ÉLECTROMAGNÉTISME. Le référentiel est supposé galiléen. La relation fondamentale de la dynamique s écrit donc

Transcription

1 pé ψ - evoi n ÉTROMANÉTIM 3A MP 9 Aa Pou cée un champ électique dans un conducteu, il faut applique une difféence de potentiel ou tension ente ses extémités On peut aussi applique un champ magnétique vaiable ou déplace le conducteu dans un champ magnétique constant b ans le éféentiel lié au éseau atomique, un électon est soumis : à son poids (que l on néglige devant les autes foces) ; à la foce f ( e) de la pat du champ électique ; m à la foce de fottement f v τ e éféentiel est supposé galiléen a elation fondamentale de la dynamique s écit donc dvt m m ( e) v τ dvt v e soit encoe + τ m c est une équation difféentielle linéaie du pemie ode dont la solution généale est de t e v τ τ t Ae m Il appaaît la duée caactéistique τ du égime tansitoie et la vitesse en égime établi e v τ m d e couant électique est un phénomène de tanspot convectif donc la densité de couant J n e v n égime établi, il este J n ( e ) v ne τ soit J m la fome / est de la fome intensité étant le flux de J, l unité de celui ci est donc homogène à une intensité pa unité de suface et son unité est A m - ne τ e On constate que l on a bien la loi locale d Ohm J γ en posant γ m AN γ ( 8 )( 9 8,,6 ) ( 7,7 5 ) 3 ( 9, ) 3,7 7 Ω m Aa équation du mouvement est linéaie donc on peut cheche des solutions paticulièes sinusoïdales de pulsation sous fome complexe en notant v Ve On obtient i t it it Ve e it e τ e i Ve + e d où i+ V puis V τ m τ m m( +τ i ) On définit alos la densité de couant complexe ne τ On econnaît la loi locale d Ohm et l on peut pose ( i ) Γ ( ) J n ev m( +τ i ) γ +τ i pé ψ - page /9 evoi n

2 γ b On a Γ( i ) est une fonction décoissante de On peut tace la coube +τ en coodonnées linéaies ou en coodonnées logaithmiques Γ /γ log( Γ /γ) log(ω / ) log(/ ) 3d / Ω On a les fomes asymptotiques suivantes donc pou << /τ, Γ( i ) γ ; pou >> /τ, ( i ) γ Γ τ Il appaaît donc la pulsation de coupue Ω /τ AN Ω,4 4 ad s ette pulsation est tès élevée On peut considée que pou des féquences usuelles du couant, la conductivité du métal est un éel indépendant de la féquence Aa es équations de Maxwell s écive, dans le milieu métallique : T ( Mt, ) T ( Mt, ) div ( T ) ρ/ ε, div( T ), ot ( T ) ; ot ( T ) J( Mt, ) +ε omme le champ électique ne dépend que de z et est poté pa x div T On a donc ρ dans le conducteu (non pafait) e, on a omme J( zt, ) γ T ( zt, ), on a J / ε γ/ ( ε ) >> pa hypothèse donc l équation de Maxwell-Ampèe se éduit à ot ( T ) J( Mt, ) T b a condition ε << J( Mt, ) s appelle l ARQ magnétique c a épatition de couant étant a pioi dans tout le volume du conducteu et décite pa J dans un modèle 3, il n y a pas de densité su l inteface métal-vide On a donc continuité de la composante tangentielle de, c est-à-die de puisqu ici, il n a pas de composante nomale On peut donc écie T(, + t) I(, t) Aa Avec les expessions T T ( zt, ) ex et T T ( zt, ) ey, l équation de Maxwell- T( zt, ) T( zt, ) Faaday devient ey ey et celle de Maxwell-Faaday z T ( zt, ) ex γ T ( zt, ) ex z pé ψ - page /9 evoi n

3 On déive la pemièe pa appot à z et la deuxième pa appot à t, on touve T( zt, ) T( zt, ) T( zt, ) T( zt, ) et γ z z z (, ) (, ) T zt T zt omme, il vient z t t z Avec ( zt) f ( z) ( i t) T, exp, il vient b équation caactéistique d f dz (, ) (, ) T zt T zt γ z ( z) γ i a pou acines δ γ a solution de l équation difféentielle est donc γ i f z apès simplification pa + i ± γ z z z z + i i δ δ δ δ f z Ae + e i t e + i ± en posant δ On constate que lim z z δ Ae + z i δ ce qui n est pas possible physiquement On en déduit A z z Il este donc f ( z) e δ i δ z / δ puis T ( zt, ) e exp i( t z/ ) z/ δ la patie éelle est ( zt, ) e exp i( t z/ δ+ϕ ) T T, j δ n posant T,e ϕ, donc a gandeu δ est homogène à une longueu ca l agument z/δ est sans dimension δ epésente la distance caactéistique d atténuation des champs On l appelle épaisseu de peau AN δ ( 4π )( 3,7 )( π ) 8, 5 m soit δ 83 m c δ décoît losque augmente Pou un conducteu pafait tel que γ est infini, on obtient δ Il n y a aucune pénétation des champs d Pa définition du vecteu de Poynting, la puissance instantanée qui tavese une suface ( Mt, ) ( Mt, ) est P R n d avec R( Mt, ) es expessions éelles des champs conduisent alos à (, ) cos t ( t) R Mt ex ey cos ez n penant une suface pe- pendiculaie à z ( t ) P cos c omme c e, il vient P c ( t) ( t) t e e d cos z z c cos /, la puissance moyenne pa unité de suface est omme ε /c, on peut écie aussi ε c PI cos d c soit P I c e δ est homogène à une longueu et à l invese d un temps donc δ est homogène à une vitesse comme c Tous les temes des sommes sont homogènes ente eux et le appot est sans dimension pé ψ - page 3/9 evoi n

4 ( δ c) + c On a PT P I ( δ+ c) + c (( δ+ c) ( δ c) )(( δ+ c) + ( δ c) ) ( c)( δ) P I ( δ+ c) + c ( δ+ c) + c ( δ+ c) ( δ c) ( δ+ c) + c PI 4δc P I soit P T P I ( δ+ c) + c hypothèse γ >> ε se taduit pa γ>> soit >> ou encoe δ << c a c δ c elation pécédente devient donc P 4δc T I c P δ c P soit P I T εδ ette puissance est absobée pa le conducteu puis dissipée pa effet Joule PT δ On a << a puissance tanspotée pa l onde incidente ne pénète patiquement pas dans le conducteu ce qui justifie a pioi le choix de ce type de matéiau pou éalise un PI c blindage électomagnétique N A3a e champ magnétique à l intéieu du solénoïde est Iez b e flux à taves une spie oientée comme e z est : Φ nd PIR omme est unifome su la suface, il este Φ : PIR N I e z N e z d I avec π e flux pope total à taves le solénoïde est Φ NΦ PIR soit Φ π Σ N I Pa définition du coefficient d auto inductance, on a : Φ/I On touve donc ici π N N c e champ cée pa la gande bobine dans la petite est toujous Iez donc son flux à taves une spie de la petite bobine oientée comme e z est est donc NN' Φ ' I π' N I Φ ' PIR π ' e flux total Pa définition du coefficient d inductance mutuelle, on a M : Φ /I On touve donc ici On en déduit α NN' π ' M NN' div et d ans l ARQ magnétique, le champ magnétique véifie les équations ( T ) ( T ) J( Mt) ot, comme en magnétostatique donc l expession du champ magnétique cée pa la bobine est la même es ésultats pécédents ne sont donc pas modifiés i(t) A3a On dessine le cicuit avec l intensité oientée On est en égime sinusoïdal donc on utilise les impédances complexes On peut R R écie ( R+ R ) I + i I d où I ( R+ R ) + i e pé ψ - page 4/9 evoi n

5 est On en déduit I On obtient i b On a ( R+ R ) + ( ) m cos( t) R+ R + u t ( ) e et tan /( R R ) en posant ϕ ϕ + I e ( ( R R) ) ϕ actan / + di t soit, en amplitude complexe i / R+ R qui est bien de la fome demandée en posant + i / R + R On a / + / donc et ii R+ R i R+ R + i donc On a un filte passe-haut On constate que le champ électique et le champ magnétique n ont pas le même compotement vis-à-vis de la féquence à basse féquence mais décoissent de la même manièe audessus d une féquence citique de l ode de 6 Hz e champ électique ne pénète pas dans la cavité à basse et à haute féquence Il est maximum dans la cavité au voisinage de la féquence citique Pou des féquences inféieues, l augmentation du champ est de l ode de +5 d pa décade Pou des féquences supéieues, la décoissance du champ est de l ode de 75 d pa décade e champ magnétique pénète dans la cavité à basse féquence mais pas à haute féquence Il décoît constamment dans la cavité si la féquence augmente, avec deux pentes bien distinctes : pou des féquences inféieues à la féquence citique, la décoissance est de l ode de d pa décade ; pou des féquences supéieues, la décoissance est de l ode de 75 d pa décade ( Mt, ) équation de Maxwell-Faaday s écit ot ( ) u la suface d aie oienté comme e y, on peut écie ot ( ) nσ( M) d nσ ( M) d ot nσ M d τd l e champ Avec le théoème de tokes, il vient τ d l t est tangent au contou en tous les points de celui-ci et sa valeu algébique unifome donc avec l oientation choisie Σ Σ d n M d n M d ca les opéateus et commutent nσ M d t ey ed y ca puisqu ils potent su des vaiables indépendantes Mais le champ magnétique est supposé unifome à l intéieu Il este Σ n M d t d n epotant, on obtient ette équation est linéaie donc on peut utilise les epésentation complexe On en déduit i ou encoe + i pé ψ - page 5/9 evoi n

6 3 On a,v et + ( γ h ) On constate + ( γ h ),V et,v d une pat et,v et,v es limites sont confomes aux ésultats expéimentaux,v log / γ h pé ψ - page 6/9 evoi n i / 4 Posons, on peut alos écie,v γ h γ h i / i / On en déduit : log log( ) log log,v (,V ) log γ h log( ) log ( ),V / γ h et et (,V ) ( ) ( /) log log log allue des coubes est indiquée ci-conte AN 4 ( 3 ) ( 4π )( 3,7 )(, )( 3 ) 434 ads soit f 8 Hz π 5 On constate que ce modèle ne pévoit pas coectement l allue des coubes (il manque la décoissance de à haute féquence ni la valeu de la féquence de coupue a a coube de,ff seule monte que cette tension est faible aux basses féquences même en l absence de blindage e champ induit est faible aux basses féquences Il vaut donc mieux tace le appot des tensions avec et sans blindage pou ne voi que l effet de celui-ci a coube de FF, / FF,A monte que le blindage agit comme un filte passe-bas ayant une féquence de coupue de l ode de khz b δ ( 4π )( 3,7 )( π ) 8,3-4 m soit,83 mm On a donc δ >> h onde électomagnétique pénète donc coectement à cette féquence e n est pas l effet de peau qui povoque l effet de blindage a Puisque la tension induite aux bones de la bobine est due uniquement à la vaiation du flux magnétique envoyé pa () à taves (), on peut écie u M où i (t) est le di couant ciculant dans la bobine n égime sinusoïdal on a donc im I n utilisant la im,a M question A3a, on obtient soit Avec les ( R + R) + i R + R + expessions de M et de touvées aux questions A3b et A3c, on obtient,a N N log log(/ ),V π π R + R + N N N π N ( R + R) π N + ( R + R) et

7 On constate que,a coespond bien à un filte passe_haut comme la coube expéimentale n notant π ( R + R ) N, on obtient N, A N ( / ) + / Avec π N R + R /, on peut écie ( + 5) AN 6 ad s soit f 3 99 Hz ette valeu est cohéente avec la valeu expéimentale de f a a cause du champ électique est ici le champ magnétique vaiable dans le temps Il est unifome dans la bobine et poté pa e z Il est donc invaiant pa antisymétie pa appot au plan contenant O, M et e z Il en est de même de ( Mt, ) qui est donc poté pa eθ ( M) On peut Mt, zt,, eθ M écie e champ magnétique est invaiant pa tanslation le long de e z donc ne dépend pas de z e champ magnétique est invaiant pa otation d un angle θ quelconque autou de e z donc ne dépend pas de θ Remaque : il n y a pas invaiance du champ magnétique le long de e ca il n a pas la même valeu losque l on sot de la bobine On obtient donc ( Mt, ) θ ( ) eθ ( M) et, d apès la loi locale d Ohm, J Mt, γ eθ M θ b On intège l équation de Maxwell-Faaday su la suface qui s appuie su un contou ciculaie de ayon, oienté comme me eθ, ot ( ) nσ( M) d nσ ( M) d ot nσ M d τd l eθ ed θ l t π Σ Σ d n M d n M d n epotant, on obtient t e ed pé ψ - page 7/9 evoi n d t π π z z t π n amplitude complexe, on obtient i puis J γ i intensité qui tavese une longueu l de conducteu est i J ed θ + h J t, eθ edd θ J t, d l dl omme h <<, on peut considée l que J est unifome et a sa valeu pou On obtient alos (, ) + h l l (, ) i t J t d d J t h l dl ans le modèle de distibution sufacique, on écit i t J t l dl + h J l J l

8 J n compaant les deux expessions, il vient J (t) J(, t) h soit, en amplitude complexe, h γ i On obtient bien une elation de la fome poposée en posant α γ h c e champ magnétique est tangent à l inteface métal-ai où cicule la densité de couant J a condition de passage s écit donc, en un point M de la suface, XT Mt, Mt, J M e M soit, en pojection, ( Mt, ) ez ( Mt, ) ez J eθ e( M) XT d où, en epésenta- tion complexe, XT J α i On obtient donc bien de la dome demandée en posant Ω /( α) qui est + i α XT d Ω ' ( 4π )( 3,7 )(, )( 6 ) , 4 ad s soit f 5 khz e On a monté R + R / à la question a a condition << Ω peut donc s écie R + R << Ω Au voisinage de la pulsation Ω, les ésistances sont négligeables devant l impédance de la bobine f e flux magnétique à taves la bobine est dû au champ la section de ayon et au champ XT flux est donc, en amplitude complexe, ( ) intéieu au cylinde su extéieu au cylinde, de à Pou les N spies, le Φ N π + N π g À l intéieu de la bobine ne ègne que le champ Φ N π et la tension est donc u N d t XT donc le flux à taves est π soit, en amplitude complexe, N π i Avec N π i + N π ( ) i XT On en déduit N π i N π i + N π i β, de la fome poposée en posant ( ) h On a monté, XT XT + XT qui est à la question c donc + i α +β ( )( + i α ) +β (, ) + i αβ(, ) soit pé ψ - page 8/9 evoi n

9 H et + β, +β, ( ) β (, ) + i + (, ) ( ) α β On a bien la fome poposée en posant ou encoe H + +β(, ) +β(, ) Ω ' Ω ' α β (, ) β (, ) + β(, ) 4 AN ( 3,536 ) (,8) (,8) (,) soit H On etouve bien la valeu obtenue expéimentalement ou encoe Ω 8,4 4 ad :s soit f 3 khz ' pé ψ - page 9/9 evoi n