GEOMETRIE DANS L ESPACE
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- René Villeneuve
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1 GEOMETRIE DNS L ESPCE I. RPPELS SUR LE PRODUIT SCLIRE DNS LE PLN a) Différentes expressions du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs du plan. Si l un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. Si ces deux vecteurs sont non nuls, le produit scalaire de u ρ et v ρ est le réel : u. v = B. C = B C cos( B; C) B et C étant deux représentants respectifs de u et v. Remarque : Ce produit scalaire est indépendant des représentants. On peut donc choisir des représentants de même origine. Propriétés : Si H est le projeté orthogonal de C sur (B) et K le projeté orthogonal de B sur (C), on a : B. C = B H = C K u r et v r sont orthogonaux si, et seulement si, u. v = 0 Exercice n 1 : Soit BCD un rectangle tel que B = 4 et D = 3. Soient et C les projetés orthogonaux respectifs de et C sur (BD). 1. Calculer B. BD 2. En déduire cos(bd) puis une valeur approchée de BD 3. Calculer. C. BD et en déduire C. Exercice n 2 : Soit BC un triangle rectangle et isocèle en. I et J sont les points tels que I = 1 B et J = Démontrer que les droites (K) et (JB) sont perpendiculaires. - 1/8 - C et K le milieu de [IC].
2 vec des coordonnées : Dans un repère orthonormé, si u et v ont respectivement pour coordonnées (x ; y) et (x ; y ), alors u. v = xx + yy u = x 2 + y 2 Si et B sont deux points du plan de coordonnées respectives (x ; y ) et B (x B ; y B ) alors ( ) 2 ( ) 2 B = x x + y y B B b) Équations de droites et cercles dans un plan Définition : Un vecteur normal d une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite. Propriétés : Si n (a ; b) est un vecteur normal de la droite d, alors une équation de d s écrit sous la forme ax + by + c = 0 Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l équation ax + by + c = 0 est l équation d une droite dont le vecteur de coordonnées (a ; b) est un vecteur normal. Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est l ensemble des points M(x ; y) tels que : IM² = R² Une équation de ce cercle est (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Le cercle de diamètre [B] est l ensemble des points M du plan tels que : M. MB = 0 Exercice n 3 : Dans un repère orthonormé, on donne les points : ( 1 ; 3 ) B( 2 ; 5 ) C( 1 ; 4) 1. Démontrer que le triangle BC est rectangle et isocèle en. 2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle BC. 3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC]. c) Distance d un point à une droite dans le plan Définition : Soit d une droite du plan et M un point quelconque du plan. On appelle distance du point M à la droite d la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur d. Propriété : Soient d une droite d équation ax + by + c = 0 avec a et b deux réels non nuls et (x ; y ) un point du plan. La distance du point à la droite d est égale à ax + by + c a 2 + b 2 Exercice n 4 : Dans un repère orthonormé, on donne la droite d d équation 3x 4y + 7 = 0 et le point ( 2 ; 1) 1. Déterminer la distance de à la droite d. 2. Vérifier que les points B( 1 ; 1) et C( 1 ; 2,5) appartiennent à la droite d. 3. Déterminer l aire du triangle BC et en déduire la distance h de B à la droite (C). - 2/8 -
3 II. PRODUIT SCLIRE DE L ESPCE a) Expressions du produit scalaire Normes et angles Projection orthogonale Si u et v sont u non nuls B v C Si u est non nul u. v = u v cos( BC) u. v = B H où H est le projeté orthogonal de C sur (B) C u B v H b) Orthogonalité dans l espace Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0 Deux droites (D) et (D ) de vecteurs directeurs respectifs u et v sont orthogonales si et seulement si u. v = 0 Une droite (D) de vecteur directeur u et un plan de base ( v ;, w) sont perpendiculaires si et seulement si u. v = 0 et u. w = 0 Exercice n 5 : Soit BCDEFGH un cube. Démontrer que la droite (G) est orthogonale au plan (CFH). c) Vecteur normal Par définition, un vecteur directeur d une droite perpendiculaire au plan est appelé vecteur normal à. Soit un point de l espace et n un vecteur non nul. L ensemble des points M de l espace tel que M. n =0 est le plan passant par et de vecteur normal n. Exercice n 6 : Soient O un point de l espace, n un vecteur unitaire et le plan passant par O et orthogonal à n. On désigne par H le projeté orthogonal d un point M sur le plan. Exprimer OH à l aide des vecteurs OM et n - 3/8 -
4 III. GEOMETRIE NLYTIQUE DNS L ESPCE Une base ( i ; j ; k) de l espace est une base orthonormée si les vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux à deux. vec u (x ;y ; z), alors u = x 2 + y 2 + z 2 vec (x ; y ; z ) et B (x B ; y B ; z B ) : B ( x x ) 2 + ( y y ) 2 + ( z z ) 2 =. B B B Exercice n 7 : Dans le repère orthonormé on considère les points : (3 ; 1 ; 5), B(3 ; 5 ; 1) et C( 1 ; 5 ; 5). Démontrer que le triangle BC est équilatéral. a) Équation cartésienne d un plan Propriété : Dans un repère orthonormé, tout plan admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b, c et d sont des réels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls. Le vecteur n(a ; b ; c) est un vecteur normal à ce plan. Réciproquement, soient a, b, c et d quatre réels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls. Dans un repère orthonormé, l ensemble (E) des points M(x ; y ; z) de l espace vérifiant ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n(a ; b ; c) Exercice n 8 : L espace est muni d un repère orthonormé (O ; i ; j ; k). Donner une équation cartésienne du plan passant par le point ( 2 ; 1 ; 3) et orthogonal à (BC) avec B(1 ; 2 ; 2) et C(4 ; 1 ; 1) b) Distance d un point à un plan Soient le plan d équation ax + by + cz + d = 0 et M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) un point de l espace. La distance de M 0 à est donnée par d(m 0 ; P) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 Exercice n 9 : Calculer la distance du point (5 ; 2 ; 3) au plan d équation : x + 4y + 8z + 2 = 0-4/8 -
5 IV. Caractérisations barycentriques Ch10 : Géométrie dans l espace (TS) a) Rappels Propriété Définition : Soit, B et C trois points de l espace, a, b et c trois réels tels que a + b + c 0. Il existe un unique point G vérifiant : a G + b GB + c GC = 0 Ce point G est appelé barycentre de (, a ), ( B, b ), ( C, c ) Homogénéité : Le barycentre ne change pas lorsqu on multiplie les coefficients par un même nombre non nul Iso barycentre : Si a = b = c ( 0 ), G est encore appelé isobarycentre de, B et C Propriété fondamentale : pour tout point M du plan : a M + bmb + c MC = (a + b + c ) MG Coordonnées : Dans un repère ( O; i, j ), on déduit facilement de la formule ci-dessus les coordonnées de G 1 x G = a + b + c ( ax 1 + bx B + cx c ) et y G = a + b + c ( ay + by B + cy c ) Barycentre : Si on remplace deux points pondérés (, a ) et ( B, b ) ( avec a + b 0 ) par leur barycentre H affecté du coefficient a + b, alors le barycentre de (, a ), ( B, b ), ( C, c ) est aussi le barycentre de ( C, c ), ( H, a + b ). b) Droites, plans et barycentre La droite (B) est l ensemble des barycentres des points et B. Le segment [B] est l ensemble des barycentres des points et B affectés de coefficients de même signe. Le plan (BC) est l ensemble des barycentres des points, B et C. L intérieur du triangle, côtés compris, est l ensemble des barycentres des points, B et C affectés de coefficients de même signe. V. REPRESENTTION PRMETRIQUE D UNE DROITE Définition : La droite (D) passant par (x 0 ; y 0 ; z 0 ) et de vecteur directeur u (α ; β ; γ) est l ensemble des x = α t + x0 points M(x ; y ; z) tels que : ( S) y = β t + y0 t. z = γ t + z0 Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (D) dans le repère (O ; i ; j ; k) et on dit que t est le paramètre. Exercice n 10 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les point ( 1 ; 2 ; 3) et B(1 ; 1 ; 1) Exercice n 11 : x = t + 1 x = 3t + 2 Considérons les droites : y = 2t 3 t et (d ) y = t 1 t. z = t + 2 z = t + 1 Étudier l intersection des deux droites et (d ), si elle existe. - 5/8 -
6 VI. Intersections de droites et de plans a) Intersection de deux plans Le point de vue géométrique : 2 plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont parallèles. (P 1 ) et (P 2 ) confondus (P 1 ) et (P 2 ) strictement parallèles (P 1 ) et (P 2 ) sécants (P 1 ) (P 1 ) = (P 2 ) (P 2 ) (P 1 ) (P 2 ) Le point de vue algébrique : Lorsque (a ; b ; c) et (a ; b ; c ) ne sont pas proportionnels, l ensemble des points M(x ; y ; z) de l espace tels ax + by + cz + d = 0 que : ( S) est une droite que l on dit «définie par le système (S) des deux a'x + b'y + c'z + d' = 0 équations» Exercice n 12 : Considérons les plans d équations : : 2x + y z 2 = 0 et (P ) : x + 3y + 7z 11 = 0 1. Démontrer que les deux plans sont sécants. 2. Donner une représentation paramétrique de la droite, intersection de ces deux plans. Exercice n 13 : Dans un repère orthonormé (O ; i : j ; k) ; les plans, et ont respectivement pour équations cartésiennes x + y + z + 3 = 0 ; 2x + 2y + 2z + 7 = 0 ; 3x y + 2 = 0 1. Déterminer un vecteur normal à chaque plan. 2. Étudier l intersection des plans et. 3. Étudier l intersection des plans et. b) Intersection d un plan et d une droite ( ) ( ) est contenue dans ( ) est strictement parallèle à ( ) et sont sécants ( ) ( ) ( ) x - 6/8 -
7 Exercice n 14 : Ch10 : Géométrie dans l espace (TS) Dans un repère orthonormé (O ; i : j ; k), le plan a pour équation : 5x + y z + 3 = 0 et la droite x = t pour représentation paramétrique : y = 1 6t t. z = 3 t 1. Étudier l intersection de la droite et du plan. 2. Étudier l intersection de la droite passant par (2 ; 1 ; 4) de vecteur directeur u(2 ; 2 ; 4) et du plan d équation : x + 2y z + 2 = 0 c) Intersection de trois plans Le point de vue géométrique :, et sont trois plans de l espace. Ils ont un seul point commun Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan Ils n ont pas de point commun (d ) (d ) Le point de vue algébrique : Dans un repère orthonormé (O ; i : j ; k), les plans, et ont respectivement pour équations cartésiennes : ax + by + cz + d = 0 ; a x + b y + c z + d = 0 et a x + b y + c z + d = 0, où a, b, c puis a, b, c puis a, b, c ne sont pas tous les trois nuls. ax + by + cz + d = 0 Pour étudier l intersection des trois plans, on peut résoudre le système : a'x + b'y + c'z + d' = 0. a"x + b"y + c"z + d" = 0 Ce système, d après le point de vue géométrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinité de triplets solutions. - 7/8 -
8 Exercice n 15 : Ch10 : Géométrie dans l espace (TS) 1. Dans un repère orthonormé (O ; i : j ; k), le plan a pour équation : 2x y + z 7 = 0, le plan a pour équation : x + 2y z 6 = 0, le plan a pour équation : x + y + 2z 11 = 0. Étudier l intersection de ces trois plans. 2. Dans un repère orthonormé (O ; i : j ; k),le plan a pour équation : 2x + 3y 2z 2 = 0, le plan a pour équation : 4x 3y + z 4 = 0, le plan a pour équation : 2x + 12y 7z 2 = 0. Étudier l intersection de ces trois plans. - 8/8 -
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