Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP
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- Pierre Breton
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1 Cocours Commus Polytechiques - Sessio 11 Corrigé de l épreuve d aalyse- Filière MP Séries etières, équatios différetielles et trasformée de Laplace Corrigé par M.TRQI Eercice 1 1. La règle de D lembert motre que R = 1. 1 = et comme les deu séries rayo de covergece R = 1, alors. O a 1 et + 1 ot le même ou ecoure ] 1, 1[, S( = ] 1, 1[\{}, S( = l(1 + 1 (l(1 + + = 1 + (1 l( , et S( =. 3. Pour tout [, 1], o pose u ( = 1, o a u ( 1 et comme la série umérique 1 coverge, alors la série de foctios u coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, 1] et comme les foctios u sot cotiues sur [, 1], alors la foctio S est cotiue sur [, 1], e particulier Eercice 1 = 1 1 = 1 S( = L équatio différetielle (E s écrit ecore, pour tout >, y 3 y = 1 La solutio homogèe est y h ( = λe 3 l = λ 3 où λ R. Cherchos ue solutio particulière par la méthode de la variatio de la costate, e effet y p ( = λ( 3 est solutio de (E si et seulemet si λ ( = 1, doc λ( = 1 + µ où µ R. D où les solutios de (E sur ], + [ sot de la forme : y( = µ 3 où µ R.. Supposos que (E admet des solutios sur [, + [ et soit y ue parmi elles, alors il eiste µ R tel que y( = µ 3 pour tout >. Mais cette foctio est pas dérivable à droite de ( ue solutio de (E sur [, + [ est ue foctio dérivable à droite de, ce qui est absurde. Doc l esemble de solutios de (E sur [, + [ est vide. CCP11Maths1MP.te - page 1
2 Problème 1. Questio préiaire (a (i (ii (b (i = (ii UTOUR DE L TRNSFORMTION DE LPLCE Partie I : Eemples et propriétés. (a Soiet f et g das E et λ R, alors pour tout >, la foctio t (f(t + λg(te t est itégrable sur R +, doc f + λg E et par coséquet E est u sous-espace vectoriel de F(R +, R. (b Il est clair que F est u sous-espace vectoriel de F(R +, R. Motros que F E pour coclure. Soit f F, alors il eiste M > tel que t R +, f(t M et doc >, f(te t Me t et comme la foctio t e t est itégrable sur R +, alors il est de même de la foctio t f(te t et doc f E. (c Pour tout couple (f, g E et λ R, o a pour tout > : et doc L(f( = isi L est liéaire. 3. (a Soit >. L(U( = + (b Soiet > et >, alors : Doc + e λt e t = (f(t + λg(te t dt = L(f + λg = L(f + λl(g [ e e t t dt = [ e (λ+t e (λ+ = λ f(te t dt + λ ] ] = 1 g(te t dt = 1 (1 e (λ+ λ + e λt e t dt = 1 + λ et par coséquet h λ E et pour tout >, L(h λ ( = 1 λ Pour tout >, t + t e t =, doc o peut trouver > tel que t e t 1 pour tout t et doc t e t e t pour tout t, doc pour tout t, g (te t f(t e t, aisi t g (te t est itégrable sur R +, c est-à-dire g E. 5. Trasformée de Laplace d ue dérivée. Soiet R, (ε, (R +, ue itégartio par parties doe ε f (te t dt = [f(e f(εe ε ] + ε f(te t dt. CCP11Maths1MP.te - page
3 Or d après les hypothèses, les foctios f et f admettet chacue ue ite à droite e, d où e faisat tedre ε vers, o obtiet : ( f (te t dt = [f(e f(] + f(te t dt. Le terme à droite das la relatio ( admet ue ite fiie quad ted vers l ifii, car : f(te t dt eiste car f E. + + [f(e f(] eiste aussi car f est borée. E faisat tedre vers +, il viet pour tout >. 6. Régularité d ue trasformée de Laplace L(f ( = L(f( f(, (a Cosidéros la série de foctios u où u ( = Pour tout N, les applicatios +1 f(te t dt. et ϕ : [, + 1] ], + [ C (, t f(te t ϕ : [, + 1] ], + [ C (, t sot cotiues, doc U est C 1 et >, U ( = +1 tf(te t tf(te t dt Soit (a, b R tel que < b < a. lors pour a et t, o a tf(te t t f(t e at f(t e bt te (a bt. La foctio t te (a bt état cotiue sur [, + [ et ted vers à l ifii, doc elle est borée par ue costate positive K, d où a, o a avec v = +1 U ( +1 tf(te t K f(t e bt. tf(te t dt K +1 f(t e bt dt. La série v est covergete, car S = v k = k= f(t e bt dt f(t e bt dt = Kv, f(t e bt dt doc la série U est ormalemet covergete sur [a, + [. O a doc CCP11Maths1MP.te - page 3
4 N, U est C 1 sur ], + [. La série U coverge simplemet sur ], + [ vers L(f. La série U coverge ormalemet sur [a, + [. Doc L(f est C 1 sur ], + [ et pour tout >, ou ecore L(f ( = U ( = = ( tf(te t dt = L(f = L(g 1. g 1 e t dt, (b De même o peut motrer que L(f est de classe C sur ], + [ et que pour tout > et N, L(f ( ( = ( 1 t f(te t dt = ( 1 L(g (. Partie II : Comportemets asymptotiques de la trasformée de Laplace 7. (a Soit >, f est cotiue sur [, ], doc borée sur [, ] et il eiste M > tel que t [, ], f(t M et par suite Doc f(te t dt M f(te t dt =. e t dt M e t dt = M D autre part, Soit a > fié et > a, alors o a : f(te t + dt f(te at e (a t dt e (a f(te at dt Comme e(a =, il viet O e déduit que L(f( = f(te t dt =. f(te t dt =. (b Théorème de la valeur iitiale. D après la questio 5, o a pour tout >, et comme f est borée, alors 8. Théorème de la valeur fiale L(f ( = L(f( f( L(f = ( d après 7(a et doc L(f( = f(. (a Soit > tel que f(t 1 + l pour tout t et soit M = sup f(t ( f est cotiue t [,] sur le segmet [, ], alors f(t M pour tout t où M = ma(1 + l, M. isi f est borée et doc f F. CCP11Maths1MP.te - page 4
5 (b Soit u etier aturel. O a : h (d = = = ( e f ( e f a a d d, poser = a t e at f(ta dt = a L(f(a (c La suite de foctios (h N coverge simplemet vers la foctio le, qui est itégrable sur R + et pour tout N et R +, h ( Me, doc o peut appliquer le théorème de covergece domiée : a L(f(a = h (d = l e d = l. (d Si l, alors L(f(a l a et ceci pour tout suite à termes positifs qui coverge vers et doc L(f( l e. 9. (a O a, R( = f(tdt f(tdt, doc R est de classe C 1 sur [, + [ et R ( = f(. D autre part, f état das E, doc R aussi et par suite pour tout >, L(R( R( = L(R ( = L(f(, ou ecore L(f( = R( L(R(. (b O a R(t =, doc il eiste > tel que pour tout t, R(t ε. D autre part, ( L(f( R( = L(R( (c Soit α > tel que < < α etraîe R(t dt + R(t dt + R(t dt + ε R(te t dt + εe t dt εe t dt R(t dt ε et doc < < α = L(f( R( ε, aisi L(f( = R( et doc L(f se prologe e par R( = R(te t dt f(tdt. CCP11Maths1MP.te - page 5
6 1. (a La quatité 1 Partie III : pplicatio f(tdt est bie défiie puisque f est cotiue sur [, 1]. À l aide d ue itégratio par parties, o a pour tout 1 : 1 f(tdt = cos( + cos 1 1 cos(t t dt cos( + cos 1 = cos 1, et la foctio cos( + est itégrable sur [1, + [, car cos( 1 cos(t +, doc + 1 t eiste. Il e résulte que F ( = f(tdt eiste. (b O a : u = (+1π π si t dt t 1 (+1π si t dt ( + 1π π ( + 1π Comme la série harmoique est divergete, il est de même de la série u, ceci motre que l itégrale (c Soit >, alors ( si t dt est divergete. Doc f est pas itégrable sur R +. t ( (si te t dt = Im [ = Im e (i t dt e (i t i ] = (e ( si + cos 1 La foctio t (si te t est domié par la foctio itégarble t e t, doc elle est itégrable sur R +. 1 Le terme à droite das ( ted vers quad ted vers l ifii, aisi 1 + si(te t dt = + (si te t dt = si t (d Soit H( = dt avec >. H est C 1 sur [, + [ et admet ue ite fiie e +, t doc borée sur [, + [. Pour tout >, la foctio t H(te t est itégrable sur ], + [ et t + H(te t =, doc par ue itégratio par parties d où >, ( f(te t dt = L(f( = L(H( H(te t dt La trasformée L(H est défiie au mois sur ], + [ et cotiue sur ], + [ : e effet, si o fie >, la foctio t H(te t est itégrable sur ], + [ et ue domiatio évidete motre la cotiuité de L(H sur [, + [. Grace à (, o déduit la cotiuité CCP11Maths1MP.te - page 6
7 de L(H et doc de L(f sur ], + [. Efi L(f( = f(tdt = H(t = L(H = L(f(. t + t si t Cosidéros la foctio Φ : e dt qui est cotiue sur [, + [. Motros t que Φ est C 1 t si t sur ], + [, e effet, posos g(, t = e. O a g t (, t = e t si t et si > a o a g (, t e at, ceci prouve que Φ est C 1 sur [a, + [ pour tout a >, doc sur ], + [ et Doc Φ( = c arcta. Or Φ ( = aisi c = π, d où >, Φ( = π Φ( =, car e t si t = si t e t t e t et doc Φ( 1, arcta et comme Φ( = Φ(, alors si t dt = π t. CCP11Maths1MP.te - page 7
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