CHAPITRE 13 : SYMETRIE AXIALE ET AXES DE SYMETRIE

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1 CHAPITRE 13 : SYMETRIE AXIALE ET AXES DE SYMETRIE I) SYMETRIE AXIALE. 1) SYMETRIQUE D UN POINT PAR RAPPORT A UNE DROITE. a) Définition. On dit que A est le symétrique de A par rapport à (d). Remarque : Le symétrique d un point B appartenant à la droite (d) est le point B luimême. Si l on décalque les points A et A et la droite (d) et que l on plie suivant (d), les points A et A se superposent. Les points sont symétriques. La symétrie est l'action (la transformation) qui permet de "passer" d'un point à un autre. On ne la verra donc pas. Ce que l'on voit, c'est le résultat de cette symétrie. b) Constructions du symétrique d un point par rapport à une droite. Soit une droite (d) et un point M n appartenant pas à (d). On veut construire le point M symétrique de M par rapport à (d). METHODE 1 AVEC L EQUERRE On trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M ; elle coupe (d) en I. On place le point M tel que I soit le milieu de [MM ].

2 METHODE 2 AVEC LE COMPAS On marque deux points distincts E et F sur (d). On trace les cercles de centres E et F passant par le point M. M est le second point d intersection de ces deux cercles. Dans la pratique, on ne trace pas les cercles en entier. Remarque : La méthode 2 permet aussi de construire, avec un compas et une règle, la droite perpendiculaire à une droite passant par un point : sur la figure de la méthode 2, la droite (MM ) est la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par M. 2) SYMETRIQUE D UNE FIGURE. a) Figures symétriques. Définition : Exemple : Dans la symétrie d axe (d), les figures F et F ci-dessus sont symétriques.

3 b) Symétriques de figures usuelles. Soit (d) une droite. Symétrique d une droite. Propriété : Méthode : Pour construire le symétrique d une droite, on choisit deux points A et B sur cette droite et on construit leurs symétriques A et B. Puis, on trace la droite passant par les points A et B. Symétrique d un segment. Propriété : Méthode : Pour construire le symétrique d un segment, on construit les symétriques de ses extrémités, puis on relie ces points. Symétrique d un cercle. Propriété : Méthode : Pour construire le symétrique d un cercle, on construit le symétrique O de son centre O. Puis, on trace le cercle de centre O et de même rayon.

4 3) PROPRIETES DE CONSERVATION. Propriété : Exemple : Pour construire le symétrique d une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ces points. Les figures F et F ci-dessus sont symétriques par rapport à la droite (d). Ainsi : - B, K et C sont alignés donc B, K et C sont alignés. - AB = A B ; CD = C D. - AED = A E D. - Aire ABCDE = Aire A B C D E. II) AXES DE SYMETRIE. 1) Définition : Un d une figure F est une droite (d) telle que la figure symétrique de F par rapport à la droite (d) est la figure F elle même. Exemples : (d) est un axe de symétrie de (F) (d) et (d ) sont des axes de symétrie de (F )

5 2) AXES DE SYMETRIE DE FIGURES USUELLES. a) Segment. Soit un segment [AB]. Le segment [AB] a : b) Angle. Soit un angle xoy. Axe de symétrie d un angle. L angle xoy a :. Construction de la bissectrice d un angle à l aide d un compas. Exemple : Construire à la règle et au compas la bissectrice de l angle xoy ci-dessous. Méthode On trace un arc de cercle de centre O qui coupe la demi-droite [Ox) en M et la demi-droite [Oy) en N. On trace deux arcs de cercle de même rayon, l un de centre M, l autre de centre N. Ils se coupent en K. On trace la demi-droite [Ok) ; c est la bissectrice de xoy.

6 c) Triangles particuliers. Triangle isocèle Un triangle isocèle a : ABC est isocèle en C. Son axe de symétrie est la médiatrice de [AB] et la bissectrice de ACB. Propriété des angles : Propriétés permettant de reconnaître un triangle isocèle : Si un triangle a un axe de symétrie, alors ce triangle est isocèle.. Triangle équilatéral Un triangle équilatéral ABC peut-être considéré comme un triangle isocèle en A, en B et en C. Un triangle équilatéral a : Propriété des angles : Propriétés permettant de reconnaître un triangle équilatéral : Si un triangle a trois axes de symétrie, alors ce triangle est équilatéral.

7 c) Quadrilatères particuliers. Cerf-volant Un cerf-volant a :. b) Losange. ABCD est un cerf-volant. c) Rectangle. d) Carré. Son axe de symétrie est la diagonale (AC). Propriétés : Propriété permettant de reconnaître un cerf-volant : Si un quadrilatère a une diagonale comme axe de symétrie, alors ce quadrilatère est un cerf-volant. Losange Un losange a :. Propriétés : Propriété permettant de reconnaître un losange :

8 Rectangle Un rectangle a :. Propriétés : Propriétés permettant de reconnaître un rectangle : Carré Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Un carré a :. Propriété : Propriété permettant de reconnaître un carré :