p( x 1 RESISTANCE DES MATERIAUX II THEORIE DES POUTRES A. ALLICHE Maître de Conférences Paris 6

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1 p( x ) x x M T RESISTNCE DES MTERIUX II THEORIE DES POUTRES Maître de Conférences Pars 6

2 SOMMIRE I - STTIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES INTRODUCTION - DEFINITIONS DES POUTRES ET DES EFFORTS DE L RDM 4 - EQUTIONS D'EQUILIRE DNS LES POUTRES. 5 4 EFFORTS INTERIEURS 7 II - CRCTERISTIQUES DES SURFCES ET DES SECTIONS DROITES DES POUTRES 4 - IRES ET RYCENTRE D UNE SECTION DROITE 4 MOMENT STTIQUE D UNE SURFCE 5 MOMENT QUDRTIQUE D UNE SURFCE PLNE. 6 4 MOMENT QUDRTIQUE POLIRE 7 5 MOMENT PRODUIT 8 III - ETT DES CONTRINTES DNS UNE SECTION DROITE DE POUTRE 9 CS GENERL 9 PRINCIPE DE SINT VENNT 9 4 CONTRINTES DUES L EFFORT TRNCHNT IV - CLCUL L TORSION DES POUTRES DROITES PLEINES 6 INTRODUCTION 6 ETUDE DES DEFORMTIONS ET DES CONTRINTES 6 FONCTION DE CONTRINTE 8 V - LOIS DE COMPORTEMENT DNS LES MILIEUX CURVILIGNES INTRODUCTION LOI DE COMPORTEMENT POUR LES POUTRES DROITES. RECPITULTIF 7 4 CS DES STRUCTURES PLNES CHRGEES DNS LEUR PLN 7 VI - METHODES ET THEOREMES ENERGETIQUES 4 GENERLITES. NOTIONS DE SYSTEME DE FORCES GENERLISEES. 4 THEOREME DE CLPEYRON 4 THEOREME DE RECIPROCITE DE MXWELL-ETTI. 4 4 THEOREME DE CSTIGLINO 46

3 I - STTIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES Introducton Une poutre est engendrée par une secton drote plane dont le centre appartent à une courbe (C) appelée lgne moyenne du solde. La théore des mleux curvlgnes élastques adopte l'hypothèse selon laquelle la poutre peut-être modélsée par la courbe (C). L'ensemble des efforts applqués sur la surface est reporté sur la lgne moyenne. Le calcul en est ans smplfé. La statque des poutres permet d'accéder, moyennant quelques hypothèses, aux efforts locaux de cohéson dans le solde. Les équatons de l'élastcté trdmensonnelle sont utlsées pour détermner la dstrbuton de ces efforts le long de la lgne moyenne précédemment défne. Cette analyse tent compte d'un certan nombre d'hypothèses de RDM adoptées pour les poutres : hypothèse des pettes déformatons. On suppose que les efforts sont applqués sur la confguraton déformée. hypothèse du comportement élastque lnéare prncpe de superposton des effets des forces. Les effets (contrantes, déformatons et déplacements) en un pont d'une poutre soumse à pluseurs forces extéreures sont la somme des contrantes, déformatons, déplacements provoqués par ces sollctatons prses solément. prncpe de Sant Venant : Dans une secton élognée des ponts d'applcaton des forces concentrées (forces données et réactons d'appu), les contrantes et les déformatons ne dépendent que de la résultante et du moment du système de forces dans cette secton. Ce prncpe sgnfe que s l'on est suffsamment élogné du pont d'applcaton des efforts, les contrantes et les déformatons et déplacements ne dépendent pas de la manère dont on les applque. hypothèse de Naver-ernoull : près déformaton de la poutre, les sectons drotes normales à la fbre moyenne restent planes et orthogonales à la fbre moyenne déformée. Domane de valdté des hypothèses de la RDM. Pour que les hypothèses de la RDM pussent s'applquer on dot vérfer certanes condtons :

4 4 l'élancement (rapport de la longueur de la poutre sur la hauteur de la secton) dot rester dans un ntervalle de 5 à 4 (entre la corde et un solde trdmensonnel). le rayon de courbure ne dot pas être trop pett. Les caractérstques des sectons drotes ne dovent pas varer trop rapdement le long de la secton drote. lgne moyenne Secton drote Fgure I - Mleu curvlgne - Défntons des poutres et des efforts de la RDM Conventon d'orentaton Pluseurs conventons d'orentaton exstent pour le repérage géométrque et la défnton des efforts agssant dans la poutre. Pour défnr le repère local sur chaque secton, on défnt le pont G comme étant le centre de gravté de la secton drote le long de la fbre moyenne. On note s l'abscsse curvlgne le long de la poutre. Le repère local en tout pont de la fbre moyenne est défn par ; x, x, ) x tangent à la fbre moyenne au pont G x est défn de la manère suvante : x dog = (I-) ds x et x sont les axes prncpaux de la secton drote on note x s), x ( s), x ( ) les coordonnés du centre de gravté G(s) ( s ( x G :

5 5 x parte drote x parte gauche s x Fgure I - Lgne moyenne pour un mleu curvlgne Torseur des efforts de lason dans les poutres On défnt le torseur des efforts ntéreurs pour une secton (S) comme le torseur des efforts exercés par la parte drote sur la parte gauche. Ce torseur est donné par sa résultante applquée en G et son moment résultant G M G défn au pont G. R = Nx + T x + T x (I-) N est l'effort normal à la secton S, on l'appelle auss tenson. N > état de tracton N < état de compresson T et T sont appelé efforts tranchants sur la secton S. De même pour M, nous avons les défntons suvantes : M est le moment de torson G M et M sont les moments de flexon. Les dfférentes composantes de M = Mx+ Mx + Mxx (I-) G R G et M G sont donc propres à une secton drote donnée. Dans le cas des problèmes plan, on a T =, et M = M =. R, peuvent dépendre de l'abscsse curvlgne s. Elles G - Equatons d'équlbre dans les poutres. Hypothèses sur les efforts extéreurs applqués

6 6 Les efforts applqués sont constants ou quas statques, c'est-à-dre qu'ls varent lentement dans le temps. Nous néglgeons les effets dynamques. Pendant le passage de l'état ntal à l'état déformé, on consdère que la poutre passe par une successon d'états d'équlbre. Dans le cas de la statque on rappelle le prncpe fondamental de la statque sous forme de condton sur les efforts extéreurs : { est } Q R = = (I-4) M Q = Remarque : Dans le cas où le torseur est exprmé en un autre pont de l'espace, on peut applquer la formule de transport. Sot P ce pont, nous avons alors: { est } P = R M P = M Q + PQ R (I-5) G ctons mécanques extéreures S on sole une poutre, on appelle acton mécanques extéreures les actons applquées par le mleu extéreur sur la parte solée; On dstngue deux types d'actons mécanques extéreures : les charges : ce sont les efforts de servce auxquels est soumse la poutre. les actons de lason : ce sont les actons mécanques exercées par les lasons. p R R Fgure I - Chargement extéreur sur un solde curvlgne Les charges sont des données du problème et donc connues, les actons des lasons sont les nconnues du problème. Dans l'exemple précédent, R et M sont les nconnues du problème et p une charge. Les charges

7 7 On dstngue : - les charges concentrées. Le torseur des forces est applqué en un pont. Dans l'exemple la charge F = F x correspond à un glsseur défn en. - Les charges répartes: ce sont les forces répartes à densté lnéque applquées sur la poutre ou sur un tronçon de poutre. Les actons de lason La poutre est mantenue en équlbre en parte grâce aux lasons avec le mleu extéreur. On assoce à ces lasons des torseurs d'acton défn conventonnellement au pont de la lason en queston. Sur le solde de la fgure I -, le torseur de l'acton de la lason en est défn par : { } lason ( S ) R = M = (I-6) Les torseurs des lasons sont décrts dans le cours de RDM. 4 Efforts ntéreurs Relaton entre torseur des charges extéreures et torseurs des efforts ntéreurs Pour accéder aux efforts de cohéson (efforts ntéreurs), et dans l objectf d applquer le prncpe fondamental de la statque, on opère une coupe dans le mleu curvlgne étudé. Le mleu curvlgne est modélsé par sa lgne moyenne (C). Consdérons une poutre en équlbre sous l acton des efforts extéreurs (charges et actons de lason). On opère une coupure au pont courant G (centre de la secton drote d abscsse curvlgne s). Cette coupure dvse le mleu en deux partes (C - ) et (C + ).

8 8 (C - ) (C + ) G (C - ) G M G R G Fgure -4 Coupure dans une poutre modélsée par sa lgne moyenne Les efforts ms en jeu sur la poutre () sont : { ext } représentant le torseur résultant des efforts extéreurs applqués sur la parte (C - ) { ext } + représentant le torseur résultant des efforts extéreurs applqués sur la parte (C + ) { G } le torseur d acton de la parte (C + ) sur la parte (C - ). C est donc le torseur des efforts ntéreurs en G. Le prncpe fondamental de la statque applqué à la poutre () s écrt sous la forme suvante : L équlbre du tronçon (G) s écrt : + { ext } + { ext ( S )} = (I-7) { } + { ext } = (I-8) G Ce qu donne la valeur du torseur des efforts ntéreurs en G : + { } { ext } = { ext ( S )} G = (I-9) S l on ramène G au pont pus au pont, on a alors :

9 9 { ( x x )} G = = M { ( x x )} G R R = = M (I-) Le torseur des efforts ntéreurs{ G} peut être explcté de la manère suvante : { G } = vec les défntons suvantes : R = Nx + T x + T x G = + + M G Mx Mx Mx (I-) N est l effort normal. S N>, la poutre subt un effort de tracton au pont G. S N<, la poutre subt un effort de compresson. T est l effort tranchant suvant x, T est l effort tranchant suvant x. T = T x + T x est le vecteur effort tranchant dans le plan de la secton drote. M x est le moment de torson. M x est le moment de flexon suvant x et M xest le moment de flexon suvant x. M () s = M x + M x est le vecteur moment de flexon en G dans le plan de la secton drote. Calcul des efforts ntéreurs. Le tronçon de poutre () précédent est consdéré comme une parte d une poutre de plus grande dmenson. Les efforts extéreurs qu s applquent sur () sont alors les suvants : p() s Une densté lnéque d efforts représentée par le torseur ms () R L acton du reste de la poutre au pont représentée par le torseur M R L acton du reste de la poutre au pont représentée par le torseur M Le tronçon () étant en équlbre, on peut écrre que la somme des torseurs des efforts extéreurs est nulle. Pour la résultante :

10 Et pour les moments au pont O : R + R + p() s ds= (I-) M O R + M + O R + m() s ds + OG p() s ds = (I-) Par alleurs le torseur T G dépend de la varable curvlgne s, on peut donc écrre les égaltés suvantes : De même : drg R R d ds = s (I-4) dmg M M d ds = s et (I-5) dog ( RG ) O R O R = ds ds (I-6) Ces tros équatons combnées aux équatons d équlbre écrtes précédemment permettent d obtenr les équatons d équlbre local de la mécanque des mleux curvlgnes : drg + ps () = ds dmg d( OG RG) + + ms () + OG ps () = ds ds En développant la dérvée du produt vectorel on obtent les équatons : dr ds dm ds G G + ps () = (I-8) + x R + m() s = G (I-7) Cas d un problème plan : Les composantes du torseur des efforts de cohéson s écrt dans le cas d un problème plan : RG = Nx+ Tx (I-9) M G = Mx

11 x G x x x x Fgure I 5 : Défnton du repère local et repère global Cas d un problème plan Les expressons des équatons d équlbre local devennent : dn T + p = ds ρ dt N + + p = ds ρ (I-) dm + T + m = ds s est l abscsse curvlgne, ρ est le rayon de courbure de la poutre. pplcaton aux cas de poutres drotes et crculares Poutres drotes Dans le cas de poutres drotes les équatons d'équlbre précédentes se smplfent. Le rayon de courbure devent nfn et la varable curvlgne ds est remplacée par la varable d'espace dx suvant la drecton x. Nous avons alors le système d'équatons suvant dans la base locale et globale qu possèdent mantenant les mêmes drectons respectves : dn + p = dx dt + p = dx dm + T + m = dx (I-)

12 Poutre crculare De nombreux soldes peuvent être modélsés par des structures en arc et plus généralement sous forme de cerceau chargés sur leur pérphére. Pour ce type de solde le rayon de courbure est constant et le repère local précédemment défn peut être orenté de telle façon à parcourr la poutre dans le sens trgonométrque postf. Ce qu oblge à orenter x tangent dans la drecton crossante de θ et x vers le centre de l arc. Exemple de calcul : x x θ P p Fgure I -6 : Cerceau soums ouvert soums à un chargement radal Dans ce cas les équatons d équlbre portant sur les efforts ntéreurs s écrvent : dn T + Rp = dθ dt + N + Rp = dθ dm + RT + Rm = dθ Dans l exemple de la fgure I - 6 : dn T = () dθ dt + N + Rp= () dθ dm + RT = () dθ (I-) (I-)

13 ttenton : La composante de l effort réparte est postve compte tenu de l orentaton de x (vers le centre du dem-cercle) Nous obtenons une équaton dfférentelle après avor dérvé l équaton () par rapport à θ et remplacé dans () : d N N R dθ + = p (I-4) Cette équaton est de type harmonque avec un second membre constant. La soluton est connue sous la forme d une combnason lnéare de la soluton générale sans second membre et de la soluton partculère avec second membre : N( θ ) = cosθ + snθ pr (I-5) dn et donc pusque : T ( θ ) = dθ T( θ ) = snθ + cosθ Et enfn le moment se calcule en ntégrant l équaton () par rapport à θ : M ( θ ) = R cosθ Rsnθ + K Les constantes et et K sont dentfés par les condtons aux lmtes en P : N( θ = ) = N = T( θ = ) = T = M( θ = ) = M = Nous obtenons = pr, = et K =R = pr Résultats : N( θ ) = pr( cos θ ), T( θ ) = prsnθ, M P P P (I-6) ( θ ) = pr ( cos θ ) Les équatons obtenues nous permettent de calculer les torseurs des réactons à l encastrement (pont P, θ = π) : N T P M P = N( π ) = pr, = T ( π ) =, P = M ( π ) = pr

14 4 II - CRCTERISTIQUES DES SURFCES ET DES SECTIONS DROITES DES POUTRES - res et barycentre d une secton drote Défnton Consdérons une surface (S) lmtée par un contour dans le plan ( Ox ;, x). On appelle are de la surface (S) la quantté scalare défne par l ntégrale double : = ds (S ) x (C) dx M(x,x ) x (S) x x dx Fgure II - Paramétrage des sectons drotes En coordonnées cartésennes l élément d are ds est défne par : ds = dxdy En coordonnées polares défnes par r et θ, l élément de surface s exprme de la manère suvante : et ds = rdrdθ x = rcosθ x = rsnθ

15 5 x M(x,x ) (C) rdθ dr dθ (S) x Fgure II - paramétrage polare dans une secton drote Centre d une surface plane Le centre de la surface (S) est le barycentre G de l ensemble des ponts M de (S) affecté chacun d un coeffcent égal à l are de l élément de surface qu lu est assocé : OG = OMdS (II-) Ce qu donne les coordonnées du pont G : x x G G Moment statque d une surface = = x ds x ds (II-) Défnton Consdérons une surface (S) d are lmtée par la courbe (C). On appelle moment statque de (S) par rapport aux axes respectfs ( Ox ; ), ( Ox ; ) les quanttés : x x Proprétés dans un changement d axe S S = = x ds xds (II-)

16 6 On consdère mantenant un autre système d axe ( Ox ; ', x' ) qu se dédut du précédent par la translatonoo '. (C) x M(x,x ) b O (S) x O a Fgure II - Changement d axes Ce qu donne : OM ' = OM OO' = ( x ae ) + ( x be ). Le calcul des moments statques aboutt alors aux expressons suvantes : S = x ' ds = ( x b) ds = x ds bds = S b x' x ( S) ( S) ( S) ( S) S = x ' ds = ( x a) ds = x ds ads = S a x' x ( S) ( S) ( S) ( S) (II-4) Remarque : Sot G le centre de la secton et x et G x G les coordonnées de G dans le repère en queston. On peut asément observer que S = x ds = x x x G S = xds = x G (II-5) S nous chosssons l orgne du repère au centre G de la secton, alors S =, S = x x Moment quadratque d une surface plane. Moment quadratque par rapport à un axe

17 7 On consdère une surface plane (S) et R( Ox ;, x, x) un repère tel que ( Ox ;, x) appartenne au plan de (S). S l on désgne le pont M comme pont courant de (S) de coordonnées ( x, x ) dans ce plan, le moment quadratque par rapport à l axe ( Ox ; ) est défn par : I Ox = xds (II-6) et le moment quadratque par rapport à l axe ( Ox ; ) est défn par : I Ox = xds. (II-7) Théorème de Huygens Sot un second repère R ( Gx ;,, ) x x de même base que R mas dont l orgne est le centre de la surface (S). Sot M de coordonnées ( X, X ) dans le nouveau repère. Exprmons I Gx : I Gx = X ds (II-8) Par alleurs I = xds= ( X + x ) ds= x ds+ X ds+ x XdS Ox G G G ( S) ( S) ( S) ( S) ( S) Dans cette expresson, nous avons :, x ds = x G G proprété du centre de surface. D où le théorème de Huygens : X ds = I ( ) Gx et S G x X ds = Le moment quadratque d une surface plane (S )par rapport à un axe ( Ox ; ) de son plan est égal au moment quadratque de (S) par rapport à l axe ( Gx ; ) passant par son centre de surface G, augmenté du produt de l are par le carré de la dstance des axes : 4 Moment quadratque polare I I d Ox = Gx + (II-9) On consdère une surface plane (S) et R( Ox ;, x, x) un repère tel que ( Ox ;, x) appartenne au plan de (S). S l on désgne le pont M comme pont courant de (S) de coordonnées ( x, x ) dans ce plan, le moment quadratque polare par rapport au pont O est défn par :

18 8 Remarque : 5 Moment produt I = (II-) rds S = = ( ) S + = S x + x (II-) I rds x x ds I I On consdère une surface plane (S) et R( Ox ;, x, x) un repère tel que ( Ox ;, x) appartenne au plan de (S.) S l on désgne le pont M comme pont courant de (S) de coordonnées ( x, x ) dans ce plan, le moment produt I par rapport aux axes ( Ox ; ) et ( Ox ; ) de son plan est donné par : Oxx I = xxds (II-) Oxx Remarque : On peut vérfer asément que s le solde possède un axe de symétre alors le moment produt assocé aux deux axes est nul. Exemple : Fgure II -4 Soldes avec axes de symétre

19 9 III - ETT DES CONTRINTES DNS UNE SECTION DROITE DE POUTRE Cas général En tout pont M ( x, x, x ) d une secton drote de poutre, le tenseur des contrantes peut avor la forme suvante : σ = σ x x (III-) j j Nous avons alors les relatons vectorelles suvantes : Résultante des efforts ntéreurs sur la secton drote : R G = T( M, x ) ds (III-) et moment sur la même secton drote : Ce qu donne : N σ M = GM T ( M, x ) ds.(iii-) G = ds Les composantes de la résultante t, T = σ d S, T σds (III-4) R G ; et : ( σ ) σ σ = M = x x ds, M x ds M x ds (III-5), = = σ Les composantes du moment résultant sur la même secton drote. Fgure III - Défnton des efforts ntéreurs locaux pour un solde curvlgne Prncpe de Sant Venant

20 Il est remarquable de constater qu l sufft de connaître les champs σ, σ, σ dans la secton drote (de normale x ) pour détermner complètement le torseur ntéreur. Les termes σ, σ, σ n ntervennent pas. Pour une poutre, la normale extéreure au contour de la secton drote s exprme par n= α x + α x. La condton de non chargement du contour s écrt : α σ + α σ = ασ + ασ = ασ + ασ = (III-6) Les dernères condtons sont les seules relatves aux champs σ, σ, σ. Le prncpe de Sant-Venant consste à poser l hypothèse que lon des ponts d applcatons des forces extéreures, le tenseur des contrantes agssant dans la poutre est de la forme : σ σ σ σ = σ σ (III-7) Il s agt mantenant de détermner la répartton des contrantes dans chaque cas de sollctaton smple, pus d applquer le prncpe de superposton s le chargement est complexe. Les dverses sollctatons smples sont présentées dans le tableau suvant : N T M M = M X + M X Contrantes Tracton-compresson smple σ, σ = σ = Csallement smple σ =, τ Torson pure σ =, τ Flexon pure σ, σ = σ = Flexon composée σ, σ = σ = Flexon smple σ, τ avec τ = σ x + σ x

21 Flexon pure - (N=T=M =, M ) Calcul des contrantes. Le tenseur des contrantes s écrt : + ν ν σ = σ x x et εj = σj ( Trσ). (III-8) E E l hypothèse d une secton drote plane après déformaton (hypothèse dte de ernoull) mpose que la déformaton dans la drecton x sot une foncton lnéare des coordonnées x et x du pont M dans la secton drote étudée. Par alleurs : σ = k + kx + kx (III-9) N σds et G = = = M GM T ( M, x ) ds (III-) La premère relaton condut à : = (III-) k ds + k x ds + k x ds = sot k ( S) ( S) ( S) La deuxème relaton s écrt : pusque xds et orgne du repère en G = xds = ( S) ( S) M = xσ ds et M = xσ ds (III-) sot : M = k x x ds+ k x ds ( S) ( S) S M = k x ds k x x d ( S) ( S) Nous avons la relaton donnée par le moment produt (III-), (III-4) xxds= et par alleurs : x ds = I et = (III-5) xds I On obtent en défntve : σ = M M x x (III-6) I I Flexon composée ((N, T=M = et M ) :

22 On superpose les effets de l effort normal et du moment de flexon : N M M σ = + x x (III-7) S I I 4 Contrantes dues à l effort tranchant Il est dffcle d obtenr la soluton dans le cas où l on a la présence smultanée du moment fléchssant et de l effort tranchant. La soluton dans le cas de la flexon pure ou composée est basée sur l hypothèse de sectons restant planes après chargement. Cependant l effort tranchant génère ders contrantes de csallement qu ont pour effet un gauchssement des sectons drotes. Cependant, en premère approxmaton, on accepte l hypothèse d une secton plane après chargement y comprs s l y a présence d un effort tranchant. On consdère la poutre suvante : p( x ) x x Extracton d une porton de poutre Fgure III - Effort tranchant et moment fléchssant M T Le moment fléchssant vare de M à M ' entre les sectons drotes (S) et (S ) dstantes de x dans la drecton x. De même l effort tranchant vare de T à T' Nous prendrons dorénavant M = M x et T = T x

23 Nous écrvons alors : et σ M σ = x dans la secton (S) I M ( M T x ) = = (III-8) ' ' x x I I dans la secton (S ) Effectuons une coupe à un nveau quelconque x : T (S) σ ' σ (S ) F T x Fgure III Contrantes de csallement S l on consdère la parte haute et que l on écrve son équlbre, on obtent : σ ds σ ds F = (III-9) ' ( ') ( ') F est la résultante de l acton exercée par la parte basse sur la parte haute. En utlsant les équatons donnant σ, on obtent : F T = xds x ( ) I (III-) Dans cette expresson x ds est le moment statque de la secton drote (S ) par rapport à ( ) l axe ( Gx, ) ; celu-c peut se ramener à l expresson : xds = x' (III-) ( ) La contrante de csallement moyenne est donnée par : σ F F T x = = = b x bi b est la largeur de la poutre au plan de coupe consdéré. (III-)

24 4 Exemple de Calcul Une poutre rectangulare est soumse à un effort tranchant T. On demande d étuder la contrante de csallementσ. Fgure III 5 Calcul de la contrante de csallement dans une secton drote rectangulare Moment quadratque par rapport à ( Gx, ) : Calcul du moment statque : bh I = x ds bx dx b b h h ( )( x x x ) + (III-) = = h / ( ) ( ) = x Ce qu donne pour σ : 6T h σ = ( x ) (III-4) h 4 On remarquera que σ est maxmal pour x = :

25 5 x T ( σ) max x Fgure III -6 Varaton de la contrante de csallement dans une secton drote

26 6 IV - CLCUL L TORSION DES POUTRES DROITES PLEINES Introducton La torson est un des chargements fondamentaux qu peut agr sur des soldes de type curvlgnes. Dans le cadre de ce cours nous n aborderons que le cas des mleux curvlgnes rectlgnes et à secton drote plene. Nous adopterons par alleurs les hypothèses de Sant Venant. En premère approxmaton nous consdérerons que les sectons drotes restent planes après chargement. Ce qu équvaut à dre que nous néglgerons le gauchssement des sectons drotes. La résoluton est ans facltée. Dans le cas général, la soluton est complexe et nécesste de prendre compte la géométre de la pèce et de recourr à des méthodes partculères de l élastcté. Les plus connues sont celles de Prandtl et de Sant Venant. Etude des déformatons et des contrantes Tenseur des déformatons Sot une poutre drote cylndrque plene sollctées sur une des sectons drotes extrêmes (S) par un couple C = Cx. L autre secton drotes extrêmes (S ) est sollctée par C. La poutre en queston est rapportée à un repère cartésen de base ( Ox ;, x, x ). L axe de la poutre est l axe ( Ox ; ). Consdérons un pont x (, x, x) avant sollctaton. Sa poston après l applcaton du couple devent '( x + u, x + u, x + u ). Le déplacement du pont est donc défn paru = u x+ u x + u x. On note β l angle de rotaton de la poutre par unté de longueur suvant la drecton x.

27 7 C = Cx x θ ϕ = βx x C Fgure IV - Poutre en torson pure S β est constant on obtent ϕ = β x dϕ β = (IV-) dx Le déplacement du pont est alors donné par la formulaton géométrque suvante (vor la fgure c-dessus) : u u = rϕsnθ = rβxsnθ = βx x u = rϕcosθ = rβxcosθ = βxx (IV-) Le déplacement u suvant x est appelé gauchssement de la secton drote. D après le prncpe de Sant Venant u ne dépend pas de x : u = u ( x, x ) (IV-) Le tenseur des déformatons est défn par : ε = ( t gradu + gradu ), et donc : ε = ε ε ε ε Dans cette matrce nous avons les valeurs des composantes : (IV-4)

28 8 u ε = ( βx ) x u ε = ( βx ) x Les équatons de compatblté s écrvent : εj εkl ε ε k jl + = + x x x x x x x x k l j j l k Parm toutes ces équatons on retendra : ((IV-5) (IV-6) ε ε ε ε + = + x x x x x x x x (IV-7) En tenant compte des valeurs de la matrce des déformatons, l équaton devent : Tenseur des contrantes ε x ε = β x (IV-8) Le matérau étant consdéré comme élastque lnéare et sotrope, nous utlsons la lo de comportement pour détermner le champ des contrantes. σ = µε + λtr( ε) 9v Cec aboutt à la matrce des contrantes de la forme : avec : σ = σ σ σ σ u σ = µ ( βx ) x u σ = µ ( + βx ) x (IV-) (IV-) Foncton de contrante Nous allons mettre en évdence une foncton dte foncton de contrante qu permet le calcul smple du tenseur des contrantes. Pour cela nous écrvons l équlbre local et global du mleu ans que les condtons de compatblté et les condtons aux lmtes.

29 9 Equlbre local L équaton d équlbre locale s écrt classquement : dv( σ ) + f = (IV-) L équaton de compatblté donne : σ σ x x σ x σ = x + = = (IV-) u u + = x x (IV-4) Equlbre global Sur un tronçon de poutre nous pouvons écrre l équlbre des forces Condtons aux lmtes : σ. xds= OM σ. x ds C = σds = σds = ( xσ xσ) ds C. x = sur le pourtour on peut écrre la condton de non chargement : T( M, n) = σ cosθ + σ snθ = (IV-5) (IV-6) Le problème de torson est résolu s l on dentfe les quatre nconnues : σ, σ, u et β. Les équatons d équlbre local et l équaton de compatblté permettent de postuler l exstence d une foncton ϕ( x, x) telle que : σ ϕ ϕ = et σ = x x Les équatons de compatblté donnent : (IV-7)

30 ϕ ϕ + = µβ x x ϕ ϕ = x x x x (IV-8) Elle dot par alleurs satsfare les condtons aux lmtes sur le contour : Ce qu donne : ϕ ϕ cosθ snθ = (IV-9) x x ϕ dx ϕ dx + = dϕ( x, x) = (IV-) x ds x ds ϕ ( x, x ) est défne à une constante près, on peut la prendre nulle sur le contour. Méthode de détermnaton de ϕ ( x, x) : ϕ ( x, x ) dot être soluton de : ϕ ( x, x ) = µβ ϕ( x, x ) = sur le contour. (IV-) Sot f( x, x ) = On prend souvent : λ constante. l équaton du contour (C) de la secton drote. ϕ( x, x ) = λ f( x, x ), (IV-) pplcaton au cas d une secton drote crculare plene. L équaton du contour est : et donc : la condton ϕ ( x, x) = µβ donne d où f ( x, x ) = R ( x + x ) = R r µβ λ = µβ ϕ ( x, x) = [ R ( x + x)] (IV-) et ϕ σ = =-µ βx x ϕ σ = = µ βx x (IV-4)

31 Le couple de torson est calculé par : C = OM T ( M, x ) ds = ( x σ x σ ) ds x ( S) ( S) Cx. = ϕ ( x, x) ds= µβj (IV-5) J est le moment quadratque de la secton drote par rapport à l axe ( Ox ; ) J 4 πµ R = est la rgdté à la torson d une secton drote crculare plene.

32 V - LOIS DE COMPORTEMENT DNS LES MILIEUX CURVILIGNES Introducton Pour les mleux curvlgnes, les efforts ntéreurs sont représentés par le torseur : [ () s ] = [ G; R(), s M G () s ] X (V-) De même le déplacement est défn par le torseur : [ ] = [ Gus ; ( ), ω( s) ] U en tout pont de la lgne moyenne. us () est le champ des déplacement du pont G de la secton drote. ω () s est la rotaton de la secton drote La lo de comportement consste à chercher la relaton à l nstant t entre le torseur des efforts ntéreurs et les déformatons. Nous adoptons les hypothèses suvantes : on se place d emblée dans l hypothèse de transformaton nfntésmales. Plus exactement on suppose : la rotaton ω () s telle que G ω() s le gradent de u du() s tel que G, ds On adopte l hypothèse de Naver-ernoull sur les mouvements réels. G x G ' x P P Fgure V Torseur dstrbuteur des déplacements dans une secton drote On écrt la relaton de transport pour le torseur dstrbuteur des vtesses des déplacements. : up ( ) = ug ( ) + PG ω GP ' ' = GP+ up ( ) ug ( ) (V-) δ( GP) = ω GP

33 Par alleurs : ' dog ( ') dog ( ) du ( ) ' du ( ) x = = + x = x+ ds ds ds ds du ( ) δ ( x) = ds L hypothèse de ernoull ndque que P, tel que GPx. = ' du ( ) alors GPx ' '. = ( GP+ ω GP).( x+ ) = ds du ( ) (V-4) GP. + ( ω GP). x = au premer ordre ds du ( ) du ( ) GP.( ω x) = + x ω = λx ds ds Décomposons le vecteur rotaton : ω = ω x+ ω tel que ω. x = (V-) du ( ) du ( ) λx+ ω x = ( ω x) x = x ds ds ω lors : du ( ) ω = x ds On ntrodut un torseur déformaton de la forme : (V-5) d d d( u) d( ω) { U} = { Gu ;, ω} = G; + x ω, = { E} (V-6) ds ds ds ds = λx= ε( s) x Le torseur dstrbuteur des déformatons d un mleu curvlgne est donc de la forme ; ( ), d( ω ) = ds { E} G ε s x du ( ) d( ω) d( ω) ω d( ω ) avec : ε() s = x. et = x+ x + (V-7) ds ds ds ρ ds Lo de comportement pour les poutres drotes. On peut consdérer la poutre rectlgne drote comme un mleu curvlgne ou ben comme un mleu d. Les quanttés assocées à ce mleu dovent être égale que l on consdère le mleu comme un mleu curvlgne ou d. Cec est valable dans le cas de l énerge de déformaton. Commençons par calculer en utlsant les deux approches pour des cas de sollctatons de tracton pure pus de flexon pure pus la superposton des deux sollctatons

34 4 u = d d T = T = d T = u = δ d d T = T = Fgure V Sollctaton de tracton pure sur une poutre drote a) Tracton unaxale. approche d La soluton de ce problème est smple et classque et le tenseur des contrantes prend la forme suvante : σ σ / E σ =, ε = υσ / E υσ / E δ avec σ = E l L énerge élastque en contrante est alors donnée par : (V-8) * + υ υ σ W ( σ) = [ Trσ ( Trσ) dω= Sl E E E ( Ω) (V-9) S l on consdère σ comme constante dans le cas d une sollctaton de tracton pure, et s l on défnt par N l effort normal dans la poutre, on écrt : σ = N S l énerge de déformaton s écrt alors : σ ln W * ( σ ) = Sl = E ES (V-) Par alleurs le calcul de l énerge de déformaton en consdérant le mleu curvlgne donne :

35 5 du W ( ()) s = () s () s ds = N() s ds [ X ] [ X ][ E ] * ( ) ( ) ( ) ds Là auss les termes à l'ntéreur de l'ntégrale sont constants sur la poutre drote pour ce type de sollctaton. En égalsant les expressons nous obtenons : du N = ε() s = (V-) ds ES b) Flexon pure d T = α x x d T = d T = α x Fgure V Sollctaton de flexon pure sur poutre drote La soluton en contrante de ce problème est : M x I M σ =, ε = x υ υ EI L énerge de déformaton est alors donnée par : * + υ υ lm W ( σ) = [ Trσ ( Trσ) dω= E E EI ( Ω) (V-) (V-) Les torseurs des efforts ntéreurs et des déformatons du mleu curvlgne sont données par : [ X( x )] = [ G;, M( x )] [ E ] D où l énerge de déformaton dω ( x ) = G;, x dx (V-4)

36 6 dω dω W ( ( x ) ) = ( x ) ( x ) ds = M ( x) dx = M ( x) l [ X ] [ X ][ E ] * ( ) dx ( ) ( ) dx Là auss les termes à l'ntéreur de l'ntégrale sont constants sur la poutre drote pour ce type de sollctaton de flexon pure. En égalsant entre les deux expressons nous obtenons : c) Généralsaton Pour la poutre drote soumse à : un effort normal N un couple de torson C d dx ω M = (V-5) un moment de flexon de la forme : M = Mx+ Mx EI applqué au centre de la secton drote de la poutre, on a : + υ υ l N M M C W ( ) [ Tr ( Tr ) d ( + ) (V-6) * σ = σ σ Ω= + + E E ES EI ( ) EI µ J Ω J est le moment polare de la secton drote calculé en son centre. Pour le mleu curvlgne on écrt : l du dω dω dω W ([ X( x )]) = [ X( x )][ E ( x )] ds = ( N + M + M + C ) (V-7) dx dx dx dx * ( ) ( ) Et on peut écrre W σ = W [ X x ] On en dédut : *( ) *( ( ) ) du N ε ( x) = =, dx ES dω M dω M =, = dx EI dx EI dω C = dx µ J (V-8) Pour un élément de poutre curvlgne on défnt la densté d énerge de déformaton par : et w [ X ] dw ( σ ) C ( ) µj * * N M M = = dω ES EI EI dw ( ( s) ) d w ( N M M ) * * ( ) du dω ω dω ( ) = C ds dx dx dx dx (V-9) (V-)

37 7 Récaptulatf Dans le cas général, on consdère que l élément de mleu curvlgne d un arc de secton constante et de fable courbure, se comporte comme s l état un élément de poutre drote précédent, la courbe drectrce (ou lgne moyenne) étant placée sur la lgne des centres d nerte des sectons drotes. Par alleurs on néglge l effet dus aux efforts tranchants. On écrt alors la lo de comportement : du N ε () s = = ds ES dω M M C = x + x+ x ds EI EI µ J (V-) du ( ) et la relaton de Naver-ernoull : ω = x ds p x x M R M R Fgure V- 4 Chargement extéreur sur un solde curvlgne 4 Cas des structures planes chargées dans leur plan En récaptulant les résultats obtenus dans ce cadre jusqu à présent on a : Statque :

38 8 dn ds T + p = ρ Elastcté : dt N + + p = ds ρ dm + T + m = ds du N ε () s = = ds ES dω M = ds EI (V-) (V-) Relatons géométrques : u = u x + u x du u() s ε() s = ds ρ() s u du ω() s = ω() s x = + ρ ds (V-4) Dans le cas des poutres drotes : ρ ( s) Les équatons précédentes devennent : u = u x + u x du ε( x ) = dx La lon de comportement devent : = et s = x du ω( x) = ω( x) x = dx ε( x ) dω du dx = = du = = dx dx EI N ES M (V-6) (V-5) La composante u représente la flèche ou la déflexon de la poutre en tout pont de celle-c. La relaton de comportement permet de résoudre des problèmes hyperstatques en permettant d écrre une (ou des) équaton(s) supplémentare(s). Nous allons l llustrer par l exemple cdessous. Exemple d applcaton :

39 9 Sot la poutre drote encastrée en ses deux extrémtés et chargée unformément. Le prncpe fondamental de la statque nous permet d écrre unquement équatons. Nous avons à fare donc à une poutre drote chargée dans son plan. x E, I,l px x M M R R Fgure V 5 Poutre b-encastrée unformément chargée Réactons aux extrémtés et : Efforts horzontaux : X = X = Efforts vertcaux : Théorème des moments (en ): l X + X pdx = X + X = pl (V-7) l l M + M + lx pxdx = M + M + lx = p (V-8) Le blan des équatons et des nconnues nous ndque un problème de type hyperstatque d ordre. En l absence de tout autre ndcaton ce système possède une nfnté de solutons. Nous allons formuler une autre équaton à l ade de la lo de comportement entre le déplacement vertcal de la poutre et le moment fléchssant. Pour cela nous devons calculer les efforts ntéreurs dans la poutre. effort tranchant

40 4 moment fléchssant dt ( x ) = p T( x) = px X (V-9) dx dm ( x ) x = T x M x = p + X x M (V-) dx ( ) ( ) Les condtons aux lmtes sont relatves aux encastrements. De ce fat nous pouvons écrre que la flèche (déplacement vertcale) et la rotaton aux drots de l encastrement sont nuls. u () = u ( l) = ω () = ω ( l) = Les équatons géométrques nous permettent d écrre : du ω ( x) = (V-) dx du() du( l) = = (V-) dx dx Nous devons d abord calculer le déplacement à l ade de la relaton de la lo de comportement poutre les poutres drotes : M = (V-) du dx EI et ntégrer pour obtenr le déplacement vertcal : 4 px Tx M x EIu( x ) = (V-4) 4 6 Les condtons aux lmtes écrtes précédemment aboutssent à l dentfcaton des réactons : pl X = X = pl M = pl M = La flèche au mleu de la poutre est donnée par : (V-5) 4 (/) pl u l = (V-6) 84

41 4 VI - METHODES ET THEOREMES ENERGETIQUES Généraltés. Notons de système de forces généralsées. Nous désgnerons par système de forces généralsées F ( =, n), l ensemble des actons mécanques extéreures. C'est-à-dre que les couples seront dénommés dans ce chaptre comme un élément fasant parte dus système de forces généralsées. Nous assocerons au système de forces généralsées, les déplacements généralsés. Le déplacement généralsé assocé à une force est la projecton du déplacement du pont d applcaton de cette force sur sa drecton. De même le déplacement généralsé assocé à un couple, est la rotaton provoquée par le couple projeté dans la drecton de l axe du couple. u F λ (S) Fgure VI Déplacements généralsés et forces généralsées Théorème de Clapeyron Nous consdérons le solde (S) non chargé et dans son état naturel, soums à un système de forces généralsées F ( =, n) applquées aux ponts assocées aux déplacements généralsés λ,( =, n), le traval des forces extéreurs est donné par : W e = Fλ (VI-) Démonstraton :

42 4 S l on consdère que la force généralsée F est crossante entre l nstant ntal où elle vaut et l état fnal où elle vaut F, On peut donc écrre que lors du chargement : F ( ρ) = ρ F où ρ crot de à. Le déplacement du pont d applcaton, de la force F est µ. On peut écrre F. µ = F µ cos θ = Fλ. (VI-) Du fat de la lnéarté du comportement du mleu, nous pouvons écrre : λ ( ρ) = ρλ avec ρ Pour un trajet nfntésmal dλ, le traval de la force F est donc : dw ( F ) = F. dλ dλ = d( ρλ ) = λ dρ ρ= ρ= W ( F) = dw = Fλ ρdρ = Fλ e ρ= ρ= (VI-) (VI-4) Théorème de récprocté de Maxwell-ett. Enoncé : Sot un solde caractérsé par un comportement élastque lnéare, soums à partr de l état ntal au repos à deux système de forces généralsées F ( =, n) et P ( j =, m). On note ( =, n) les ponts d applcaton respectfs des forces F ( =, n et ( j =, m) les ponts d applcaton respectfs des forces P ( j =, m). On consdère : j ) λ ' ( =, n) les projectons orthogonales sur la lgne d acton des forces F des déplacements des ponts ( =, n), sous l acton des forces P ( j =, m) seules. µ '( j j =, n) les projectons orthogonales sur la lgne d acton des forces P j des j j j déplacements des ponts ( j =, m) sous l acton des forces F ( =, n) j seules. Nous avons alors la relaton suvante : λ ' F = µ ' P (VI-5) j j

43 4 déplacement de sous la force P j (S) u λ ' µ ' j F drecton de la force P j Fgure VI Drecton des forces et projectons des déplacements Démonstraton : On note λ ( =, n) les déplacements généralsés assocées aux forces généralsées F ( =, n) et µ j ( j =, n) les déplacements généralsés assocés aux forces généralsées P j ( j =, m) Le chargement est opéré à partr d un état au repos. On applque successvement et de manère progressve : Les forces généralsées F ( =, n (les forces P ( j =, m) n étant pas encore applquées) : c est la phase I ) Pus, les forces généralsées P ( j =, m) (les forces F ( =, n) restant alors applquées et constantes) : c est la phase II j D après le théorème de Clapeyron, le traval des forces F ( =, n pendant la phase I est égal à : pusque les forces W = Fλ (VI-6) F sont assocées aux déplacements λ j ) Pendant la phase II, les déplacements généralsés assocés aux forces P j sont cette même phase, les déplacements généralsés des ponts d applcaton des forces µ j ; pendant F ont un

44 44 déplacement noté λ. ns le traval des forces extéreures pendant cette phase II est égal, d après le théorème de Clapeyron, à : ' W = Pµ + Fλ ' (VI-7) j j D après le prncpe de conservaton d énerge, la varaton d énerge emmagasnée par le solde au cours des phases I et II est donc égale à : W = W+ W = Fλ + Pjµ j + Fλ ' (VI-8) S l on nverse mantenant la successon des sollctatons en applquant d abord le système de chargements généralsé P ( j =, m) pus les forces généralsées F ( =, n tout en j ) mantenant les sollctatons précédentes constantes on obtent alors pour la varaton d anerge emmagasnée dans le mleu : W = Fλ + Pjµ j + Pjµ ' j (VI-9) La valeur de W ne dot dépendre que de la confguraton ntale et de la confguraton fnale. Nous égalsons alors les deux expresson et on obtent la relaton à démontrer. Exemple d applcaton Nous nous proposons de détermner la flèche vertcale v au mleu d une poutre reposant sur des appus smples et soumse à un charge vertcale descendante P, applqué au pont C, quelconque de la poutre : P v Fgure VI Chargement asymétrque de la poutre Le calcul de la flèche pour un cas non symétrque nécesste de nombreuses ntégratons fastdeuses. Nous allons faclter ce calcul en utlsant le théorème de Maxwelle-ett. L équaton dfférentelle s écrt :

45 45 v''( x ) M ( x ) EI = (VI-) D après le théorème Maxwell-ett, l vent : λ ' F = µ ' P Il nous sufft donc pour calculer v = λ ' de détermner µ ' Nous allons modfer le schéma précédent pour ntégrer les nouvelles notatons. ζ P F λ µ (a) (b) Fgure VI 4 pplcaton du théorème de Ménabréa On étude donc le cas (b). F Par symétre nous avons donc R = R = On en dédut le moment fléchssant sur ( ) : D où l expresson : Par symétre : Fx M( x ) = (VI-) Fx v''( x) = EI Fx v'( x) = + C 4EI (VI-) Fl Fl v'( l/ ) = = C C 6 EI + = 6 EI (VI-) Par ntégraton, l vent : F l = (VI-4) 4EI 4 '( ) ( x ) v x

46 46 F x l vx ( ) = ( x+ D) 4EI 4 (VI-5) F x l v() = v( x) = ( x) 4EI 4 On en dédut : D après Maxwell-ett : Fζ µ v ζ ζ 48EI l ' = ( ) = (4 ) (VI-6) µ ' P Pζ λ' (4 La flèche recherchée est donc donnée par : l ) = = ζ (VI-7) F 48EI v Pζ 48EI l = (4ζ ) (VI-8) 4 Théorème de Castglano Ce théorème est un outl pour la résoluton des systèmes hyperstatques des mleux curvlgnes. Enoncé du théorème : Sot une structure élastque lnéare, contrante à partr d un état naturel au repos soumse à un système de forces généralsées F ( =, n) dont les déplacements sont λ ( =, n). S W désgne l énerge de déformaton, alors : Démonstraton : W λ = ( =, n) (VI-9) F Consdérons à nouveau un solde soums à un système de forces généralsées F ( =, n). L applcaton de ce système de forces a pour conséquence de produre une énerge de déformaton W. Pour la seule force F, on provoque un accrossement nfntésmal df. L énerge de déformaton subt alors une varaton à une valeur : W df F W ( W) fnal = W + F df (VI-) amenant l énerge de déformaton

47 47 Consdérons le même chargement fnal mas en nversant l ordre d applcaton des chargements ce qu ne modfe pas l énerge fnal totale. On applque d abord la seule force élémentare df. Elle produt dans sa drecton un déplacement nfnment dλ. l accrossement d énerge correspondant est dfdλ. On applque ensute les n autres forces F ( =, n). L énerge de déformaton accumulée dans l applcaton de ces forces est comme précédemment W. Néanmons, la force df qu est constante lors de l applcaton des autres forces fournt un traval supplémentare dans le déplacement ndut par celle-c : dfλ. L énerge totale est donc : ( W) fnal = W + dfλ + dfd λ (VI-) L énerge de déformaton ne dépend que de l état ntal et de l état fnal. Nous pouvons égalser les deux expressons obtenues précédemment. ce qu donne en néglgeant les termes du second ordre, l expresson annoncée dans le théorème de Castglano : pplcaton : Calcul de la flèche. W λ = ( =, n) (VI-) F l, E, I F Fgure VI 5 Exercce d applcaton sur la recherche de la déflexon par le théorème de Castglano On désre calculer la flèche au pont. Calculons l énerge de déformaton à l ade des formules de Clapeyron : Le calcul donne alors : M [ W = ] E I ds (VI-) ( )

48 48 M Fl W = [ ] = v ds E I ( ) EI (VI-4) W F = = Fl EI F l Fgure VI 6 Exercce d applcaton sur la recherche des nconnues hyperstatque par le théorème de Castglano Calcul d une nconnue hyperstatque du cas de la fgure VI-6. Nous avons à fare à un système hyperstatque d ordre (nconnues Y, Y, M ) et deux équatons dsponbles. Y = F Y M Fl = ly (VI-5) Le moment fléchssant a deux expressons dans les deux travées : l M ( x) = ( F Y) x+ ( Y F) pour x l/ M ( x) = Y x+ ly pour l/ x l L énerge de déformaton de la structure s exprme par : l/ M l Y F ( ) W = [ ] ds = ( F Y) x ds [ Y ( x ) E I EI + + ] l ds EI ( ) l / Ce qu donne : 5 W = Yl F l Y EI + Fl (VI-6) 4 pplquons le théorème de Castglano à la composante Y : 5 ( Fl EI 4 λ = = Yl l (VI-7) + (VI-6)

49 49 Ce qu donne une des nconnues hyperstatque : 5 Y = F (VI-8) 6 et par conséquent les autres nconnues : Y = F 6 (VI-9) M = Fl 6

50 5 NNEXE Modélsaton des actons mécanques et descrpton de lasons de base - Classfcaton des actons mécanques On classe les actons mécanques selon leur mode d acton et leur nature. On dstngue ans : les actons mécanques qu s exercent à dstance telle l acton de la pesanteur et l acton d un champ magnétque. les actons mécanques de contact (l acton de l eau sur une paro de barrage - force de presson) Les deux types d actons peuvent s exercer sous forme d acton ponctuelle, c'est-à-dre en un pont de l espace. Cette hypothèse est physquement dffcle à réalser. On modélse cependant souvent des forces s applquant en un pont du système par un vecteur force applquée en ce pont. Ce mode d acton est alors assocé à un vecteur lé et donc sa représentaton peut être fate à l ade d un glsseur (vor nnexe en fn de cours). L ensemble des actons évoquées précédemment sont modélsées par des torseurs assocés à des denstés de force (sauf pour ce qu est de la force ponctuelle). Nous allons successvement examner les actons mécanques à densté volumque de force pus surfacque ou lnéque. cton mécanque à densté volumque de force. Consdérons un système matérel (Σ) contnu occupant un volume V de l espace à tros dmensons. Chaque élément de volume dv autour d un pont courant M peut être sollcté par une force df Cette force est supposée proportonnelle au volume de l élément consdéré : df = rdv () Nous avons donc un glsseur assocé au vecteur lé ( M, df ). On peut en dédure la densté de force volumque : df r = () dv r est donc un vecteur densté volumque de force. En mécanque des mleux contnus, on se ramène à des grandeurs locales et l on écrt :

51 5 df r = lm () dv dv L ensemble de ces forces df applquées sur chaque élément de volume entourant le pont courant M consttue un ensemble de glsseurs assocés aux vecteurs lés ( M, df ). L ensemble de ces glsseurs consttuent un torseur de résultante : R = rmdv ( ) (4) ( V ) et de moment en un pont quelconque : M = M r( M ) dv (5) ( V ) Remarque : On peut asément vérfer que cet ensemble de vecteur est ben un torseur. Il sufft pour cela d écrre cette formulaton en passant par un pont quelconque : ( ) ( ) ( ) ( ) ( V) ( V) ( V) (6) M = + M r M dv = r M dv + M r M dv = M + R On se retrouve ben avec la forme d un champ antsymétrque. Exemple partculer : Champ de pesanteur unforme. La pesanteur terrestre agt sur l ensemble des mleux matérels par l ntermédare d une force à dstance qu agt sur l ensemble du mleu et donc sur le volume de matère consttuant le mleu en queston. Nous avons donc une acton à densté volumque. Chaque élément de volume est de ce fat soums à une force de la forme : df = rdv = ρ gdv (7) Dans ce cas la densté volumque de force est défn par : r = ρ g (8) Le torseur ans consttué pour tout le volume V a pour résultante :

52 5 R = ρ( M) gdv = mg (9) ( V ) cette résultante représente le pods du système. m étant la masse totale du système. Son moment en un pont est défn de la manère suvante : M = M + G R= G mg () G Cette dernère expresson est justfée s l on remarque que : par défnton du centre de masse G. M G = GM mgdv = () Le torseur assocé aux forces répartes de pesanteur de densté r assocé au vecteur lé ( Gmg),. ( V ) = ρ g est donc un glsseur ctons mécanques à densté surfacque (ou lnéque) La même démarche peut-être suve lorsqu on trate des actons mécanques à densté surfacque (ou lnéque) : Fgure I - : Force de volume Nous reprenons pour cela le solde (Σ) de frontère (S). Chaque élément de volume ds autour d un pont courant M de (Σ) peut être sollcté par une force : df = rds () Nous avons donc un glsseur assocé au vecteur lé ( M, df ). On peut en dédure la densté surfacque (ou lnéque) de force: df r = () ds r est donc un vecteur densté surfacque de force.

53 5 Comme pour les forces à densté volumque on se ramène à des grandeurs locales et l on écrt : df r = lm (4) ds ds L ensemble de ces forces df applquées sur chaque élément de surface (ou de lgne) entourant le pont courant M consttue un ensemble de glsseurs assocés aux vecteurs lés ( M, df ). L ensemble de ces glsseurs consttuent un torseur de résultante : R = rmds ( ) (5) et de moment en un pont quelconque :: M = M r( M ) ds (6) Remarque : Ic auss on peut vérfer que cet ensemble de vecteur est ben un torseur. Il sufft pour cela d écrre cette formulaton en passant par un pont quelconque : M = ( + M ) r ( M ) ds = r ( M ) ds + M r ( M ) ds ( S) ( S) ( S) (7) = M + R On se retrouve ben avec la forme d un champ antsymétrque. Les lasons Degrés de lberté Un degré de lberté est un mouvement de base pour un solde en mouvement dans un référentel. Une rotaton autour d un axe est un degré de lberté, une translaton suvant une drecton est auss un degré de lberté. En somme un solde peut posséder 6 degrés de lberté

54 54 au maxmum. Ce sont les paramètres de postons d un pont du solde et les rotatons possble du solde. Défnton d une lason Une lason est un dspostf entre deux soldes permettant de lmter le nombre de degrés de lberté. Ces lasons peuvent être assocées à des mouvements de translaton suvant une drecton ou ben à des mouvements de rotaton autour d un pont. On dstngue ans des lasons glssère, rotule, pvot, pvot glssant Lasons unlatérales ou blatérales Lorsqu une lason est permanente on dt que la lason est blatérale. Dans le cas contrare la lason est unlatérale. Une vs dans un écrou consttue une lason blatérale, tands que le contact d une blle sur un plan est une lason unlatérale. 5 - Dfférents types de lasons Lason glssère On dt qu une lason entre deux soldes est une lason glssère s le seul mouvement perms entre les deux soldes est un mouvement de translaton suvant une drecton lée à un des deux soldes. Nous avons alors un seul degré de lberté assocé au mouvement relatf des deux soldes. La caractérsaton cnématque de la lason est donnée par le torseur cnématque suvant : Ω = { C/} = V = s la drecton de moblté est suvant la drecton x λ x Le torseur de l acton du solde (S ) sur le solde (S ) est de la forme : { ( S) ( S) } RP = Y y+ Z z = (I-7) M, = L x+ M y+ N z Lason pvot Deux soldes sont en lasons pvot s le seul mouvement relatf perms est un mouvement de rotaton autour d un axe de l un des deux soldes.

55 55 Là auss nous avons un seul degré de lberté. Le torseur cnématque assocé à cette lason est le suvant : { C } / O Ω =α x = (I-8) V O = Le torseur des actons mutuelles entre les deux soldes est donné par : { ( S) ( S) } R = X x+ Y y+ Z z = (I-9) M, = M y+ N z Lason pvot glssant Deux soldes sont en lasons pvot glssant s le seul mouvement relatf perms est un mouvement de rotaton autour d un axe lé à un des deux soldes combné à un mouvement de translaton suvant le même axe.. Le mouvement relatf entre les deux soldes est caractérsé par deux degrés de lbertés. Le torseur cnématque assocé à cette lason est le suvant : { C } / O Ω = α x = V O = (I-) λ x Le torseur des actons mutuelles entre les deux soldes est donné par : { ( S) ( S) } O R = Y y+ Z z = (I-) M, = M y+ N z

56 56 Tableau des lasons Torseur des actons mécanques transmssbles par une lason parfate (Source L. Granjon)) Torseur d acton Torseur d acton Désgnaton de la Schématsaton spatale Mobltés mécanque mécanque lason transmssble Smplfé Symétre par rapport Rx X à (, y, z ) Pvot d axe (, x Tr Rot Y M ) Z N Y Z Glssère d axe (, ) x Pvot glssant d axe (, x ) ppu plan de normale (, x ) Rotule de centre Lnéare annulare d axe (, x ) Lnéare rectlgne de normale (, x ) et de contact (, y ) Tr Tr Tx Tx Tr Ty Tr Tr Tz Tx Tr Ty Tz Rot Rot Rot Rx Rx Rx Rot Ry Rz Rx Rot Ry Rz Rx Rot Ry L Y M Z N Y M Z N X M N X Y Z Y Z X N Symétre par rapport à (, x, z ) M Z Symétre par rapport à (, y, z ) Y Z Symétre par rapport à (,, x y ) X N Symétre par rapport à (, x, y ) X Y Symétre par rapport à (, x, z ) Z Symétre par rapport à (, x, z ) X

57 57 ILIOGRPHIE Résstance des Matéraux M. Kergugnas, G. Cagnaert Ed. DUNOD Mécanque des Mleux Contnus Tome J. Salençon Ed. ELLIPSES Résstance des Matéraux P. gat, F. Lerouge, M Rosetto Ed. DUNOD Ste WE Laurent GRNJON Jérôme STIEN SSOCITION LIRE COURS IMGES ET REPRESENTTIONS PRTIR DE :