Terminale STL Physique de Laboratoire et Procédés Industriels MECANIQUE. 2. Dynamique et Énergétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Transcription

1 Temnale STL Physque e Laboatoe et Pocéés Inustels MECNIQUE. Dynamque et Énegétque 'un sole en otaton autou 'un axe fxe Moment 'une foce M Couple Γ (M) Moment cnétque L Moment 'nete J (M) Théoème u moment cnétque (M3) Taval et pussance es foces agssant su un sole en otaton (M4) Énege cnétque et sa vaaton (M5).. Moment 'une foce ; moment 'un couple... Moment 'une foce... oce othogonale à l'axe () (P) vu e pofl O H (P) vu e essus () O + H Conséons une foce, e pont 'applcaton, stuée ans un plan (P) et un axe () e otaton oenté, pepenculae à (P). On appelle bas e leve e la foce la stance = OH e la ote 'acton à l'axe e otaton. L'effet e otaton autou e l'axe () e la foce épen e l'ntensté e cette foce et e la longueu e son bas e leve. Défnton : On appelle moment M ( ), pa appot à l'axe (), e la foce, le pout e la valeu e la foce pa son bas e leve, affecté 'un sgne + s l'acton e se fat ans le sens e otaton chos autou e (), ou ans le cas contae. M = ± ( ) che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page /

2 Untés : en (N) en (m) M ( ) en N m Remaques : la valeu u bas e leve ne change pas s la foce glsse le long e sa ote 'acton : onc la valeu u moment M ( ) ne épen pas e la poston u pont 'applcaton su la ote 'acton ; le moment M ( ) est une ganeu algébque ; en égme statque (vtesse e otaton nulle ou constante), la somme algébque es moments es actons applqués à un sole est nulle : M = oce quelconque Le vecteu foce est la somme e ses composantes suvant la base (, j,k) : = T + N + Z avec : T : tangentelle à la tajectoe, N : nomale à l'axe, Z : paallèle à l'axe (). M ( ) = M ( T )+ M ( N ) + M ( Z ). O M ( N ) = 0 ca la foce est passe pa à l'axe (P) () O N j Z k T M ( Z ) = 0 ca la foce est paallèle à l'axe. Seule la composante T a une acton e otaton autou e l'axe () M ( ) = M ( T )... Moment 'un couple... Couple e eux foces Défnton : Deux foces localsées (, ) et (, ) ont les otes 'acton sont paallèles, ayant es sens contaes et es ntenstés égales foment un couple. Remaques + = 0 la stance s'appelle bas e leve u couple un couple exece une acton e otaton et non e tanslaton Moment u couple (, ) et (, ) : M (, ) = + = ( + ) = Le moment 'un couple e eux foces est égal au pout e la valeu e l'une es foces pa le bas e leve. Remaques : le moment 'un couple est népenant e la poston e l'axe e otaton ; comme le moment 'une foce, le moment 'un couple est éfn algébquement ; es actons épates su un abe en otaton peuvent ête moélsées pa un couple. H () +O H che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page /

3 ... Couple e toson Sous l'effet 'un couple (, B ), e moment M ( ) = B, un fl cylnque en métal se to 'un angle α appelé angle e toson. À l'équlbe, le fl exece su la bae un couple e toson e moment Γ = M (). Dans le omane 'élastcté u métal, le moment Γ u couple e toson est popotonnel à l'angle e toson α : Γ = C α Γ : couple e toson u fl en N m α : angle e toson en a C : constante e toson u fl en N m/a Remaque Pou un fl cylnque e amète et e longueu l, la constante e toson s'éct : C = 4 l avec = G 3 G s'appelle coeffcent 'élastcté tansvesale ou moule e Coulomb et épen u matéau Oes e ganeu couple valeu (N m) ouvetue 'un obnet 0, seage e l'écou 'une oue 0 moteu 'une votue Mesuage 'un moment..3.. Clé ynamométque extémté fxe fl non tou 0 0 bae extémté fxe B B fl tou B α B B 0 B 0 B 0 Lame élastque S l'on exece une foce à l'extémté 'une lame élastque ont l'aute extémté est fxe, la lame est soumse à un couple, e bas e leve et e moment M =. Elle tansmet ce couple à son suppot et subt une toson 'autant plus mpotante que M est gan. - Clé La clé compote une bae ge mune 'un nex églable et une lame élastque fxée à son extémté à la bae ge et mune 'une pognée à l'aute extémté. Losqu'une foce est applquée su la pognée, celle-c entaîne la lame élastque et un secteu gaué atculé, mantenu en appu su l'nex pa un pett essot. Pou chos un couple e seage, on postonne l'nex face à la gauaton coesponant à la valeu chose. Los u seage, la lame se to et le secteu gaué glsse le long e l'nex. Losque le bae ge + nex lame élastque secteu gaué essot pognée couple chos est attent, l n'est plus etenu pa l'nex, bascule et vent tape su la lame élastque. che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 3/

4 ..4. Couple moteu On appelle machne tounante le système fomé pa le oto u moteu, l'abe e tansmsson et la machne entaînée ; ce système est un sole en otaton. Le stato u moteu applque à ce système un couple appelé couple moteu e moment M m (>0). D'aute pat, en généal, ce système est soums à un couple e fottements e moment M f (<0) et à un couple ésstant, opposé au couple utle, e moment M (<0). À vtesse e otaton constante, la somme es moments applqués au système est nulle. M m + M f + M = 0 oto stato S les fottements sont néglgeables, M m + M = 0 ou M m = M En mesuant le moment u couple ésstant M on en éut le moment abe u couple moteu M m. moteu machne Pou cec, on peut utlse, comme machne entaînée : entaînée un fen à poue mun 'un capteu e moment, ou une ynamo-balance, qu ébte un couant ans une chage ; son stato, ont le mouvement e otaton est lmté pa eux stato bas e leve butées solaes u bât, est mun 'un bas e leve su lequel butées peut coulsse une masselotte e pos P. On ègle l'équlbe masselotte en plaçant la masselotte à la stance e l'axe ; le moment u couple moteu a alos la même valeu que le moment u pos P : M m = P P che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 4/

5 .. Moment cnétque L ; moment 'nete J... Moment cnétque 'un pont matéel pa appot à un axe Conséons un pont matéel P e masse m et e vtesse v et un axe oenté z'z othogonal au vecteu v. Sot la stance u pont P à l'axe z'z. Sot p = m v z le vecteu quantté e mouvement u pont matéel P : O v Défnton : Le moment cnétque u pont matéel P pa appot à l'axe z'z est égal au moment, pa appot à l'axe z'z, u vecteu quantté e mouvement p : = p = m v Untés : en (m) m en (kg) v en (m/s) L z en kg m /s L z z' m P... Moment cnétque 'un sole pa appot à un axe e otaton Conséons un sole (S) moble en otaton autou 'un axe (), e vtesse angulae ω. En écomposant le sole en petts éléments e masse m, e vtesse v, placé à la stance e l'axe selon le schéma c-conte, on peut éfn le moment cnétque u sole pa la elaton : L = m v O la vtesse e l'élément placé à cette stance e l'axe () est onnée pa :v =. D'où L = m Untés ω en a/s m en (kg) en (m) L en kg m /s L = ω m m (S) v..3. Moment 'nete 'un sole pa appot à un axe Conséons un sole (S) moble en otaton autou 'un axe (), supposé écomposé en petts éléments e masse m placé à la stance e l'axe (vo schéma c-essus) Défnton On appelle moment 'nete u sole (S) pa appot à l'axe () la ganeu : Untés : m en (kg) en (m) J en (kg m ) J = m Remaque : D'apès ce qu pécèe : L = J che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 5/

6 ..3.. Moment 'nete 'une jante ou 'un manchon cylnque mnce Une jante e masse M et e ayon R a, pa appot à son axe e évoluton (), un moment 'nete onné pa : J = M R R Moment 'nete 'un sque ou 'un cylne plen Un sque homogène e masse M et e ayon R a, pa appot à son axe e évoluton (), un moment 'nete onné pa : J = M R Remaque : le moment 'nete 'une tge mnce homogène e masse m et e longueu l, pa appot à un axe pepenculae en son cente est onné pa : J = m l Théoème e Huyghens Ce théoème pemet e calcule le moment 'nete 'un sole pa appot à un axe (') paallèle à l'axe pncpal 'nete () qu passe pa le cente 'nete G : J ' = J + a M avec a ' J : moment 'nete pa appot à l'axe pncpal 'nete, J ' : moment 'nete pa appot un axe (') paallèle à (), a : stance es eux axes, + G M : masse u sole. M che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 6/

7 .3. Théoème u moment cnétque.3.. Vaaton u moment cnétque.3... Cas 'un pont matéel en mouvement cculae autou 'un axe () Conséons un pont matéel P e masse m en mouvement cculae e ayon autou 'un axe () et sot v sa vtesse ; son moment cnétque pa appot à l'axe () est L = p = m v (vo M ) La évée, pa appot au temps, u moment cnétque est : L p v ω ω = = m = m = J = J & θ t t t t t avec ω la vtesse angulae et & θ l'accéléaton angulae. L S le mouvement est unfome,, m, v, ω étant constants, le moment cnétque est constant onc = 0 t et && =0 ; la foce execée su P est aale ; le moment e cette foce, pa appot à () est nul. S le mouvement est vaé ( & θ 0), le pont P est soums à une foce telle que = + + T N Z avec (vo fgue ch. M.) : : tangentelle à la tajectoe, T N : Z : nomale à l'axe (), paallèle à l'axe (). O 'apès le théoème u cente 'nete, T = m a T v ω = m = m t t Le moment e pa appot à () est égal à M ( T ) (vo chaptem.) 'où M ( ) = m ω t D'où L = M () t.3... Cas 'un sole en otaton En généalsant le ésultat pécéent, losqu'un sole moble en otaton autou 'un axe () est soums à un couple e moment Γ, son moment cnétque vae et sa évée pa appot au temps est égale au moment u couple : L = Γ t.3.. Théoème u moment cnétque.3... Rappels pou un mouvement e tanslaton Pou mofe le vecteu vtesse 'un cops en mouvement e tanslaton, on ot exece une acton appelée foce. Pncpe e l'nete : Dans un epèe galléen, le cente 'nete 'un sole soums à es foces qu se compensent (ou à aucune foce) a un mouvement ectlgne unfome s'l est en mouvement, et este au epos s'l est au epos. Donc son vecteu vtesse e son est constant. Relaton fonamentale e la ynamque : Dans un epèe galléen, la somme es vecteus foces applqués à un sole est égale à la évée pa appot au temps u vecteu quantté e mouvement : che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 7/

8 .3... Pou un mouvement e otaton p v = m = m a = t t Pou mofe la vtesse angulae 'un sole moble autou 'un axe, on ot exece un couple e moment M. Pncpe e l'nete Dans un epèe galléen, losqu'un sole moble autou 'un axe n'est soums à aucun couple, ou losqu'l est soums à es couples qu se compensent, sa vtesse angulae est constante. Remaque : Un couple qu agt su un sole moble autou 'un axe a pou effet e fae vae son moment cnétque Énoncé u théoème u moment cnétque La évée pa appot au temps u moment cnétque 'un système en otaton autou 'un axe () est égale à la somme es moments pa appot à () e toutes les foces extéeues : L ω = J = J & θ = Γ t t Untés : J en (kg m ) & θ en (a/s )) Γ en (N m).3.3. Consevaton u moment cnétque Rappel : pncpe e l'nete pou un système en tanslaton Dans un epèe galléen, losque la somme es foces extéeues applquées à un sole moble en tanslaton est nulle, alos sa quantté e mouvement este constante ; onc s sa masse est constante, la vtesse e son cente 'nete este constante (l est, sot au epos, sot en mouvement ectlgne et unfome). Pou un système en otaton Losque la somme es moments es foces ou es couples extéeus applqués à un système moble en otaton est nulle, alos le moment cnétque u système este constant : L = w J = cste. Pou un sole en otaton Le moment 'nete 'un sole pa appot à un axe () est constant onc losque la somme es moments es foces ou es couples extéeus applqués à un sole moble en otaton est nulle, alos sa vtesse angulae este constante (le sole est sot au epos, sot en mouvement e otaton unfome) Rôle 'un volant Un volant est un sole moble en otaton ayant un gan moment 'nete, entaîné pa une machne et estné à égulase la mache e l'ensemble. pplcatons : moteu themque, lamno, gyobus... ext S&V n 683 p 08 ; Boas TCE 66 p 05 ; Hate CDE 79 p 6 che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 8/

9 .4. Taval et pussance es foces agssant su un sole en otaton.4.. Taval 'une foce penant une otaton élémentae Conséons une foce localsée au pont, θ un angle e otaton élémentae autou 'un axe () passant pa le pont O, W le taval élémentae e penant cette otaton. L'ac élémentae éct penant cette otaton est s = θ avec = O W = s = s cos α = θ cos α = cos α θ W = OH θ W = M ( ) θ O () H α α θ s Untés : W en (J) M ( ) en (N m) θ en (a).4.. Taval 'un couple penant une otaton élémentae Conséons un couple e eux foces (, ), un angle e otaton élémentae θ. Le taval élémentae W u couple penant cette otaton est onné pa : W = M ( ) θ+ M ( ) θ = ( M ( ) + M ( ) θ W = Γ θ Untés : W en (J) Γ en (N m) θ en (a) Défnton : Le taval élémentae 'un couple est le pout e son moment pa l'angle élémentae e otaton Taval 'un couple e moment constant penant une otaton quelconque Conséons le moment constant Γ'un couple et θ un angle quelconque e otaton. Le taval W u couple s'expme pa : W = W = Γ θ = Γ θ = Γ θ Untés : W en (J) Γ en (N m) θ en (a) W = Γ θ Défnton : Le taval 'un couple e moment constant pou une otaton quelconque est égal au pout u moment u couple pa l'angle e otaton. Remaques : S Γ et θ sont e même sgne, W >0 est un taval moteu. S Γ et θ sont e sgnes contaes, W <0 est un taval ésstant. Rappel Dans un mouvement e tanslaton, le taval 'une foce pou un éplacement est onné pa W =. θ che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 9/

10 .4.4. Taval 'un couple e toson On appelle que, ans le omane 'élastcté, le moment 'un couple e toson est popotonnel à l'angle e toson : Γ = -C θ ; onc ce moment vae avec l'angle θ et n'est onc pas constant. On émonte que losqu'un fl e toson passe 'un état ntal tou (où son angle e toson est θ ) à l'état fnal natuel non tou (θ f = 0), le couple e toson effectue un taval moteu onné pa : W = C θ Untés : W en (J) C en (N m/a) θ en (a) Rappel Le taval e la foce execée pa un essot, e aeu k, losque son allongement passe e x à 0 est onné pa : W = k x.4.5. Pussance 'un couple W Pa éfnton, la pussance est la évée u taval pa appot au temps : P = t P = Γ ω Untés P en (W) Γ en (N m) ω en (a/s) Γ θ θ = = Γ t t Rappel La pussance 'une foce, applquée à un sole en tanslaton à la vtesse v, est onnée pa : P = v Défnton : chaque nstant, la pussance 'un couple, applqué à un sole en otaton, est égale au pout e son moment pa la vtesse angulae. Remaques : S Γ et ω sont e même sgne, P >0, le couple est moteu. S Γ et ω sont e sgnes contaes, P <0, le couple est ésstant Renement 'une machne Une machne qu tansfome une fome 'énege quelconque en fome 'énege quelconque a un enement Putle expmé pa : η = Pabsobée La pussance absobée est la pussance foune à la machne pa le mleu extéeu. La pussance utle est la pussance foune pa la machne au mleu l'extéeu. La pussance sspée pa les petes est la fféence ente la pussance absobée et la pussance utle. che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page 0/

11 .5. Énege cnétque et sa vaaton.5.. Rappel : énege cnétque 'un sole en tanslaton Défnton : Losqu'un un sole, e masse m, est en mouvement e tanslaton, à un nstant onné, tous ses ponts ont le même vecteu vtesse. À cet nstant, l'énege cnétque u sole est onnée pa : Untés : Ec en (J) m en (kg) v en (m/s) E = m v c.5.. Énege cnétque 'un sole en mouvement e otaton Conséons un sole (S) en mouvement e otaton autou 'un axe () et ω sa vtesse angulae. Sot M un pont e (S), v son vecteu vtesse et m sa masse. L'énege cnétque u sole (S) est la somme es éneges cnétques e tous ses ponts : Ec = m v O pou un mouvement e otaton, v =. D'où Ec = m m (S) v Ec = J Untés Ec en (J) J en (kg m ) ω en (a/s).5.3. Théoème e l'énege cnétque pou un sole Énoncé Dans un epèe galléen, la vaaton 'énege cnétque 'un sole ente les nstants t et t est égale à la somme algébque es tavaux e toutes les foces extéeues applquées à ce sole ente ces eux nstants : E - E = W Untés : Ec en (J) W en (J) [ ( )] c c ext Remaque : Ce théoème est valable pou un mouvement e tanslaton comme pou un mouvement e otaton : m ( v - v ) = [ W ( ext ) ] pou une tanslaton J - = W pou une otaton [ ] ( ) ( ext ) che : Ma.oc- /0/99 9:49 - Mécanque Temnale S.T.L. P.L.P.I - J. Cabonnet Lycée Lous Vncent - Metz Page /