Dans cette partie, on admet que l aire du quadrilatère AUVE est

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1 EXERIE (5 points) Dans l espace, on considère une pyramide SABE à ase carrée ABE de centre O Soit D le point de l espace tel que ( O ; OA, OB, OD ) soit un repère orthonormé Le point S a pour coordonnées ( ; ; 3) dans ce repère Soit U le point de la droite (SB) de cote onstruire le point U sur la figure jointe en annee, (à rendre avec la copie) Soit V le point d intersection du plan (AEU) et de la droite (S) Montrer que les droites (UV ) et (B ) sont parallèles onstruire le point V sur la figure jointe en annee I, (à rendre avec la copie) 5 3 Soit K le point de coordonnées ; ; 6 6 Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE Partie B Dans cette partie, on admet que l aire du quadrilatère AUVE est On admet que le point U a pour coordonnées ; ; Vérifier que le plan (EAU) a pour équation 3 3 y + 5 z 3 = 3 Donner une représentation paramétrique de la droite (d ) orthogonale au plan (EAU) passant par le point S 3 Déterminer les coordonnées de H, point d intersection de la droite (d ) et du plan (EAU) 4 Le plan (EAU) partage la pyramide (SABE) en deu solides es deu solides ont-ils le même volume? EXERIE (5 points) andidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (A n ) par leurs coordonnées ( n ; y n ) de la 3 n,8 n,3 y n façon suivante : et pour tout entier naturel n : y 4 y n,6 n,8 y n a Déterminer les coordonnées des points A, A et A Pour construire les points A n ainsi otenus, on écrit l algorithme suivant : Variales : i,, y, t : nomres réels Initialisation : prend la valeur 3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de à onstruire le point de coordonnées ( ; y) t prend la valeur prend la valeur y prend la valeur Fin Pour Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points A à A c A l aide d un taleur, on a otenu le nuage de points suivant : Identifier les points A, A et A On les nommera sur la figure jointe en annee (à rendre avec la copie) Quel semle être l ensemle auquel appartiennent les points A n pour tout n entier naturel? Le ut de cette question est de construire géométriquement les points A n pour tout n entier naturel Dans le plan complee, on nomme, pour tout entier naturel n, z n = n + i y n l affie du point A a Soit u n = z n Montrer que, pour tout entier naturel n, u n = 5 Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat? On admet qu'il eiste un réel θ tel que cos θ =,8 et sin θ =,6 Montrer que, pour tout entier naturel n, e i θ z n = z n + c Démontrer que, pour tout entier naturel n, z n = e i n θ z d Montrer que est un argument du nomre complee z e Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nomre complee z n Représenter θ sur la figure jointe en annee, (à rendre avec la copie) Epliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point A n + à partir du point A n

2 EXERIE (5 points) andidats ayant suivi l enseignement de spécialité On donne les matrices M = et I = 4 Déterminer la matrice M On donne M 3 = 9 4 Vérifier que M 3 = M + 8 M + 6 I 3 En déduire que M est inversile et que M = 6 (M M 8 I) Partie B Étude d un cas particulier On cherche à déterminer trois nomres entiers a, et c tels que la paraole d équation y = a + + c passe par les points A ( ; ), B ( ; ) et ( ; 5) Démontrer que le prolème revient à chercher trois entiers a, et c tels que : a M c 5 alculer les nomres a, et c et vérifier que ces nomres sont des entiers Partie Retour au cas général Les nomres a,, c, p, q, r sont des entiers Dans un repère ( O ; i, j ) on considère les points A ( ; p), B ( ; q) et ( ; r) On cherche des valeurs de p, q et r pour qu'il eiste une paraole d équation y = a + + c passant par A, B et a p 3 p q r [6] Démontrer que si M q avec a, et c entiers, alors 3 p 3 q [6] c r 6 p q r [6] q r [3] En déduire que p q [] q r [3] 3 Réciproquement, on admet que si p q [] alors il eiste trois entiers a, et c tels que la paraole A, B, ne sont pas alignés d équation y = a + + c passant par A, B et a Montrer que les points A, B et sont alignés si et seulement si r + q 3 p = On choisit p = 7 Déterminer des entiers q, r, a, et c tels que la paraole d équation y = a + + c passe par les points par A, B et EXERIE 3 (4 points) Une entreprise farique des talettes de chocolat de grammes Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle ontrôle avant la mise sur le marché Une talette de chocolat doit peser grammes avec une tolérance de deu grammes en plus ou en moins Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et grammes La masse (eprimée en grammes) d une talette de chocolat peut être modélisée par une variale aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ = et d écart-type σ = Le réglage des machines de la chaîne de farication permet de modifier la valeur de σ alculer la proailité de l événement M : «la talette est mise sur le marché» On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la proailité de cet événement atteigne,97 Déterminer la valeur de σ pour que la proailité de l événement «la talette est mise sur le marché» soit égale à,97 Partie B ontrôle à la réception Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs Un des critères de qualité est le tau d humidité qui doit être de 7% On dit alors que la fève est conforme L entreprise a trois fournisseurs différents: le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuième 3 % et le dernier apporte % du stock Pour le premier, 98% de sa production respecte le tau d humidité; pour le deuième, qui est un peu moins cher, 9 % de sa production est conforme, et le troisième fournit % de fèves non conformes On choisit au hasard une fève dans le stock reçu On note F, l événement «la fève provient du fournisseur i», pour i prenant les valeurs, ou 3, et l événement«la fève est conforme» Déterminer la proailité que la fève provienne du fournisseur sachant qu'elle est conforme Le résultat sera arrondi à _ Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs et De plus, elle souhaite que 9 % de fèves qu'elle achète soient conformes Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur pour atteindre cet ojectif?

3 EXERIE 4 (6 points) Soit u la fonction définie sur ] ; + [ par u() = ln() + 3 Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l intervalle ] ; + [ Démontrer que l équation u() = admet une unique solution α comprise entre et 3 3 En déduire le signe de u() en fonction de Partie B Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f () = ( ln ( ) ) On appelle la coure représentative de la fonction f dans un repère orthogonal Déterminer la limite de la fonction f en a u ( ) Démontrer que, pour tout réel de l intervalle ] ; + [, f () = où u est la fonction définie dans la partie A En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ] ; + [ Partie Soit la coure d équation y = ln() Démontrer que, pour tout réel de l intervalle ] ; + [, f () ln() = ln En déduire que les coures et ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées On admet que la fonction H définie sur l intervalle ] ; + [ par H() = (ln()) est une primitive de la fonction h définie sur l intervalle ] ; + [ par h() = ln e ln ( ) alculer I = d Interpréter graphiquement ce résultat

4 ORRETION EXERIE (5 points) Pour tracer le point U, il suffit de tracer la parallèle à la droite (OB) en D, cette droite est une droite du plan (OBDS) qui coupe (SB) en le point de cote S Le plan (AEU ) contient la droite (AE ) Le plan (BU) contient la droite (B), les droites (AE) et (B) sont parallèles donc d après le théorème du toit, la droite (UV) intersection des plans (AEU) et (BU) est parallèle à (AE) et à (B) 3 La droite (SB) a pour vecteur directeur SB ( ; ; 3) et passe par S donc a pour représentation paramétrique y t avec t Le point de cette droite de cote, z 3 t 3 est tel que 3 t + 3 = donc t = 3, U a pour coordonnées ; ; 3 KU 5 5 a pour coordonnées ; ; 6 6, EA a pour coordonnées ;; donc 5 5 KU EA 6 6 Les droites (EA) et (KU) sont perpendiculaires donc K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE A E D O U B V Partie B E a pour coordonnées ( ; ; ) donc 3 E 3 y E + 5 z E 3 = = donc E appartient au plan d équation 3 3 y + 5 z 3 = A a pour coordonnées ( ; ; ) donc 3 A 3 y A + 5 z A 3 = = 3 3 = donc A appartient au plan d équation 3 3 y + 5 z 3 = U a pour coordonnées ; ; 3 donc 3 U 3 y U + 5 z U 3 = = = donc U appartient au 3 plan d équation 3 3 y + 5 z 3 = Le plan (EAU) a pour équation 3 3 y + 5 z 3 = Un vecteur normal au plan (EAU) est n (3 ; 3 ; 5) donc la droite (d ) orthogonale au plan (EAU) passant par le point S a pour 3 t représentation paramétrique y 3 t avec t z 5 t 3 3 Le point H, appartient à (d ) donc a des coordonnées de la forme (3 t ; 3 t ; 5 t + 3) et appartient au plan (EAU) donc : 3 H 3 y H + 5 z H 3 = 3 3 t 3 ( 3 t) + 5 (5 t + 3) = 9 t + 9 t + 5 t = 43 t + = t = 43 donc H a pour coordonnées ; ; Le solide (SEAUV ) a pour hauteur SH et pour ase le trapèze EAUV Le volume du solide est V = 3 SH Aire du trapèze EAUV SH a pour coordonnées ; ; , donc SH = ( ) SH = 43 L aire du quadrilatère AUVE est La pyramide (SABE) a pour volume OS Aire du carré ABDE donc le volume du solide (SEAUV ) est Le carré ABDE a pour côté AE = donc pour aire AE = donc la pyramide (SABE) a pour volume 3 3 La moitié du volume de la pyramide (SABE) est donc donc le plan (EAU) partage la pyramide (SABE) en deu solides de volumes différents

5 EXERIE (5 points) andidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité a A a pour coordonnées ( 3 ; 4),8,3 y donc A a pour coordonnées ( 4,8 ;,4), de même A a pour coordonnées ( 4,68 ;,76) y,6,8 y Traitement : Pour i allant de à onstruire le point de coordonnées ( ; y) t prend la valeur prend la valeur,8 t,3 y (ou,8,3 y) y prend la valeur,6 t +,8 y (ne pas utiliser qui a changé de valeur) Fin Pour c Apparemment les points A n pour tout n entier naturel, appartiennent au cercle de centre O de rayon 5 a Soit u n = z n z n + = (,8 n,6 y n ) + (,6 n +,8 y n ) =,8 n,8,6 n +,6 y n +,6 n +,8,6 n +,8 y n =,64 n +,36 n +,64 y n +,36 y n = n + y n = z n donc pour tout n de, z n + = z n soit u n + = u n La suite (u n ) est donc constante u = i = 5 donc pour tout n de, u n = 5 u n = 5 donc = z n = 5 soit pour tout entier naturel n, OA n = 5 Pour tout entier naturel n, les points A n appartiennent au cercle de centre O de rayon 5 z n + = (,8 n,6 y n ) + i (,6 n +,8 y n ) = cos θ n sin θ y n + i (sin θ n + cos θ y n ) e i θ z n = (cos θ + i sin θ) ( n + i y n ) = cos θ n + i cos θ y n + i sin θ n sin θ y n donc e i θ z n = cos θ n sin θ y n + i (sin θ n + cos θ y n ) donc pour tout entier naturel n, e i θ z n = z n + c Pour tout entier naturel n, e i θ z n = z n + donc la suite (z n ) est une suite géométrique de raison e i θ de premier terme z donc, pour tout entier naturel n, z n = e i n θ z d z est un complee de module 5 Pour vérifier que i i i i e e e i e est un argument du nomre complee z, vérifions que i donc e i ( cos i sin ) = i (,8 + i,6 ) i i e, 6,8 i donc 5 e 5 (, 6,8 i ) = i soit z = 5 e donc est un argument du nomre complee z i i ( n ) 5 e i = z i e z n = e i n θ z = 5 e e i n θ = 5 e donc un argument de z n est ( ) n est un argument du nomre complee z donc ( u, OA ) à π près, donc θ = ( v, OA ) où ( O ; u, v ) est un repère orthonormé du plan complee Pour tout entier naturel n, z n = e i n θ z donc ( u, OA n ) ( u, OA n ) à π près, et OA n + = OA n Pour construire A n + à partir du point A n, il suffit donc d effectuer une rotation de centre O et d angle θ et angle étant défini par ( v, OA )

6 EXERIE (5 points) andidats ayant suivi l enseignement de spécialité On donne les matrices M = et I = M = M M = 4 4 On donne M 3 = M + 8 M + 6 I = = M + 8 M + 6 I = 9 = M M 3 = M + 8 M + 6 I donc M 3 M 8 M = 6 I soit (M M 8 I) M = 6 I donc 6 (M M 8 I) M = I M est inversile et M = 6 (M M 8 I) Partie B Étude d un cas particulier En posant f () = a + + c, la paraole d équation y = a + + c passe par les points A ( ; ), B ( ; ) et ( ; 5) A P f () a c a B P f ( ) a c M où M = P f () 5 4 a c 5 c 5 4 a a M M or M = 3 c 5 c 5 6 (M M 8 I) = a donc M, a, et c sont ien des nomres entiers La paraole a pour équation y = + c 5 Partie Retour au cas général 3 M = donc p 3p q r 6 r 6 p q r M q 3 p 3q

7 a ( 3 p q r ) 6 6 a 3 p q r 3 p q r [6] soit (3 p 3 q ) 6 3 p 3 q, a, et c sont des entiers naturels donc 3 p 3 q [6] 6 6 c 6 p q r 6 p q r [6] c ( 6 p q r ) 6 3 p 3 q = 6, soit p q = or est un entier donc p q [] 6 p + q r = 6 c, soit (q r) = 6 (c p) donc q r = 3 (c p) or c p est un entier donc q r [3] q r [3] donc p q [] 3 a Les points A, B et sont alignés, les vecteurs AB ( ; q p) et A ( ; r p) sont colinéaires (q p) ( ) (r p) = r + q 3 p = On choisit p = 7 A, B et ne sont pas alignés si r + q 3 7 q r [3] q r [3] si p q [] soit si 7 q [] alors il eiste trois entiers a, et c tels que la paraole d équation y = a + A, B, ne sont pas alignés r q + c passant par A, B et 7 q [] q 7 [] il eiste un entier k tel que q = k + 7 q r [3] r q [3] il eiste un entier k tel que r = q + 3 k r + q 3 p = q + 6 k + q = 3 q + 6 k = 3 ( q + k 7) = 3 ( k k 7) = 6 (k + k ) A, B et ne sont pas alignés si k + k soit k k donc p = 7, q = k + 7 et r = k + 3 k + 7 avec k k 3 p + q + r = + k k + 6 k + 4 = 6 k + 6 k 3 p 3 q = 6 k = 6 k 6 p + q r = k k 6 k 4 = 6 k a 3 p q r 6 a 6 k 6 k ' a k k ' 6 3 p 3 q 6 6 k k avec k k, k et k entiers 6 c 6 p q r 6 c 6 p q r c k ' 7 Les paraoles passant par A, B et sont donc les paraoles y = (k + k ) k k + 7 avec k k, k et k entiers

8 EXERIE 3 (4 points) ontrôle avant la mise sur le marché La proailité de l événement M : «la talette est mise sur le marché» est P(M) = P(98 X ) =,9544 X X Soit T, T suit une loi normale centrée réduite 98 P(98 X ) = P T = P T =,97 donc,7 donc soit σ,9,7 Partie B ontrôle à la réception F,98, F,98,,5 p,3 F,9, -p,,9,8 F 3, P() =,5,98 +,3,9 +,,8 =,9 P( F ),5,98, 49 P (F ) = P( ),9,9 soit P (F ),53 P() =,98 p +,9 ( p) =,9 donc,8 p =, F soit p =,, 5,8 Il faut donc acheter 5 % de fèves au fournisseur et 75 % au fournisseur, EXERIE 4 (6 points) Les fonction ln et 3 ont strictement croissante sur l intervalle ] ; + [ donc leurs somme u est strictement croissante sur l intervalle ] ; + [ lim ln = et lim 3 = 3 donc lim u() = lim ln = + et lim 3 = + donc lim u() = + La fonction u est continue et strictement croissante sur ] ; + [, lim u() = et lim u() = + donc l équation u() = admet une unique solution α u() = ln donc u() < or u est strictement croissante sur l intervalle ] ; + [ donc < α u(3) = ln 3 donc u(3) > or u est strictement croissante sur l intervalle ] ; + [ donc α < 3 L équation u() = admet une unique solution α comprise entre et 3 On pouvait aussi démontrer que la fonction u s annulait une seule fois sur [ ; 3] mais il fallait ensuite justifier qu elle ne s annulait ni sur ] ; [ ni sur [3 ; + [ 3 La fonction u est continue et strictement croissante sur ] ; + [, u(α) = donc si < α alors u() <, si > α alors u() > Partie B lim ln = et lim = donc lim f () = + u( ) u '( ) a Soit donc f () = (ln ) v( ) ln v '( ) ln ln 3 u ( ) f '( ) donc, pour tout réel de l intervalle ] ; + [, f () =

9 Pour tout réel de l intervalle ] ; + [, le dénominateur de f () est strictement positif donc f () est du signe de u() α + u() + + f f (α) Partie Pour tout réel de l intervalle ] ; + [,f () = ln ln ln + = ln + donc f () ln() = ln hercher les points d intersection des coures et revient à résoudre f () = ln ou f () u() = soit ln = ln = ln = = e Les coures et ont un seul point commun de coordonnées (e ; ) On admet que la fonction H définie sur l intervalle ] ; + [ par H() = (ln()) est une primitive de la fonction h définie sur l intervalle ] ; + [ par h() = ln ln = ln donc une primitive de la fonction ln ln e = donc F(e ) = = et ln = donc F() = est la fonction F définie par F() = ln (ln()) I = e ln ( ) d = F(e ) F() = Si e alors ln donc ln donc f () ln La coure est au-dessus de la coure sur [ ; e e ln ( ) ] donc d mesure l aire (en unité d aire) comprise entre les coures et et les droites d équation =, = e ette aire est égale à unités d aire