Remarque : A tout point M de (D) on associe son abscisse x, c est le nombre qui vérifie OM=xu.

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Adélaïde Ratté
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1 CHPTRE V GEOMETRE NLYTQUE REPERGE DES PONTS ET VECTEURS DU PLN ) Repère d une droite 1 Définition d un e Définition Soit (D) une droite, u un vecteur directeur de (D) et O un point de (D) : Le couple (O,u) s ppelle un repère de l droite (D) Le point O est ppelé origine du repère Remrque : tout point M de (D) on ssocie son scisse, c est le nomre qui vérifie OMu Eemples : Si est le point d scisse 3 lors O3u Si O-u lors est le point d scisse - OO0u donc l scisse de O est 0 O1u donc l scisse de est 1 L ensemle des points de (D) d scisse positive est l demi-droite [O) L ensemle des points de (D) d scisse négtive est l demi-droite [O) L ensemle des points de (D) d scisse comprise entre - et 3 est le segment [] Mesure lgérique d un vecteur Définition Soit (D) une droite, u un vecteur directeur de (D) et, deu points de (D) Les vecteurs u et sont colinéires donc il eiste un nomre k unique tel que ku Ce nomre k est ppelé mesure lgérique du vecteur reltivement u vecteur u et noté Remrque : u Eemples : -5u donc -5 Ou donc O1 0u donc 0 Remrque :De OMu, on déduit que OM est l scisse du point M dns le repère (O,u) Propriété 1 (Reltion de Chsles) Soit, et C trois points d une droite (D) de repère (O,u) On C+C Conséquence : si et sont deu points d une droite (D) de repère (O,u) On : O- O Nous en déduisons l propriété suivnte : Propriété Soit (D) une droite de repère (O,u), et deu points de (D) d scisses respectives et L mesure lgérique du vecteur reltivement u vecteur u est telle que : - Eemple : pour scisse 3 et pour scisse - donc --3-5

lors O3u Si O-u lors est le point d scisse - OO0u donc l scisse de O est 0 O1u donc l scisse de est 1 L ensemle des points de (D) d scisse positive est l demi-droite [O) L ensemle des points de (D) d

2 ) Coordonnées d un vecteur du pln 1 se et repère du pln Définition : on dit que le triplet (O,i,j) est un repère (crtésien) du pln si (i,j) est une se, c'est à dire si i et j sont deu vecteurs non colinéires O est ppelé l origine du repère Repères prticuliers : on ppelle repère orthogonl un repère où les vecteurs i et j sont orthogonu On ppelle repère normé un repère où les vecteurs i et j ont pour norme 1 (ie i j 1) On ppelle repère orthonorml un repère où les vecteurs i et j sont orthogonu de norme 1 Coordonnées d un point, coordonnées d un vecteur d origine O Définition : les coordonnées du point M dns le repère (O,i,j) sont ussi les coordonnées du vecteur OM dns l se (i,j) insi si M( M; M) lors OM M i + M j Soit P le projeté du point M sur (O) prllèlement à (O) et Q le projeté du point M sur (O) prllèlement à (O) lors, M OP et M OQ Q M est l scisse du point M M est l ordonnée du point M (O) est l e des scisses et (O) l e des ordonnées Eemples : P( M ;0), Q(0 ; M ), (1 ;0), J(0 ;1), i(1 ;0) et j(0 ;1) 3 Coordonnées d un vecteur Soient ( ; ) et ( ; ), de même O( ; ) et O( ; ), d où l on déduit O i + j et O i + j Pr conséquent, O + O O O i + j i j ( ) i + ( ) j et finlement ( ; ) Propriété : Soit (O,i,j) un repère du pln, et les points de coordonnées ( ; ) et ( ; ), lors le vecteur pour coordonnées ( ; ) dns l se (i,j) pplictions : Clculer les coordonnées du vecteur dns les cs suivnts : i) (- ; 3) et (4 ;-1) ii) (3 ;0) et (0 ;-5) iii) (0 ;5) et (- ;5) iv) (3 ;-) et (- ;3) 4 Opértions et vecteurs Propriétés lgériques : Soit (i,j) une se, u( ;) et v( ; ) deu vecteurs, lors : u0 équivut à 0 et 0 (u(0 ;0)) uv équivut à et u+v pour coordonnées (+ ;+ ) ku (k réel) pour coordonnées (k ;k) 5 Coordonnées du milieu d un segment []

pour norme 1 (ie i j 1) On ppelle repère orthonorml un repère où les vecteurs i et j sont orthogonu de norme 1 Coordonnées d un point, coordonnées d un vecteur d origine O Définition : les

3 Soient ( ; ) et ( ; ), on note le milieu du segment [] On O 1 ( O + O), on en déduit donc les coordonnées de : Théorème + + Le milieu du segment [] pour coordonnées et ppliction : Soit (- ;3) et (5 ;), quelles sont les coordonnées du milieu du segment []? VECTEURS COLNERES 1 Formule de colinérité Soit u( ;) et v( ; ) deu vecteurs colinéires non nuls, il eiste donc un nomre réel k non nul tel que ukv, ce qui se trduit u niveu des coordonnées pr k et k, d où l on déduit que - 0 Théorème Soit deu vecteurs u( ;) et v( ; ) L condition u et v sont colinéires équivut à et ppliction :Montrer que u(- ;5) et v(3 ;-7,5) sont deu vecteurs colinéires ppliction à l lignement et u prllélisme : Représenter dns un repère les points (5 ;3), (8 ;5), C(13 ;8) et D(-1 ;-1) Les points, et C sont-ils lignés? Les points, et D sont-ils lignés? Représenter dns ce même repère les points E(5 ;-1) et F( ;-3) Les droites () et (EF) sont-elles prllèles? EQUTONS DE DROTES ) Eqution crtésienne d une droite 1 Détermintion de l éqution crtésienne d une droite du pln i) Connissnt un point et un vecteur directeur : Soit (D) une droite pssnt pr le point (3 ;1) et de vecteur directeur u ρ (1 ;) Trcer l droite (D) dns un repère (O, i ρ, j ρ ) Soit M( ;) pprtennt à (D), que peut-on dire des vecteurs u ρ et M ρ? Eprimer l condition de colinérité entre ces deu vecteurs ii) Connissnt deu points : Soit (-3 ;) et ( ;1) deu points du pln Trcer l droite (), donner un vecteur directeur de (),puis une éqution crtésienne de l droite () Forme crtésienne de l éqution d une droite Quel est l ensemle des points M du pln de coordonnées ( ;) vérifint l éqution -3+50? Donner un vecteur directeur de cette droite Définition-Théorème : +

VECTEURS COLNERES 1 Formule de colinérité Soit u( ;) et v( ; ) deu vecteurs colinéires non nuls, il eiste donc un nomre réel k non nul tel que ukv, ce qui se trduit u niveu des coordonnées pr k et k,

4 ρ ρ Le pln étnt repéré pr (O, i, j),, et c étnt trois nomres réels tels que ( ;) (0 ;0), l ensemle des points M du pln de coordonnées ( ;) tels que ++c0 est une droite (D) de vecteur directeur u ρ (- ;) L éqution ++c0 est ppelée éqution crtésienne de l droite (D) Réciproquement, toute droite du pln dmet une éqution crtésienne de l forme ++c0 (Remrque : Tout utre vecteur non nul, colinéire à u ρ, est ussi un vecteur directeur de (D)) ) Eqution réduite d une droite 1 Cs générl Soit ++c0 une éqution crtésienne de l droite (D) ) si 0, donner l éqution réduite de l droite (D) c, (D) est une droite prllèle à l e des ordonnées Eemple : (D1) d éqution -50 ) si 0, donner l éqution réduite de l droite (D) c, (D) est l droite de vecteur directeur u ρ (; 1 ), d ordonnée à l origine c Eemples : (D) d éqution --30 (D3) d éqution 3-50 Théorème et définitions Si (D) est une droite non prllèle à l e des ordonnées elle possède une éqution de l forme m+p ; m s ppelle le coefficient directeur de l droite (D) et (D) possède un vecteur directeur u ρ (; 1 m) ; p s ppelle l ordonnée à l origine Détermintion de l éqution réduite d une droite i) Connissnt un point et un vecteur directeur : Soit (3 ;1) et ρ u (3 ;) On cherche à déterminer l éqution réduite de l droite (D) pssnt pr et de vecteur directeur ρ u Théorème Si u ρ ( ;) est un vecteur directeur de (D), lors (D) pour coefficient directeur, et si ( ; ) pprtient à (D) lors p ii) Connissnt deu points : Déterminer l éqution réduite de () où (- ;1) et (3 ;) Théorème Si, () pour éqution Si, () pour coefficient directeur m C) Représenttion grphique 1 Méthode

est ussi un vecteur directeur de (D)) ) Eqution réduite d une droite 1 Cs générl Soit ++c0 une éqution crtésienne de l droite (D) ) si 0, donner l éqution réduite de l droite (D) c, (D) est une

5 prtir d une éqution crtésienne ou de l éqution réduite de (D) : déterminer les coordonnées de deu points et trcer l droite pssnt pr ces deu points déterminer les coordonnées d un point et d un vecteur directeur, trcer l droite pssnt pr ce point de direction le vecteur directeur ppliction ) n 17 pge 63 ) n 0 pge 63 c) n 3 pge 63 D) Position reltive de deu droites Propriété Les droites (D) et (D ) d équtions respectives ++c0 et + +c 0 sont prllèles si, et seulement si, - 0 On dir de (D) et (D ) qu elles sont sécntes si, et seulement si, - 0

directeur ppliction ) n 17 pge 63 ) n 0 pge 63 c) n 3 pge 63 D) Position reltive de deu droites Propriété Les droites (D) et (D ) d

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