BACCALAUREAT GENERAL. MATHEMATIQUES Série S

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Florence Lemieux
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1 BACCALAUREAT GENERAL Sessio 2015 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 22 JUIN 2015 Eseigemet Spécialité Coefficiet : 9 Durée de l épreuve : 4 heures Ce sujet comporte 8 pages umérotées de 1 à 8 Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio e vigueur Le sujet est composé de 4 exercices idépedats Le cadidat doit traiter tous les exercices Le cadidat est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets serot prises e compte das l appréciatio des copies 1/8

2 Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats Les résultats des probabilités serot arrodis à Partie près 1 Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi expoetielle de paramètre, où est u réel strictemet positif doé O rappelle que la desité de probabilité de cette loi est la foctio f défiie sur 0 ; par x f( x) e a Soit c et d deux réels tels que 0 c d c d Démotrer que la probabilité P( c X d) vérifie P( c X d) e e b Détermier ue valeur de à 0,05 c Doer l espérace de la variable aléatoire X Das la suite de l'exercice o pred 0,15 d Calculer P(10 X 20) 3 10 près de telle sorte que la probabilité PX ( 20) soit égale à e Calculer la probabilité de l évéemet ( X 18) 2 Soit ue variable aléatoire qui suit la loi ormale d'espérace 16 et d'écart type 1,95 a Calculer la probabilité de l évéemet (20 Y 21) b Calculer la probabilité de l évéemet ( Y 11) ( Y 21) Partie 2 Ue chaîe de magasis souhaite fidéliser ses cliets e offrat des bos d achat à ses cliets privilégiés Chacu d'eux reçoit u bo d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est iscrit u motat Les bos d achats sot distribués de faço à avoir, das chaque magasi, u quart de bos rouges et trois quarts de bos verts Les bos d achat verts preet la valeur de 30 euros avec ue probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises etre 0 et 15 euros avec des probabilités o précisées ici De faço aalogue, les bos d achat rouges preet les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivemet égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises etre 10 et 20 euros avec des probabilités o précisées ici 2/8

3 1 Calculer la probabilité d avoir u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 30 euros sachat qu il est rouge 3 2 Motrer qu ue valeur approchée à 10 près de la probabilité d'avoir u bo d'achat d ue valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057 Pour la questio suivate, o utilise cette valeur 3 Das u des magasis de cette chaîe, sur 200 cliets privilégiés, 6 ot reçu u bo d'achat d'ue valeur supérieure ou égale à 30 Le directeur du magasi cosidéré estime que ce ombre est isuffisat et doute de la répartitio au hasard des bos d achats das les différets magasis de la chaîe Ses doutes sot-ils justifiés? 3/8

4 Exercice 2 (3 poits) Commu à tous les cadidats Das u repère orthoormé (O, I, J, K) d'uité 1 cm, o cosidère les poits A(0 ; 1 ; 5), B(2 ; 1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4) U poit M se déplace sur la droite (AB) das le ses de A vers B à la vitesse de 1 cm par secode U poit N se déplace sur la droite (CD) das le ses de C vers D à la vitesse de 1 cm par secode À l'istat t 0 le poit M est e A et le poit N est e C O ote M t et N t les positios des poits M et N au bout de t secodes, t désigat u ombre réel positif O admet que M t et N t ot pour coordoées : M t ( t ; 1 ; 5) et N t (11; 0,8 t ; 1 0,6 t) Les questios 1 et 2 sot idépedates 1 a La droite (AB) est parallèle à l u des axes (OI), (OJ) ou (OK) Lequel? b La droite (CD) se trouve das u pla p parallèle à l u des plas (OIJ), (OIK) ou (OJK) Lequel? O doera ue équatio de ce pla p c Vérifier que la droite (AB), orthogoale au pla p, coupe ce pla au poit E (11 ; 1 ; 5) d Les droites (AB) et (CD) sot-elles sécates? 2 a Motrer que 2 2 MtNt 2 t 25,2 t 138 b À quel istat t la logueur MN t t est-elle miimale? 4/8

5 Exercice 3 (5 poits) Cadidats ayat suivi l'eseigemet de spécialité 1 O cosidère l'équatio (E) à résoudre das Z : 7x5y 1 a Vérifier que le couple 3 ; 4 est solutio de (E) b Motrer que le couple d etiers x ; x y y est solutio de (E) si et seulemet si c Motrer que les solutios etières de l équatio (E) sot exactemet les couples x ; y d etiers relatifs tels que : x5k 3 y 7k 4 où k Z 2 Ue boîte cotiet 25 jetos, des rouges, des verts et des blacs Sur les 25 jetos il y a x jetos rouges et y jetos verts Sachat que 7x5y 1, quels peuvet être les ombres de jetos rouges, verts et blacs? Das la suite, o supposera qu'il y a 3 jetos rouges et 4 jetos verts 3 O cosidère la marche aléatoire suivate d u pio sur u triagle ABC À chaque étape, o tire au hasard u des jetos parmi les 25, puis o le remet das la boîte Lorsqu'o est e A : Si le jeto tiré est rouge, le pio va e B Si le jeto tiré est vert, le pio va e C Si le jeto tiré est blac, le pio reste e A Lorsqu'o est e B : Si le jeto tiré est rouge, le pio va e A Si le jeto tiré est vert, le pio va e C Si le jeto tiré est blac, le pio reste e B Lorsqu'o est e C : Si le jeto tiré est rouge, le pio va e A Si le jeto tiré est vert, le pio va e B Si le jeto tiré est blac, le pio reste e C Au départ, le pio est sur le sommet A Pour tout etier aturel, o ote a, b et c les probabilités que le pio soit respectivemet sur les sommets A, B et C à l'étape O ote 0,72 0,12 0,16 X la matrice lige a b c et T la matrice 0,12 0,72 0,16 0,12 0,16 0,72 Doer la matrice lige X 0 et motrer que pour tout etier aturel, X1 XT 5/8

6 4 O admet que T PDP 1 où 1 P et D 0 0, ,56 a À l'aide de la calculatrice, doer les coefficiets de la matrice P O pourra remarquer qu ils sot etiers b Motrer que T 1 PD P c Doer sas justificatio les coefficiets de la matrice O ote, D, les coefficiets de la première lige de la matrice T T aisi : ,6 40 0,56 O admet que 0,6 et O e cherchera pas à calculer les coefficiets de la deuxième lige i ceux de la troisième lige 5 O rappelle que, pour tout etier aturel, X X0T a Détermier les ombres a, b à l aide des coefficiets et b Détermier les limites des suites a, b et E déduire c c Sur quel sommet a-t-o le plus de chace de se retrouver après u grad ombre d itératios de cette marche aléatoire? c 6/8

7 Exercice 4 (6 poits) Commu à tous les cadidats Le but du problème est de détermier l'aire des différetes surfaces à peidre Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'ue photo par la foctio f défiie sur l'itervalle 0 ; 20 par O ote repère (O, I, J) f ( x) ( x 1)l( x 1) 3x 7 Ue muicipalité a décidé d'istaller u module de skateboard das u parc de la commue Le dessi ci-cotre e fourit ue perspective cavalière Les quadrilatères OAD'D, DD'C'C, et OAB'B sot des rectagles Le pla de face (OBD) est mui d u repère orthoormé (O, I, J) L'uité est le mètre La largeur du module est de 10 mètres, autremet dit, DD' = 10, sa logueur OD est de 20 mètres f ' la foctio dérivée de la foctio f et c la courbe représetative de la foctio f das le Partie 1 1 Motrer que pour tout réel x apparteat à l itervalle 0 ; 20, o a f '( x) l( x 1) 2 c 2 E déduire les variatios de f sur l itervalle 0 ; 20 et dresser so tableau de variatio 3 Calculer le coefficiet directeur de la tagete à la courbe c au poit d'abscisse 0 La valeur absolue de ce coefficiet est appelée l icliaiso du module de skateboard au poit B 4 O admet que la foctio g défiie sur l itervalle 0 ; 20 par a pour dérivée la foctio g ' défiie sur l itervalle g( x) ( x 1) l( x 1) x x 0 ; 20 par g '( x) ( x 1)l( x 1) Détermier ue primitive de la foctio f sur l itervalle 0 ; 20 7/8

8 Partie 2 Les trois questios de cette partie sot idépedates 1 Les propositios suivates sot-elles exactes? Justifier les réposes P1 : La différece de hauteur etre le poit le plus haut et le poit le plus bas de la piste est au mois égale à 8 mètres P2 : L icliaiso de la piste est presque deux fois plus grade e B qu'e C 2 O souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d ue couche de peiture rouge La peiture utilisée permet de couvrir ue surface de 5 m² par litre Détermier, à 1 litre près, le ombre miimum de litres de peiture écessaires 3 O souhaite peidre e oir la piste roulate, autremet dit la surface supérieure du module Afi de détermier ue valeur approchée de l'aire de la partie à peidre, o cosidère das le repère (O, I, J) du pla de face, les poits B ( k ; f ( k )) pour k variat de 0 à 20 k Aisi, B0 B O décide d'approcher l'arc de la courbe c allat de B k à B k 1 par le segmet BB 1 k k Aisi l aire de la surface à peidre sera approchée par la somme des aires des rectagles du type B k B k 1 B k 1 B k (voir figure) a Motrer que pour tout etier k variat de 0 à 19, BkBk 1 ( f ( k 1) f ( k)) 2 1 b Compléter l'algorithme suivat pour qu'il affiche ue estimatio de l'aire de la partie roulate Variables Foctio S: réel K: etier f : défiie par f ( x) ( x 1)l( x 1) 3x 7 Traitemet S pred pour valeur 0 Pour K variat de à S pred pour valeur Fi Pour Sortie Afficher 8/8

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