1 + ln x MA + MB + MC + MD. AMERIQUE DU SUD Novembre 2000

Transcription

1 MERIQUE DU SUD Novembre 000 EXERIE U sac cotiet trois boules umérotées respectivemet 0, et, idiscerables au toucher. O tire ue boule du sac, o ote so uméro et o la remet das le sac ; puis o tire ue secode boule, o ote so uméro y et o la remet das le sac. Toutes les boules ot la même probabilité d'être tirées. À chaque tirage de deu boules, o associe das le pla, mui d'u repère orthoormal (O, i, j ), le poit M de coordoées ( ; y). O désige par D le disque de cetre O et de rayo,7. Les résultats serot doés sous forme de fractio irréductible.. Placer das le pla mui du repère (O, i, j ), les poits correspodat au différets résultats possibles.. alculer la probabilité de chacu des évéemets suivats : «Le poit M est sur l'ae des abscisses» ; : «Le poit M appartiet au cercle de cetre O et de rayo». 3. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deu boules, associe la somme y. a. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X. alculer so espérace mathématique E (X). b. Motrer que la probabilité de l'évéemet «le poit M appartiet au disque D» est égale à O tire fois de suite, de faço idépedate, deu boules successivemet et avec remise. O obtiet aisi poits du pla. Quelle est la probabilité de l'évéemet suivat : : «u mois u de ces poits appartiet au disque D»?. O reouvelle fois de suite, de faço idépedate, le tirage de deu boules successivemet et avec remise. O obtiet aisi poits du pla. Détermier le plus petit etier strictemet positif tel que la probabilité de l'évéemet «au mois u de ces poits appartiet à D» soit supérieure ou égale à 0,9999. EXERIE (obligatoire) Le pla complee est rapporté à u repère orthoormal direct (O ; u, v ) (uité graphique : cm).. a. Doer l'écriture algébrique du ombre complee de module et dot u argumet est b. Résoudre das l'équatio i = 4 i. O doera la solutio sous forme algébrique.. O désige par I, et les poits d'affies respectives, i et 3 i. a. Faire ue figure que l'o complétera au cours de l'eercice. b. alculer l'affie du poit image de par la symétrie de cetre I. c. Écrire sous forme algébrique le ombre complee. E déduire le module et u argumet de ce ombre. ( et désiget les affies des poits et ). d. Soit D le poit d'affie D tel que D =. Motrer que D est u carré. 3. Pour tout poit M du pla, o cosidère le vecteur M M M MD. a. Eprimer le vecteur M M M MD e foctio du vecteur MI. b. Motrer que le poit K défii par : K K K KD = est le milieu du segmet [D]. c. Détermier l'esemble Γ des poits M du pla tels que : M M M MD =. ostruire Γ. PROLÈME Partie - Étude préiaire : mise e place d'ue iégalité. Le pla est mui d'u repère orthoormal (O, i, j ). O désige par la droite d'équatio y = et par Γ la courbe d'équatio y = e. a. Que représete la droite pour la courbe Γ? b. Tracer das le repère (O, i, j ) la droite D et doer l'allure de Γ.. a. Démotrer que pour tout réel t, e t t. Iterpréter graphiquemet ce résultat. b. E déduire que pour tout réel t, e t t, et que pour tout de IR *, o a : l. Partie - Étude d'ue foctio O cosidère la foctio g défiie sur ] 0 ; [ par : g() = ( ) l. O appelle la courbe représetative de g das le pla mui d'u repère orthoormal (O ; u, v ) (uité graphique: cm).. a. Étudier le ses de variatio de g e utilisat la partie. b. Détermier les ites de la foctio g e 0 et e.. a. Détermier ue équatio de la tagete D à au poit d'abscisse. b. O appelle h la foctio défiie sur ] 0 ; [ par : h() = g(). Étudier le ses de variatio de h. (O pourra utiliser la questio a..b.). E déduire le sige de h() suivat les valeurs de. c. Étudier la positio de par rapport à D. 3. Tracer et D das le repère (O ; u, v ). 4. Pour tout de IN *, o pose U = g( ) d. a. Doer ue iterprétatio géométrique de U. b. Motrer que, pour tout etier aturel o ul, o a : g() U g( ). c. E déduire le ses de variatio de la suite (U ). d. La suite (U ) est-elle covergete? Partie - Étude d'ue primitive G désige la primitive de g sur ] 0 ; [ qui s'aule e. O a doc : pour tout apparteat à l'itervalle ] 0 ; [, G() = g( t) d t.. Quel est le sige de G () suivat les valeurs de?. alculer G () à l'aide d'ue itégratio par parties. 3. Détermier les ites de G e 0 et e. Pour l'étude e, o pourra mettre e facteur das l'epressio G (). Pour l'étude e 0, o admettra que l = 0.

2 ORRETION EXERIE. Les différets résultats possibles sot (0 ; 0) (0 ; ) (0 ; ) ( ; 0) ( ; ) ( ; ) ( ; 0) ( ; ) ( ; ).. Les différets tirages sot équiprobables, il eiste 9 cas possibles doc p() = 3 9 = 3. Il eiste 3 cas favorables doc p() = a. E marquat das u tableau à double etrée les résultats possibles pour y : y X pred doc les valeurs 0 ; ; ; 4 ; ; 8 k Total p(x = k) k p(x = k) E (X) = 30 9 b. D est le disque d équatio y =,7 =,89. Il eiste doc 4 poits apparteat à ce disque doc la probabilité de l évéemet «le poit M appartiet au disque D» est égale à est l évéemet «u mois u de ces poits appartiet au disque D» doc est l évéemet : «ucu de ces poits appartiet au disque D». Les tirages état idépedats : p( ) = doc p() = = La probabilité de l évéemet «au mois u de ces poits appartiet à D» est égale à. 0,9999 0,000 l (0,000) l or l l 0,000 < 0 doc l 9 l 0,000,67 doc le plus petit etier strictemet positif tel que la probabilité de l évéemet «au mois u de ces poits l 9 appartiet à D» soit supérieure ou égale à 0,9999 est 6.

3 EXERIE π π. a. = cos i si = i b. i = 4 i ( i) = 4 i = 4 i i = ( i) ( i) ( i) ( i) = ( i) ( i) = 3 i.. b. I est le milieu de [] doc I = doc = I soit = i c. i (3 i) = = i (3 i) 3 i = i 3 i π i est u complee de module et d argumet doc est u complee de module et d argumet d. D = doc = D, le quadrilatère D est doc u parallélogramme. est u complee de module et d argumet = = doc le triagle est isocèle e, le parallélogramme D a doc deu côtés cosécutifs de même logueur doc est u losage. arg = ( ; ) or π est d argumet, doc le triagle est rectagle e, le losage D a u agle droit doc est u carré. 3. Pour tout poit M du pla, o cosidère le vecteur M M M MD. a. I est le milieu de [] et le quadrilatère D est doc u parallélogramme doc I est le milieu de [D] doc M M = MI et M MD = MI M M M MD = 4 MI. b. K K K KD = 4 KI = doc KI = doc K milieu de [K] Pour s e covaicre : KD DI = KD D = KD = D KD = D K milieu de [K] c. M M M MD = 4 MI doc Γ est l esemble des poits M du pla tels que 4 MI = doc MI = = IK Γ est le cercle de cetre I passat par K. K o I D 3

4 PROLÈME Partie - Étude préiaire : mise e place d ue iégalité. a. Si f () = e, alors f () = e doc f (0) = f (0) = doc est la tagete au poit d abscisse 0 à la courbe Γ.. a. Soit φ(t) = e t t φ est défiie dérivable sur R et φ (t) = e t doc φ (t) < 0 sur ] ; 0 [ et φ (t) > 0 sur ] 0 ; [ ; φ (0) = 0 φ est doc décroissate sur ] ; 0 [ et croissate sur [ 0 ; [ doc admet u miimum e 0. Pour tout t réel, φ(t) φ(0) soit φ(t) 0, doc pour tout réel t, e t t. La courbe Γ est toujours au-dessus de. b. pour tout réel u, e u u doc pour t = u, ou e remplaçat u par t : e t t doc pour tout réel t, e t t t t soit pour tout réel t, e t t. Pour tout de R *, soit t = l ; e t = e t = doc e remplaçat t par l das l iégalité précédete : pour tout de R *, o a : l. Partie - Étude d ue foctio. a. g est défiie cotiue dérivable sur ] 0 ; [. g () = l ( ) = l doc g () g est strictemet croissate sur ] 0 ; [ b. g() = ( ) l or l = et = doc g() = g() = ( ) l or l = et = doc g() =. a. g() = 0 et g () = doc ue équatio de la tagete D à au poit d abscisse est y = b. h est défiie cotiue dérivable sur ] 0 ; [. h () = g () or pour tout de ] 0 ; [, g () doc h () 0 doc h est croissate sur ] 0 ; [. h() = g() = 0 doc sur ] 0 ; [, h() 0 et sur [ ; [, h() 0 4

5 c. Pour étudier la positio de par rapport à D, il suffit de détermier le sige de g() ( ) soit de h() doc d après les résultats précédets : sur ] 0 ; [, h() 0 doc sur ] 0 ; [, la courbe est e dessous de D sur [ ; [, h() 0 doc sur [ ; [, la courbe est au dessus de D 4. a. La foctio g est positive sur [ ; [ doc U est l aire du domaie pla ité par l ae des abscisses, la courbe et les droites d équatio = et = (aire colorée sur le graphique das le cas = ) b. La foctio g est croissate sur ] 0 ; [ doc pour tout etier aturel o ul, si alors g() g() g( ) La foctio g est cotiue sur ] 0 ; [, doc pour tout etier aturel o ul, o a : g( ) d g( ) d g( ) d g() et g( ) sot des costates doc : g( ) d g( ) d g( ) d soit g() U g( ). c. pour tout etier aturel o ul : g() U g( ) et g( ) U g( ) doc U g( ) U soit pour tout etier aturel o ul, U U doc la suite (U ) est croissate. d. g() = doc g() = or pour tout etier aturel o ul : g() U doc U =. La suite (U ) est divergete. Partie - Étude d ue primitive. La foctio g est cotiue positive sur [ ; [ doc si, G() 0 La foctio g est cotiue égative sur ] ; ] doc si, g( t) dt 0 doc G est positive sur ] 0 ; [. g( t) dt 0. Soit u () = ( ) u() = v() = l v () =. G() = t t l t t t dt G() = l t dt t G() = l t t 4 G() = l G() = l 4 4 l = 0 doc l = 0 et 4 4 = 4 doc G() = 4 G() = l 4 4 = G() = et l = et 4 4 = 4 doc l 4 4 =