1. Préliminaires. dt = cos(t) ] x x. cos(t)/t 2 dt R. Par conséquent +

Transcription

1 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES L INTÉGRALE DE DIRICHLET sin( d. PATRICE LASSÈRE Résumé. Afin de bien réviser l inégraion e plus précisémen les inégrales à paraméres, amusons nous avec plusieurs méhodes de calcul pour l inégrale de Dirichle R + sin( d. 1. Préinaires La convergence de l inégrale impropre sin( d es classique : il n y a pas de problèmes à l origine car sin(/ s y prolonge coninuemen, le seul problème es donc en +. Inégrable sur [, 1], il es suffisan de s assurer de la convergence sur [1, + [ : soi x > 1, une inégraion par paries donne x 1 [ sin( d = cos( ] x x 1 cos( d 2 lorsque x ends vers + le erme «enre croches» ends vers sin(1 e le second (puisque cos(/ 2 2 L 1 ([1, + [ vers cos(/ 2 d R. Par conséquen d converge. 1 Par conre l inégrale sin( d diverge, pour s en convaincre le méhode classique consise à écrire pour ou enier N 2 N sin N 1 d kπ+3π/4 sin k=1 kπ+π/4 d N 2 kπ+3π/4 d 2 k=1 N k=1 kπ+π/4 π 2 kπ + 3π/4 2 N k=1 1 k +. D où la non absolue inégrabilié (ou ceci bien enendu marche aussi pour les inégrales sin( d, α ], 1]... α 1 sin(

2 2 PATRICE LASSÈRE On peu aussi plus simplemen écrire sin sin 2 = 1 cos 2 2 := g( e observer que g n es pas inégrable en + (en effe, cos 2/ l es pour les mêmes raisons que sin / mais pas 1/... ce qui, via les héorèmes de comparaison pour les foncions posiives assure la non-inégrabilié de sin( en l infini. Pour erminer, remarquons que par une inégraion par paries légiime ( 2 [ ] sin( d = sin2 + 2 sin( cos( + d = d où la remarquable 1 formule sin( + d = ( 2 sin( d. sin(2 d 2. Calculs de sin( d sin(x Exercice 1 : Soi F (x = ( d. 1 Préciser le domaine de définiion de F. 2 Éudier la coninuie e l exisence des dérivées premières e secondes. + sin( 3 Exprimer F (x en foncion de C := d 4 En déduire la valeur de C. Soluion : L inégrale définissan F es clairemen convergene pour ou x R : F es définie sur R e es impaire. Posons f(x, = sin(x. ( 2 +1 Soi a >, pour x [ a, a] e R + on a f(x, = sin(x x a L1 (R +, vu la régularié de f le héorème de coninuié des inégrales à paramères assure que F C ([ a, a], e ceci pour ou a > : F es donc coninue sur R. 1 On a aussi R + sin( d = P sin(n n 1 = π n 2

3 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES x f(x, = cos(x 2 + 1, on a donc pour ou x R e R + Z + L INTÉGRALE DE DIRICHLET x f(x, = cos(x L(R, sin( d. 3 par le héorème de dérivaion des inégrales à paramères, F C 1 (R e F (x = Pour l exisence de la dérivée seconde l affaire es plus délicae, car 2 x f(x, sin(x = sin(x, e cee dernière n es (comme sin( cos(x d. pas inégrable en + : oue enaive de dominaion (même locale pour appliquer le héorème précéden es donc vaine. L asuce consise par une inégraion par paries à écrire F sous une forme accepable pour jusifier la dérivaion sous l inégrale :soi x R : F (x = [ cos(x sin(x d = x( = ] + 2 sin(x x( d. 2 sin(x x( d Ainsi, pour x on a ( F (x = cos(x d = 2 sin(x x( d sous cee seconde forme, on va pouvoir appliquer le héorème de dérivaion des inégrales à paramères, en effe soi a >, pour x a ( 2 x x sin(x 2 ( x sin(x 2 ( cos(x x( a 2 ( a( L1 (R on peu donc dériver sous l inégrale : F es deux fois dérivable sur R e F (x = ( 2 x sin(x 2 ( cos(x d, x R. 2 x(

4 4 PATRICE LASSÈRE Cee expression es un peu chargée, faisons une inégraion par paries : ( F (x = 2 ( sin(x + 22 cos(x d 2 x 2 x( [ sin(x = x 2 ( cos(x ] x( = sin(x d. ( x cos(x cos(x x sin(x x 2 ( x( Il es inéressan à ce sade d observer que nous rerouvons finalemen la formule F (x = 2 x 2 f(x, d, x R, mais pour jusifier une dérivaion sous l inégrale une ransformaion de F (voir ( à éé nécessaire ; remarquez aussi que l exisence de F ( rese ouvere. Nous avons donc : Ainsi, pour ou x R, F (x = F (x = F (x F (x = = cos(x d, x R, sin(x d, x R. sin(x ( d + sin(x d = sin(x x( d { C, x R +, C, x R. F es donc soluion de l équaion différenielle F F = C sur R + e F F = C sur R ce qui nous donne { ae x + be x + C, x R F (x = +, ce x + de x C, x R. (remarquez que ces équaions impliquen + F (x = C = F (x qui assuren si C que F adme à l origine des ies à droie e à gauche différenes ce qui (propriéé classique de l applicaion dérivéée, Darboux par exemple nous perme d affirmer que F ( n exise pas mais F es ou de même dérivable à droie e à gauche en avec F ( + = C = F (... F éan impaire, a = d, b = c soi F (x = { ae x + be x + C, x R +, be x ae x C, x R d

5 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES e F coninue à l origine avec F ( = implique Z + sin( L INTÉGRALE DE DIRICHLET d. 5 F ( = = x + F (x = a + b + C = x F (x = a b C soi a + b = C ; de même, F coninue à l origine avec F ( = π/2 donne a b = π/2 i.e. 2a = π/2 C, 2b = C π/2 e finalemen ( F (x = π 2 sh(x Cch(x + C, x R +. Il rese à évaluer C. Pour cela, monrons que F (x C = F (x = ( 2 x 2 F (x = C. Soi x >, x + sin(x ( cos(x 2 x( (on a encore ici besoin de la première expression de F pour conclure facilemen pour x a >, on a la dominaion 2 x sin(x 2 ( cos(x 2 x( a 2 ( a( L1 (R +. Donc par le héorème de la convergence dominée soi avec ( qui donnen C.Q.F.D. (F (x C = x + x + ( 2 x 2 d sin(x ( cos(x d = 2 x( ( π F (x = C e F (x x C e x + C C = sin( d = π 2. Exercice 2 : On considère l applicaion f(x := 1 Monrer que f C 1 (R +. 2 En déduire une forme explicie de f sur R +. 3 Monrer que f es coninue à l origine. 4 En déduire que sin( d = π. 2 sin( e x d. Soluion : 1 Écrivons f(x = g(x, d où g(x, = e x sin(. Pour x =, f( = + sin( d e nous rerouvons l inégrale de Dirichle ; pour x >, comme g(x, e x L 1 (R +, f es encore bien définie : f es finalemen définie sur R +.

6 6 PATRICE LASSÈRE Soi a >, nous avons g(x, e a L 1 (R + e g (x, x = sin(e x e a L 1 (R +. De ces deux inégaliés, le héorème de coninuié e dérivabilié des inégrales à paramères assure que f C 1 (R + e x R +, f (x = sin(e x d. i Remarque : Il fau se garder, malgré les quesions suivanes, de vouloir par ces héorèmes de dominaion obenir la coninuié de f à l origine : en effe f es à l origine définie par l inégrale de Dirichle qui es nooiremen non absolumen convergene e une dominaion de g dans un voisinage de l origine impliquerai assurémen l absolue convergence. C es pourquoi d ailleurs les dominaions n on lieu que sur [a, + [... 2 L expression de f (x que nous venons d obenir nous perme un calcul explicie : soi x > f (x = sin(e x d = 1 ( e i e i e x d 2i = 1 ( e (i x e (i+x d 2i = 1 ([ ] e (i x [ ] e (i+x + 2i i x i + x = 1 ( 1 2i i x 1 = 1 i + x 1 + x 2 (les deux ermes «enre croches» son nuls à l infini car par exemple e (i+x i+x = e x x 2 +1 lorsque ends vers +... En inégran cee formule, il vien C R : x R + f(x = arcan(x + C. La consane C n es pas difficile à déerminer, en effe la formule ci-dessus implique que e pour ou x > soi f(x f(x = π x C e x d = 1 x x + π 2 + C = e C = π 2.

7 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Z + L INTÉGRALE DE DIRICHLET Résumons nous : arcan(x + π ( f(x = 2, si x > sin( d, si x =. sin( d. 7 3 Il s agi de monrer que f(x f( = x + x + sin( ( e x 1 d =. Cee ie n es pas riviale, on va faire une inégraion par paries : considérons pour >, G( = sin(u du. G es dérivable e u G ( = sin(, en oure la convergence de sin( d implique G( =. Ainsi e la foncion f(x f( = = sin( ( e x 1 G ( ( e x 1 = [ G( ( e x 1 ] = G u=x ( u x e u du := G(xe x d { ( u G e u si x, H(x, u = x si x =. H(x, udu es coninue sur R + R + (la coninuié en (, u découle de G( = ; elle es aussi dominée par H(x, u e u L 1 (R +. Donc par convergence dominée ( f(x f( = x + x H(x, udu = f es donc bien coninue à l origine. 4 ( e ( donnen immédiaemen sin( d = π 2. x H(x, udu =.

8 8 PATRICE LASSÈRE sin( e x Exercice 4 : Soien f(x = d, g(x = + x d. 1 Monrer que f, g C 2 (R (pour f, on pourra commencer par monrer que f(x = 1 cos( (+x 2 d. 2 Monrer que f e g son soluions de l équaion différenielle y + y = 1/x. 3 En déduire que f g es 2π-périodique (sur son domaine de définiion. 4 Monrer que f e g son équivalenes à 1/x en + puis, que f = g. 5 En déduire la valeur que sin( d Soluion : 1 e 2 Ces inégrales impropres son clairemen convergenes pour ou x R + ; posons pour (x, R + R + : f(x, = sin(x/ + x, g(x, = e x / Les dominaions g(x, 1 1 +, R +, 2 R +, g(x, x e a L1 (R +, x a >, R +, 2 g(x, x 2 2 e a L1 (R +, x a >, assuren par convergence dominée que g es coninue sur R + e de classe C 2 sur R + avec g (x = e x d, g (x = On en dédui immédiaemen que g (x + g(x = 1/x sur R +. 2 e x d, x R +. Pour f c es un peu plus délica car l applicaion f(x, es nooiremen non absolumen inégrable sur R + e oue dominaion es veine, on commence donc par une inégraion par paries pour obenir une expression plus exploiable de f. f(x = sin( + x d = [ 1 cos( + x ] + 1 cos( ( + x 2 d = 1 cos( ( + x 2 d (afin d alléger les calculs on a choisi 1 cos( comme primiive de sin( choix qui annule le «erme enre croches». De là, si h(x, = 1 cos(/( + x 2 e pour x a > R +, h(x, x = 2(1 cos( ( + x 3 2 ( + a 3 L1 (R +, x a >, R +, 2 h(x, x 2 = 6(1 cos( ( + x 4 12 ( + a 3 L1 (R +, x a >,

9 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES ces dominaions impliquen que f C 2 (R + avec f (x = e avec une inégraion par paries f (x = = = 6(1 cos( d = ( + x 4 [ sin( ( + x 2 ] + d ( + x 2 Z + sin( L INTÉGRALE DE DIRICHLET d. 9 6(1 cos( ( + x 4 d, x R + = 1 f(x, x >. x [ 2(1 cos( ( + x 3 cos( ( + x d = 2 1 cos( ( + x d 2 ] + cos( ( + x 2 d 2 sin( ( + x 3 d 3 f e g son soluions sur R + de l équaion y + y = 1/x, f g es donc soluion de l équaion y + y = : c es la resricion à R + d une soluion sur R de y + y = donc 2π-périodique. 4 Soi x >, vu ce qui précède f(x = 1 x 2 sin( ( + x d 3 e comme 2 sin( ( + x d 3 2d ( + x = 2 3 x = 2 o(x 1 i.e. f(x = 1 x + 1 o(x 1 + x. Pour g, on procède de même encore plus simplemen. Sur R +, f g es coninue 2π-périodique e ends vers en + : elle es donc ideniquemen nulle e on a sin( + x d = e x d, x R +. 5 Pour conclure, voir l exercice précéden. Exercice 3 : Monrer que π/2 e en déduire que π/2 e x cos( cos(x sin(d = π 2 x sin( d = π 2. sin( d

10 1 PATRICE LASSÈRE Soluion : Soi x R, on a ( π/2 π/2 e x cos( cos(x sin(d = Re e x cos( e ix sin( d ( π/2 = Re e xe i d = Re ( π/2 ( x n e in d n! n= π/2 = π 2 + ( x n Re ( e in d n! n=1 = π 2 + [ ] ( x n π/2 sin(n n! n n=1 = π 2 + ( x n n! n=1 = π 2 + k= k= sin(nπ/2 n ( x 2k+1 sin((2k + 1π/2 (2k + 1! 2k + 1 = π 2 ( 1 k x 2k+1 (2k + 1(2k + 1! = π 2 k= = π 2 x = π 2 x x k= ( 1 k 2k+1 (2k + 1! ( 1 k 2k+1 (2k + 1! sin( d. Les deux échanges = son jusifiés par la normale convergence des deux séries enières sur le domaine d inégraion (leur rayon de convergence éan infini. Une convergence dominée élémenaire 2 ( e x cos( cos(x sin( 1 L 1 ([, π/2] implique d d π/2 x + e x cos( cos(x sin(d =, 2 que l on peu aussi évier en coupan l inégrale en deux...

11 AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES soi, vu la formule éablie au dessus e par conséquen x + sin( d = π 2. ( π x 2 Z + L INTÉGRALE DE DIRICHLET sin( d = sin( d. 11 Exercice 5 : (avec des inégrales doubles-1 En inégran f(x, = e xy sin(x sur [ɛ, T ] + sin( [, + [, < ɛ < T, calculer d. Soluion : Soien < ε < T, nous avons T sin(x T ( ε x dx = sin(x e xy dy dx ε ( T = sin(xe xy dx dy = = ε e yε (cos ε + y sin ε e yt (cos T + y sin T dy y g ε,t (ydy l applicaion ci-dessus du héorème de Fubini es jusifiée par f(x, y e xy e T ( T ] T e xy dy dx = [ exy dx dx = x x = log T ε <. pour ous < ε < T. ε Mainenan, observons que pour < ε y de même, pour T 1 Ainsi pour < ε y T e T 1 ε e yε (cos ε + y sin ε 1 + yεe yε 1 + e 1, e yt (cos T + y sin T e yt (1 + y e y (1 + y. g ε,t (y max{(1 + e 1, e y (1 + y} L 1 (R y Il es donc légiime d invoquer le héorème de la convergence dominée pour écrire ε + T + g ε,t (ydy = ε dy y = π 2,

12 12 PATRICE LASSÈRE d aure par, comme T ε sin(x x dx = g ε,t (ydy nous avons finalemen sin(x x dx = ε + T + g ε,t (ydy = π 2. Exercice 6 : (avec des inégrales doubles - 2 En inégran sur [, u] [, u], f(x, y = sin(xe xy, monrer que u sin(x u x (1 1 e yu( cos(u + y sin(y e xu dx = dy, 1 + y 2 e en déduire que sin( d = Exercice 7 : (avec Riemann-Lebesgue a 1 Monrer que 2 Monrer que 3 En déduire que n n N : π/2 ( π/2 sin ( (2n + 1 d sin( d = sin 2 ( 2 d = π 2. sin ( (2n + 1 sin( π/2 sin 2 ( 2 d = π 2. d = π 2. sin ( (2n + 1 sin( a Le Lemme de Reimann-Lebesgue : si f C R ([a, b] alors b n a f( cos(nd = R b n a f( sin(nd = ; la preuve es élémenaire si f C 1 ([a, b] avec une inégraion par paries e un peu plus délicae si f es seulemen coninue. d =. Soluion : 1 On a pour x ], 2π[ 1 2 par conséquen pour x ], π[ sin((2n + 1x/2 + cos(x + cos(2x + + cos(nx =, 2 sin(x/ cos(2x + 2 cos(4x cos(2nx = sin((2n + 1x, sin(x

13 Z + AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES L INTÉGRALE DE DIRICHLET qui donne immédiaemen π/2 sin ( (2n + 1 sin( d = π 2. sin( d Nous avons n ( π/2 sin ( (2n + 1 d π/2 = n sin( sin( π/2 sin((2n + 1d =, sin ( (2n + 1 sin( la dernière ie es nulle via Riemann-Lebesgue par coninuié de l applicaion sin( sin( sur [, π/2]. d 3 La convergence de l inégrale en pariculier sin( nπ/2 d = n sin( d implique sin( π/2 d = n sin( π/2 sin((2n + 1 d = d, n on invoque alors les deux premières quesions pour conclure. sin(n d, Exercice 8 : Calculer par récurrence I n = π 2. π/2 Soluion : C es la même idée que l exercice précéden. sin(2n d e en déduire que an( π/2 sin( d = Exercice 9 : On pose f(x = f pour en déduire la valeur de π/2 sin( sin( d. e x d. Monrer que f C (R + C 1 (R +, calculer

14 14 PATRICE LASSÈRE Exercice 1 : (avec Green-Riemann 1 Soien < a < b. Calculer l inégrale curviligne de la forme différenielle e y ω = {(x sin(x y cos(xdx + (x cos(x + y sin(xdy} x 2 + y2 le long du conour oriené : C 2 C 4 C 3 C 1 2 En déduire que b a π + 2 = a sin( d. b Soluion : 1 La forme ω es fermée dans R 2 \ {(, } donc dans l ouver éoilé { re iθ, r >, π/4 < θ < 5π/4 }, soi avec Poincaré ω =. 2 Nous allons successivemen faire endre a vers + e b vers +. En respecan les noaions de la figure b sin(x ω = ω = a + b + a + b + a + b + a x dx = C 1 C 3 C sin(x x dx, Pour C 2, la paramérisaion x = b cos(θ, y = b sin(θ où θ varie de à π donne π ω = e b sin(θ cos(b cos θdθ C 2 qui ends vers par convergence dominée puisque e b sin(θ b sin(θ cos(b cos θ e L 1 ([, π]. 1 De même, pour C 4, la paramérisaion x = a cos(θ, y = a sin(θ où θ varie de π à donne π ω = e a sin(θ cos(a cos θdθ C 4 qui ends vers π par convergence dominée puisque e a sin(θ cos(a cos θ 1 L 1 ([, π]. En résumé CQFD. = a + b + C ω = 2 sin(x x dx π

15 Z + sin( AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES L INTÉGRALE DE DIRICHLET d. 15 Exercice 11 : (avec la formule de Cauchy Pour R >, ε > on noe Γ R,ε le circui ci-dessous Γ R,ε 1 Calculer ΓR,ε e iz 2 Monrer que 3 En déduire que z dz. ε + e iz 1 dz = γ ε z sin( d = π 2. R + ε γr e iz z R dz =. Soluion : C es la version holomorphe de l exercice précéden. 3. Auour de l inégrale de Dirichle Exercice 12 : Soi f C ([, + [, R endan vers 1 en + e ( 2 sin(x ϕ(x := f( d. 1 Quel es de domaine de définiion de ϕ? Exprimez la ie L en + de ϕ(x/x en foncion d une inégrale. 2 Prouver que l on a ( 2 sin( + sin( L = d = d. Exercice 13 : (E3343 Monrer que 1 n n=1 1 n n=1 2nπ 2nπ sin( d = π π 2 log(2π, sin( d = π 2 π 2 log(π.

16 16 PATRICE LASSÈRE Exercice 14 : (Évaluaion du rese Monrer que pour ou x > : sin( d 2 x. x Exercice 15 : (E4286 Monrer que où γ es la consane d Euler. cos 2 (x cos(x dx = γ x 2 Exercice 16 : Lassère Parice : Insiu de Mahémaiques de Toulouse, Laboraoire E.Picard, UMR CNRS 558, Universié Paul Sabaier, 118 roue de Narbonne, 3162 TOULOUSE.7 mars 28 lassere@picard.ups lse.fr