LOGARITHME NÉPÉRIEN. I Définition - Propriétés - Relation fonctionnelle. Définition. Propriétés (voir démonstration 01) Rappel.

Transcription

1 LOGARITHME NÉPÉRIEN I Définition - Propriétés - Relation fonctionnelle e Rappel La fonction eponentielle est une fonction continue et strictement croissante sur IR. On a lim e = 0 et - lim e = +. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k ]0 ; + [, l'équation e = k a une solution unique dans IR. Cette solution est notée ln k. k ln k Définition On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel strictement positif, fait correspondre l'unique réel y tel que e y =. La fonction logarithme népérien est notée ln On notera : ln : ]0; + [ IR ln Remarques La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction eponentielle (de la même façon que la fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction carré sur [0 ; + [). On sait que e 0 = donc ln = 0 ; de même e = e donc ln e =. Propriétés (voir démonstration 0) Pour tout réel strictement positif, on a e ln = Pour tout réel, on a ln e = ln = 0 et ln e = ]0; + [ y = ln y IR e y = Eercice 0 (voir réponses et correction) Déterminer ln e 2 ; ln e -3 ; e ln 6 ; eln 2 + ln 3 Justifier que ln 6 = ln 2 + ln 3 Démontrer que ln 5 - ln 7 = ln 5 7 Eercice 02 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations : ln = 4 ; ln = -2 ; 3 ln = 2 ; ln + ln 5 - π = 0 Remarque On sait que la fonction eponentielle transforme une somme en produit, on peut alors penser que la fonction logarithme népérien qui est sa fonction réciproque, va transformer un produit en somme. TS Logarithme Népérien page / 5

2 Propriétés (voir démonstration 02) Pour tous réels a et b strictement positifs on a : ln( a b) = ln a + ln b ; ln a = - ln a ; ln a b = ln a - ln b ; ln a = 2 ln a Pour tout n ZZ, ln a n = n ln a Si a, a 2,..., a n sont n réels strictement positifs ( n IN * ), alors ln (a a 2 7 a n ) = ln a + ln a ln a n (Le logarithme népérien d'un produit de n nombres est égal à la somme des logarithmes népériens de ces nombres) Eercice 03 (voir réponses et correction) Écrire plus simplement : ln 4 - ln 7 ; ln ln 2 ; ln 00 5 ln 0 ln 8 - ln 2 + ln 5 ; ln ln 0,0 ; ln(3-2 2 ) + ln( ) Eercice 04 (voir réponses et correction) Démontrer que pour tout réel, on a : ln ( + e ) = + ln ( + e - ) Eercice 05 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR l'équation ln + ln ( - ) = ln 6 Eercice 06 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations : ln ( 2 + ) = ln + ln( + ) = Eercice 07 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR l'équation ln + ln (4 - ) = ln (2 - ) + ln 3 Eercice 08 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations ln + = - ln( + ) = - + ln( - ) - II Variations de la fonction logarithme népérien Propriétés (voir démonstration 03) La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0 ; + [ et on a (ln ) ' = La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [ > ln et 0 < < ln < 0 lim ln = + et lim ln = -. Le tableau de variations de la fonction ln est : ln - lim ln ( + ) Propriétés (voir démonstration 04) = (nombre dérivé en de ln ). lim ln = 0 et lim ln = 0 TS Logarithme Népérien page 2 / 5

3 On a vu que Courbe représentative lim ln = - La courbe (C) de la fonction logarithme népérien a pour asymptote verticale l'ae Oy. (C) a pour tangente au point d'abscisse la droite T d'équation y = -. (On peut justifier que (C) se situe au-dessous de sa tangente T) On a vu que lim ln = 0 Cela signifie que le logarithme népérien de croît infiniment moins vite que. Cela justifie que la courbe (C) a tendance à prendre une direction parallèle à l'ae (O) lorsque tend vers +. Les fonctions eponentielle et logarithme népérien étant réciproques l'une de l'autre, leurs courbes dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =. Eercice 09 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les inéquations suivantes : ln < 2 ln - ³ 0 ln (2 - ) + 0 Eercice 0 (voir réponses et correction) Résoudre dans IR les inéquations suivantes : ln > ln (2 - ) ln ( + e ) > 0 ln + e - e ³ 4 3 e 2 - O 2 e T y = (C) Eercice (voir réponses et correction) lim - ln lim ln Eercice 2 (voir réponses et correction) lim ln ( ) lim ln ( ) - Eercice 3 (voir réponses et correction) lim - ln lim + + ln 2 lim - + ln lim ln ( ) lim + + ln 2 Propriété ( admise ) Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction ln o u qui à associe ln ( u() ) est dérivable sur I, et on a : (ln o u) ' = u' ou encore (ln(u))' = u' u u. Eercice 4 (voir réponses et correction) f() = ln (3 - ) g() = 2 ln h() = ln( 2 ) TS Logarithme Népérien page 3 / 5

4 Eercice 5 (voir réponses et correction) f() = ln g() = ln ( + 2 ) h() = ln (2-2 ) Eercice 6 (voir réponses et correction) f() = ln - g() = 2 ln ( + ) h() = ln( + ) + Eercice 7 (voir réponses et correction) f() = ln(e + ) g() = 2 + (ln ) 2 h() = e ln Eercice 8 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f() = + ln Faire l'étude et la représentation graphique de f. Eercice 9 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f() = ln - 3(ln ) 2 Faire l'étude et la représentation graphique de f. Étudier le signe de f() pour ]0 ; + [. Eercice 20 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f() = ln ) Montrer que f est définie pour ]-2; 2[ et déterminer les limites de f en -2 et en 2. 2 ) Calculer f'() et donner le tableau de variations de f. 3 ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité cm. 4 ) Justifier que pour tout ]-2; 2[ f(-) = -f(). Que peut-on en déduire pour la courbe (C)? Eercice 2 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f() = ln( + e ). Donner l'ensemble de définition de f. Étudier les variations de f. Tracer la courbe (C) représentant f. Tracer sur le même graphique la droite D d'équation y =. Justifier que pour tout IR on a f() - = ln ( + e - ). En déduire que lim f() - = 0. Interpréter graphiquement cette limite. Eercice 22 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f() = - ln() On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j). ) Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par g() = ln(). Montrer que la fonction g est positive sur [ ; + [. 2 ) a) Montrer que, pour tout de [ ; + [ f'() = g() 2. b) En déduire le sens de variation de f sur [ ; + [. c) Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite D d'équation y =. 3 ) Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement M k et N k les points d abscisse k de (C) et D. a) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance M k N k entre les points M k et N k est donnée par M k N k = ln(k). Justifier que cette distance tend vers 0 lorsque k tend vers +. k b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k 0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance M k N k soit inférieure ou égale à TS Logarithme Népérien page 4 / 5

5 III Logarithme décimal Remarque La fonction logarithme népérien est particulièrement intéressante du fait de sa propriété de transformation d'un produit en somme. Mais comme on utilise, pour écrire les nombres, le système décimal, on lui préfère parfois une autre fonction possédant la même propriété de transformation de produit en somme mais prenant la valeur lorsque = 0 (et donc la valeur 2 lorsque = 00, la valeur 3 lorsque = 000 etc...) Cette fonction est appelée fonction logarithme décimal. Définition On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ]0 ; + [ par : log : ]0 ; + [ IR log = ln ln 0 Propriétés (voir démonstration 05) log = 0 et log 0 = Pour tous réels a et b strictement positifs on a : log(a b) = log a + log b ; log a = - log a ; log a b = log a - log b ; log a = 2 log a Pour tout n ZZ, log a n = n log a Remarques La fonction logarithme décimal est définie par log = k ln avec k = ln 0 Il est facile d'étudier ses variations et de donner sa courbe représentative. et par conséquent k > log - Les calculatrices possèdent une touche log correspondant à la fonction logarithme décimal. - O TS Logarithme Népérien page 5 / 5