Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques & d Informatique Rabat, Maroc

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1 Uiversité Mohammed V Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques & d Iformatique Rabat, Maroc

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3 Cours d Aalyse 4 Zie El Abidie ABDELALI

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5 Table des matières Chapitre. Notios sur la topologie de R 7. Rappel de quelques propriétés de R Théorème de Bolzao-Weierstrass Suites de Cauchy das R Notios sur la topologie de R. 5. Applicatios cotiues et parties compacts Série o 5 Chapitre 2. Séries umériques 2. Suites das C Séries umériques Séries umériques à termes positifs Règles de covergece Comparaiso série-itegrale Série à termes réels ou complexes Série o Chapitre 3. Espaces vectoriels ormés 39. Défiitios géérales Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Série o Chapitre 4. Suites et séries de foctios 59. Suites de foctios Différets types de covergece pour les séries de foctios Séries etières Série o Chapitre 5. Itégrales dépedat d u paramètre 83. Rappels 83 5

6 6 Z. ABDELALI 2. Itégrales propre dépedat d u paramètre Série o Chapitre 6. Calcul différetiel 9. Applicatios différetiables Dérivées partielles et applicatios cotiumet différetiables C k difféomorphismes Dérivées partielles d ordre supérieure Extremums relatifs Série o 6. 02

7 CHAPITRE Notios sur la topologie de R. Rappel de quelques propriétés de R. Proprieté.. (Caractérisatio de R) L esemble R possède les propriétés suivates : ) (R, +,., ) est u corps comutatif totalemet ordoé, 2) R vérifie la propriété de la bore supérieure, 3) R est u corps archimédie. Exercices.. ) Déduire de la propriété., que R vérifie la propriété de la bore iférieure. 2) Motrer que si (u ) est ue suite croissate majorée (resp. décroissate miorée), alors elle est covergete et o a lim u = sup u (resp. lim u = if u N ). N 3) Vérifier que la suite (/) N coverge vers 0. Remarque.. Pour tout x R o peut défiir : ) La valeur absolue x = max{ x, x}. L existece de la valeur absolue découle de ) propriété.. 2) La partie etière [x] qui est autre que l uique etier relatif vérifiat [x] x < [x] +. L existece de la partie etière découle de 2) propriété., et le fait que N est bie-ordoé. Défiitio.. U sous esemble A de R est dit dese das R si tout élémet de R est ue limite d ue suite d élémets de A. Propositio.. Q dese das R. Démostratio. Soit x R, alors o a [0 x] 0 x < [0 x] + 0, aisi x = lim [0 x] 0. 7

8 8 Z. ABDELALI Exercices.2. ) Motrer que R \ Q dese das R. 2) Motrer q u sous esemble A de R est dese das R si, et seulemet si, tout itervalle, o vide, ]a, b[ de R cotiet u élémet de A. 3) Pour tout (x, y) R 2, si x < y, alors ]x, y[ cotiet ue ifiité de ratioels et ue ifiité d irratioels. 2. Théorème de Bolzao-Weierstrass. Défiitio.2. Soit (u ) ue suite réelle, o appelle sous suite extraite de (u ), toute suite de la forme (u σ() ) où σ : N N est ue applicatio strictemet croissate. Remarque.2. ) O a pour tout etier, σ(). 2) O a (u ), (u 2 ), (u 2+ ), (u 3 ), (u 3+ ), (u 3+2 ) sot des sous suites extraites de la suite (u ). 3) Si (k ) est ue suite d etier strictemet croissate, alors (u k ) est ue sous suite extraite de (u ). (u ). 4) Ue sous suite extraite d ue sous suite extraite de (u ) est ue sous suite extraite de Propositio.2. Soit (u ) ue suite réelle, o a ) si (u ) coverge vers ue limite l, alors toute sous suite extraite de (u ) coverge vers l. 2) si (u ) ted vers + (resp. ), alors toute sous suite extraite ted vers + (resp. ). Démostratio. Exercice. Remarque.3. ) Si deux sous suites extraites d ue suite (u ) coverget vers deux limites différetes, alors la suite est divergete. 2) La propositio précédete doe ue méthode pour démotrer que certaies suites e sot pas covergetes. Par exemple la suite (( ) ) est divergete, car lim u 2 = = lim u 2+. Corollaire.. Soit (u ) ue suite réelle, Alors (u ) ted vers ue limite, fiie ou ifiie, l si et seulemet si (u 2 ) et (u 2+ ) tedet vers l.

9 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 9 Démostratio. Exercice. Ue propriété équivalete à celle de la bore supérieure et le théorème suivat : Théorème.. (de Bolzao-Weierstrass) Toute suite réelle borée admet ue sous suite extraite covergete. Démostratio. Soit (u ) N ue suite borée. Il existe u segmet [m, M] qui cotiet tous les élémets de la suite (u ) N. Soiet (a ) et (b ) les deux suites défiies par a 0 = m, b 0 = M, et si {k N : u k [a, a+b 2 ]} est ifii das l autre cas a + = a et b + = a + b 2 a + = a + b 2 et b + = b alors o a (a ) est ue suite croissate, (b ) est ue suite décroissate et b a = M m 2 0. Doc (a ) et (b ) coverget vers ue même limite l, e effet, l c est sup{a : IN}. Rappelos que pour tout etier l itervalle [a, b ] cotiet ue ifiité de termes de la suite (u k ). Posos k 0 = 0 et choisisos pour tout > 0 u etier k vérifiat k > max{k 0,..., k } et u k [a, b ] Alors (u k ) est ue sous suite extraite de (u ) et o a lim u k = l. 3. Suites de Cauchy das R. Défiitio.3. Ue suite (u ) N est appelée suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivate, appelée critère de Cauchy : ε > 0, N N : N, m N, u u m < ε. Le critère de Cauchy peut être aussi s éocer aisi : ε > 0, N N : N, p 0, u +p u < ε. où Exercices.3. Vérifier qu ue suite (u ) N est de Cauchy si, et seulemet si lim M = 0 M = sup u +p u = 0. p N

10 0 Z. ABDELALI doc Attetio.. La suite (l( + )), est ue suite qui vérifie pour chaque etier p fixe u +p u = l( + p + + ) lim u +p u = 0 Mais (l( + )) est pas ue suite de Cauchy car par exemple o a pour tout N u 2+ u = l(2) 0. Propositio.3. Toute suite covergete est ue suite de Cauchy. Démostratio. Soit (u ) N ue suite covergete vers ue limite l, alors o a : par suite ε > 0, N N : N, u l < ε N, m N, u u m u l + l u m < 2ε. Propositio.4. Toute suite de Cauchy est borée. Démostratio. Soit (u ) N ue suite de Cauchy. Pour ε =, il existe u etier N tel que pour tout N, u u N < aisi u + u N. D où pour tout N o a u M, où M = max{ u 0, u,..., u N, u N + }. Théorème.2. Toute suite de Cauchy est covergete. Démostratio. Soit (u ) N ue suite de Cauchy. Doc elle est borée, d après le théorème de Bolzao-Weierstrass il existe ue sous suite extraite (u σ() ) N qui coverge vers ue limite l. Motros que (u ) N coverge vers l. Soit ε > 0, alors il existe u etier N tel que N, u σ() l < ε il existe aussi u etier N 2 tel que, m N 2, u u m < ε Posos N = max{n, N 2 }, pour tout N o a : u l u u σ(n) + u σ(n) l < 2ε. O dit alors que R est u espace complet.

11 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 Exemples.. L espace Q est pas complet. 4. Notios sur la topologie de R. 4.. Voisiages, ouverts et fermés das R. Défiitio.4. Soit x R, u voisiage V coteat u itervalle cetré e x. de x est u sous esemble de R Remarque.4. ) U esemble V est u voisiage d u élémet x si, et seulemet si, V cotiet u itervalle ouvert coteat x. 2) Si V est u voisiage de x et W V, alors W est u voisiage de x. 3) Ue itersectio fiie de voisiage de x est u voisiage de x. 4) Ue réuio quelcoque de voisiages de x est u voisiage de x. Défiitio.5. ) U sous esemble O de R est dit ouvert s il est voisiage de chaqu de ses poits. 2) U sous esemble F de R est dit fermé si so complémetaire R \ F est u ouvert. Exemples.2. ) L esemble R et l esemble vide sot des ouverts et des fermés. 2) Les ouverts sot stables par réuio quelcoque et par les itersectios fiies. 3) U itervalle ouvert est u ouvert. 4) Ue réuio quelcoque d itervalles ouverts est u ouvert. 5) U itervalle fermé est u fermé. E effet, R \ [a, b] =], a[ ]b, [ est u ouvert. 6) U sigleto est u fermé. 7) U esemble fii est u fermé. 8) L esemble Z est u fermé das R. Exercices.4. Soit E u sous esemble de R. ) Motrer que l esemble F des fermés de R coteat E est o vide et petit fermé coteat E. 2) Motrer que l esemble O des ouverts de R coteus das E est o vide et le plus grad ouvert coteu das E. F F F est le plus O O O est Défiitio.6. ) L itérieur d u esemble E, oté E o est le plus grad ouvert coteu das E. 2) L adhérece d u esemble E, oté E est le plus petit fermé coteat E.

12 2 Z. ABDELALI 4.2. Ouverts et fermés d ue partie de R. Soit A u sous esemble de R et soit x A, alors o a la défiitio suivate : Défiitio.7. ) U voisiage V de x das A est ue itersectio d u voisiage W de x das R et A. 2) U ouvert O das A est ue itersectio d u ouvert U das R et A. 3) U fermé F das A est ue itersectio d u fermé H das R et A. Remarque.5. ) Toutes les propriétés vérifies par les voisiages (resp. ouverts, fermés) restet vraies pour les voisiages (resp. ouverts, fermés) relativemet à u sous esemble de R. 2) Si A est u sous esemble fermé das R, alors u sous esemble F de A et fermé das A si, et seulemet si, il est fermé das R. 3) Si A est u sous esemble ouvert das R, alors u sous esemble O de A et ouvert das A si, et seulemet si, il est ouvert das R. 4) E gééral les voisiages (resp. ouverts, fermés) relativemet à u sous esemble de R e sot pas écessairemet des voisiages (resp. ouverts, fermés) das R Limites et cotiuité. Propositio.5. Soit (u ) ue suite réelle et soit l R, alors o a l équivalece : ) lim u = l, 2) pour tout voisiage V de l, il existe u etier N N, tel que pour tout N, u V. Défiitio.8. Soit f ue applicatio défiie d ue partie A de R a valeurs réelles. Soit x 0 A, ) o dit que f coverge vers u élémet y 0 R lorsque x coverge vers x O, et o ote lim x x0 f(x) = y 0, si ε > 0, η > 0, : x A, x x 0 < η = f(x) y 0 < ε, 2) si x 0 A, f est dite cotiue e x 0 si lim x x0 f(x) = f(x 0 ), 3) f est cotiue sur A, si f est cotiue e tout poit x de A. Propositio.6. Soit f : A R ue applicatios. Alors

13 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 3 ) Pour u élémet x A, les propriétés suivates sot équivaletes : a) f est cotiue au poit x, b) l image réciproque de tout voisiage de f(x) est u voisiage de x das A, c) pour toute suite (u ) das A qui coverge vers x, la suite (f(u )) coverge vers f(x) 2) Les propriétés suivates sot équivaletes : a) f est cotiue sur A, b) l image réciproque de tout ouvert est u ouvert de A, c) l image réciproque de tout fermé est u fermé de A. Remarque.6. O a les critères pratiques suivats pour recoaître certais ouverts et fermés de R. ) Si F est u fermé das R, si de plus f, f 2,..., f sot des applicatios, à valeurs réelles, cotiues sur F, alors l esemble {x F : f i 0, i } est u fermé das R. 2) Si O est u ouvert das R, si de plus f, f 2,..., f sot des applicatios, à valeurs réelles, cotiues sur O, alors l esemble {x O : f i > 0, i } est u ouvert das R Parties fermées et suites. Propositio.7. Soit F sous esemble de R, alors o a l équivalece : ) F est fermé das R, 2) pour toute suite (u ) F, qui coverge vers ue limite l R, o a l F. Démostratio. Soit F u fermé das R, et supposos que (u ) ue suite d élémets de F qui coverge das R vers ue limite l. Supposos que l F, doc l est i élémet de l ouvert R \ F. Doc il existe u etier N, tel que pour tout N, u R \ F. E particulier u N R \ F, absurde. Réciproquemet, Supposos que 2) est vraie et que F est pas fermé, doc R \ F est pas u ouvert. Doc il existe a R \ F tel que aucu itervalle cetré e a est coteu das R \ F. Aisi pour tout N, F ]a, a + [ est o vide, soit x u élémet quelcoque de cette itersectio. La suite (x ), est ue suite d élémets de F qui coverge vers a F, ce qui est absurde. Exercices.5. I) Soit A ue partie de R, motrer que les propriétés suivates sot équivaletes : ) x A,

14 4 Z. ABDELALI 2) x est ue limite d ue suite d élémets de A 3) if{ x a : a A} = 0. II) U sous esemble A de R est dit complet si toute suite de Cauchy das A est covergete das A. Motrer A est complet si et seulemet si A est fermé. Défiitio.9. Soit F u esemble fermé u sous esemble A de F est dit dese das F si A = F. Exemples.3. ) L esemble Q est dese das R. 2) L esemble Q [0, ] est dese das [0, ]. 5. Applicatios cotiues et parties compacts. Défiitio.0. U sous esemble K de R est dit compact si toute suite d élémets de K admet ue sous suite extraite qui coverge das K. Propositio.8. Les compact das R sot les parties fermées borées. Démostratio. Soit K est ue parties fermée borée de R. Si (u ) est ue suite d élémet de K, alors (u ) est borée doc elle possède ue sous suite extraite (u σ() ) covergete das R. L esemble K est fermé doc la limite de (u σ() ) est u élémet de K, aisi K est u compact. Iversemet, supposos que K est u compact, alors K est boré sio il existe alors ue suite d élémets de K qui diverge vers ou. Ue telle suite e possède aucue sous suite extraite covergete, absurde doc K est boré. L esemble K est fermé, car pour tout x K il existe ue suite (u ) das K qui coverge vers x. Doc il existe ue sous suite extraite de (u ) qui coverge das K, ue telle sous suite coverge vers x, aisi x K. Exercices.6. Tout compact de R admet u plus grad élémet et u plus petit élémet. Propositio.9. L image d u compact par ue applicatio cotiue est u compact. Démostratio. Soit K u compact est f ue applicatio cotiue sur K. Soit (y ) ue suite das f(k), pour tout etier il existe x K, tel que f(x ) = y. La suite (x ) possède ue sous suite extraite (x σ() ) covergete vers u élémet x de K, f est cotiue e x doc la suite (f(x σ() )) qui est autre que la sous suite extraite (y σ() ) de (y ), coverge vers f(x) f(k). D où f(k) est u compact.

15 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 5 Corollaire.2. Toute applicatio cotiue d u compact de R das R est borée et elle atteit ses bores. Démostratio. Exercice. Défiitio.. Soit f : A R ue applicatio, o dit que f est uiformémet cotiue sur A si ε > 0, η > 0 : x, y A, x y < η = f(x) f(y) < ε. Remarque.7. ) Soit f : A R ue applicatio, si f est uiformémet cotiue sur u esemble A, alors f est cotiue sur A. 2) L applicatio f : R R; x x 2 est cotiue sur R, mais elle est pas uiformémet cotiue sur R. 3) L applicatio f : ]0, [ R; x x est cotiue sur ]0, [, mais elle est pas uiformémet cotiue sur ]0, [. Théorème.3. (de Heie) Toute applicatio cotiue sur u esemble fermé boré est uiformémet cotiue. Démostratio. Supposos que E est u fermé boré et que f est cotiue mais o uiformémet cotiue. Il existe ε > 0 tel que pour tout etier >, il existe x, y E vérifiat x y < / et f(x ) f(y ) ε. Il existe ue sous suite extraite (x σ() ) de (x ) qui coverge vers u élémet l E. O a x y < /, doc (y σ() ) coverge vers l. La foctio f est cotiue au poit l, doc (f(x σ() )) et (f(y σ() )) coverge vers f(l), ceci cotredit le fait que f(x σ() ) f(y σ() ) ε, N. 6. Série o Exercice. Soit u = (u ) ue suite. ) Vérifier que si les deux sous suites extraites (u 2 ) et (u 2+ ) coverget vers ue même limite, alors u est covergete. 2) Vérifier que si les sous suites extraites (u 2 ), (u 2+ ) et (u 2) coverget, alors u est covergete. 3) Vérifier que si les sous suites extraites (u 3 ), (u 3+ ) et (u 3+2 ) coverget, alors u est covergete.

16 6 Z. ABDELALI Exercice 2. Doer la ature des suites suivates : si( π 3 ), k=0 2 + ( + ) 2 cos( π 5 ) Exercice 3. (e est irratioel) Soiet u et v les suites défiies par u = k! et v =! + k! ) Vérifier que u et v sot deux suites adjacetes. 2) Soit l leur limite commue et supposos que l est u ratioel, c est à dire que l = p/q pour u certai (p, q) IN IN, a) dire pour quoi u q < l < v q, b) déduire u ecadremet de c) le ombre N est-il u etier, coclure. N = (l q k=0 k! ) q!, 3) E utilisat la formule de Taylor-Lagrage, vérifier que pour tout etier, 4) coclure que e est irratioel. e u e ( + )! k=0 Exercice 4. Soit I u itervalle de IR, et soit f : I IR ue ue applicatio telle que l image de toute suite covergete est ue suite covegete. Motros que f est cotiue. ) Soiet x I et (u ) ue suite de I qui coverge vers x, costruire das I ue suite covergete (w ) admettat (u ) et ue suite costate comme deux sous suites extraites. 2) Que peut o dire de la suite (f(w )). 3) E déduire que la suite (f(u )) coverge vers f(x), coclure. Exercice 5. I) Vérifier que pour tout réel ω > 0, l esemble (ω Z, +) est u sous groupe additif fermé de IR. II) Soit (G, +) u sous groupe additif propre de IR, supposos de plus que G est fermé. Posos ω = if{g G : g > 0}. ) supposos que ω = 0, a) vérifier qu il existe ue suite (g ) d élémets de ]0, ] G qui coverge vers zéro. b) Soit x IR + vérifier que pour tout etier il existe u etier u tel que u g x < (u + ) g.

17 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 7 c) Vérifier que la suite (u g ) coverge vers x. d) E déduire que x G, et que IR G, coclure. 2) D après ce qui précède ω > 0, a) vérifier que ω G, b) motrer que G = ω Z (Id. s il existe g G IR + qui est pas de la forme ωin, cosidérer l élémet g [g/ω]ω). III) Soit x IR tel que x/π est irratioel, et soit E = {cos(x) : Z}. ) Vérifier que E = {cos(g) : g G} où G = x Z + 2π Z. 2) Vérifier que G est dese das IR. 3) Coclure que E est dese das [, ]. Exercice 6. Soit I u itervalle fermé et soit f ue applicatio cotractate, c est à dire k-lipschitziee 0 < k <. Supposos de plus que f(i) I. ) Soit x I, motrer (f (x)) est ue suite de Cauchy. 2) E déduire que f admet u poit fixe uique. 3) Que peut o dire das les deux cas suivats : a) f est lipschitziee, c est à dire -lipschitziee, b) I est pas fermé. Exercice 7. Motrer qu ue applicatio cotiue sur [0, [ est uiformémet cotiue si, et seulemet si, elle est prologeable par cotiuité au poit (Id. Si f est est uiformémet cotiue, soit (u ) ue suite d élémets de [0, [ qui coverge vers, vérfier que (f(u )) est de Cauchy doc elle coverge vers u réel l. Soit (v ) ue suite quelcoque d élémets de [0, [ qui coverge vers vérfier que (f(v )) coverge vers l).

18 8 Z. ABDELALI Série, Solutio. Exercice 5. II) ) a)par hypothèse 0 = if{g G : g > 0}, doc pour tout etier > 0, il existe g {g G : g > 0} tel que 0 g < /. D où (g ) ]0, ] G et g 0. b) Il suffit de poser u = [x/g ] (partie etière de x/g ). c) O a 0 x u g < g et g 0. Doc (u g ) coverge vers x. d) G est fermé, (g σ() ) G et u g x. Doc x G. Doc IR + G, or G est u groupe doc IR G. 2) a) Par hypothèse ω = if{g G : g > 0}, doc pour tout etier > 0, il existe g {g G : g > 0} tel que ω g < ω + /. D où (g ) G et g ω. D où ω G car G est fermé. b) Si g G et g 0. Posos g = g [g/ω]ω. O a g G et 0 g < ω doc g = 0 car ω = if{g G : g > 0}. D où g = [g/ω]ω ωin. III) 2) a) G est aussi u groupe car G et si x, y G, il existe (x ) et (y ) deux suites das G telles que x x et y y, d où x y x y, aisi x y G. b) Si G est de la forme ω Z, alors x Z + 2π Z = G ω Z. Aisi x ω Z et π ω Z. Doc il existe, m Z tels que x = ω et y = ωm. Aisi x/π IQ, ce qui est absurde. 3) Soit y [, ], il existe x IR tel que cos(x) = y. Il existe (g ) G telle que g x, doc cos(g ) y, mais pour tout etier, g = a + b avec a x Z et b 2π Z. Doc cos(a ) = cos(g ) y, remarquos que (cos(a )) E d où E est dese das [, ]. Exercice 6. O a pour tout (x, y) I 2, f(x) f(y) k x y. fixos x I. ) Soit m, f m (x) f (x) = (f m (x) f m (x)) + (f m (x) f m 2 (x)) + + (f + (x) f (x)) f m (x) f m (x) + f m (x) f m 2 (x) + + f + (x) f (x) Or o a pour tout etier k, f + (x) f (x) k f(x) x. D où f m (x) f (x) k m + k m k = k km k Aisi (f (x)) est ue suite de Cauchy. Doc elle coverge vers ue limite a. 2) O a a I, car f(i) I. Doc f(a) = lim f(f (x)) = lim f + (x) = a. k k 3) Posos I = IR, x x + est -lipschitziee mais elle admet aucu poit fixe.

19 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 9 4) Pour I =]0, ], x x/2 est /2-lipschitziee mais elle admet aucu poit fixe. Exercice 7. Soit f : [0, [ IR, ue applicatio. ) Si f est prologeable par cotiuité au poit e ue foctio g, alors g est cotiue sur le compact [0, ], doc g est uiformémet cotiue sur [0, ]. Aisi f est uiformémet cotiue sur [0, [. 2) Supposos que f est uiformémet cotiue sur [0, [. a) Motros que l image par f d ue suite (a ) qui coverge vers, est ue suite covergete. O a, ε > 0, η > 0, x y < η = f(x) f(y) < ε Doc il existe u etier N, tel que pour tous m N, a a m < η doc f(a ) f(a m ) < ε Doc (f(a )) est de Cauchy. Doc elle coverge vers ue limite l. b) Motros que l est uique. Si (b ) ue suite d élémets de [0, [ qui coverge vers. Soit (c ) la suite défiie par c 2 = a et c 2+ = b. Alors la suite (c ) coverge vers, aisi (f(c )) coverge vers ue limite l. Aisi D où si b l = lim a = lim c 2 = l = lim c 2+ = lim b o a f(b ) l. Aisi f admet ue limite quad x, par suite f prologeable par cotiuité au poit.

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21 CHAPITRE 2 Séries umériques. Suites das C. Ue suite complexe est ue applicatio de N das C. Toutes les propriétés des suites réelles, autres que celles qui dépedet de l ordre, restet vrais pour les suites complexes. Das le reste de ce paragraphe, et sauf motio explicite du cotraire, toutes les suites cosidérées sot complexes. Défiitio 2.. Ue suite complexe (u ) est dite covergete vers u élémet l C si la suite réelle ( u l ) coverge vers zéro. Soit (u ) ue suite complexe et soit, pour tout N, a (resp. b ) la partie réelle (resp. imagiaire) de u. Doc o a pour tout etier, u = a + ib. Avec ces otatios o a si Propositio 2.. (u ) covergete vers ue limite l = a + ib C si, et seulemet lim a = a et lim b = b. Doc Démostratio. O a pour tout N, a a u l et b b u l. lim u l = 0 = lim a = a et lim b = b. Réciproquemet, si lim a a = lim b b = 0, alors lim a a 2 + b b 2 = 0, c est à dire que lim u l = Séries umériques. Soit (u ) N ue suite umérique et pour chaque N soit S = u u la somme de + premiers termes de cette suite. Alors o a 2

22 22 Z. ABDELALI Défiitio 2.2. ) La suite (S ) est appelée série de terme gééral u, cette série sera otée u ou u. 2) S = u k est appelée la somme partielle d ordre de la série. k=0 3) La série u est dite covergete si la suite (S ) est covergete, das ce cas lim S = lim u k, est alors appelée somme de la série u, et désigée par k=0 u ou u u +. =0 4) La série u est dite divergete si elle est pas covergete. Remarque 2.. ) O peut avoir ue suite (u ) 0 qui est défiie qu à partir d u certai idice 0. Das ce cas la série u est la série de terme gééral u, où u := 0 pour ) Soit (u ) 0 ue suite. Par abus de lagage, et aussi suivat certais auteurs, o va se permettre d utiliser la otatio u pour désiger à la fois la série u et la somme u, = 0 = 0 si elle existe. Mais pour éviter toute cofusio, les expressios : série u, u coverge = 0 = 0 (ou diverge)..., sigifiet qu il s agit d ue série, par cotre les expressios : la somme u, = 0 u égale à u scalaire (ou à l ifiie)..., sigifiet qu il s agit d ue somme. = 0 Exemples 2.. ) Soit r R, la série géométrique de raiso r est la série r coverge si, et seulemet si < r <. E effet, si r ], [, r, o a S = k=0 r k = r+ r = k=0 r k = r. Pour r =, S = +, doc r k =. k=0 Pour r, S +, doc r k =. Pour r =, k k=0 r k diverge. E effet, S 2 = ( )2+ ( ) = et S 2+ = ( )2+2 ( ) = 0.

23 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 23 Pour r <, k r k diverge. E effet, et 2) La série S 2 = r2+ r S 2+ = r2+2 r est covergete, car pour tout etier, Doc Aisi, doc doc ( + ) lim S 2 = ( + ) = + lim S 2+ =. S = ( 2 ) + ( 2 3 ) + + ( + ) = +. = ( + ) =. Défiitio 2.3. La somme de deux séries la série u + v. u et v, otée u + v, est Pour tout scalaire λ C, le produit de λ et la série u, otée λ u, est la série λu. Propositio 2.2. Si u et v sot deux séries covergetes et si λ et β sot deux scalaires alors la série λ + β est covergete et o a Démostratio. λ par les sommes partielles. u u + β =0 v = =0 v λu + βv. =0 Découle du faite que cette propriété est vraie pour les suites formées

24 24 Z. ABDELALI Propositio 2.3. Ue série u est covergete si, et seulemet si elle vérifie le critère de Cauchy suivat : m ε > 0, N N : m > N, u k < ε. k=+ Démostratio. Découle du critère de Cauchy pour la suite ( u k ). k=0 Propositio 2.4. Si ue série u coverge, alors lim u = 0. Démostratio. lim u = lim = lim = ( u k k=0 k=0 u k ) u k lim u k k=0 u k u k = 0. k=0 k=0 k=0 Attetio 2.. La réciproque de la propositio 2.4 est pas vraie e gééral. Voici deux exemples : ) Soit la série = l( + ). Le terme gééral de cette série coverge vers zéro. Mais l( k+) = l(k + ) l(k) k k= k= = l( + ). 2) U exemple remarquable est doé par la série harmoique Le terme gééral de cette série est / qui coverge vers zéro. Mais o a. S 2 S = } {{ 2} termes = =, 2 2 doc la série harmoique e vérifie pas le critère de Cauchy doc elle est divergete.

25 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI Séries umériques à termes positifs. Das se paragraphe o s itéresse aux séries à termes gééraux positifs, c est à dire les séries u telles que, pour tout N, u 0. Propositio 2.5. Ue série u à termes positifs est covergete si, et seulemet si elle est borée. Démostratio. La suite ( u k ) est croissate, doc elle coverge si, et seulemet si elle est borée. k=0 Remarque 2.2. Si u ue série à termes positifs, alors u R + { }. =0 =0 u = sup N u k. D où Propositio 2.6. Soiet u et v deux séries à termes positifs, supposos de plus que pour tout N, u v, alors : ) si la série v coverge la série u coverge et o a u k v k. k=0 k=0 2) si la série u diverge la série v diverge. k=0 Démostratio. Si D où u k v k. k=0 k=0 v coverge, alors pour tout N, u k v k v k <. k=0 k=0 k=0 Exemples 2.. Etudios la ature de la série. 2 O a pour tout etier 2, or =2 est covergete, d où ( ) Corollaire 2.. Soiet = = 2 ( ), 2 u et coverge. plus que u = O(v ) lorsque ted vers. Si v deux séries à termes positifs, supposos de v coverge, alors u coverge.

26 26 Z. ABDELALI Démostratio. Il existe u réel M > 0 tel que pour tout N, u Mv. La série Mv est covergete, doc u coverge. Corollaire 2.2. Soiet u et v deux séries à termes positifs, supposos de plus que u v lorsque ted vers. Alors les séries u et v sot de même ature. Démostratio. Il suffit de remarquer que u = O(v ) et v = O(u ). 4.. Règle de Riema. 4. Règles de covergece. Propositio 2.7. Soit α R, la série de Riema seulemet si α >. = α est covergete si, et Démostratio. Cas α =, (voir aussi Attetio 2., 2)) o a doc la série = diverge. Cas α, pour tout etier 2 o a : l( + ) = l( + ) l() ( ) α = ( ( ) α ). α ( ) α Remarquos que d où Or o a ( ) α (α ), (α ) ( ) α α ( ) α α α. ( (k ) α k ) = α k=2 α

27 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 27 Aisi, = α coverge si, et seulemet si, α >. Corollaire 2.3. (Règle de Riema) Soit u ue série à termes positifs. ) S il existe u M > 0 et α > tels que α u M, e particulier si lim α u existe, alors la série u coverge. 2) S il existe u M > 0 et α tels que α u M, alors la série u diverge. Démostratio. Exercice Règle de Cauchy. Ici o vas étudier les séries comparables aux séries géométiriques. Propositio 2.8. (Règle de Cauchy) Soit u ue série à termes positifs. ) S il existe 0 λ < tel que pour assez grad u λ, alors la série coverge. 2) Si pour ue ifiité d idices o a u, alors la série u diverge. u Remarque 2.3. Comme cas particulier de la règle de Cauchy, o a si termes positifs, et si de plus lim u = λ, alors : si λ <, la série coverge, si λ >, la série diverge, si λ =, o peut rie dire. u ue série à 4.3. Règle de d Alembert. Propositio 2.9. Soiet u et v deux séries, supposos de plus qu il existe 0 N tel que pour 0, u > 0, v > 0 et ) Si 2) Si u + u v + v. v coverge alors u coverge. u diverge alors v diverge. Démostratio. Pour tout etier 0, u u 0 v 0 v. D où le résultat. u + v + u v. D où u v u 0 v 0, aisi

28 28 Z. ABDELALI Corollaire 2.4. (Règle de d Alembert) Soit u supposos de plus que lim + u = λ, alors : ) Si λ <, la série u coverge. 2) Si λ >, la série u diverge. Démostratio. Exercice. u ue série à termes positifs, 5. Comparaiso série-itegrale. Soit f : [ 0, [ R, où 0 N, ue foctio décroissate et positive alors o a : Théorème 2.. La série De plus : ) La série f() et l itegrale 0 = 0 = 0 + ( est ue série à termes positifs covergete. 2) Si la série = 0 f() coverge, alors : = 0 + Démostratio. ) ( = 0 + f() 0 f(x)dx f() ) Ue telle limite existe car f est décroissate. 2) Exercice. f(x)dx f() ) f(x)dx = 0 + = lim f( 0 ) f() f(x)dx sot de même ature. = 0 f(). ( f( ) f() ) Exemples 2.2. Cosidéros la Série de Bertrad :, (α, β) α R2 (l()) β =2

29 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 29 si α >, la série coverge ( lim si α <, la série diverge ( lim si α =, x x l(x) 2 α+ 2 = 0), α (l()) β α+ 2 α (l()) β = ), est ue foctio défiie sur [2, [ décroissate et positive de plus x(l(x)) dx = dt (e posat t = l(x) β 2 tβ d où l itegrale est covergete si, et seulemet si β >, aisi 6.. Séries absolumet covergetes. =2 6. Série à termes réels ou complexes.. (l()) β Défiitio 2.4. Ue série à termes réels ou complexes covergete si la série u, est covergete. u est dite absolumet Propositio 2.0. Ue série absolumet covergete est ue série covergete. doc Démostratio. O va appliquer le critère de Cauchy. La série ε > 0, N N : q p N, L iégalité triagulaire doe q u < ε. =p u est covergete q ε > 0, N N : q p N, u < ε. =p D où la série u vérifie le critère de Cauchy doc elle coverge. Remarque 2.4. Tous les résultats et les règles du paragraphe précédat s étedet au cas gééral mais e remplaçat covergete par absolumet covergete, les termes gééraux par leurs modules et divergete par e coverge pas absolumet. Attetio 2.2. L équivalece des termes gééraux de deux séries qui e gardet pas u sige costat, etraîe pas le fait que les deux séries sot de même ature. Cosidéros les deux séries suivates : =0 ( ) + et =0 ( ) + + ( )

30 30 Z. ABDELALI les termes gééraux de ces deux séries sot équivalets, mais la première série est covergete (voir le sous paragraphe sur les séries alterée) et la deuxième est divergeete. E effet, o a et S = ( ( ) ( ) + ++( ) ) sot de même atures. De plus =0 ( ) ++( ) =0 ( ) ( ) + ++( ) = ( ) ++ ( ) + +( ++( ) ) = +( ++( ) ) Doc S est ue série de terme gééral positif +( ++( ) ) diverge, aisi =0 ( ) ++( ) 6.2. Séries produit. Défiitio 2.5. Soiet = 0 u et = o diverge. v est la série : = 0 u et = 0 v + pour 2, d où elle deux séries, la série produit des séries w où w = = p+q= p 0, q 0 u p v q Remarque 2.5. ) Das la défiitio précédate si 0 = 0 = 0, alors w = u p v q = u v 0 + u v + + u 0 v p+q= = u k v k. 2) La série produit de deux série est appelée aussi produit de Cauchy. k=0 Propositio 2.. La série prduit de deux série absolumet covergetes = 0 u et = 0 = w v est absolumet covergete et o a w = ( u ) ( v ) = 0 = = 0 Démostratio. a) Cas où les deux séries u et = 0 pour tout etier m 0 + 0, m m ( u ) ( v ) = 0 = 0 2m = m v sot à termes positifs, o a = 0 w ( u ) ( = 0 2m = 0 v )

31 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 3 doc si les deux séries sot covergete alors la séries iégalités précédates que Soit = = w = ( u ) ( v ). = 0 b) Cas gééral. Soit pour tout etier m 0 + 0, = Doc d après a), lim m m = w = 0 = 0 ( m u ) ( m v ) = = 0 w la série produit de u et = 0 m<p+q p m, q m m<p+q p m, q m lim m u p v q = m = u p v q = 0. D où m = = = 0 w ( w coverge. Il découle des deux m<p+q p m, q m m<p+q p m, q m v. Alors o a m m w ( u ) ( = 0 = 0 u ) ( u p v q u p v q m v ). = 0 m v ) = 0. = 0 Aisi, la série produit est covergete et o a w = ( u ) ( v ). = 0 De plus pour tout etier 0 + 0, o a w w, doc la série produit est absolumet covergete. Exemples 2.3. Soit r ], [, étudios la série O a pour tout N, ( + )r = série produit de r et =0 k=0 ( + )r. =0 = 0 r k r k. Doc la série ( + )r est autre que la =0 r. D où elle est absolumet covergete et o a =0 ( + )r = ( r ) ( r ) =0 =0 = r r =0

32 32 Z. ABDELALI Attetio 2.3. E gééral ( u ) ( v ) u v =0 =0 =0 par exemple ( 2 )2 = = ( 2 )2 =0 = Séries alterées. Défiitio 2.6. Soit est la somme u. k=+ u ue série covergete, le reste d ordre de cette série Remarque 2.6. E gééral le reste d ordre d ue série est oté R, doc o a S = S +R où S et S sot respectivemet la somme et la somme partielle d ordre de la série. Défiitio 2.7. Ue série alterée est ue série dot le terme gééral u est de la forme u = ( ) v, où (v ) est ue suite décroissate, (v ) est ue suite positive, (v ) coverge vers zéro. Remarque 2.7. Il existe d autres défiitios des série alterées la plus géérale dit qu ue série de terme gééral u est alterée si ( ) u garde u sige costat. Das ue autre défiitio ue telle série est alterée si ( ) u est décroissate positive. Propositio 2.2. Toute série alterée ( ) v est covergete. De plus : ) (Formule de majoratio du reste) Pour tout etier, R v +. 2) La somme partielle S vérifie S 2+ ( ) v S 2. =0 De plus les deux suites (S 2+ ) et (S 2 ) sot adjacetes. Démostratio. Posos pour tout N, a = S 2+ et b = S 2.

33 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 33 O a a + a = v 2+2 v 2+3 0, b + b = v 2+ + v 2+2 0, b a = v Doc les deux suites (a ) et (b ) coverge vers ue même limite qui est autre que la somme S de la série ( ) v. Par suite S 2+ S S 2. Il reste à motrer ). O a pour tout etier : R 2 = lim m S 2m+ S 2 = lim m S 2 S 2m+ S 2 S 2+ = v 2+ v 2+. R 2+ = lim m S 2m S 2+ = lim S 2m S 2+ m S 2+2 S 2+ = v 2+2. Exemples 2.4. Les séries cos(π) +, sot des séries alterée doc elle coverget. ( ) l( + ) + 7. Série o 2. Exercice. Détermier la ature des séries (a IR) : + si( 2 ) 2 + si(2) ; l()(l(l())) ; a Exercice 2. Détermier la ature de e (2 +) a ; (!a ) 2, 0 a 2; (2)! =0 (a), 0 a! e ; a arccos( + ). a (+2)(+) 2 a, a IR, et calculer sa somme das le cas où elle existe (Id. doer l expressio de la série produit ( a ) ( a ) 2 ). Exercice 3. (Formule de Stirlig). O cosidère la suite : ) Motrer que u = O( 2 ). x = + 2! =0 e et o pose u = l( x + x ) =0

34 34 Z. ABDELALI x > 0. 2) E déduire que la série 3) E utilisat la formule de Wallis : u coverge et que la suite (x ) coverge vers ue limite 2 2 lim (2 ) (2 + ) = π 2 (2 motrer que lim!) 2 (2)! 2+ = π. 2 x 4) E remarquat que lim 2 (x ) =, déduire que lim x 2 x = 2π. 5) E déduire que (!) et ((e ) 2π) sot équivalets. 6) E déduire la ature de la série (e )!. Exercice 4. ) E utilisat le théorème de comparaiso série-itegrale, vérifier que k= k l() coverge vers ue costate C (costate d Euler). 2) Soit la série harmoique alterée : =0 ( ) + Démotrer que la some partielle S 2+ de cette série vaut : σ 2+ σ où σ = 3) Prouver que lim S 2+ = l 2 et que la somme de la série harmoique alterée existe et elle vaut l 2. 4) E déduire ue valeur approchée de l 2 à l ordre 0. k=0. k+ Exercices facultatifs Exercice 5. (Règle de Duhamel) ) Soit (u ) ue suite de termes positifs vérifiat : u + u = β + o( ) Motrer que pour β IR \ {}, u coverge si et seulemet si β >. 2) Soit (u ) ue suite de termes positifs vérifiat : u + u = α + O( β ) α > 0, β > O pose v = α u, étudier la série l( v + v ) et déduire que la suite (v ) possède ue limite l > 0. E déduire la ature de la série u.

35 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI ) Etudier la ature des séries de termes gééraux : 2k 2k ; (!)/2 si(k /2 ); k= k= (e ) ;! (!p ) p (p)! ; a( p + p+ + + p+ ) ; (p IN, a > 0) Exercice 6. Das cet exercice ous admettos le résultat suivat dit règle de Abel : Si (u ) est ue suite à termes positifs décroissate et coverge vers zéro et si (v ) est ue suite telle que pour tout v est borée alors la série u v est covergete. k=0 Motrer que pour θ ]0, 2π[, la série e iθ est covergete. E déduire la ature des séries si(θ) et cos(θ). Exercice 7. ) Soit (u ) et (v ) deux suites positives équivaletes. Motrer que : ) Si u diverge, alors les sommes partielles u k et v k sot équivaletes. 2) Si =0 u coverge, alors les restes =0 k=+ u k et k=0 k=+ k=0 v k sot équivaletes. 3) Doer la ature de la série de terme gééral ( k l( + k ))a, a IR. k=

36 36 Z. ABDELALI Exercice. Série 2, Solutio. 0 +si(2 ) 2 + si(2) 2 2, la série coverge; si a 0, lim e (2 +) a 0, la série diverge, (terme gééral 0), si a > 0, lim 2 e (2 +) a = 0, la série coverge, (Riema); u = (!a ) 2, a 2, (2)! u + u = ((+)a)2 a2 (2+2)(2+) 4, la série coverge a < 2, (d Alembert); u = (a)!, a e, u + u = a( + ) ae, la série coverge a < e, (d Alembert); l()(l(l())) a o a I = dt, l(3) t a comarable à I = 3 dx, posos t = l(x), x l(x)(l(l(x))) a la série coverge a >, (série-itégrale); arccos( a ), l équivalece au voisiage de, arccos(y) 2( y), + a etraîe arccos( a ) 2 2, + a + a a 2 la série coverge a > 2; Exercice 2. Si a, la série diverge, car le terme gééral e ted pas vers zéro. si a ], [, la série a est absolumet covergete, doc la série produit ( a ) 2 est =0 absolumet covergete, et o a ( + )a = =0 ( a k a k ) = ( a ) 2 = ( a )2, =0 k=0 doc la la série produit ( a )( ( + )a ) est absolumet covergete, et o a =0 =0 ( + 2)( + ) a = 2 =0 ( =0 k=0 =0 a k (k + )a k ) = a ( Exercice 3. ) x + x = (+) (+) e = ( + )+ 2 e. Doc =0 a )2 = ( a )3. u = l( x + x ) = + ( + 2 ) l( + ) = + ( + 2 )( O( 3 )) = + + O( ) O( ) = O( ) ) De ) la série u coverge, doc (l(x + ) l(x )) coverge d où (l(x )) covergever ue limite s, aisi (x ) coverge vers ue limite x = e s > 0.

37 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI ) D où ( ( (2 (2)! 2+!) 2 )2 = (2 (2)! 2+!) 2 )2 = ( = ( ) (2 ) (2 ) ) O a lim x = x 0, doc lim (2 ) (2 ) (2+) π 2 x 2 (x ) 2 = x x 2 = x ) ( ) (2, aisi lim!) 2 (2)! 2+ = π. 2. D autre part x 2 (x ) = (2)2+ 2 (2)! 2 (!)2 e e 2 = 2(2) 2 (!) 2 (2)! 2 = (2!) (2)! 2. + D où d après 3) = lim x 2 x (x ) = π ( 2) 2, doc x = 2 2 2π. 5) D après 4) o a lim 2π =, aisi! (e ) 2π.! (e ) 6) O a aussi (e )! 2π, doc les séries doc (e )! diverge. (e )! et 2π sot de même ature, Exercice 4. ) L applicatio f : [, [ IR; x est décroissate positive doc, d après x le théorème de comparaiso série-itégrale, la série ( k x dx ) k k=2 k est ue série covergete, c est à dire que k ( x dx k ) = est covergete, d où k=2 k= coverge vers ue costate C. 2) Soiet S = k=0 S 2+ = 2+ k ( ) k k+ et σ = k=0 = x dx k k=2 k l() = ( x dx k ) k=2 ( ) k k=0 k+ = ( + 2k+ k=0 = ( 2+ k=0 ) k+. O a k+ ( ( )2k + ( )2k+ 2k+ k=0 2k+2 2 k=0 2k+2 ) 2k++ ) = = σ k+ 2+ σ. k=0 ( ) 2k+ 2k+2 3) lim S 2+ = σ 2 l(2)+l(2)+l() σ C+l(2) C = l(2). La série harmoique alterée est ue série alterée (de terme gééral ted vers zéro), doc elle coverge vers ue limite S, par suite S 2+ coverge aussi vers S, doc S = l(2).

38 38 Z. ABDELALI 4) D après la formule de majoratio du reste pour les séries alterées, o a d où 9 k=0 ( ) k k+ l(2) 9 k=0 ( ) k k + 0, est ue valeur approchée de l 2 à l ordre 0.

39 CHAPITRE 3 Espaces vectoriels ormés. Défiitios géérales... Défiitio et exemples. Défiitio 3.. Soit E u espace vectoriel ue orme sur E est ue applicatio : E R +, x x telle que ) x = 0 x = 0, 2) x + y x + y iégalité triagulaire, 3) pour tout λ R, o a λx = λ x. L espace (E, ) est appelé espace vectoriel ormé. Exemples 3.. I) Sur R, N, o peut défiir des ormes par (pour x = (x,, x )) : x = x + + x, x 2 = x x 2, orme euclidiee x = max{ x,, x }. Motros, par exemple, que x + y 2 x 2 + y 2, c est à dire Or o a Aisi o a x + y x + y 2 = x x 2 + y y 2 +2(x y + + x y ) (x x 2 )(y y) 2 (x y + + x y ) 2 = x 2 i yj 2 + x 2 j yi 2 2x i y i x j y j i<j = i<j (x i y j x j y i ) 2 0 2(x y + + x y ) 2 x y + + x y x x 2 y y 2 39

40 40 Z. ABDELALI par suite x + y 2 x 2 + y 2. II) Sur l espace C([a, b]) des foctios cotiues sur l itervalle [a, b] où a < b, o peut défiir les trois ormes suivates : f = max f(x) x [a,b] f = b f(x) dx a f 2 = ( b a f(x) 2 dx) 2 orme de la covergece uiforme La seule propriété qui est pas évidete est l iégalité triagulaire pour 2. Cette propriété découle de l iégalité de Cauchy-Schwartz b a f(x)g(x)dx ( b a f(x) 2 dx) 2 ( b a g(x) 2 dx) 2 III) Sur l espace R[X] des polyômes à coefficiets réels, o peut défiir les trois ormes suivates (pour P = a 0 + a X + + a X ) : P = max{ a, a 2,..., a } P = a 0 + a + + a P 2 = a a a 2 Exercices 3.. Soiet a et b deux poit différets d u espace ormé (E, ), soit pour tout t R, x t = a + ) Doer x t, pour t = 0 et pour t = b a. 2) Vérifier que x t x s = t s. t (b a) b a 3) Supposos r s t, comparer x t x r et x t x s + x s x r. 4) Comparer suivat les valeurs de t R, b a, x t a, x t b..2. Suites et limites. Soit (E, ) u espace vectoriel ormé. Ue suite d élémet de E est ue applicatio u : N E, cette applicatio sera otée u = (u ) N ou (u ). Défiitio 3.2. Ue suite u d élémets d u espace vectoriel ormé (E, ) est covergete vers u élémet l E, si la suite réelle ( u l ) coverge vers zéro. Propositio 3.. (Uicité de la limite) La limite d ue suite das u espace ormé est uique.

41 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 4 Démostratio. Si l et l sot deux limites d ue suite (u ) das u espace ormé (E, ). Alors lim u l = lim u l, doc l l l u + u l 0, aisi l l = 0 et l = l. Défiitio 3.3. Ue suite u = (u ) dite suite de Cauchy si : d élémets d u espace ormé (E, ), est ε > 0, N N : N, m N, u u m < ε. Exactemet comme le cas réel o a : Propositio 3.2. Das u espace ormé toute suite covergete est de Cauchy. Démostratio. Exercice. Attetio 3.. Das u espace ormé (E, ) ue suite de Cauchy est pas écessairemet covergete. Soit par exemple E = R[X] l espace des polyômes à coefficiets réels, mui de la orme défiie par : a 0 + a X + + a X = max{ a 0, a,..., a }. Alors, (u ) où u = X + 2 X + + X est ue suite de Cauchy car pour, p N, u +p u, mais pour tout polyôme + P = a 0 + a X + + a m X m, et pour tout m +, o a u P m + > 0 doc (u ) e coverge pas vers P. Défiitio 3.4. U espace ormé (E, ) est dit complet si toute suite de Cauchy de E est covergete. U espace ormé complet est appelé espace de Baach.

42 42 Z. ABDELALI.3. Notios de topologie. Défiitio 3.5. Soit (E, ) u espace ormé, alors : si a E et r R + l esemble B f (a,r) = {x E : x a r} est dite la boule fermée de cetre a est de rayo r, si a E et r > 0 l esemble B (a,r) = {x E : x a < r} est dite la boule ouverte de cetre a est de rayo r, si a E et r > 0 l esemble S (a,r) = {x E : x a < r} est dite la sphère de cetre a est de rayo r. Remarque 3.. La boule B f (0,) (resp. B (0,)) est appelée la boule uité fermée (resp. boule uité ouverte) est elle sera otée B (resp. B f ). Défiitio 3.6. Das u espace ormé (E, ), u esemble B E est dit boré si { b : b B} est boré. Remarque 3.2. ) U sous esemble B d u espace ormé (E, ) est boré si, et seulemet si il existe r > 0 tel que B B (0,r). 2) Ue réuio fiie de borés est u boré. 3) Tout sous esemble d u esemble boré est boré. 4) Ue suite (u ) est dite borée si l esemble {u : N} est boré. Défiitio 3.7. Soit (E, ) u espace ormé. U sous esemble O de E est dit ouvert si pour tout x O, il existe r > 0 tel que la boule ouverte B (x,r) O. U sous esemble F de E est dit fermé si E \ F est u ouvert. Soiet a E et V E, o dira que V est u voisiage de a si pour u certai réel r > 0, o a B (a,r) V.

43 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 43 Remarque 3.3. ) L esemble vide et E sot des esembles ouverts et fermés. 2) Ue réuio quelcoque d ouverts (resp. de voisiages d u élémet a de E) est u ouvert (resp. voisiage de a). 3) Ue itersectio fiie de ouverts (resp. de voisiages d u élémet a de E est u ouvert (resp. voisiage de a). 4) Ue réuio fiie de fermés est u fermé. 5) Ue itersectio quelcoque de fermés est u fermé. 6) Ue boule ouverte (resp. fermée) est u ouvert (resp. fermé). 7) Tout sous esemble fii de E est fermé. La remarque précédete permet de doer la défiitio : Défiitio 3.8. Soiet (E, ) u espace ormé et A ue partie de E. ) L itérieur de A, oté A o est le plus grad ouvert coteu das A (il existe au mois u à savoir ). U poit de A o est appelé poit itérieur à A. 2) L adhérece, ou la fermeture, de A, otée A est le plus petit fermé coteat E (il existe au mois u à savoir E). U poit de A est appelé poit adhéret à A. 3) La frotière de A, otée Fr(A), est l esemble A \ A o = A C A E Exercices 3.2. Soit (E, ) u espace ormé. Motrer que : ) Toute boule ouverte est u ouvert. 2) Toute boule fermée est u fermé. 3) Pour tout r > 0 et a E, B f (a,r) = B (a,r). Solutio. ) Soit b B (a,r), posos s = r b a. Vérifios que B (b,s) B (a,r). E effet, pour tout c B (b,s), o a c b < s, doc c a c b + b a < s + b a = r. D où c B (a,r). Aisi B (a,r) est u ouvert. 2) Soit b B f (a,r), o a b a > r. Posos s = b a r, alors B (b,s) B f (a,r) =, c est à dire B (b,s) E \ B f (a,r), d où E \ Bf (a,r) est u ouvert. 3) Soit b B f (a,r) si b B (a,r) doc b a = r. Soit pour tout N, b = a + ( )b. O a b a = a + ( )b ( a + ( )a) = ( )(b a) = ( )r < r.

44 44 Z. ABDELALI Doc b B (a,r). De plus lim b = b. D où b B (a,r). Aisi B f (a,r) B (a,r), de plus B f (a,r) est u fermé qui cotiet B (a,r), d où l égalité. Exercices 3.3. Soit (E, ) u espace ormé. Si A et B deux partie E, Motrer que : ) A B = A B. 2) C A E = CAo o E o et ĈA E 2) Â B = A o B o. = C A E. Propositio 3.3. Soit (E, ) u espace ormé et F E. Alors o a l équivalece : ) F est fermé das E, 2) toute suite d élémets de F qui coverge das E, sa limite est das F. Démostratio. Aalogue a celle doer pour R, le lecteur est ivité à faire la preuve e exercice. Exercices 3.4. Soit (E, ) u espace ormé, A E et x E. Motrer l équivalece : ) x A, 2) il existe (a ) das A telle que lim a = x. 3) if{ x a : a A} = 0.4. Distaces et topologie d ue partie d u espace ormé. Défiitio 3.9. I) Soiet E u esemble o vide et d : E E R +, ue applicatio telle que : d(x, y) = 0 x = y, d(x, y) = d(y, x), (symétrie), d(x, z) d(x, y) + d(y, z), (iégalité triagulaire). O dit alors que d est ue distace sur E et que (E, d) est u espace métrique. II) Soit A u sous esemble o vide d u espace ormé (E, ), l applicatio d : A A R + ; d(x, y) = x y est dite distace associé à la orme. Défiitio 3.0. Soiet (E, ) et (F, ) deux espaces ormés, A ue partie de E et B ue partie de F. Soit f : A B est ue applicatio :

45 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 45 ) Si a A, o dit que f coverge vers b F quad x ted vers a, et o ote lim f(x) = b, si x a ε > 0, η > 0, y A, x a < η = f(x) b < ε 2) l applicatio f est cotiue e u poit a de A si lim x a f(x) = f(a) 3) f est cotiue sur A si elle est cotiue e tout poit de A. Propositio 3.4. Si (E, ) et (F, ) sot deux espaces ormés, A E, f : A F ue applicatio et a A. Alors o a l équivalece : ) lim x a f(x) = b F, 2) pour toute suite (x ) das A, Démostratio. Exercice. lim x = a = lim f(x ) = b Exemples 3.2. Soit (E, E ), (F, F ) deux espaces ormés et A ue partie de E. ) Ue applicatio f : A F et k u réel positif. O dira que f est k-lipschitzièe si f(x) f(y) k x y. Alors toute applicatio k-lipschitzièe est cotiue. 2) Soit d E la distace associée à E, pour tout sous esemble o vide A de E, o peut défiir l applicatio f : E R; x d(x, A) où d E (x, A) = if{d(x, a) : a A}, dite distace de x à A. Alors f est lipschitzièe. 3) Sur u espace ormé (E, ) l applicatio où a E et λ R, est cotiue. f f : E E; x λ x + a 4) Soiet A (resp. B) ue partie o vide de (E, E ) (resp. (F, F )). Ue applicatio : A B est dite ue isométrie si d F (f(x), f(y)) = d E (x, y) pour tout (x, y) A B (c est à dire x y E = f(x) f(y) F ). Alors toute isométrie est cotiue. de E. Défiitio 3.. Soit A ue partie o vide d u espace ormé (E, ). ) U sous esemble O de A est dit ouvert de A, si O = U A où U est u ouvert 2) U sous esemble F de A est dit fermé das A, si F = G A où G est u fermé das E.

46 46 Z. ABDELALI Propositio 3.5. Soit A ue partie o vide d u espace ormé (E, ) et soit d la distace associée à. Si de plus O ue partie de A, alors les propriétés suivates sot équivaletes : ) O est u ouvert de A, 2) pour tout a A, il existe r > 0 tel que Démostratio. Exercice. B A (a, r) = {x A : d(a, x) < r} O Propositio 3.6. Soit A (resp. B) ue partie o vide d u espace ormé (E, ) (resp. (F, F )). Si de plus f : A B ue applicatio. Alors o a l équivalece : ) f est cotiue sur A, 2) l image réciproque de tout ouvert de B est u ouvert de A. 3) l image réciproque de tout fermé de B est u fermé de A. Démostratio. ) = 2). Soit O u ouvert de b et U = f (O), motros que U est u ouvert de A. Soit a U o a il existe ue boule ouverte B (f(a),ε) das F, telle que B (f(a),ε) B O. La cotiuité de f e a etraîe que pour u certai η > 0 et pour tout x A tel que x a E < η, o a f(x) f(a) F < ε, c est à dire que f(a B (a,η) ) B (f(a),ε) B O. D où A B (a,η) U, aisi U est u ouvert das A. 2) = ). Soit a A, pour tout ε > 0, das F la boule ouverte B (f(a),ε) est u ouvert, doc f (B (f(a),ε) ) est u ouvert de A coteat a, doc il existe η > 0 tel que A B (a,η) f (B (f(a),ε) ). D où pour tout x A tel que x a E < η o a f(x) f(a) F < ε, aisi f est cotiue sur A par suite f est cottiue e a pour tout a A, doc f est cotiue sur A. 2) 3) Il suffit de remarquer que f (CB Y ) = (Y ) Cf A. Propositio 3.7. Soiet (E, E ) et (F, F ) deux espaces ormés et f : E F ue applicatio liéaire, alors o a l équivalece : ) f est cotiue, 2) f est cotiue e 0, 3) il existe M > 0 tel que pour tout x E, f(x) F M x E. Démostratio. Les implicatios 3) = ) = 2) sot évidetes. Motros que 2) = 3). Sio doc pour tout N il existe x E, tel que f(x ) F > x E. Posos

47 Cours d Aalys 4, SM 3-SMI 3 47 y = x E x, o a lim y E = 0 doc lim y = 0. Mais f(y ) F = x E f(x ) F >. Aisi (f(y )) e coverge pas vers 0, ce qui est absurde. Exercices 3.5. Soit (E, ) u espace ormé. Soit ue autre orme sur E. Motrer que les propriétés suivates sot équivaletes : ) est cotiue sur E, 2) est cotiue e zéro, 3) il existe u réel M > 0 tel que pour tout x das E, x M x. Défiitio 3.2. Sur u espace vectoriel E deux ormes et sot dites équivaletes si il existe deux réels M et N strictemet positifs tels que pour tout x E, N x x M x. Exemples 3.3. ) Sur R les ormes, et 2 sot équivaletes. E effet, 2 2) Sur R[X] les ormes et e sot pas équivaletes. E effet, pour P = X k, o a P = et P =. Doc o e peut pas avoir P M P, pour tout. Remarque 3.4. Deux ormes équivaletes sur u espace vectoriel défiisset les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes borés, les mêmes suites de Cauchy et les mêmes suites covergetes..5. Parties coexes par arcs. k= Défiitio 3.3. Soit E u espace ormé de dimesio fiie. Ue partie o vide de A de E est dite ) covexe si pour tout (a, b) A 2, le segmet [a, b] := {( t)a + tb : 0 t } est coteu das A ; 2) étoilée par rapport à u poit a de A, si pour tout b A, [a, b] A ; 3) coexe par arcs si pour tout (a, b) A 2, il existe ue applicatio cotiue f : [0, ] E telle que f(0) = a et f() = b.

48 48 Z. ABDELALI Remarque 3.5. ) Il est évidet que covexe = étoilé = coexe pae arcs. Vérifios par exemple que étoilé = coexe par arcs. Soit A u esemble étoilé par rapport à u poit a, soit (b, c) A 2 o a [b, a] [a, c] A. Le segmet [b, a] est l image de [0, ] par l applicatio cotiue f(t) = ( t)b + ta (resp. g(t) = ( t)a + tc). Soit f(2t) si t [0, h(t) = ] 2 g(2t ) si t ], ] 2 L applicatio h est cotiue sur [0, ], h(0) = b, h() = c et h([0, ]) = [b, a] [a, c] A. 2) Das R 2 u cercle, o réduit à u poit, est u coexe par arcs qui est pas étoilé. 3) Das R 2, [(0, 0), (, 0)] [(0, 0), (0, )] est étoilée par rapport à (0, 0), mais elle est pas covexe. Propositio 3.8. Les coexes par arcs de R sot les itervalles Démostratio. D abord tout itervalle est covexe doc il est coexes par arcs. Iversemet, si I est u coexes par arcs das R. Pour tout (a, b) I 2, a b, il existe ue applicatio cotiue f : [0, ] I telle que f(0) = a et f() = b. Par le théorème des valeurs itermédiaires [a, b] f([0, ]) I. D où I est u itervalle. Propositio 3.9. L image d u coexe par arcs par ue applicatio cotiue est u coexe par arcs. Démostratio. foctio cotiue. Découle du fait que le composé de deux foctios cotiues est ue Corollaire 3.. L image d u coexe par arcs par ue applicatio cotiue à valeurs réelles est u itervalle. Démostratio. Découle des deux propositios précédates..6. Parties compacts. Défiitio 3.4. Soit E u espace vectoriel et Soit u = (u ) ue suite das E. Ue sous suite extraite de u est ue suite de la forme (u σ() ) où σ : N N est strictemet croissate.