vaut mieu se souvenir du résultat connu en terminale qui dit que cos(h) h 0 h Sinon, il faut appliquer la règle de L Hospital deu fois de suite. cos ( ) 0 Si > 0, on pose h donc h Avec le même résultat cos ( ) cos(h) h cos(h) h cos ( ) 0 + Ce qui montre que le tau de variation de h en 0 n a pas de ite, par conséquent h n est pas dérivable en 0. Allez à : Eercice : Deuième méthode Si < 0, f() ( ) et f () donc 0 f () 0

22 Si > 0, f() () et f () donc 0 + f () 0 f est continue en 0 (c est évident) et la ite de f () en 0 est finie, donc f est de classe C en 0, donc dérivable en 0 et f (0) 0. g () La ite de g () est infinie donc g n est pas dérivable en 0. Remarque : le seul cas où on ne peut pas conclure c est quand la dérivée de la fonction n admet pas de ite, auquel cas il se peut que le tau de variation admette une ite. Si < 0 alors h() cos( ) donc On sait que h () Si > 0 alors h() cos( ) donc ( sin( )) sin( ) sin(h) h 0 h sin( ) 0 0 h () sin( ) sin( ) Les ites à gauche et à droite sont différentes donc h n est pas dérivable en 0. Allez à : Eercice : Correction eercice 3 :. Si ]0,[ alors f est continue. En 0 ln() C est une forme indéterminée dont la ite est connue. ln() ( ) 0 On prolonge f en 0 par f(0) 0 En, on pose h, c est mieu que h parce qu alors h 0 + lorsque. h ( h ) ln( h ) ln( h) f() h + h + ( h) h h Comme ln( h) h 0 + h Soit parce que c est la ite du tau de variation de la fonction h ln( h), soit en appliquant la règle de L Hospital, soit parce que la ite est connue.

23 ln( h) f() ( h + ( h) ) 0 h 0 + h On prolonge f en par f() 0.. f ainsi prolongée est continue sur [0,] et manifestement dérivable sur ]0,[, de plus f(0) f(), on peut appliquer le théorème de Rolle, il eiste c ]0,[ tel que f (c) 0 Remarque : calculer f () ne me parait pas raisonnable du tout. Allez à : Eercice 3 : Correction eercice 4 :. Si > alors ln() > 0 donc f est définie, continue et dérivable sur ], + [ f () ln() ln() Allez à : Eercice 4 :. Pour tout R, e + > 0, donc g est définie, continue et dérivable sur R g () e + e Allez à : Eercice 4 : h est évidemment définie sur R, avant d étudier la dérivabilité on va étudier la continuité, pour tout R h est continue. Car lorsque 0. 0 h() 0 0 e 0 h(0) h() ln() 0 h(0) Car la ite de ln() en 0 est une forme indéterminée dont le résultat est connu et vaut 0. Ces deu ites sont égales à h(0) donc h est continue en 0. h est dérivable sur R, on va étudier la dérivabilité en 0, il y a deu méthodes : Première méthode : On calcule la ite du tau de variation en 0, donc ici on va calculer la ite à gauche et à droite de ce tau Pour < 0 h() h(0) e 0 Il s agit évidemment d une forme indéterminée, on peut appliquer la règle de L Hospital ou poser X, ainsi X lorsque 0 h() h(0) e X Xe X Il s agit encore d une forme indéterminée mais le résultat est connu, c est l eponentielle qui l emporte, la ite est donc nulle h() h(0) Pour > 0 h() h(0) 0 ln() 3 (ln() ) ln() h() h(0) (ln() )

24 On en conclut que h() h(0) n a pas de ite en 0 donc la fonction n est pas dérivable en 0. 0 Deuième méthode Le but est de montrer que la fonction est de classe C en 0, c est-à-dire que h est dérivable et que cette dérivée est continue (c est un résultat plus fort que ce que demande l énoncé mais dans de nombreu eercices cela se révèle plus efficace). Pour < 0, h () e, on pose X, ainsi X lorsque 0 h () X e X Il s agit encore d une forme indéterminée mais le résultat est connu, c est l eponentielle qui l emporte, la ite est donc nulle 0 h () 0 Pour > 0, h () ln() + ln() 0 + h () h () admet des ites distinctes dans R {, + } donc h n est pas dérivable en 0. (Et donc pas C en 0). Allez à : Eercice 4 : Deuième méthode Le but est de montrer que la fonction est de classe C en 0, c est-à-dire que f est dérivable et que cette dérivée est continue (c est un résultat plus fort que ce que demande l énoncé mais dans de nombreu eercices cela se révèle plus efficace). Pour < 0, f () e, on pose X, ainsi X lorsque 0 f () X e X Il s agit encore d une forme indéterminée mais le résultat est connu, c est l eponentielle qui l emporte, la ite est donc nulle 0 f () 0 Pour > 0, f () ln() + ln() 0 + f () f () admet des ites distinctes dans R {, + } donc f n est pas dérivable en 0. (Et donc pas C en 0. Allez à : Eercice 4 : Correction eercice 5 : cos() sin (). La ite de en 0 est indéterminée, on regarde la ite du quotient des dérivées du numérateur et du dénominateur (cos() sin()) sin() + cos() cos() sin() ( ) sin() 0 0 cos() sin () 0 0. Pour 0 f est définie, continue et dérivable, on étudie la continuité et la dérivabilité en 0 Si a 0 Si a 0 sin(a) a sin(a) a 0 a 4

25 sin(a) 0 0 a 0 e b 0 f est continue en 0 si et seulement si f() f() 0 { {a f() f() a f doit-être continue, donc a Si < 0 alors f() sin() D après la question. Si > 0 alors f() e b f () cos() sin() 0 0 f () be b b 0 + Pour a et b, f () admet une ite en 0, et f est continue donc f est de classe C en 0, donc dérivable. Allez à : Eercice 5 : Correction eercice 6 :. Si 0, f est continue. 0 f() a + b b f(0) 0 f() 0 + f est continue si et seulement si b.. Si 0 alors f est dérivable. Si Si < 0 alors f () a, si > 0 alors f () 0 + f () et (+) ( + ) 0 + f () 0 f () a Si b et si a alors f est continue en 0 et 0 + f () 0 f () f est dérivable en 0. Finalement f est dérivable sur R. Allez à : Eercice 6 : Correction eercice 7 :. On peut dériver cette application comme un quotient mais en la triturant un tout petit peu on peut se ramener à la dérivation d un produit, ce qui est toujours plus simple R +, f() e e Remarque : l énoncé à décider de ne définir f que sur ]0, + [ mais on aurait pu la définir sur R. R +, f () e e + e ( e) e Il faut arranger cette epression pour pouvoir trouver son signe, pour cela il faut factoriser, par e, çà c est évident, mais aussi par une puissance de, le mieu est de factoriser par e car si on factorise par e on se retrouverait avec un terme en. f () e e ( e) Comme R +, e e > 0. On en déduit que : ]0, e[, f () < 0 et f est décroissante et ]e, + [, f () > 0 et f est croissante.. Comparer deu réels signifie que l on cherche à savoir lequel des deu est le plus grand. Comme 5

26 f(π) eπ π e Le problème est de savoir si f(π) est inférieur ou supérieur à. Il est clair que π > e, f étant croissante sur ]e, + [ on a : f(e) < f(π) Et On a f(π) > et donc e π > π e Allez à : Eercice 7 : f(e) ee e e Correction eercice 8 :. D abord on peut vérifier que f est bien définie sur [,], en effet 0 est bien définie sur [,]. Pour 0 f est continue, le problème est de savoir si f est continue en 0. Pour cela il faut montrer que la ite de f en 0 vaut f(0), il s agit d une forme indéterminée, on peut penser à utiliser la règle de L Hospital mais comme il y a des racines, on va plutôt utiliser l epression conjuguée ( + ) ( + ) ( ) ( + + ) ( + + ) + + Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers donc f() f(0) f est continue en 0 et donc sur [,]. Allez à : Eercice 8 :. est dérivable sur ],[ donc f est dérivable sur ],0[ ]0,[, il reste à montrer que f est dérivable en 0. Première méthode : on calcule le tau de variation f() f(0) 0 ( + ) ( + ) ( ) ( + + ) ( + + ) + + f() f(0) On en déduit que f est dérivable en 0 et que f (0). Deuième méthode : on calcule la ite de f () en 0. 6

27 f () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) + ( + ) + ( + + ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) On a déjà fait un bel effort mais cela ne suffit pas, on tombe sur une forme indéterminée. f () + + ( ) 4 4 ( + + ) 4 ( + + ) 4 ( + + ) f () 0 4 ( + + ) Il faut bien préciser que f est continue et que f () admet une ite en 0 pour pouvoir conclure que f est dérivable en 0, à dérivée continue et que f (0). Avec les deu méthodes on conclut que f est dérivable sur ],[. Ici, cette méthode est nettement plus compliquée mais parfois elle est plus simple. De plus l énoncé demande de calculer f () donc la deuième méthode s imposait. Pour résoudre f () 0 il fallait, de toutes façon calculer f () donc on n a pas fait ce long calcul pour rien. Allez à : Eercice 8 : 3. Pour montrer que f est continue, c est évident pour 0 et en 0 voir la deuième méthode. ],0[ ]0,[, f () Il n y a pas de ],[ tel que f () 0. Allez à : Eercice 8 : 4 ( + + ) > 0 et f (0) > 0 4. f( ) et f() et pour tout ],[, f () > 0, il reste à voir comment se comporte f () en + et, comme f est paire ces deu ite seront égales. f () 4 ( + + ) + Car le dénominateur tend vers 0 +. Ce qui signifie que f admet des demi-tangentes verticales en et en. 7

28 f () + f(),5 f est strictement monotone donc f est injective. Allez à : Eercice 8 : 5. f : [,] f([,]) [, ] est une bijection. Comme f (0) 0 la bijection réciproque est dérivable en 0 comme On a Allez à : Eercice 8 : 0 -,5 - -0,5-0,5 0 0,5,5 f (0) f () 8 (f ()) f (f (0)) (0) f Correction eercice 9 : Si 0 la fonction est C donc tout va bien. Etudions la fonction en 0. Il faut d abord que la fonction soit continue f() 0 0 e et f() (a3 + b + c) c La fonction est continue si et seulement si c. Dans ce cas regardons si la fonction est de classe C. 0 f () 0 e et 0 + f () (a + b) b f () 0 + f () b Comme, lorsque c, f est continue, f est de classe C si et seulement si b c. Si < 0, f () e et si > 0, f () a, la première dérivée seconde tend vers et la deuième tend vers a donc cette fonction est de classe C en 0 si et seulement si a (car bien sûr f est continue). Si < 0, f () e et si > 0, f () 0, la première dérivée troisième tend vers et la seconde vers 0, donc cette fonction n est jamais de classe C en 0. Allez à : Eercice 9 : Correction eercice 0 :. Pour tout 0 la fonction est de classe C donc dérivable. 0,5 - -,5 - f sin() f() f(0) 0 0

29 Certes, il s agit d une forme indéterminée, mais soit on la considère comme connue (de la terminale), soit on la considère comme le tau de variation de la fonction sin() en 0 et cette ite est la valeur de la fonction dérivée en 0, c est-à-dire cos (0), soit on applique la règle de Riemann. f() ( + ) f(0) Finalement on a : Ce qui entraine que 0 f() f() f(0) + 0 f() f(0) 0 0 Ce qui montre que f est continue en 0. Allez à : Eercice 0 :. Calculons la fonction dérivée pour < 0 et pour > 0. Pour < 0 f () cos() sin () La ite de f () en 0 est une forme indéterminée, utilisons la règle de L Hospital. f () g() h() g () sin() + cos() cos() sin() h () On en déduit que Par conséquent Pour > 0 On en déduit que g () sin() h sin() () g () h () 0 0 <0 <0 sin() f () 0 0 <0 g() 0 h() f () 0 0 <0 0 f () 0 >0 f () f () 0 <0 Ce qui montre que f n est pas dérivable en 0. Conclusion : Pour < 0 Pour > 0 Pour 0, f n est pas dérivable. Allez à : Eercice 0 : f () 0 >0 cos() sin () f () 9

30 Correction eercice :. f() f ( ) + f() ( + + λ ) + λ ( ) + λ 4 f est continue si et seulement si 3 + λ 4 λ 4 3. Une condition nécessaire pour que f soit continue est que f soit continue, donc s il y a une valeur de λ pour laquelle f est dérivable, ce ne peut être que 4 3 si 0 < f() { si Si 0 < alors Et Si < alors f () ( + ) f () ( + ) ( + 4 ) 9 f () f () ( ) f () n a pas de ite lorsque donc f n est pas dérivable en. Par conséquent il n eiste pas de λ R tel que la fonction f soit dérivable. Allez à : Eercice : Correction eercice :. Pour tout 0, est continue et l eponentielle est continue sur R donc f est continue sur R. En 0.. f est continue en e f(0) R, f () ( ) e ( ) e ( ) 3 e 3 e 3. On pose X f () X 3 e X Lorsque 0 ±, X donc e X 0 alors que X 3 ±, il s agit d une forme indéterminée mais l eponentielle l emporte sur les fonctions polynômes. 30

31 4. f () 0 0 X ± X3 e X 0 f () admet une ite en 0 et f est continue en 0 donc f est de classe C en 0, ce qui signifie que f est dérivable et que f (0) 0. ± 0 ± e e 0 5. f () a le même signe que f () 0 + f() 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, , Attention, ce dessin donne l impression qu il y a un «plat» au voisinage de 0, c est juste que les valeurs sont très petites Allez à : Eercice : Correction eercice 3 :. R, f() f( + π) sin() sin( + π) 0 Ce qui équivaut à ce que R, f() f( + π), f est π périodique.. Soit 0 R, Première méthode ε > 0, η > 0, 0 < η sin() sin( 0 ) < ε Car la fonction sin est une fonction continue. Cela entraine que pour tout ε > 0, η > 0, 0 < η f() f( 0 ) sin() sin( 0 ) < ε Cela montre que la fonction f est continue en 0, ceci étant vrai pour tout 0 R, la fonction f est continue sur R. Deuième méthode Pour montrer que f est continue en un 0 R quelconque. 0 f() f( 0 ) sin() sin( 0 ) 0 f() f( 0 ) sin() sin( 0 ) Car sin est continue en 0 On en déduit que 3

32 f() f( 0 ) 0 0 Ce qui est équivalent à f() f( 0 ) 0 Autrement que f est continue en 0 quelconque, et donc sur R 3. Remarques préinaires Dans ce genre d eercice il faut montrer qu il eiste l R tel que Autrement dit que f() f ( π ) π π l π f() f (π ) π l 0 Pour cela il faut majorer f() f(π ) l par une epression tendant vers 0. π Le problème est qu il faudrait deviner l à priori et que l on ne connait pas f ( π ). Ce n est pas gagné d avance. Il doit y avoir y avoir un truc plus simple. D après l inégalité, y R, f() f(y) sin() sin(y) On en déduit que Puis en divisant par π R, f() f ( π ) sin() sin (π ) R { π }, f() f (π ) π sin() sin (π ) π A droite, il s agit du tau de variation de la fonction sin en π qui tend vers Ce qui entraine que sin ( π ) cos (π ) 0 π sin () sin (π ) π cos ( π ) 0 Ça, c est un coup de chance parce que du coup, on en déduit que f() f (π ) π π 0 0 Et d après les remarques préinaire, cela signifie que f ( π ) 0. Si on avait trouvé une ite non nulle on n aurait rien pu conclure. Allez à : Eercice 3 : Correction eercice 4 :. Si > alors ln() > 0 donc f est définie, continue et dérivable sur ], + [ f () ln() ln() 3

33 . Pour tout R, e + > 0, donc g est définie, continue et dérivable sur R g e () + e 3. h est évidemment définie sur R, avant d étudier la dérivabilité on va étudier la continuité, pour tout R h est continue. Car lorsque 0. f() 0 0 e 0 f() ln() Car la ite de ln() en 0 est une forme indéterminée dont le résultat est connu et vaut 0. Ces deu ites sont égales donc h est continue en 0. h est dérivable sur R, on va étudier la dérivabilité en 0, il y a deu méthodes : Première méthode : On calcule la ite du tau de variation en 0, donc ici on va calculer la ite à gauche et à droite de ce tau Pour < 0 f() f(0) e 0 Il s agit évidemment d une forme indéterminée, on peut appliquer la règle de L Hospital ou poser X, ainsi X lorsque 0 f() f(0) e X Xe X Il s agit encore d une forme indéterminée mais le résultat est connu, c est l eponentielle qui l emporte, la ite est donc nulle f() f(0) Pour > 0 On en conclut que f() f(0) 0 f() f(0) 0 ln() 33 (ln() ) ln() f() f(0) (ln() ) n a pas de ite en 0 donc la fonction n est pas dérivable en 0. Deuième méthode Le but est de montrer que la fonction est de classe C en 0, c est-à-dire que f est dérivable et que cette dérivée est continue (c est un résultat plus fort que ce que demande l énoncé mais dans de nombreu eercices cela se révèle plus efficace). Pour < 0, f () e, on pose X, ainsi X lorsque 0 f () X e X Il s agit encore d une forme indéterminée mais le résultat est connu, c est l eponentielle qui l emporte, la ite est donc nulle 0 f () 0 Pour > 0, f () ln() + ln() 0 + f () f () admet des ites distinctes dans R {, + } donc f n est pas dérivable en 0. (Et donc pas C en 0.

34 Allez à : Eercice 4 : Correction eercice 5 : Il est clair que ces fonctions sont continues en 0, c est nécessaire. On a f(0) 0 et g(0) 0 Première méthode : On va montrer que f est de classe C en 0 (c est-à-dire que f est dérivable en 0 et que sa dérivée est continue en 0). Pour < 0, f() sin() et f () sin() cos(), donc 0 f () 0 Pour > 0, f() sin() et f () sin() + cos(), donc 0 + f () 0 Ces deu ites sont finies et égales et f est continue en 0, donc f est de classe C en 0, on en déduit que f est dérivable en 0. Même technique pour g Pour < 0, g() ln( ) et f (), donc g () 0 Pour > 0, g() ln( + ) et g (), donc g () Ces deu ites sont finies et différentes donc g n est pas dérivable en 0. Deuième méthode : Pour montrer que f est dérivable il faut montrer que le tau de variation f() f(0) Admet une ite finie en 0, avec 0. f() f(0) Pour 0, 0 0 sin() sin() ±, cette epression est bornée et sin() 0 lorsque 0 donc f() f(0) f est dérivable en 0. Pour montrer que g est dérivable il faut montrer que le tau de variation g() g(0) ln( + ) 0 Admet une ite finie en 0, avec 0. Pour < 0, g() g(0) ln( ) 0 Il s agit évidemment d une forme indéterminée, soit on applique la règle de L Hospital, soit on applique le résultat connu Avec t pour trouver que Pour > 0, g() g(0) 0 0 <0 ln( + t) t 0 t t 0 ln( ) 0 <0 34

35 0 >0 g() g(0) ln( + ) 0 g() g(0) ln( + ) 0 0 >0 Ces deu ites sont distinctes donc g n est pas dérivable. Allez à : Eercice 5 : Correction eercice 6 :. Comme R, 3 + sin(), f est dérivable sur R R, f () cos() 3 + sin() Allez à : Eercice 6 :. Comme R, +, f est dérivable sur R On peut dériver cette fonction en considérant qu elle est de la forme ln(u()) mais ce n est pas très malin, en effet f () ln( + ) R, f () + + Allez à : Eercice 6 : 3. R, + cos() et cos() donc f 3 est dérivable sur R. On peut dériver cette fonction en considérant qu elle est de la forme ln(u()) mais ce n est pas très malin, en effet R, f 3 () ln( + cos()) ln( cos()) R, f 3 () sin() sin() ( + cos() cos() ) sin() + cos() sin() cos() Ce résultat est juste mais il faut toujours essayer d arranger les choses, ici il faut réduire au même dénominateur dans le but, si cela était demander, de trouver le signe de cette epression en fonction de. R, f 3 () sin() ( + cos() + cos() + + cos() ) sin() cos() ( + cos())( cos()) 4 sin() 4 cos () Remarque : avec cette epression il est clair que f 3 () a le même signe que sin(). Allez à : Eercice 6 : 4. Attention, il ne faut pas dériver cette fonction comme si elle était de la forme α car le «α» n est pas constant, il s agit d une fonction «puissance» qui s écrit f 4 () (+) ln() e Cette fonction est dérivable pour tout > 0 R +, f 4 () (( + ) ln()) e (+) ln() (ln() + + ) ln() e(+) Là encore il faut réduire au même dénominateur R +, f ln() () (+) ln() e Remarque : heureusement que l on ne demande pas le signe de f 4 () parce que ce n est pas si simple, pour ceu que cela intéresse, R +, f 4 () > 0. Allez à : Eercice 6 : 35

36 5. f 5 est dérivable sur R, il faut quand même faire une petite transformation si on veut dériver cette fonction simplement R, (e ) e R, f 5 () sin((e ) ) sin(e ) R, f 5 () e cos(e ) Allez à : Eercice 6 : 6. Attention, il ne faut pas dériver cette fonction comme si elle était de la forme α car le «α» n est pas constant, il s agit d une fonction «puissance» qui s écrit f 6 () e sin() ln() Cette fonction est dérivable pour tout > 0. Pour éviter d écrire une formule longue à écrire, on va d abord dériver g 6 : sin() ln() g 6 () ( sin() ) ln() + sin() cos() ln() sin() ln() + sin() cos() sin() ln() + sin() R +, f cos() ln() sin() ln() + sin() 6 () e sin() ln() Remarque : f 6 () a le même signe que cos() ln() sin() ln() + sin() et heureusement que l on ne se demande pas quel est son signe, là, je cale et je pense que ce n est pas gagné d avance! Allez à : Eercice 6 : Correction eercice 7 : les fonctions 0 ± 0 sin ( ) et cos ( ) N admettent pas de ites en 0 (ni de ite finie ni de ite infinie) D après les remarques préinaires f n est pas continue en 0, par suite f est ni dérivable ni de classe C. Pour 0, g est le produit d une fonction bornée sin ( ) par une fonction qui tend vers 0 en 0 donc g() 0 g(0) 0 0 Ce qui signifie que g est continue en 0. g() g(0) sin ( 0 ) D après les remarques préinaires le tau de variation de g en 0 n admet pas de ite, donc g n est pas dérivable en 0, par conséquent g n est pas de classe C en 0. Pour 0, h est le produit d une fonction bornée sin ( ) par une fonction qui tend vers 0 en 0 donc 36

37 Ce qui signifie que h est continue en 0. h() 0 h(0) 0 0 h() h(0) 0 sin ( ) Pour 0, le tau de variation de h en 0 est le produit d une fonction bornée sin ( ) par une fonction qui tend vers 0 en 0 donc 0 0 h() h(0) 0 Ce tau de variation admet une ite donc h est dérivable en 0 et h (0) 0 (le résultat de la ite) 0 0, h () sin ( ) + ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) tend vers 0 en 0, mais cos ( ) n admet pas de ite en 0 donc h n admet pas de ite en 0 donc h n est pas continue en 0, ce qui signifie que h n est pas de classe C en 0. Pour 0, i est le produit d une fonction bornée sin ( ) par une fonction 3 qui tend vers 0 en 0 donc Ce qui signifie que i est continue en 0. i() 0 i(0) 0 0 i() i(0) 0 37 sin ( ) Pour 0, le tau de variation de i en 0 est le produit d une fonction bornée sin ( ) par une fonction qui tend vers 0 en 0 donc 0 0 i() i(0) 0 Ce tau de variation admet une ite donc i est dérivable en 0 et i (0) 0 (le résultat de la ite) 0, i () 3 sin ( ) + 3 ( ) cos ( ) 3 sin ( ) + cos ( ) sin ( ) tend vers 0 en 0 et cos ( ) tendent vers 0 en 0 (toujours car elles sont le produit d une fonction bornée par une fonction qui tend vers 0 lorsque tend vers 0), donc i () Le fait que i () admette une ite finie en 0 et que i soit continue en 0 montre que i est de classe C. Remarque : En montrant que i est de classe C en 0 on montre au passage que i est dérivable en 0, du coup, dans cette question on pouvait se passer du calcul de la ite du tau de variation de i en 0. Allez à : Eercice 7 : Correction eercice 8 :. Les fonctions f n sont continues sur un intervalle fermé borné [0,] donc les fonctions f n sont bornées et atteignent leur maimum pour un réel α n [0,]. Si α n {0,}, que ce passe-t-il? Comme f n (0) 0 n g(0) 0 et f n () n g() 0, cela signifie que la fonction f n est constante et nulle sur [0,], dans ce cas particulier n importe valeur strictement comprise entre 0 et vérifie. sup ]0.[ 0 f n () f n (α n )( 0) et f n (α n ) 0 Si α n ]0,[ f n atteint un etremum à l intérieur de l intervalle [0,] donc sa dérivée est nulle.

38 f n () n n g() + n g () n (ng() + g ()) Par conséquent f n (α n ) 0 et α n ]0,[ entraine que ng(α n ) + α n g (α n ) 0 g(α n ) α ng (α n ) n Et f(α n ) α n n ( α ng (α n ) ) α n n+ g (α n ) n n On en déduit que f(α n ) α n n+ g (α n ) α n n+ g n (α n ) n+ g n (α n ) g n (α n ) n n n n Comme g est continue, g est bornée, ce qui signifie qu il eiste M telle que pour tout [0,], g () M D où Allez à : Eercice 8 : f(α n ) M n 0 Correction eercice 9 : Pour utiliser le théorème des accroissements finis, il faut d abord montrer que f est dérivable sur R. Si, f est dérivable. Etudions la fonction en. 3 f() Ce qui montre que la fonction est continue en. Pour < : f() et f() + f() Pour > : f () ( ) f () f () + f () + Le fait que f soit continue en et que f () + f (), montre que f est dérivable en. Bref, f est dérivable sur R, en particulier f est continue sur [0,] et dérivable sur ]0,[, on peut appliquer le théorème des accroissements finis sur [0,] donc il eiste c ]0[ tel que : f() f(0) ( 0)f (c). Par conséquent Supposons que 0 c alors f() et f(0) f() f(0) ( 0)f (c) 3 f (c) f (c) f (c) c c On vérifie que 0 donc c est une solution. Supposons que < c alors 38

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