ÉTAPE 1 : Construction de perpendicualires et de parallèles sur papier uni, introduction des propriétés 1 et 2

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1 ÉTAPE 1 : Construction de perpendicualires et de parallèles sur papier uni, introduction des propriétés 1 et 2 Exercice des 24 h du Mans Une voiture part de la ligne de départ. Elle se déplace en ligne droite jusqu à un bord du circuit et elle repart alors, à angle droit, toujours en ligne droite, etc. Fais avancer la voiture de la ligne de départ à la ligne d arrivée. Sur tous les circuits de la classe, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On peut l expliquer grâce à une propriété des droites. Propriété 1 (d) Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles. (f) (e) Notation : // signifie parallèle et signifie perpendiculaire. (d) (f ) et (e) (f ) donc (d) // (e) Page 1/9

2 Exercice d illusion d optique 1. Dessine la droite parallèle à la droite (d) passant par le point A, puis la parallèle passant par B, puis la parallèle passant par C, etc. 2. Sur ces droites et sur la droite (d), dessine à main levée des traits comme sur ce dessin. J A B C D E (d) F G H I Une méthode pour construire des droites parallèles : faire glisser l équerre sur la règle fixe Page 2/9

3 Exercice de l équerre trop courte Les droites (d) et (e) sont parallèles. Samy dispose de cette seule équerre (il n a pas de règle). Comment peut-il tracer avec précision la droite perpendiculaire à la droite (e) passant par le point A? Sammy trace la droite perpendiculaire à (d) passant par A. Comme (d) et (e) sont parallèles, la droite qui est perpendiculaire à (d) est aussi perpendiculaire à (e). On peut l expliquer par la propriété suivante : Propriété 2 Lorsque deux droites sont parallèles, alors n importe quelle droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. (f) (e) (d) (d) // (e) et (d) (f ) donc (e) (f ) Page 3/9

4 Tracés de perpendiculaires et parallèles n o 1 (d 3 ) est une droite parallèle à la droite (d 1 ) qui passe par le point M : elle coupe la droite (d 2 ) au point N. (d 4 ) est une droite perpendiculaire à la droite (d 2 ) qui passe par le point P : elle coupe la droite (d 1 ) au point Q. Les droites (d 3 ) et (d 4 ) sont sécantes au point R. Construis les droites (d 3 ) et (d 4 ) puis place les points N, Q et R. Cas a P (d 2 ) (d 1 ) M Cas b (d 2 ) M P (d 1 ) Page 4/9

5 Tracés de perpendiculaires et parallèles n o 2 (d) est la droite parallèle à la droite (AB) qui passe par le point D. (e) est la droite perpendiculaire à la droite (AC ) qui passe par le point E. Les droites (d) et (e) sont sécantes au point F. Construis les droites (d) et (e) puis place le point F. Cas a A E D C B Cas b A B C D E Page 5/9

6 Tracé de perpendiculaires et parallèles n o 3 E est le point de la droite (AB) tel que : (DE) // (BC ). F est le point de la droite (BC ) tel que (EF ) (BC ). G est le point d intersection de la droite (AB) et de la droite parallèle à (AC ) passant par F. La droite perpendiculaire à la droite (AC ) passant par G coupe la droite (BC ) au point H. Construis les points E, F, G, H. D A C B Exercice des trois droites Trace un segment [AC ]. Appelle I un point du segment [AC ] différent de A et de C. Trace la droite perpendiculaire à [AC ] qui passe par I. Place un point B sur cette droite de telle sorte que B I = AC. Trace la droite (BC ). Trace le segment [AB]. Construis la droite parallèle à la droite (BC ) qui passe par le point A. Construis la droite perpendiculaire à la droite (BC ) qui passe par le point C. Nomme D le point d intersection des deux dernières droites que tu viens de construire. Sais-tu quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Exercice des trois droites (suite) 1. Le trapèze que tu as dessiné a-t-il un angle droit en D? 2. Cet angle est-il droit pour les trapèzes des autres élèves de la classe? 3. Cet angle est-il droit pour tous les trapèzes que l on pourrait dessiner en plaçant différemment les points de départ A, C et I? ABCD est un trapèze car il a deux côtés parallèles : [AD] et [BC ]. Le trapèze dessiné sur mon cahier a un angle droit en D : je peux le vérifier avec l équerre. Je ne peux pas vérifier avec l équerre pour tous les trapèzes possibles car il y en a une infinité. Mais on peut raisonner en utilisant un croquis. Page 6/9

7 Raisonnement Je sais que : (BC ) // (AD) (CD) (BC ) Or, si deux droites snt parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l une alors elle est perpendiculaire à l autre. Donc : (CD) (AD). L angle en D est donc droit pour tous les trapèzes. Exercice des carrés des milieux Construis un carré ABCD. Place les milieux E, F, G et H des côtés [AB], [BC ], [CD] et [D A]. Trace le quadrilatère EFGH. Place les milieux I, J, K et L des côtés [EF ], [FG], [GH] et [HE]. Trace le quadrilatère I J K L. Exercice des carrés des milieux (sur GeoGebra) On s intéresse au problème inverse : on trace avec GeoGebra un carré I JK L et on veut construire avec GeoGebra les deux carrés autour. Comment construire le carré EFGH puis le carré ABCD? Page 7/9

8 Pour construire EFGH avec GeoGebra, on a remarqué que les côtés de ce carré sont soit perpendiculaires, soit parallèles à une diagonale de I JK L, puis on a utilisé les commandes «Parallèle» et «Perpendiculaire» de GeoGebra. E L I H F K J G Exercice des deux dessins Écris un programme de construction sans indication de longueur qui pourrait permettre d obtenir le dessin final en partant du dessin de départ. Exercice du croquis Voici un croquis codé pour réaliser un dessin de géométrie. Trace un segment [AB] de ton choix. Fais le dessin à partir du segment [AB] que tu as choisi. ABCG est un carré et CDEF est un rectangle. Page 8/9

9 Sur tous les dessins qui correspondent à ce croquis : (AC ) (BG) car les diagonales de n importe quel carré sont perpendiculaires ; (CD) (DE) car les angles de n importe quel rectangle sont droits ; (AB) // (GC ) car les côtés opposés de n importe quel carré sont parallèles ; (GC ) // (DE) car les côtés opposés de n importe quel rectangle sont parallèles. On en déduit que (AB) // (DE) grâce à la propriété : Propriété 3 Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elle sont parallèles entre elles. Page 9/9