Caractérisation par Microscopie en Champ Proche Optique de Composants de l Optique Intégrée

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1 N d ordre Année 2003 Thèse Caractérisation par Microscopie en Champ Proche Optique de Composants de l Optique Intégrée A Présenter devant L institut national des sciences appliquées de Lyon Pour obtenir Le grade de docteur École doctorale : École doctorale Matériaux de Lyon Spécialité : Matière Condensée, Surfaces et Interfaces Par Matthieu MARTIN A Soutenir le 18 décembre 2003 devant la Commission d examen Jury Mr. P. BENECH Professeur (INP Grenoble) Rapporteur Mr. B. JACQUIER Directeur de recherche (CNRS) (UCBL) Rapporteur Mr. P. ROYER Professeur (UTT) Examinateur Mme A. TALNEAU Chargé de recherche (CNRS) (LPN) Examinatrice MR. G. GUILLOT Professeur (INSA de Lyon) Examinateur Mr. T. BENYATTOU Chargé de recherche (CNRS) (INSA de Lyon) Directeur de thèse

2 Caractérisation par Microscopie en Champ Proche Optique de Composants de l Optique Intégrée Résumé Sujet de recherche en pleine expansion, les composants de l optique intégrée souffraient jusqu à ces dernières années du manque d une technique de caractérisation complète et non-destructive. Ce travail de thèse a pour principal but de démontrer l extrême intérêt que présente la microscopie en champ proche optique pour la caractérisation de ces composants fonctionnant dans le domaine des longueurs d ondes des télécommunications [ µm]. Nous commençons par de brefs rappels sur la théorie de l électromagnétisme nécessaires à la compréhension des études menées en champ proche optique ainsi que par l exposé des concepts de base de la microscopie en champ proche optique. Notre travail se focalise ensuite sur la description de notre appareillage de champ proche et notamment sur les modifications que nous lui avons apportées en vue de son utilisation spécifique pour la caractérisation de composants de l optique intégrée. Nous présentons ensuite nos études menées sur des composants basés sur le principe des interférences multimodes (MMI), fabriqués par échange d ions sur verre et conçus pour la recombinaison de faisceaux issus de télescopes astronomiques. Nous montrerons alors que la microscopie en champ proche optique permet une caractérisation précise de ce type de composants et un retour fin sur les paramètres physiques déterminant le comportement de ces structures (contraste d indice, excitation modale, paramètres géométriques ). Nous présentons en perspectives, les premières mesures effectuées sur des composants nano-photoniques où nous avons mis en évidence la présence d une onde de Bloch se propageant au sein d un guide à base de cristaux photoniques. Mots-clés : Microscopie en champ proche optique Optique de champ proche SNOM Optique intégrée Composants Interférences multimodes MMI Guide d onde Optique intégrée sur verre simulation Méthode des faisceaux propagés BPM.

3 Optical Integrated Devices Characterization by Scanning Near-field Optical Microscopy Abstract The increasing complexity and decreasing sizes of today s integrated optics devices raises the need for a characterization technique that gives a real insight of the intrinsic behavior of those devices. This work aims to demonstrate the extreme valuableness of scanning near-field optical microscopy (SNOM) for the characterization of integrated optics devices working in the range of telecommunication wavelength [ µm]. A brief overview of the electromagnetism theoretical background needed for a good understanding of near-field optical studies is given and the basic concepts of near-field scanning optical microscopy are described. Our work then focuses on the description of our technical implementation of a near-field optical experiment specifically applied to the study of photonic devices in the telecommunication wavelength range. Near-field optical studies of multimode interference (MMI) based devices, made by ion exchange on glass substrate and designed for astronomical telescope recombination, are then performed. The resulting electromagnetic field maps are deeply analyzed and compared to Beam Propagation Method (BPM) type simulation. We then show that SNOM allows us to accurately determine the physical parameters influencing the devices behavior (index contrast, mode excitation, geometrical parameters ). We also present as perspectives to this work some primal measurements on very low size photonic devices revealing resolution better than λ/10 and identifying Bloch waves inside a photonic crystal based waveguide. Key words: Scanning near-field optical microscopy Near-field optics SNOM Integrated optics Photonic devices Multimode Interference MMI Optical Waveguide Integrated optics on glass substrate simulation Beam Propagation Method BPM.

4 Introduction

5 Observer et comprendre le monde jusqu à ces éléments les plus fins constituent une quête perpétuelle de la recherche scientifique. L homme qui jusqu au XIX ème siècle voyait son champ d observation limité à ce que pouvait détecter l œil, accède, à travers l invention du microscope, à un monde jusqu alors inconnu. La première barrière vers le nano-monde est franchie. Très rapidement, cependant, la loi de la diffraction établie par Abbe impose une limite fondamentale : ne peuvent être observés que les objets dont la dimension est de l ordre de la longueur d onde. Cette nouvelle barrière a été le facteur motivant le développement de nouvelles techniques de microscopie. Ainsi ont vu le jour les microscopes électroniques à balayage et à transmission ou encore, plus récemment, les microscopes dits à sondes locales tels que le microscope à effet tunnel ou le microscope à force atomique. Ces nouvelles techniques donnent accès à une observation à l échelle nanométrique, voire atomique. Ce gain drastique en résolution se fait cependant au détriment de certains avantages que seule procure la microscopie optique. La quête d une meilleure résolution par voies optiques n a donc pas pour autant été abandonnée et c est cette quête qui a conduit au développement de la microscopie en champ proche optique. En utilisant les bases établies des microscopies à sonde locale, afin d outre passer la limite de diffraction, cette technique nous donne un accès à de hautes résolutions sans compromettre les avantages liés à la microscopie optique conventionnelle (sensibilité, flexibilité, accès aux mesures spectrales ). L interaction de la lumière avec un objet résulte dans la génération de deux composantes. La première, appelée composante de champ lointain et qui correspond aux basses fréquences spatiales (i.e. contours grossiers) de l objet, est constituée d ondes propagatives et c est elle qui est détectée en microscopie conventionnelle. La seconde est appelée composante de champ proche. Elle correspond aux détails fins de l objet (hautes fréquences spatiales) et est confinée dans le proche voisinage de l objet (d où le nom de champ proche). C est en détectant et utilisant cette composante évanescente de la lumière, qui reste inaccessible en microscopie classique, que la microscopie en champ proche optique permet d atteindre des résolutions en deçà de celle imposée par la diffraction. Ce pouvoir de résolution accru a fait de la microscopie en champ proche optique un outil de plus en plus prisé dans de nombreux domaines et pour d innombrables applications. Mais, outre son grand pouvoir de résolution, la microscopie en champ proche optique est extrêmement intéressante de part son principe même de fonctionnement. Sa capacité à détecter le champ évanescent en surface d un échantillon rend notamment cette technique particulièrement attractive pour l étude de composants de l optique intégrée. Apparue dans les années 70, cette discipline est à l optique ce que la microélectronique est à l électronique. Elle vise la transposition de dispositifs de l optique de volume sous une forme équivalente miniaturisée où différentes fonctionnalités optiques de base sont combinées et intégrées sur une même puce optique. Le but étant de réduire les coûts de fabrication et l encombrement. Cette discipline voit son application majeure dans le domaine des télécommunications (routage, multiplexage/démultiplexage) mais s insère également dans de nombreux autres domaines (interconnexions optiques, interférométrie, capteurs ). La caractérisation des dispositifs de l optique intégrée se fait usuellement par voie indirecte, la lumière se propageant au sein de ces composants n étant pas accessible directement. La méthode la plus courante consiste en des mesures de transmission. La lumière est injecté à l entrée du composant et analysée en sortie, après propagation. Le comportement interne du dispositif reste alors inconnu. De plus, de telles mesures ne permettent qu une caractérisation globale de dispositifs parfois complexes et pouvant 2

6 Introduction présenter plusieurs fonctionnalités en cascade. Chacune de ces fonctions doit alors être caractérisée séparément ce qui, d une part, nécessite plusieurs composants et d autre part, ne permet pas d étudier l effet réciproque d une fonction sur l autre. Le comportement interne des composants peut néanmoins être obtenu mais cela nécessite l utilisation de méthodes destructives. D autre méthodes de caractérisation peuvent être envisagées, notamment l observation via une caméra de la surface du composant. Cette technique ne s avère cependant efficace que pour des structures présentant de fortes pertes dans la direction verticale ce qui, généralement, n est pas souhaitable. Ainsi, la capacité qu a la microscopie en champ proche optique de détecter le champ évanescent associé aux modes guidés et présent en surface des structures guidantes procure à cette technique un véritable avantage par rapport aux méthodes mentionnées précédemment. L obtention de la carte du champ propagé nous donne en effet accès, de manière non destructive, aux informations liées au fonctionnement interne des dispositifs ce qui est sans précédent et constitue la motivation première du développement de la microscopie en champ proche optique appliquée à l étude de composants de l optique intégrée. C est dans ce vaste domaine que s inscrit ce travail de thèse. Notons toutefois que diverses études ont déjà été menées dans ce champ d application. Cependant, la plupart d entre elles ont été effectuées dans le domaine des longueurs d onde visibles et très peu a encore été entrepris dans le domaine des longueurs d onde des télécommunications [1.3, 1.55 µm] qui constitue le cadre de ce travail. L analyse et la compréhension des phénomènes observés en champ proche optique sur des structures de l optique intégrée nécessite en premier lieu la connaissance de quelques notions fondamentales de la propagation des ondes électromagnétiques (onde plane électromagnétique, équation de propagation, réflexion totale, modes guidés ). Le premier chapitre de ce manuscrit a pour but d introduire ces notions à travers quelques rappels sur les équations de Maxwell. Nous introduirons également dans ce chapitre la description de deux outils (la méthode de l indice effectif et la simulation par BPM) très couramment utilisés en optique intégrée pour la modélisation et la simulation des structures. Ces outils nous permettrons par la suite une confrontation directe de nos mesures avec la théorie. Le deuxième chapitre nous permettra d établir d un point de vue théorique les concepts de base de la microscopie en champ proche optique. Les notions de champ proche et de champ lointain seront abordées et nous verrons comment il est possible d accéder aux informations contenues dans le champ proche d un objet malgré le caractère non-propagatif des ondes constituant ce dernier. Ceci nous permettra d établir le principe de fonctionnement sur lequel se basent nos mesures : la détection de la partie évanescente des modes guidés. Le chapitre trois est consacré à la mise en pratique de nos expériences de champ proche optique. Après avoir décrit brièvement les divers modes de fonctionnement d un microscope à champ proche optique et les briques de bases le constituant, nous détaillerons notre approche du sujet. Nous présenterons notamment les modifications que nous avons apportés à notre appareillage afin de le faire évoluer vers un système dédié à l étude de composants de l optique intégrée. 3

7 Introduction Nous nous attacherons, dans le quatrième chapitre, à l étude approfondie de structures de l optique intégrée : les imageurs à base de section multimode fabriqués par échange d ions sur verre. Nous commencerons par un rappel théorique sur le fonctionnement de ce type de structures et une brève introduction de la technique de fabrication des guides optiques intégrés sur verre par échange d ions. L intérêt, à notre égard, de cette technique de fabrication réside dans le fait que les variations de l intensité du champ propagé sont lentes, ce qui permet une cartographie précise sans pousser la résolution de l appareillage dans ces derniers retranchements. La microscopie en champ proche optique étant une thématique nouvelle au laboratoire, le but de ces études était, en premier lieu, la validation de l intérêt que présentent des mesures SNOM sur ce type de composants. Nous montrerons, à travers l analyse de trois structures de complexité croissante que la microscopie en champ proche optique est un outil inégalable pour la caractérisation de structures de l optique intégrée car elle donne accès à de nombreuses informations contenues dans la carte du champ propagé et donc inaccessibles par des méthodes classiques. Nous verrons notamment que l étude d un guide droit faiblement multimode permet l analyse de l excitation modale de la structure. Des structures imageurs plus complexes seront ensuite étudiées en détail et nous verrons que la cartographie de champ proche optique permet un retour fin sur les paramètres physiques qui définissent ces structures (contraste d indice, paramètres géométriques, influence de l excitation ). Enfin, une conclusion générale fera le point et nous présenterons les perspectives ouvertes par ce travail. 4

8 Chapitre 1 : RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL

9 Sommaire Sommaire I. INTRODUCTION... 7 II. RAPPEL DE LA THEORIE DE L ELECTROMAGNETISME... 7 II-1. EQUATIONS DE MAXWELL ET PROPAGATION... 7 II-1-1. Equations de Maxwell... 7 II-1-2. L équation d onde... 9 II-1-3. Propagation d ondes planes électromagnétiques II-2. REFLEXION ET REFRACTION II-2-1. Les lois de réflexion et de réfraction de la lumière II-2-2. Réflexion totale interne Champ évanescent III. MODES GUIDES D UNE STRUCTURE DIELECTRIQUE III-1. STRUCTURE DIELECTRIQUE PLANE III-1-1. Modèle mathématique III-1-2. Modes TE et TM III-1-3. Sélection de la forme appropriée de la solution III-1-4. Equation caractéristique et solutions modales III-1-5. Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure III-2. LA METHODE DE L INDICE EFFECTIF ET LA SIMULATION PAR BPM III-2-1. La Méthode de l indice effectif Etape Etape III-2-2. La Simulation par BPM Principe de base de la BPM. BPM scalaire et approximation paraxiale La solution numérique Avantages et inconvénients de la BPM classique; les améliorations possibles IV. CONCLUSION

10 Chapitre d'équation 1 Section 1 I. INTRODUCTION Le but de ce chapitre est de poser les fondements de l électromagnétisme qui permettront la compréhension des phénomènes observés en microscopie en champ proche optique sur des structures de l optique guidée. Les bases de l électromagnétisme et la notion de propagation d onde nous permettront également de mieux appréhender les calculs définissant la notion de champ proche optique présentée dans le chapitre suivant. Nous allons, dans un premier temps, passer en revue les équations de Maxwell. Celles-ci nous permettront d obtenir l équation de la propagation des ondes pour un milieu diélectrique infini. Une solution de cette équation, l onde progressive plane, sera examinée en détail. Nous envisagerons ensuite le cas d une discontinuité dans le milieu de propagation. Ceci nous permettra d obtenir les lois gouvernant les phénomènes de réflexion et réfraction à l interface entre deux milieux diélectriques. Nous décrirons le phénomène de réflexion totale et la création de champ évanescent qui en découle du point de vue de l optique guidée. Une fois ces concepts établis, nous nous attacherons à l étude des modes guidés d un guide d onde diélectrique. Nous présenterons d abord l étude d une structure diélectrique plane, un guide diélectrique symétrique à trois couches, car il présente des solutions mathématiques simples et faciles à comprendre et constitue en outre une des structures essentielles pour la technologie de l optique intégrée. Cependant, la géométrie des guides d ondes à laquelle nous serons confrontés par la suite ne permet pas une résolution analytique du problème de propagation. Nous terminerons donc ce chapitre par la présentation d outils de simulation couramment utilisés en optique intégrée (la méthode de l indice effectif et la méthode du faisceau propagé) qui permettent de contourner ce handicap. II. RAPPEL DE LA THEORIE DE L ELECTROMAGNETISME Section d'équation 2 II-1. II-1-1. Equations de Maxwell et Propagation Equations de Maxwell Les équations de Maxwell sont les quatre équations fondamentales de la théorie de l électromagnétisme et la théorie des guides d ondes repose sur elles. Leur forme générale est donnée dans le Tableau II-1.

11 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL B E = t D H = J + t B =0 D = ρ E : Champ Electrique (V/m) B : Densité du Flux Magnétique (Tesla) D : Densité du Déplacement Electrique (C/m²) H : Champ Magnétique (A/m) J : Densité de Courant (A/m²) ρ : Densité de Charge Electrique (II-1) (II-2) (II-3) (II-4) Tableau II-1 : Les équations de Maxwell Nous pouvons caractériser un milieu par les relations de constitution qui permettent d exprimer les densités de champs D et B, et la densité de courant ( J ) en fonction des champs E et H. Pour un milieu homogène, isotrope et linéaire (et si le milieu obéit à la loi d Ohm), les équations de constitution s écrivent : D = ε E B = µ H J = σ E (II-5) où ε, µ et σ sont des constantes tensorielles indépendantes de E et H. Pour un milieu diélectrique isotrope et sans perte, que nous considérerons lorsque nous étudierons les guides d ondes, ces constantes sont définies par : εr = ε/ ε0 = n (n : indice de réfraction du milieu) µ r = µ / µ 0 (pour les milieux non magnétique µ = µ 0) σ = 0 (Milieu non-conducteur) où ε r est la permittivité relative et µ r la perméabilité relative. Ainsi, pour un milieu diélectrique isotrope sans charge, sans perte et non magnétique, que nous allons considérer dans ce qui suit, les équations de Maxwell et les relations de constitution peuvent s écrire comme présentées dans le Tableau II-2. 8

12 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL B E = t D H = t D =0 B =0 B= µ 0 H D= εe= ε 0 ne ² (II-6) (II-7) (II-8) (II-9) (II-10) (II-11) Tableau II-2 : Milieux diélectriques isotropes sans charge et sans perte : équations de Maxwell et relations de constitution. Ces équations différentielles sont celles auxquelles les champs E et H doivent obéir lors de la propagation dans un milieu. Les solutions particulières des ces équations sont trouvées à partir des conditions aux limites. Les conditions aux limites générales pour différentes quantités électromagnétiques sont données dans le Tableau II-3. Continuité de la composante normale du courant de déplacement électrique : ( s).( D2 D 1) = 0 (II-12) Continuité de la composante tangentielle du champ électrique : ( s) ( E2 E 1) = 0 (II-13) Continuité de la composante normale de la densité de flux magnétique : ( s).( B2 B 1) = 0 (II-14) Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique : ( s) ( H2 H 1) = 0 (II-15) Tableau II-3 : Continuité des composantes des champs r électromagnétiques à l interface de deux milieux d indice n1 et n2. Le vecteur unitaire s est la normale à l interface. II-1-2. L équation d onde Les équations de Maxwell décrites précédemment ne sont pas facile à résoudre car elles forment un système d équations couplées. Cependant, à partir de ces dernières, nous pouvons construire un nouveau système d équations (appelées équations d ondes) qui est plus facile à analyser car les équations sont découplées, c est à dire que chacune d elle ne fait intervenir qu un champ ( E ou H ). Elles sont donc très utiles pour résoudre des problèmes de conditions aux limites. Les équations d ondes générales sont données, pour les champs respectivement, par les relations suivantes : 2 E n² ² E µε 0 0n² = ( E. ) 2 t n² et : 2 H ² H µε 0 0n² = 0 2 t E et H (II-16) (II-17) 9

13 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL Il est intéressant de noter que pour un milieu homogène, n n est pas fonction des coordonnées de l espace ( nx (, yz, ) = n x, yz)., Donc n = 0 et la relation (II-16) devient : 2 E ² E µε 0 0n² = 0 (II-18) 2 t Cette équation est appelée équation d onde homogène. Le calcul du champ électromagnétique d un guide d onde revient alors à résoudre l équation d onde sous certaines conditions aux limites. Ainsi, dans le cas d un guide à saut d indice, on est amené à résoudre l équation homogène (II-18) à la fois à l intérieur du guide et à l extérieur afin d obtenir les expressions des champs. Pour les guides à gradient d indice, on doit en principe résoudre l équation d onde générale (II-16). La section suivante sera consacrée à l étude d une solution particulière de l équation d onde homogène, l onde plane homogène. II-1-3. Propagation d ondes planes électromagnétiques H sont des fonctions Nous considérons dans ce qui suit que les champs E et sinusoïdales du temps et s écrivent sous la forme suivante : E = ε exp( jωt) H = h exp( jωt) où ε et h sont les vecteurs complexes qui ne dépendent que des coordonnées spatiales. Dans ce cas particulier de champs à variation temporelle sinusoïdale, nous pouvons réécrire les équations de Maxwell sous la forme donnée dans Tableau II-4. k ε = jωµ 0h = jk0η0h (II-19) n² h = jwε0n² ε = j k0ε (II-20) η0 η 0 : impédance du vide (377 Ω ) 2π = : nombre d'onde, avec λ la longueur d'onde dans le vide 0 0 λ0 Tableau II-4 : Equations de Maxwell pour un milieu diélectrique d indice de réfraction n. Les champs considérés ont des variations temporelles sinusoïdales. De manière analogue à la section précédente nous pouvons déduire les équations d onde pour les champs ε et h : ² ε + k² ε = 0 (II-21) ² h + k² h = 0 ω 1 où le nombre d onde k est défini par k = n = nk0, avec c = la vitesse de la c εµ 0 0 lumière dans le vide. Les équations (II-21), aussi appelées équations de Helmholtz, possèdent une solution élémentaire, l onde plane uniforme : 10

14 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL ε = ε c exp( jkr. ) (II-22) h = h c exp( jkr. ) (II-23) ε et h sont deux vecteurs contenus dans un plan normal à la direction de propagation l, et k est le vecteur d onde orienté selon la direction de propagation ( k= kl. ). εc et h c sont deux vecteurs constants, i. e. ils ne dépendent pas des variables d espace. L application directe des équations de Maxwell sur cette onde nous conduit à la relation d impédance qui relie le champ électrique au champ magnétique : 1 hc = l ε c (II-24) η autrement dit ε µ η = c = (II-25) h ε c η = η /n 0 avec n l indice de réfraction du milieu diélectrique. Les équations de Maxwell nous montrent, en outre, que les vecteurs E et H sont perpendiculaires entre eux et que la direction de propagation est donnée par la direction du vecteur résultant du produit vectoriel E H. La Figure II-1 illustre cette orthogonalité. Les champs électrique et magnétique étant perpendiculaires à la direction de propagation, l onde est aussi appelée onde transverse électromagnétique (TEM). Figure II-1 [1]: Variation (à un instant t donné) par rapport à l axe z des vecteurs champ électrique et champ magnétique d une onde plane électromagnétique se propageant selon l axe des z. Les deux vecteurs sont en phase et perpendiculaires entre eux. La direction de propagation de l onde est donnée par le vecteur E H. En conclusion, l onde plane uniforme est une solution très simple des équations de Maxwell. Cette solution est cependant de toute première importance car elle est la solution élémentaire qui permet, grâce à la théorie du spectre angulaire des ondes planes, d analyser la propagation d un faisceau quelconque. C est pourquoi bien souvent, en optique, la première approximation pour une solution est de poser que l onde incidente est plane et uniforme. 11

15 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL II-2. Réflexion et Réfraction Nous allons, dans cette partie, étudier les effets d une discontinuité du milieu diélectrique sur la propagation d une onde plane uniforme. De telles discontinuités existent partout à la frontière entre la partie guidante d un guide d onde (le cœur) et le milieu environnant. II-2-1. Les lois de réflexion et de réfraction de la lumière Soit une interface infinie et plane entre deux milieux diélectriques linéaires, homogènes et isotropes, d indice de réfraction n 1 et n 2 respectivement, comme schématisé sur la Figure II-2. On suppose une onde incidente plane et uniforme de direction de propagation l i. Lorsqu elle rencontre l interface, une partie de l onde va être réfléchie dans la direction l r et une partie sera transmise dans le milieu 2 selon la direction l t, si toutefois les conditions pour qu une telle onde existe sont satisfaites. Nous allons maintenant résoudre le problème posé par les conditions aux limites afin de trouver les paramètres des ondes réfléchie et transmise. Cela revient, à trouver la relation liant les champs électriques de ses trois ondes entre eux. D une manière générale, une onde peut-être décomposée selon deux polarisations distinctes appelées polarisation TE (ou s) et polarisation TM (ou p) respectivement. La polarisation TE correspond à une orientation du champ électrique perpendiculaire au plan d incidence (voir Figure II-2). Un champ électrique orienté parallèlement au plan d incidence donnera une polarisation TM. Schématiquement, il suffit d inverser les champ E et H sur la Figure II-2 Figure II-2 : Plans de l onde incidente (bleue), réfléchie (verte) et transmise (rouge) pour une onde incidente polarisée TE. Les vecteurs d ondes k, k et k pointent dans la i r t direction de propagation. Les angles θi, θr et θt sont respectivement l angle d incidence, de réflexion et de transmission. Le vecteur s est la normale à la surface. D après l équation (II-22) les champs électriques respectifs de l onde incidente, réfléchie et transmise s écrivent, en coordonnées cartésiennes : 12

16 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL ( jk. 1( x.sin θi+ z.cos θi )) Ei = E0i e (II-26) ( jk. 1( x.sin θr z.cos θr )) Er = E0r e (II-27) ( jk. 2 ( x.sin θi+ z.cos θt )) Et = E0t e (II-28) L application des relations de continuité (II-13) et (II-15), et la résolution des équations qui en découlent nous conduisent alors à l obtention des équations de Fresnel, telles que reportées dans le Tableau II-5, qui expriment les taux de réflexion et de transmission de l onde incidente à l interface. R T R T TE TE TM TE E0r n1.cos θi n2.cosθt = = E0i n1.cos θi + n2.cosθt E0t 2 n1.cosθi = =. E0i n1.cos θi + n2.cosθt E0r n2.cos θi + n1.cosθt = = E0i n2.cos θi + n1.cosθt E0t 2 n1.cosθi = =. E n.cos θ + n.cosθ 0i 2 i 1 t (II-29) (II-30) (II-31) (II-32) Tableau II-5 : Equations de Fresnel pour une onde polarisée TE et TM respectivement. Ces équations et la loi de Snell-Descartes nous permettent de déterminer les relations existant entre l onde incidente et les ondes réfléchie et transmise à l interface de deux diélectriques pour tous types de polarisation du champ électrique incident. II-2-2. Réflexion totale interne Champ évanescent Nous allons maintenant détailler les calculs de l électromagnétisme nous permettant de définir les propriétés de l onde transmise lorsque l on est en régime de réflexion totale interne dans le milieu d indice n 1. Commençons par examiner le champ transmis au fur et à mesure que l angle d incidence (θ i ) se rapproche de l angle critique (θ c ) de la réflexion totale. Ce dernier, rappelons-le, étant défini par la relation : sin θ c = n2/ n1. L expression du champ transmis est donnée par l équation (II-28). En utilisant la relation : 2 n 1 cosθt = 1 sin ² i n2 dans l équation (II-28), nous obtenons l expression du champ transmis en fonction de θ i seul : E = E t θ 2 n 2 n1 jk. 2 x. sin θi+ z. 1 sin ² θ i n1 n 2 0t e (II-33) Tant que θ i varie entre 0 et θ c, le champ transmis se propage dans le milieu 2 avec une composante positive selon l axe z et une composante positive selon l axe x. 13

17 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL 2 2 Lorsque θi = θc, sin ² θ c = ( n2/ n1) et le terme 1 ( n1/ n2) sin ² θ i s annule. L équation (II-33) devient alors :. 2. E 0 e jk x t = E t (II-34) c est à dire que le champ se propage parallèlement à l interface (x positifs). 2 Lorsque θi devient supérieur à θ c, alors la quantité 1 ( n1/ n2) sin ² θ i devient imaginaire et nous pouvons écrire le champ transmis sous la forme :. z j. x Et = E0t e α e β (II-35) avec et 2 n 1 2 sin ² i 1 nk 1 0 sin ² i sin ² c n2 α = k θ = θ θ 2 1 β sinθi 1 0sinθi n2 (II-36) kn = = nk (II-37) Ainsi, lorsque θ i > θ c, c est à dire en régime de réflexion totale, l onde transmise (équation (II-35)) a un comportement particulier. Elle se propage parallèlement à l interface 1 avec une constante de propagation β et elle s atténue exponentiellement dans la direction perpendiculaire à la surface, d où son nom d onde évanescente, avec une constante d atténuation α. Il est également important de noter que pour θi θc, le flux moyen d énergie dans le milieu 2 est nul. Cela signifie que malgré la présence de l onde évanescente, il n y a pas de transfert d énergie dans le milieu 2. Autrement dit, l onde évanescente est nonpropagative. La Figure II-3 schématise le phénomène de réflexion totale pour une onde incidente plane polarisée TE. Rappelons que cette onde dite évanescente est de toute première importance lorsque nous utilisons un microscope à champ proche optique, car c est elle que nous venons collecter et qui nous fournit les informations relatives aux ondes guidées. 1 C est pourquoi cette onde est aussi appelée onde de surface. 14

18 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL a b Figure II-3 [2]: Réflexion et réfraction de la lumière pour une onde polarisée TE. a) θi < θc. L onde incidente donne une onde réfléchie et une onde transmise se propageant dans le milieu 2. b) θi > θc. La condition de réflexion totale est remplie et l onde transmise devient évanescente dans le milieu 2 et se propage parallèlement à l interface. 15

19 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL III. MODES GUIDES D UNE STRUCTURE DIELECTRIQUE Section d'équation 3 Nous allons, dans cette partie, nous intéresser à l étude des modes guidés de structures diélectriques. L analyse d un guide diélectrique est un problème de conditions aux limites. En effet, pour obtenir les expressions complètes des modes de propagation, on résout l équation d onde sujette à des conditions aux frontières du guide. L une de ces conditions fixe l amplitude relative des champs à l intérieur et à l extérieur du guide ; l autre résulte en une équation aux valeurs propres permettant le calcul de la constante de propagation du (ou des) mode(s) guidé(s). Afin de simplifier notre analyse, nous allons séparer les modes guidés en mode TE et TM pairs et impairs. Après avoir trouvé les expressions des constantes de propagation des modes, nous ferons un parallèle entre modes et ondes planes et nous verrons que la coupure d un mode correspond à la perte de réflexion totale interne des ondes planes se propageant dans le guide. III-1. Structure Diélectrique Plane Nous considérons ici un guide à trois couches, bidimensionnel selon les directions x et z, et infini selon la direction y comme schématisé sur la Figure III-1. Afin de simplifier l analyse, on considère que l indice de réfraction de la couche supérieure est égal à celui du substrat. Figure III-1 : Géométrie d un guide diélectrique à trois couches avec n 1 >n 2. Le but de notre étude est maintenant de trouver les modes de propagation possibles dans une telle structure, c est à dire de déterminer les composantes des champs électrique et magnétique et d évaluer leurs constantes de propagation. Nous progresserons dans cette étude à travers quatre étapes : 1 Modèle mathématique du guide plan à saut d indice en utilisant les équations de Maxwell et d onde en coordonnées cartésiennes. 2 Identification des deux familles de modes TE et TM. 3 Sélection de la forme appropriée de la solution de l équation d onde dans les régions n 1 et n 2 à partir des considérations physiques de guidages. 4 Applications des conditions aux limites à l interface n 1 /n 2 et obtention de l équation caractéristique et des solutions modales correspondantes. Nous procèderons ensuite à l analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure. 16

20 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL III-1-1. Modèle mathématique Nous considérons les champs électrique et magnétique sous la forme suivante : 0 ( jβz) ( jωt) E= E ( x)e e (III-1) 0 ( jβz) ( jωt) H = H ( x)e e (III-2) c est à dire des champs à variation temporelle sinusoïdale, se propageant dans la direction des z positifs et qui ne sont pas fonction de la variable d espace y (leur amplitude est constante selon cette direction). Les équations de Maxwell (II-19) et (II-20) nous permettent d expliciter chacune des composantes des champs E et H. Nous pouvons alors remarquer qu il est possible d écrire toutes les composantes transverses des champs (E x, E y, H x, H y ) en fonction des composantes longitudinales E z et H z. Ainsi, on peut montrer que E x et H y ne sont fonction que du champ E z et que E y et H x ne dépendent que de H z D autre part, nous savons que chacune des composantes des champs doit obéir à l équation d onde (II-21). Nous les écrivons ici, naturellement, seulement pour les composantes longitudinales des champs : 0 d² Ez 0 + γ ² Ez = 0 (III-3) dx² 0 dh ² z 0 + γ ² Hz = 0 (III-4) dx² Ainsi, la solution des modes du guide est maintenant ramenée à la solution de ces équations d onde ((III-3) et (III-4)) qui permettront par la suite le calcul des composantes transverses des champs dans les deux régions d indices n 1 et n 2. Il est à noter que nous avons introduit dans les équations précédentes une nouvelle constante γ, définie par : γ² = nk ² 0² β² (III-5) afin d alléger la notation. Cette constante est la différence des carrés de la constante de propagation d une onde plane dans le milieu d indice n et de la constante de propagation de l onde guidée. On la nomme constante de propagation transverse. III-1-2. Modes TE et TM La solution de l équation d onde (III-3) amènera pour le champ Ez deux constantes arbitraires d intégration, l une reliée à l amplitude dans la région 1, l autre à l amplitude du champ dans la région 2. De même, la solution pour le champ H z donnera deux autres constantes. L application des conditions aux limites sur les champs à l interface reliera les 4 constantes ( Ey, H y et Ez, H z) sous la forme de 4 équations. Or, du fait que E x et H y puissent être reliés à E z, et E y et H x à H z, ce système de 4 équations à 4 inconnues sera formé de deux groupes de 2 équations à 2 inconnues parfaitement indépendants. Nous allons donc étudier ces deux groupes en considérant les modes guidés selon deux familles. La première est constituée des modes que l on qualifie TE, c est à dire que le champ électrique est perpendiculaire au plan d incidence ( Ex = Ez = 0). Les composantes des champs pour cette famille sont données dans le Tableau III-1. 17

21 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL TE E E E 0 z 0 x = 0 = 0 où γ² = nk ² 0² β² η k = j γ ² y 1 dh dx 0 z H 0 z : solution de H H 0 x 0 y β dh = j γ ² dx = 0 (III-4) 0 z Tableau III-1 : Composantes des champs pour le mode TE. La seconde famille est celle des modes TM où, cette fois ci, le champ électrique est contenu dans le plan d incidence ( E y = 0). Le Tableau III-2 donne les composantes des champs pour cette famille. TM E 0 z : solution de E E 0 x 0 y β de = j γ ² dx = 0 (III-3) 0 z H H H 0 z 0 x = 0 = 0 nk ² = j 0 0 y ηγ 0 ² de dx 0 z où γ² = nk ² 0² β² 1 Tableau III-2 : Composantes des champs pour le mode TM. Il suffit maintenant de trouver les solutions des équations d onde (III-3) et (III-4), pour le champ longitudinal dans les deux milieux pour ensuite, au moyen des deux tableaux ci-dessus (Tableau III-1 et Tableau III-2), calculer explicitement les diverses composantes des modes TE et TM. Cependant, nous savons déjà que l équation d onde possède plusieurs types de solutions (onde progressive, stationnaire, évanescente ). Il est donc important de bien choisir le type de solution pour rapidement identifier les solutions guidées. III-1-3. Sélection de la forme appropriée de la solution Nous cherchons maintenant une forme mathématique qui soit la solution des équations d onde modifiées ((III-3) et (III-4)) qui sera caractéristique d une onde qui se propage dans le centre de la structure du guide d indice n 1 et qui y soit contenu. Notre connaissance des équations différentielles ainsi que les notions de l électromagnétisme nous amènent à choisir, pour le milieu extérieur (indice n 2 ), des champs qui décroissent exponentiellement en s éloignant de l interface ( x ± ). Sous ces conditions, nous aurons une composante TE de la forme : 0 E z pour les modes TM ou une composante 0 H z pour les modes 1 n = n1 dans le milieu 1 (partie guidante) et n = n 2 dans le milieu 2 (extérieur du guide). 18

22 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL E 0 z wx = e = A A C 0 Hz Pour que cette forme soit solution des équations d onde modifiées, il faut que w = γ = β nk 2 0 (III-7) dans le milieu d indice n 2. Notons au passage que ce choix d une exponentielle décroissante nous renvoi à la notion d onde évanescente à l extérieur du guide. Dans le cœur de la structure (partie guidante d indice n 1 ), les solutions des équations d onde peuvent être des exponentielles complexes (ondes progressives). Cependant, nous anticipons que ces ondes progressives seront réfléchies aux interfaces entre les deux milieux. La symétrie de la structure laisse entrevoir que, selon la direction de l axe x, ces ondes formeront un patron d ondes stationnaires. Nous choisissons donc pour solution, dans le milieu d indice n 1, des fonctions trigonométriques afin de simplifier au maximum notre analyse. Ainsi, les composantes des champs dans le milieu 1 s écrivent : 0 E z = B cos( ux ) + C sin( ux ) B et C = C ste ste (III-6) (III-8) 0 Hz Pour que cette forme soit solution des équations d ondes modifiées dans le milieu 1, il faut que u² = γ² = nk 1 0 β (III-9) En résumé, nous avons choisi une forme mathématique d onde évanescente dans le milieu d indice n 2 et une forme d onde stationnaire selon la direction de l axe x dans le milieu n 1 afin de pouvoir discuter simplement des modes guidés dans le cœur de cette structure planaire. Nous verrons par la suite, en trouvant des solutions réelles pour les constantes de propagation des modes (i.e. il existe des modes effectivement guidés dans la structure), que notre choix est judicieux. Il est à noter que nous avons introduit deux nouveaux paramètres w (III-7) et u (III-9) afin d éviter la confusion avec le paramètre γ du milieu 1 et 2. Cependant, seule la constante de propagation β est l inconnue que nous cherchons à déterminer ici et les paramètres w et u ne sont que des intermédiaires qui cachent cette constante de propagation. III-1-4. Equation caractéristique et solutions modales Dans cette section, nous allons calculer la constante de propagation β en appliquant les conditions aux limites, c est à dire que les composantes tangentielles des champs (en y et en z) doivent être continues aux interfaces n 1 /n 2 ( x = ± a). Afin de simplifier notre analyse, nous étudierons séparément les modes TE et TM car leurs constantes de propagation sont différentes. De plus, nous distinguerons les modes pairs (composante axiale en cos(ua)) des modes impairs (composante axiale en sin(ua)), pour chacune des familles TE ou TM car, ici encore, le calcul mène à des solutions différentes pour β. Il est à noter que cette analyse peut se faire sans poser à priori cette décomposition, mais elle est alors plus longue à compléter et elle conduit de toute façon à identifier ces quatre familles de modes [3]. Nous considérons donc maintenant le mode TE pair. Les composantes de ce mode, calculées à partir des équations du Tableau III-1, pour les deux milieux d indice n 1 19

23 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL (cœur du guide) et n 2 (extérieur du guide) sont répertoriées dans le Tableau III-3 et le Tableau III-4, respectivement. TE : pair, Milieu d indice n 1 où E E 0 z 0 x = 0 = 0 0 η0kc 0 E y = j cos( ux ) u u² = nk² β ² H = C sin( ux ) 0 z 0 βc Hx = j cos( ux ) u H = 0 Tableau III-3 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le milieu d indice n 1. TE : pair, Milieu d indice n 2 0 y où w² E E 0 z 0 x = 0 = 0 0 η0k0 Ey = j Ae w = β nk wx H 0 z 0 y = Ae wx 0 β Hx = j Ae w H = 0 wx Tableau III-4 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le milieu d indice n 2. La relation de continuité des champs à l interface (x = a ou x = -a) nous conduit alors au couple d équation suivant : C sin( ua ) A e wa = 0 (III-10) u wa C cos( ua ) A e = 0 (III-11) w que l on peut réduire à la forme : w tan( ua ) = (III-12) u Cette équation est l équation caractéristique des modes TE pairs. Elle nous permet alors de calculer les constantes de propagation des modes guidés en fonction des paramètres de la structure (n 1, n 2 et a). En effet, en réécrivant l équation (III-12) sous sa forme explicite : β nk 2 0 tan( a nk 1 0 β ) = nk 1 0 β nous nous apercevons alors que la seule inconnu restante est β. Nous analyserons les solutions de l équation caractéristique dans la prochaine section. Le calcul des modes TE impairs et des modes TM pairs et impairs s effectue de manière analogue. Les équations caractéristiques de chacun de ces groupes sont données dans le Tableau III-5. 20

24 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL w tan( ua ) = u TE : PAIR u tan(ua)=w TE : IMPAIR 2 n 1 w tan( ua ) = TM : PAIR n2 u 2 n 2 u tan( ua ) = TM : PAIR n1 w Tableau III-5 : Equations caractéristiques des modes TE et TM (pairs et impairs). Pour compléter la solution du système formé des deux équations (III-10) et (III-11), il convient de calculer les constantes A et C. Nous ne détaillerons pas ces calculs ici mais il est à noter que la constante C fixe l amplitude maximale du champ au centre de la structure (x = 0). On la détermine en considérant la puissance totale transportée dans la structure, cette dernière étant donnée par l intégrale du vecteur de Poynting sur la section du guide. On exprime ainsi la puissance en fonction de la constante C. Il s ensuit que, connaissant la puissance totale injectée dans le guide, on détermine C. Les relations de continuité (III-10) et (III-11) nous permettent alors de calculer A. III-1-5. Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure. Nous avons donc vu qu il existe des formes mathématiques qui sont solutions des équations de Maxwell et qui satisfont les conditions aux limites du guide planaire. La possibilité que ces solutions puissent être excitées dans un tel guide dépend de la possibilité de trouver une constante de propagation β réelle, en considérant les paramètres imposés par le guide (n 1, n 2, a) et par la source d excitation (λ 0 ). Il nous faut donc maintenant résoudre les équations caractéristiques du Tableau III-5. Ce type d équations se résout de manière graphique (nous en présentons ici un exemple pour les modes TE). On défini tout d abord, les variables : X = ua (III-13) Y = wa Les deux équations caractéristiques des modes TE s écrivent alors : Y = Xtan X TE : PAIR (III-14) Y = Xcot X TE : IMPAIR Ces équations sont tracées à la Figure III-2. 21

25 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL Figure III-2 : Graphique des équations caractéristiques des modes TE pairs et impairs, d un guide diélectrique symétrique à trois couches (le cercle correspond aux paramètres suivants : λ 0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n 2 = 1.50 et a = 12 µm). On remarque ensuite que les variables X et Y sont reliées aux paramètres physiques du guide (n 1, n 2 et a) et de la source (λ 0 ) par la relation : X + Y = ( n1 + n2) ka 0 (III-15) On définit alors une fréquence normalisée V : 2 2 V= ( n1 + n2) ka 0 (III-16) et l équation (III-15) devient : X + Y = V Les variables X et Y sont donc reliés sous forme d un cercle de rayon V tel que tracé sur la Figure III-2. Les solutions des équations caractéristiques sont donc données par les intersections de ce cercle avec les équations (III-14). Ces intersections nous donnent une valeur pour ua qui nous permet alors de calculer la constante de propagation β au moyen de β = nk 1 0 u (III-17) pour des valeurs réelles de X et Y, il existe toujours au moins une intersection entre le cercle de rayon V et les courbes tangentes. Nous pouvons donc conclure qu il existe toujours au moins un mode guidé dans ce type de structures (i.e. la fréquence de coupure est nulle pour ce mode). Avec l augmentation du rayon V apparaissent de nouvelles intersections, c est à dire de nouveaux modes, que l on numérote selon leur ordre + d apparition (TE i avec i ). Nous pouvons également remarquer l apparition, en alternance des modes pairs et impairs. Le nombre de modes guidés possibles dans un guide dépend de la fréquence normalisée V. Pour V < π /2, il n existe qu un seul mode de propagation, soit le mode TE 0 (graphiquement (voir Figure III-2), le cercle n intercepte que la première branche de l équation X tanx). Nous pouvons par ailleurs nous apercevoir qu il n existe pas de fréquence de coupure pour le mode fondamental TE 0. C est à dire que quelque soient les paramètres de la structure et de la source excitatrice, le mode TE 0 est toujours présent. Nous pouvons également statuer qu un guide aura plusieurs modes si V 2π. En d autres termes, une structure multimode devra avoir une dimension telle que : 2 2 a >> λ / n n

26 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL Pour les modes TM, on procède de la même manière en partant des équations suivantes : 2 n 2 Y = Xtan X TM :PAIR n1 (III-18) 2 n 2 Y = Xcot X TM : IMPAIR n1 On remarque alors que la constante β ne pourra plus être obtenue en spécifiant uniquement la fréquence normalisée V mais qu on devra également fixer un rapport n 2 /n 1. Ce rapport étant plus petit que 1, la courbe des modes TM sera toujours sous celle des modes TE. Il est néanmoins possible d avoir une structure strictement monomode en choisissant d abord une fréquence normalisée V<π/2 et en fixant la polarisation de la source de manière à n exciter que le mode TE ou le mode TM. La fréquence de coupure est définie comme la fréquence pour laquelle le mode cesse d être guidé. Elle est simplement donné, à la fois pour les modes TE et TM, par π + Vc = m, m est l'ordre du mode (III-19) 2 A cette fréquence V c, la constante de propagation devient égale à celle d une onde plane dans le milieu d indice n 2, c est à dire à l extérieur du guide : β c = nk 2 0 (III-20) L onde cesse alors d être guidée et se retrouve rapidement à l extérieur du guide sous forme d une onde plane progressive selon une direction du plan xz (comme défini à la Figure III-1). On dit alors que le mode est radiatif. Il est à noter, que la condition de radiation (équation (III-20)) implique, d après l équation (III-7), que le paramètre w soit nul. Autrement dit, lorsque l on atteint la fréquence de coupure V c, le mode cesse d être évanescent à l extérieur du guide, en d autres mots, il y a perte de réflexion totale interne des ondes planes se propageant dans le guide. L ensemble fini des modes TE et TM que nous venons d obtenir constitue un ensemble des modes guidés d un diélectrique symétrique à trois couches. L ensemble complet de modes comprendrait, en plus des modes guidés, un nombre infini de modes radiatifs. La Figure III-3 donne, à titre d exemple, l allure des modes TE pour une structure de guide plan symétrique avec les paramètres suivants : λ 0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n 2 = 1.50 et a = 12 µm. Figure III-3 : Allure des modes TE pour un guide plan symétrique ayant les paramètres suivants : λ 0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n 2 = 1.50 et a = 12 µm. Trois modes existent pour cette structure, deux sont symétriques (TE1 et TE3), un est anti-symétrique (TE2). 23

27 Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL Nous avons donc montré, dans cette partie, qu un guide diélectrique à trois couches à saut d indice présentent des solutions exactes aux équations de Maxwell, desquelles nous pouvons déduire l expression des modes guidés et de leur constante de propagation. Mais si cet exemple nous permet de manière simple de calculer ces paramètres, il est à noter qu il n existe en réalité que très peu de structures pour lesquelles des solutions exactes des équations de Maxwell peuvent être calculées. Il s avère, que seuls les guides planaires (comme celui que nous venons d étudier) et les guides à symétrie circulaire ou elliptique (comme les fibres optiques) présentent des solutions exactes. Le lecteur se reportera à l ouvrage d Allan W. Snyder et John D. Love [4] pour une étude approfondie des modes de telles structures. Tout autre type de guide présente des conditions aux limites non-résolubles analytiquement. III-2. La Méthode de l indice effectif et la simulation par BPM L étude de la propagation dans des structures n ayant pas de solutions analytiques exactes des équations de Maxwell requièrent alors l emploi de méthodes numériques et/ou de méthodes semi-analytique permettant de contourner le problème des conditions aux limites non-résolubles. Ainsi, diverses techniques d analyse ont été développées [5]. Nous présentons ici deux méthodes, parmi les différentes possibles, à savoir la méthode de l indice effectif qui permet de transformer une structure à 3 dimensions (ex : un guide canal) en une structure à 2 dimensions (type guide planaire) qui peut alors être traitée analytiquement, et la méthode des faisceaux propagés (Beam Propagation Method (BPM) en anglais) qui est une méthode numérique de simulation de la propagation. Le choix de ces deux méthodes a été motivé par le fait que ces méthodes sont devenues courantes dans le domaine de l optique intégrée ([6], [7] [8], et [9] [10] [11]) mais aussi pour leur facilité de mise en œuvre (le laboratoire possédant un logiciel de simulation par BPM). III-2-1. La Méthode de l indice effectif Le principe de cette méthode est le suivant : les constantes de propagation dans un guide à profil d indice bidimensionnel n(x,y) sont calculées en résolvant séparément des problèmes à une dimension dans les deux directions x et y. Autrement dit, nous réduisons l équation d onde à deux dimensions, pour laquelle il n existe pas de solution analytique, à deux équations à une dimension que nous pouvons traiter par la méthode présentée dans les paragraphes précédents. Ceci est basé sur l approximation fondamentale de la séparation des variables d espace du champ propagé (i.e. Exy (, ) = FxGy). ( ( ) Cette réduction s effectue en deux étapes que nous détaillons ici pour un guide de type ruban (rib) comme schématisé sur la Figure III-4. 24