Le calcul posé en cycle 3

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1 Le calcul posé en cycle 3 La numération au service des opérations et de leurs techniques Addition soustraction multiplication division Situations donnant «sens» aux opérations dans deux domaines Résolution de problèmes Compréhension et justification de la technique La division euclidienne Division-groupement (CE2) En a combien de fois b? Division-quotition (CM1) On cherche combien de fois on peut mettre «b» dans «a» «Des objets valent 23 euros l unité ; j en achète pour 276 euros. Combien en ai-je acheté?» «Des baguettes identiques mesurent 23cm chacune. La longueur totale des baguettes juxtaposées est 276cm. Combien a t on mis de baguettes?» Division-partage (CE2) Partage successifs des centaines, dizaines, unités du dividende Division-partition (CM1) On cherche la valeur d une unité quand on connaît la valeur d une totalité «12 objets valent 276 euros. quel est le prix d un objet?» «Quand on met 12 baguettes bout à bout, la longueur totale est de 276cm. Quelle est la longueur d une baguette?» 1

2 Représentation mentale et calcul A- On dispose de 171 objets et on fait des groupes de 25 Combien de groupes peut-on former? Représentation : quotition Calcul économique : quotition (combien de fois 25 dans 171? 6x25=150 q = 6 et r = 21) B- On partage équitablement 171 objets entre 25 personnes Combien d objets chacune aura t elle? Représentation : partition Calcul économique : quotition C- On partage équitablement 587 objets entre 3 personnes. Combien d objets chacune aura t-elle? Représentation : partition Calcul économique : partition (partage de 500 puis de 280 puis de 17 q = 195 et r = 2) D- On dispose de 587 objets et on fait des groupes de 3 Combien de groupes peut on former? Représentation : quotition Calcul économique : partition Les situations A et C pourront être choisies pour présenter l introduction de la «division» et l écriture associée «a : b». Si les problèmes de partage et donc les situation-partition sont le plus souvent reconnues dès le CE2, on pourra partir des situations-quotition en CM1. 2

3 Du calcul réfléchi à la technique Le partage du trésor (CM1) 1 ère séance (période 4) (Ermel) Première phase Présentation collective : 970 pierres à partager entre 8 pirates Représentation imagée Par groupe de deux, en calcul mental Appropriation de la consigne : 1 ou 2 minutes «Très vite vous allez me dire combien je peux prendre de pierres pour en donner autant à chacun et combien chacun en recevra» Mise en commun On range les propositions par ordre croissant Le plus grand est retenu (100?) On continue la distribution On vérifie que A=B x Q+R avec R<B On reprend avec d autres nombres sans chercher à optimiser la démarche Deuxième phase avec Calculette Reprise avec 2592 pierres et 13 pirates Calculette autorisée mais trace écrite de l affichage On trouve 199 pierres, reste égal à entre 37 pirates Calculette obligatoire (touche division euclidienne) Troisième phase : Calcul réfléchi Nombres partageables ou non : 198, 200, 450, 999 en 9 Partage exact, justification, reste Expliciter les décompositions Ex : 560 = partagé en 5 q = = 112 Lien entre décomposition et calculatrice pour vérifier Combien de fois 1000, 100? Ex : dans 3425 pierres et 5 pirates, peut-on donner 1000? 100? 3

4 2 ème séance (période 5) : Vers l algorithme Première phase : Présentation de la disposition usuelle 1355 pierres entre 8 pirates (Sans calculette) Passage de la représentation imagée à la disposition habituelle (reprise) ème séance CM1 Première phase Deuxième phase : Optimisation du calcul Diviser 1000, 2525, 252 par 6 en faisant le moins de soustractions possibles Lors de la mise en commun optimisation du calcul avec une soustraction pour chacun des rangs la recherche du nombre de chiffres au quotient au départ Troisième phase Diviseur à plusieurs chiffres 364, 5240, 11294, 5185 par 14 et mise en commun. Calcul réfléchi de produits et de quotients Jeu de la cible CM2 Première phase (1 minute) Combien de sauts «b» faut-il effectuer pour s approcher le plus possible d une cible A sans la dépasser? J ai atteint en faisant bonds (nombre de bonds = nombre de points) Deuxième phase S approcher de A sans le dépasser, par bonds de «b» Mental : (5, 109) (8,881) (4,85) (9,930) Ecrit : (7,150) (8,200) (8,1000) (7,1000) Arriver à la formulation «En..combien de fois» 4

5 Partage du trésor CM2 Reprise du scénario CM1 avec 1000 pièces d or à partager entre 6 pirates. Puis pour avancer vers l algorithme de la division euclidienne, le trésor se présente maintenant en billets et pièces. Première phase Par groupe de 3 Partager réellement une somme de 4122 sous la forme 4M, 1C, 2D, 2U entre 3 personnes «Vous devez vous partager équitablement cet argent, je suis banquier, vous pouvez me demander de la monnaie mais le moins possible» Reprise avec 5201 par 3 Reprise mentalement par groupe de 3 Reprise en partage en 6, 7, 8 ou 9 Partage Donner à chacun Reste Monnaie 4M 1M 1M 10C 11C 3C 2C 20D 22D 7D 1D 10U 12U 4U 0 Mise en service de la «feuille de partage» Partager 8563 entre 7 8M 5C 6D 3 U M Partage 8M Donne 1 M à chacun Reste 1M 1M = 10 C C Partage 15 C Donne 2 C à chacun Reste 1C 1C=10D D Partage 16D Donne 2D à chacun Reste 2D 2D = 20U U Partage 23U Donne 3U à chacun Reste 2U Résultat du partage : Vérification : (1223x7)+2 = à chacun reste 2 5

6 Passage à la disposition usuelle M C D U M C D U M M C D U C D U Aides M 1000 x 7 = x7 = C 100 x 7 = x 7 = x7 = 2100 D 10 x 7 = x 7= x 7= 210 U 2 x 7 =14 3 x 7 =21 4 x 7 = 28 Division par un nombre à deux chiffres x10= x100=2700 X c d u 27x1000= x200= x300= X

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