PROBABILITÉS. 1 Rappels de combinatoire CHAPITRE Situations de référence. 1.2 Propriétés des coefficients binomiaux

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1 CHAPITRE 6 PROBABILITÉS 1 Rappels de combiatoire 1.1 Situatios de référece Ue ure U cotiet boules idiscerables au toucher, umérotées de 1 à. Tirages successifs avec remise : O tire ue boule de l ure, o ote so uméro, puis o la remet das l ure. O effectue de la sorte p tirages. O obtiet aisi ue p-liste, c est-à-dire ue liste de p uméros de U, das laquelle certais ombres peuvet être présets plusieurs fois et d autres e pas apparaître du tout. Le ombre de p-listes (listes de logueur p) formées de uméros de U est p. Tirages successifs sas remise : O tire ue boule de l ure U, o ote so uméro mais o e la remet pas das l ure. O effectue de la sorte p tirages (avec, écessairemet, p ). O obtiet aisi u arragemet, c est-à-dire ue série de p uméros de U, tous disticts. Le ombre d arragemets formés de p uméros disticts pris das U est A p = ( 1)...( p+ 1)=! ( p)!. Cas particulier : lorsque p =, toutes les boules sot tirées ue à ue. Le ombre de permutatios des uméros de U est ( 1)... 1=!. Tirages simultaés (sas remise) : O tire simultaémet p boules de l ure (avec p ). O obtiet aisi u esemble de p uméros pris parmi, que l o appelle ue combiaiso. Le ombre de combiaisos de p objets parmi (avec p ) est = C p = A p p! =! p!( p)! = p 1 p 1 p p Les ombres p sot appelés les coefficiets biomiaux, car ils itervieet das la formule du biôme, présetée ci-dessous. 1.2 Propriétés des coefficiets biomiaux Propriété 1 (symétrie). Pour tous etiers aturels et p, avec p, o a l égalité =. p p 1 1 Propriété 2 (relatio de Pascal). Pour tous etiers aturels et p, avec 1 p, o a l égalité + =. p 1 p p Cette idetité est à la base du triagle de Pascal, qui permet de calculer la valeur des coefficiets biomiaux uiquemet à l aide d additios.

2 Propriété 3 (formule du biôme de Newto). Pour tous a et b réels ou complexes, et etier aturel (o ul), o a l idetité remarquable suivate : (a+b) = a k b k = a 0 b + a 1 b 1 + a 2 b a 2 b 2 + a 1 b 1 + a b 0. k k=0 2 Loi de probabilité sur u esemble fii Défiitios. Ue expériece est dite aléatoire lorsqu elle a plusieurs issues (ou résultats possibles) et que l o e peut prévoir laquelle de ces issues sera réalisée. L esemble des issues d ue expériece aléatoire est appelé uivers ; das ce qui suit, o le oteraω={x 1 ; x 2 ;... ; x }. Défiitio. Défiir ue loi de probabilité surω, c est associer à chaque issue x i u ombre p i positif ou ul tel que p 1 + p p = Loi équirépartie Défiitio. Das le cas où l o associe à chacue des issues d ue expériece aléatoire la même probabilité p, o parle de loi équirépartie. Par coséquet, p = 1/. Exemple 1. La aissace d u efat est e gééral modélisée par la loi équirépartie surω={ ; }. Cepedat, u démographe peut souhaiter disposer pour ses prévisios d u modèle plus fi et décider de predre surω={ ; } la loi défiie par P({ })=0,48 et P({ })=0,52. Exemple 2. Le lacer de deux dés équilibrés à 6 faces, umérotées de 1 à 6, se modélise par la loi équirépartie surω= {(1;1);(1;2);(1;3);... ;(2;1);... ;(6;6)}. Exemple 3. Le ragemet aléatoire des quatre tomes d ue ecyclopédie sur ue étagère peut se modéliser par la loi équirépartie sur l esembleωdes dispositios possibles que l o peut coder(t 1 ;T 2 ;T 3 ;T 4 ),...,(T 2 ;T 4 ;T 3 ;T 1 ), Espérace mathématique, variace et écart type O cosidère ue loi de probabilité sur u uiversω, où les issues sot des ombres réels. Défiitios. L espérace mathématique de la loi de probabilité est le ombre m= p i x i. i=1 La variace de la loi de probabilité est le ombre positif ou ul V= p i (x i m) 2 2 m = p i x i 2 2. L écart type de la loi de probabilité est le ombre positif ou ulσ= V. i=1 i=1 2

3 3 Probabilité d u évéemet 3.1 Vocabulaire Défiitio. O cosidère ue expériece aléatoire dot l uivers des possibles (c est-à-dire l esemble des issues) est otéω. U évéemet est ue partie de Ω. Exemple 4. Lorsqu ue issue x appartiet à u évéemet A, o dit que x réalise A. Exemple 5. L évéemet est dit impossible : aucue issue e le réalise. L évéemetωest dit certai : toutes les issues le réaliset. Exemple 6. U évéemet formé d ue seule issue est appelé évéemet élémetaire. Défiitio. O cosidère ue loi de probabilité défiie sur u esemble Ω. La probabilité d u évéemet A est la somme les probabilités des issues qui le réaliset. O la ote P(A). Propriété 4. Das le cas d ue loi équirépartie, la probabilité d u évéemet A est doée par ombre d issues qui réaliset A P(A)= = ombre d issues dasω ombre de cas favorables ombre de cas possibles = Card(A) Card(Ω), où la otatio Card(A) désige le cardial de l esemble A, c est-à-dire le ombre d élémets qui le composet. 3.2 Calculs de probabilités Défiitios. Soit A et B deux évémets. Leur itersectio est l évéemet A B formé des issues qui réaliset à la fois A et B. Lorsque A B=, les évéemets A et B sot dits icompatibles. Leur réuio est l évéemet A B formé des issues qui réaliset A ou B, c est-à-dire au mois l u des deux. Propriété 5. SoitΩu esemble sur lequel est défiie ue loi de probabilité. Pour tous évéemets A et B, o a l égalité P(A B)=P(A)+P(B) P(A B). Défiitios. Soit A u évémet. L évéemet cotraire de A est formé des issues qui e réaliset pas A ; o le ote A. Propriété 6. SoitΩu esemble sur lequel est défiie ue loi de probabilité. Alors, pour tout évéemet A, o a l égalité P(A)=1 P(A). Propriétés 7. Soit A et B deux évéemets d u uiversω. Alors A B=A B et A B=A B. 3.3 Idépedace de deux évéemets Défiitio. Deux évéemets A et B sot dits idépedats si P(A B) = P(A) P(B). Exemple 7. Cosidéros le lacer de deux dés à 6 faces, l u rouge l autre bleu, aisi que les évéemets B : «le résultat obteu avec le dé bleu est supérieur ou égal à 3», R : «le résultat obteu avec le dé rouge est supérieur ou égal à 3», S : «la somme des deux résultats est 8». 3

4 Les évéemets B et R sot idépedats. E effet, il est clair que P(B)=P(R)=2/3 et qu il existe 4 2 = 16 issues réalisat l évéemet B R, d où P(B R)= = 4 9, qui est égal à P(B) P(R)= = 4 9. À l opposé, il existe 5 issues réalisat l évéemet S, d où P(S)=5/36, mais seules 4 d etre elles réaliset l évéemet B S, doc P(B S)= 4 36 = 1 9 0,11, ce qui est différet de P(B) P(S)= = 5 0,09. O e déduit que les évéemets 54 B et S e sot pas idépedats. 4 Variables aléatoires discrètes Défiitios. Soit Ω l uivers des possibles d ue expériece aléatoire. Ue variable aléatoire (réelle) X est ue foctio défiie surωet à valeurs réelles. Lorsque l uivers Ω est fii, les valeurs que peut predre la foctio X sot isolées ; o parle alors de variable aléatoire discrète. C est aussi le cas lorsque X pred des valeurs etières, e ombre quelcoque (fii ou ifii). Défiitios. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u uivers fiiω={x 1 ; x 2 ;... ; x }. O défiit alors : l espérace mathématique de X par la formule E(X)= x 1 P(X= x 1 )+ x 2 P(X= x 2 )+ + x P(X= x )= x k P(X= x k ), ce que l o ote aussi E(X)= k P(X= k) ; k Ω la variace de X par V(X)=E [X E(X)] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 2 x 2P(X= x) x k k k P(X= x k ) ; k=1 k=1 l écart type de X parσ(x)= V(X). k=1 Défiitios. Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u uivers fiiω={x 1 ; x 2 ;... ; x }. La foctio de répartitio de X est la foctio F X défiie sur par F X (x)=p(x x). Propriété 8. Soit X ue variable aléatoire discrète sur u uiversω={x 1 ; x 2 ;... ; x ;...}. Alors la foctio de répartitio F X est cotiue à droite e chaque poit de. E outre, les poits de discotiuité (à gauche) de F X sot exactemet les valeurs prises par X avec ue probabilité o ulle. 5 Loi de Beroulli ; schéma de Beroulli ; loi biomiale Défiitios. Soit p u ombre réel compris etre 0 et 1. O appelle épreuve de Beroulli de paramètre p ue épreuve aléatoire admettat deux issues, et deux seulemet : l ue, appelée «succès» et otée S, dot la probabilité d apparitio est p ; l autre, appelée «échec» et otée E, dot la probabilité est q = 1 p. O appelle schéma de épreuves de Beroulli de paramètre p (ou ecore schéma de Beroulli de paramètres et p) ue expériece aléatoire cosistat à répéter fois de suite, das les mêmes coditios, ue même épreuve de Beroulli de paramètre p. Défiitio. Soit p u ombre réel compris etre 0 et 1. La loi de Beroulli de paramètre p est la loi de probabilité d ue variable aléatoire X preat la valeur 1 avec la probabilité p, et la valeur 0 avec la probabilité q= 1 p. C est le cas de la variable aléatoire X preat la valeur 1 lorsque S se produit, et la valeur 0 sio. Propriété 9. Soit p [0;1]. La loi de Beroulli de paramètre p a ue espérace mathématique égale à p et ue variace égale à pq= p(1 p). 4

5 Propriété 10. Das u schéma de épreuves de Beroulli de paramètre p : u résultat est ue -liste, compreat, par exemple,(s;e;e;... ;S;E) ; la variable aléatoire Y associat à chaque issue le ombre de succès a pour loi de probabilité P(Y= k)= p k (1 p) k (k {0;1;... ; }). k Défiitio. La loi de probabilité de la variable aléatoire Y défiie ci-dessus est appelée loi biomiale de paramètres et p, et est otée ( ; p). Propriété 11. Soit Y ue variable aléatoire suivat la loi biomiale ( ; p). Alors E(Y)= p et V(Y)= pq= p(1 p). 6 Exercices EXERCICE 1 Das u cours de ski réuissat 32 élèves, o e recese 13 qui ot déjà pratiqué le ski de descete, 9 le ski de fod et 14 qui ot aucue expériece du ski. 1. Combie délèves ot déjà pratiqué le ski? 2. Combie d élèves ot la double expériece du ski de descete et du ski de fod? EXERCICE 2 La catie d u cetre de vacaces propose, au choix, 3 etrées, 4 plats chauds, 2 fromages et 3 desserts. 1. Combie de meus différets comportat u plat de chaque type sot aisi proposés aux efats? 2. Même questio si u efat peut e pas predre u ou plusieurs types de plat, mais doit obligatoiremet mager quelque chose. EXERCICE 3 1. Combie existe-t-il de mots de 6 lettres (ayat ou o ue sigificatio) formés avec les 6 lettres du préom HÉLÈNE? 2. Même questio avec les 6 lettres du préom HELENE (les trois E e sot plus accetués). EXERCICE 4 12 athlètes sot au départ d ue course de 200 m ; les trois premiers serot sélectioés pour ue fiale régioale. O suppose qu il y a pas d ex aequo. 1. Combie peut-o imagier de podiums possibles? 2. Combie de groupes différets peuvet être reteus pour participer à la fiale? EXERCICE 5 Pour costruire ue grille de mots croisés de 8 liges et 6 coloes, o oircit 6 cases. 1. Combie de grilles différetes peut-o obteir? 2. Même questio si les cases oircies e peuvet apparteir à ue même lige ou ue même coloe. EXERCICE 6 Combie existe-t-il de codes compreat trois lettres distictes, suivies de quatre chiffres disticts ou o? EXERCICE 7 1. Ue associatio compreat 32 membres doit élire u présidet, u secrétaire et u trésorier. Combie y a-t-il de choix possibles? 2. Ue classe de 32 élèves doit choisir trois délégués. Combie y a-t-il de choix possibles? 5

6 EXERCICE 8 Calculer à la mai : A= 10! 5! 8! 4! ; B= (9!)2 10! 12! (7!) 2 ; C= ; D= EXERCICE 9 Résoudre das les équatios suivates :( 2)!=40 ;(+ 1)!=132( 1)! ; 2 = 28. EXERCICE À l aide de la formule du biôme, développer les expressios suivates :(x+ 2) 6 ;(i+ 2) 5 ;(x 1) Calculer astucieusemet le ombre A= EXERCICE 11 Ue ure cotiet 4 boules rouges et 5 boules vertes. O tire au hasard et simultaémet deux boules de l ure et o ote leur couleur. Calculer la probabilité que les deux boules tirées soiet de couleur rouge. EXERCICE 12 L équipe de basket d ue uiversité doit disputer u match. 8 étudiats ot été sélectioés parmi lesquels figure Jea. Pour u match, l etraîeur choisit au hasard u «ciq», c est-à-dire ciq joueurs parmi les huit sélectioés. 1. Combie l etraîeur peut-il former de «ciq» différets? 2. Démotrer que la probabilité que Jea fasse partie du «ciq» est égale à 5/8. EXERCICE Combie, au maximum, peut-il exister de uméros de téléphoe portable à 10 chiffres, commeçat par 06? 2. Déombrer les uméros de téléphoe (portable) commeçat par 067 et coteat exactemet deux fois le chiffre 2, ue fois le 3, ue fois le 4, trois fois le Déombrer les uméros de téléphoe commeçat par 060, coteat exactemet quatre fois le chiffre 8 et e coteat pas le chiffre Déombrer les uméros de téléphoe commeçat par 06 et das lesquels apparaît au mois ue fois le chiffre 1. EXERCICE 14 Ue associatio est formée de 35 persoes (15 hommes et 20 femmes). O se propose de former u bureau de 5 persoes, das lequel doivet se trouver au mois 2 femmes et 2 hommes. Détermier de combie de faços l o peut former ce bureau das les cas suivats : 1. chaque membre de l associatio est cadidat? 2. deux hommes refuset d être cadidats? 3. M. et Mme Éeu, tous deux membres de l associatio, refuset de siéger esemble? EXERCICE 15 De combie de faços différetes peut-o choisir, das u jeu de 32 cartes, ue mai de 5 cartes coteat : 1. exactemet 1 roi? 2. au mois u roi? 3. exactemet 1 roi et 2 dames? 4. exactemet 1 roi, 1 dame et 2 valets? 5. l as de pique et au mois 2 trèfles? 6. exactemet 2 carreaux, 1 trèfle et 1 cœur? 7. exactemet 1 roi et 2 trèfles? EXERCICE 16 [Bac STT 02] Das u établissemet scolaire de 2000 élèves : 40 % des élèves sot des filles ; 15 % des filles sot iteres ; 6

7 60 % des élèves, parmi lesquels 760 garços, sot exteres ; la moitié des demi-pesioaires sot des filles. 1. Compléter le tableau suivat e vous servat des reseigemets précédets ; les calculs itermédiaires e sot pas demadés. Iteres Demi-pesioaires Exteres Total Filles Garços Total Das la suite de cet exercice, les résultats serot doés sous forme de ombres décimaux arrodis au cetième. 2. O choisit, au hasard, u élève pour représeter l établissemet. Calculer la probabilité des évéemets suivats : A : «l élève choisi est ue fille» ; B : «l élève choisi est itere» ; C : «l élève choisi est ue fille itere» ; D : «l élève choisi est itere ou est ue fille». 3. La vie scolaire du lycée désige u garço pour l aider à gérer la cafétéria du lycée. Calculer la probabilité des évéemets suivats : E : «c est u itere» ; F : «ce est pas u extere». EXERCICE 17 [Bac ES 98] O doera les réposes sous forme de fractios. O dispose de 10 boules blaches, de 10 boules oires et de deux ures A et B. U joueur peut répartir les 20 boules comme il le veut etre les deux ures. Puis o lui bade les yeux, et il choisit au hasard l ue des deux ures, das laquelle il tire ue boule. Si cette boule est blache, il gage. 1. Luc dépose ue boule oire das l ure A et les 19 autres boules das l ure B. Quelle est la probabilité qu il gage? 2. Yves dépose ue boule blache das l ure A et les 19 autres boules das l ure B. Quelle est la probabilité qu il gage? 3. Louise dépose 5 boules blaches das chaque ure, boules oires das l ure A et(10 ) boules oires das l ure B (0 10). a) Motrer que la probabilité qu elle gage est égale à p = b) O doe le tableau ci-dessous : p 84 Détermier les valeurs maquates. c) Louise compare ses résultats avec ceux d Yves et de Luc. Que costate-t-o? EXERCICE 18 [Bac STI 05] Le Comité des fêtes d u village orgaise ue loterie à l aide de deux ures. L ure U 1 cotiet trois boules rouges otées R 1, R 2, R 3 et deux boules jaues otées J 1 et J 2. L ure U 2 cotiet quatre boules bleues otées B 1, B 2, B 3, B 4 et ue boule verte V. Pour participer à cette loterie, u joueur doit d abord miser 3. Il tire esuite au hasard ue boule das U 1, puis ue boule das U 2. Les boules sot idiscerables au toucher. O suppose que tous les tirages de couples de boules sot équiprobables. 1. À l aide d u tableau ou d u arbre, motrer qu il y a 25 couples de boules possibles. 2. Ue boule rouge fait gager 2. Ue boule jaue fait gager 3. Ue boule bleue fait gager 1. La boule verte fait gager 5. À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gai fialemet réalisé par le joueur. Aisi, e teat compte de la mise de 3, le tirage d ue boule rouge et d ue boule verte occasioe fialemet u gai de 4. a) Détermier l esemble des valeurs prises par la variable aléatoire X. b) Démotrer que P(X=5)=

8 c) Préseter e tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X. d) Quelle est la probabilité que le gai du joueur e dépasse pas fialemet 1? 3. a) Calculer l espérace mathématique (X) de la variable aléatoire X. b) Le Comité s aperçoit que so jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, e ombre etier d euros, la mise miimale qu il faudrait demader afi de redre le jeu favorable au Comité. EXERCICE 19 [Bac S 02] 1. Das u questioaire à choix multiple (Q.C.M.), pour ue questio doée, 3 réposes sot proposées dot ue seule est exacte. U cadidat décide de répodre au hasard à cette questio. La répose exacte rapporte poit(s) et ue répose fausse fait perdre p poit(s). Soit N la variable aléatoire qui associe, à la répose doée par le cadidat, la ote algébrique qui lui sera attribuée pour cette questio. a) Doer la loi de probabilité de N. b) Quelle relatio doit exister etre et p pour que l espérace matématique de N soit ulle? 2. À u cocours u cadidat doit répodre à u Q.C.M. de 4 questios comportat chacue trois propositios de répose dot ue seule est exacte. O suppose qu il répod à chaque questio, au hasard. Calculer la probabilité qu il répode correctemet à 3 questios exactemet (doer cette probabilité sous forme de fractio irréductible puis sa valeur arrodie au cetième). EXERCICE 20 [Bac S 02] Répodre au Q.C.M. suivat. Pour chaque questio, ue seule répose est exacte. a) O dispose de dix jetos umérotés de 1 à 10 et o e extrait simultaémet trois pour former u «paquet». Combie de «paquets» coteat au mois u jeto ayat u uméro pair peut-o aisi former? Répose 1 : Répose 2 : Répose 3 : b) A et B sot deux évéemets d u espace probabilisé tels que : p(a)=0,4 p(b)=0,5 p(a B)=0,35. Combie vaut p(a B)? Répose 1 : Répose 2 : Répose 3 : p(a B)=0,1 p(a B)=0,25 Les doées sot isuffisates pour répodre. c) Ue variable aléatoire X a pour loi de probabilité : x i p i Combie vaut l écart type de X? Répose 1 : Répose 2 : Répose 3 : σ= 3 3 σ= σ= EXERCICE 21 [Bac STI 03] Ue ure cotiet ue boule rouge R, deux boules blaches B 1 et B 2, et deux boules oires N 1 et N 2 toutes idiscerables au toucher. U jeu cosiste à tirer deux boules successivemet, sas remise. 1. E utilisat u arbre o u tableau, détermier les 20 tirages possibles. O admet par la suite que ces 20 tirages sot équiprobables. 2. Calculer la probabilité des évéemets suivats : A : «tirer deux boules de même couleur» ; B : «tirer au plus ue boule oire». 3. Lors du tirage de deux boules : la boule rouge obteue fait gager 3, chaque boule blache obteue fait gager 2, 8

9 chaque boule oire obteue fait perdre 3. O appelle X la variable aléatoire qui à tout tirage de deux boules associe le gai, e euros, du joueur (ue perte est cosidérée comme u gai égatif). a) Quel est l esemble des valeurs possibles pour X? b) Écrire la loi de probabilité de X. c) Calculer la probabilité P pour que le gai soit strictemet positif. d) Calculer l espérace mathématique de X. Iterpréter le résultat obteu. EXERCICE 22 [Bac S 09] U sac cotiet 10 jetos idiscerables au toucher : 7 jetos blacs umérotés de 1 à 7 et 3 jetos oirs umérotés de 1 à 3. O tire simultaémet deux jetos de ce sac. 1. a) O ote A l évéemet «obteir deux jetos blacs». Démotrer que la probabilité de l évéemet A est égale à 7/15. b) O ote B l évéemet «obteir deux jetos portat des uméros impairs». Calculer la probabilité de B. c) Les évéemets A et B sot-ils idépedats? 2. Soit X la variable aléatoire preat pour valeur le ombre de jetos blacs obteus lors de ce tirage simultaé. a) Détermier la loi de probabilité de X. b) Calculer l espérace mathématique de X. EXERCICE 23 [Bac S 99] Ue ure cotiet quatre boules rouges, quatre boules blaches et quatre boules oires. O prélève simultaémet quatre boules das l ure. Les prélèvemets sot supposés équiprobables. 1. Calculer la probabilité d u prélèvemet uicolore. 2. a) Quelle est la probabilité d u prélèvemet bicolore composé de boules rouges et blaches? b) Démotrer que la probabilité d u prélèvemet bicolore est 68/ Déduire des résultats précédets la probabilité d u prélèvemet tricolore. EXERCICE 24 [Bac S 00] Ue ure cotiet 10 boules idiscerables : 5 rouges, 3 jaues, et 2 vertes. Das les questios 1. et 2. o tire au hasard et simultaémet 3 boules de cette ure. Les réposes serot doées sous forme de fractios irréductibles. 1. Soit les évéemets suivats : A : «les trois boules sot rouges» ; B : «les trois boules sot de la même couleur» ; C : «les trois boules sot chacue d ue couleur différete.». a) Calculer les probabilités p(a), p(b) et p(c). b) O appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le ombre de couleurs obteues. Détermier la loi de probabilité de X. Calculer E(X). 2. Das cette questio, o remplace les 5 boules rouges par boules rouges, où est u etier supérieur ou égal à 2. L ure cotiet doc + 5 boules, c est-à-dire, rouges, 3 jaues et 2 vertes. O tire au hasard et simultaémet deux boules de cette ure. Soit les évéemets suivats : D : «tirer deux boules rouges» ; E : «tirer deux boules de la même couleur». a) Motrer que la probabilité de l évéemet D est p(d)= ( 1) (+ 5)(+ 4). b) Calculer la probabilité p(e) de l évéemet E e foctio de. Pour quelles valeurs de a-t-o p(e) 1 2? EXERCICE 25 Ue classe de collège compte 30 élèves, dot 20 filles. À chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe iterroge au hasard u élève. D u cours à l autre, le professeur e se rappelle pas l élève iterrogé au cours précédet, ce qui fait qu à chaque cours le choix de l élève par le professeur est idépedat des choix précédets. 1. Quelle est la probabilité, à u cours doé, que l élève iterrogé soit ue fille? 9

10 2. Soit u etier positif ou ul. O appelle X la variable aléatoire correspodat au ombre de filles iterrogées durat cours de mathématiques cosécutifs. a) Quelle est la loi de probabilité de X? b) Quelle est la probabilité que 4 filles soiet iterrogées durat 10 cours cosécutifs? c) Quel doit être le ombre miimal de cours cosécutifs pour que la probabilité qu aucue fille e soit iterrogée soit iférieure à 0,001? EXERCICE 26 [Bac S 01] Le directeur d u musée, dot le pla est fouri ci-dessous, orgaise ue expositio. Afi de prévoir la fréquetatio des salles, il décide d imagier le parcours d u visiteur, pris au hasard, e faisat les hypothèses suivates : le visiteur passe au hasard d ue salle à ue salle voisie ; pour sortir d ue salle, il frachit de maière équiprobable importe quelle autre porte que celle qu il a utilisée pour etrer. Das le parcours du visiteur, le directeur e s itéresse qu aux quatre premières salles traversées, l etrée E état comprise das celles-ci. U trajet par ces quatre premières salles est codé par u mot de quatre lettres, commeçat par la lettre E. Par exemple : si le visiteur passe successivemet par les salles E, B, D, F, o codera so trajet par le mot EBDF ; le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies. F G T D A B Etrée E C 1. O cosidère u visiteur, pris au hasard, devat effectuer u trajet selo les hypothèses précédetes. a) Costruire l arbre podéré des différets trajets possibles pour ce visiteur. b) Motrer que la probabilité du parcours codé EBDF est 1 6. c) Détermier la probabilité p 1 de l évéemet «la quatrième salle du trajet est F». d) Pour des raisos techiques, le directeur istalle les œuvres les plus itéressates das la salle T. Détermier la probabilité p 2 de l évéemet «le trajet passe par la salle T». 2. Le directeur imagie dix visiteurs pris au hasard, effectuat chacu u trajet, de maière idépedate et selo les hypothèses précédetes. O appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le ombre de leurs trajets passat par la salle T. a) Calculer la probabilité de l évéemet(x = 1). b) Calculer la probabilité que deux visiteurs au mois passet par la salle T. (Doer le résultat arrodi au millième.) c) Le directeur décide d obliger les visiteurs à se diriger, après l etrée, vers la salle A, les hypothèses précédetes demeurat pour la suite des trajets. Il pese aisi augmeter la probabilité que deux visiteurs au mois, sur les dix, passet par la salle T. Prouver qu il a tort. 10