1. Perspective cavalière

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1 1. Perspective cavalière 1.1 vocabulaire de base Pour dessiner un solide à l'aide de la perspective cavalière il faut distinguer: le point de vue : 'est l'endroit où se trouve l'observateur. Pour que l'objet soit représenté avec un certain effet de volume il faut que l'observateur soit placé un peu à droite ou à gauche sur une droite horizontale (parallèle à la droite d'horizon) et un peu au dessus ou au dessous sur une droite verticale (perpendiculaire à la droite d'horizon). les plans frontaux: e sont les plans situés dans un plan perpendiculaire à notre regard, vu de face les fuyantes ou lignes de fuite : On appelle fuyante ou ligne de fuite toute droite perpendiculaire aux plans frontaux. 1.2 Propriétés géométriques conservées sur des faces frontales Les dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs, rayons,...) sont conservées. Les angles ont leur mesure réelle. n résumé, ces faces sont dessinées dans leurs formes réelles, à l'échelle. Remarque : le parallélisme est conservé: des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites parallèles 1.3 Propriétés géométriques conservées sur des faces fuyantes Les segments verticaux sont représentés par des segments verticaux dont les longueurs sont les vraies longueurs. Le parallélisme est conservé : des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites parallèles. Le partage en segment égaux, sur les segments fuyants, est conservé et notamment le milieu. ttention : les mesures des angles ne sont pas conservées. n particulier, deux segments perpendiculaires situés sur une face fuyante ne pas perpendiculaires sur le dessin. est un cube.

2 1.4 léments caractéristiques d'une perspective cavalière ngle de fuite: c'est l'angle a que font toutes les droites fuyantes d'une face fuyante, avec l'horizon du dessinateur. oefficient de fuite: c'est le nombre r par lequel nous multiplions les dimensions réelles des segments fuyants (sur les droites fuyantes) pour obtenir leurs dimensions sur le dessin. Le couple (r ; a) caractérise donc la perspective cavalière employée. 1 Remarques : usuellement, l'angle de fuite est 30 et le coefficient de fuite est. 2 L'NOR recommande d'utiliser la perspective 1 2 ; 45, mais elle a pour inconvénient de faire se confondre les fuyantes et les diagonales de la face avant d'un cube. xemple : Tracer un cube d'arête 6 cm en perspective cavalière caractérisée par 1 2 ;30. Tracer un cube dont les sommets de la face inférieure sont situés sur les milieux des arêtes de la face supérieure du premier cube.

3 2. Positions relatives de plans et de droites dans l'espace 2.1 Règles de bases l eux points distincts de l'espace définissent une droite et une seule. l Trois points non alignés définissent un plan et un seul. l Toute droite dont deux points distincts appartiennent à un plan est incluse dans ce plan. 2.2 Positions relatives de deux plans eux plans distincts de l'espace (P 1 ) et (P 2 ) sont : l soit parallèles ; l soit sécants. ans ce dernier cas, (P 1 ) et (P 2 ) se coupent suivant une droite. xemple : est un cube. On note le centre de et le centre de. 2.3 Positions relatives de deux droites eux droites coplanaires sont : l soit sécantes ; l soit parallèles. eux droites non coplanaires ne sont ni parallèles, ni sécantes. xemple : On considère un tétraèdre. On note, et K les milieux respectifs de [], [] et []. On note L et les points situés sur [] et [] respectivement et tels que : L= 1 1 et = 4 4. L 1. onner la position relative des droites ci-dessous : a) () et () ; b) (K) et () ; c) (K) et () ; d) () et (L) ; e) (L) et (). K 2. ustifier que les points L,, et K sont coplanaires.

4 2.4 roite parallèle à un plan Une droite () est parallèle à un plan (P) si elle est contenue dans (P) ou si elle n'a aucun point d'intersection avec (P). xemple : dans l'exemple précédent, les droites... et... sont parallèles au plan (). 2.5 Position relative d'une droite et d'un plan Soit (P) un plan de l'espace et () une droite. Si () n'est pas incluse dans le plan (P), alors () et (P) sont : l soit sécants et l'intersection de (P) et de () est un point ; l soit strictement parallèles. xemple : est un cube. On note le centre de. 1. Tracer le point d'intersection de la droite () et du plan (). 2. Tracer la droite d'intersection des plans () et (). 3. Propriétés 3.1 Plans parallèles l Si deux droites sécantes d'un plan (P 1 ) sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan (P 2 ), alors les plans (P 1 ) et (P 2 ) sont parallèles. l Si deux plans sont parallèles, alors toute droite contenue dans l'un des deux plans est parallèle à l'autre plan. xemple : On considère un tétraèdre. On note, et K les milieux respectifs de [], [] et []. On note L et les points situés sur [] et [] respectivement et tels que : L= 1 et = L 1. ontrer que les plans (K) et () sont parallèles. 2. ontrer que la droite () est parallèle à (K). K

5 3.2 roite parallèle à un plan Si deux droites () et (') sont parallèles, alors la droite () est parallèle à tout plan contenant ('). xemple : en reprenant la figure et les données précédentes, on peut dire que la droite (K) est parallèle aux plans... et Théorème d'incidence On considère deux plans plans parallèles (P 1 ) et (P 2 ). Si (P 3 ) est un plan sécant à (P 1 ), alors : l il est également sécant à (P 2 ) ; l la droite d'intersection de (P 1 ) et de (P 3 ) est parallèle à la droite d'intersection de (P 2 ) avec (P 3 ). xemple : On considère un tétraèdre. On note, et K les milieux respectifs de [], [] et []. L Les plans (K) et () sont parallèles. Le plan () est sécant avec (K) et la droite d'intersection de ces deux plans est... On en déduit qu'il est également sécant avec () et la droite d'intersection de ces deux plans est.... K 3.4 Théorème du toit Soient deux droites ( 1 ) et ( 2 ) parallèles. On considère deux plans sécants (P 1 ) et (P 2 ) de telle sorte que : l (P 1 ) contient ( 1 ) l (P 2 ) contient ( 2 ). ans ces conditions, la droite d'intersection de (P 1 ) et de (P 2 ) est parallèle aux droites ( 1 ) et ( 2 ). xemple : est un cube. On note et les milieux respectifs des segments [] et []. La droite d'intersection du plan () et du plan () est la droite.... Tracer la droite d'intersection des plans () et ().

6 4. onséquences pour les tracés en perspective cavalière 4.1 ntersection d'une droite et d'un plan Principe général : Pour déterminer l'intersection d'une droite () et d'un plan (P), il suffit de trouver un plan contenant à la fois () et une droite ( ') (non parallèle à ()) contenue dans (P). Le point d'intersection de () et du plan (P) est obtenu en considérant le point d'intersection de () et de ( '). xemple : est un tétraèdre. est le milieu du segment [] et N le point du segment [] tel que : N = 3 4. Tracer P, le point d'intersection de la droite (N) et du plan (). N 4.2 ntersection de deux plans éthode 1 : on suppose que (P 1 ) et (P 2 ) sont deux plans sécants et que l'on connaît : l deux points et communs aux deux plans ans ce cas, la droite d'intersection de (P 1 ) et de (P 2 ) est la droite passant par et. éthode 2 : on suppose que (P 1 ) et (P 2 ) sont deux plans sécants et que l'on connaît : l deux droites parallèles ( 1 ) et ( 2 ) contenues respectivement dans (P 1 ) et (P 2 ) ; l un point commun à (P 1 ) et (P 2 ). ans ce cas, la droite d'intersection de (P 1 ) et de (P 2 ) est la parallèle à ( 1 ) (ou ( 2 )) passant par. xemple 1 : est un cube. xemple 2 : S est une pyramide à base rectangulaire. S Tracer la droite d'intersection des plans () et (). Tracer la droite d'intersection des plans (S) et (S).