LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS

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1 LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I Limites de suites Définition Soit (u n ) une suite et l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, on dit que la suite (u n ) a pour ite l, ou que la suite (u n ) converge vers l. On écrira u n = l. u 1 u u 5 u 2 u 6 u 7 u 4 u 3 Dire qu'une suite converge vers l revient aussi à dire que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eu. Dire qu'une suite converge vers l revient aussi à dire que son terme général u n est aussi proche de l que l'on veut à partir d'un certain rang. l Propriété (voir démonstration 1) Si une suite (u n ) converge, sa ite est unique. Eercice 1 On considère la suite définie par u n = n pour n ³ 1 1 ) Calculer u 1, u 2... u 1 et en donner des valeurs approchées à 1-2 près. 2 ) Observer la représentation graphique de la suite (u n ) donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de la suite (u n )? 3 ) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon,1, c'est-à-dire ]1,99 ; 2,1[. Montrer qu'à partir d'un certain rang n à déterminer, tous les termes de la suite (u n ) appartiennent à cet intervalle. 4 ) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon r, c'est-à-dire ] 2 - r ; 2 + r [. Montrer qu'à partir d'un certain rang n à déterminer en fonction de r, tous les termes de la suite (u n ) appartiennent à cet intervalle. 5 ) Démontrer que (u n ) converge vers 2. Soit (u n ) une suite. Définition Si tout intervalle de la forme ]a ; + [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, on dit que la suite (u n ) a pour ite +. On écrira u n = + Si tout intervalle de la forme ]- ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, on dit que la suite (u n ) a pour ite -. On écrira u n = - TS Limites page 1 / 15

2 Dire qu'une suite a pour ite + revient aussi à dire que tout intervalle ]a ; + [ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eu. Dire qu'une suite a pour ite + revient aussi à dire que son terme général u n est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang. Le mot de convergence n'est utilisé que dans le cas d'une ite finie. Eercice 2 On considère la suite (u n ) définie par u n = n2 + 2 pour n ³ 1 n 1 ) Calculer u 1, u 2... u 1 et en donner des valeurs approchées à 1-2 près. 2 ) Observer la représentation graphique de la suite (u n ) donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de la suite (u n )? 3 ) On considère l'intervalle ]1 ; + [ Montrer qu'à partir d'un certain rang n à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle. 4 ) On considère l'intervalle ]a ; + [ avec a ³ 1 Montrer qu'à partir d'un certain rang n à déterminer en fonction de a, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle. 5 ) Démontrer que u n = +. II Limites de fonctions - Asymptotes Définition ite d'une fonction en + Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]a ; + [ et soit l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f() pour assez grand, on dit que la fonction f a pour ite l quand tend vers +. On écrira f() = l ou f = l. + Dans ce cas, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote à la courbe (C) de f au voisinage de +. l l Dire que la fonction f a pour ite l au voisinage de + signifie que f() est aussi proche de l que l'on veut lorsque est assez grand. TS Limites page 2 / 15

3 Eercice 3 On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par f() = ) Donner des valeurs approchées à 1-3 près de f(1) ; f(1) : f(1) ; f(3234). 2 ) Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de f en +? 3 ) On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon,1, c'est-à-dire ]1,99 ; 2,1[. Démontrer que pour > 1, f() ]1,99 ; 2,1[. (On pourra écrire f() sous la forme f() = ) 4 ) On considère l'intervalle ]2 - r ; 2 + r [ avec r >. Montrer que pour supérieur à un certain à déterminer en fonction de r, tous les f() appartiennent à l'intervalle ]2 - r ; 2 + r [. 5 ) Démontrer que f() = 2 Eercice 4 On considère la fonction f définie sur IR par f() = ) Donner les valeurs de f(1) ; f(1) : f(1) ; f(5812). 2 ) Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de f en +? 3 ) On considère l'intervalle ]1 ; + [. Démontrer que pour > 1, f() ]1 ; + [. 4 ) On considère un intervalle ]A ; + [, avec A >. Montrer que pour supérieur à A, tous les f() appartiennent à l'intervalle ]A ; + [. Définitions ite d'une fonction en + Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]a ; + [. Si tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs f() pour assez grand, on dit que la fonction f a pour ite + quand tend vers +. On écrira f() = + ou f = +. + A Si tout intervalle de la forme ]- ; A[ contient toutes les valeurs f() pour assez grand, on dit que la fonction f a pour ite - quand tend vers +. On écrira f() = - ou f = -. + A Eercice 5 Soit f définie sur IR par f() = Démontrer que f() = - TS Limites page 3 / 15

4 Définitions ite d'une fonction en - Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle ]- ; a[ Soit l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f() pour assez grand négatif, on dit que la fonction f a pour ite l quand tend vers -. On écrira f() = l ou - f = l. - Dans ce cas, on dit que la droite d'équation y = l est asymptote à la courbe (C) de f au voisinage de -. l Si tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs f() pour assez grand négatif, on dit que la fonction f a pour ite + quand tend vers -. On écrira f() = + ou - f = +. - A Si tout intervalle de la forme ]- ; A[ contient toutes les valeurs f() pour assez grand négatif, on dit que la fonction f a pour ite - quand tend vers -. On écrira f() = - ou - f = -. - A Eemples On peut, en visualisant les représentations graphiques conjecturer que : la fonction a pour ite 2 lorsque tend vers - la fonction 2 a pour ite + lorsque tend vers - la fonction a pour ite - lorsque tend vers - TS Limites page 4 / 15

5 Définitions ite d'une fonction en a Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme ]a ; a + r[ ou ]a - r ; a[ (r étant un réel positif) Soit l un nombre réel. Si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f() pour assez proche de a, on dit que la fonction f a pour ite l quand tend vers a. On écrira f() = l ou a f = l. a l a Si tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs f() pour assez proche de a, on dit que la fonction f a pour ite + quand tend vers a. On écrira f() = + ou a f = +. a Dans ce cas, on dit que la droite d'équation = a est asymptote à la courbe (C) de f. A a Si tout intervalle de la forme ]- ; A[ contient toutes les valeurs f() pour assez proche de a, on dit que la fonction f a pour ite - quand tend vers a. On écrira f() = - ou a f = -. a Dans ce cas, on dit que la droite d'équation = a est asymptote à la courbe (C) de f. A a Lorsqu'on considère uniquement les réels de l'intervalle ]a ; a + r[, on parlera de ite à droite en a ou de ite en a par valeurs supérieures, on notera a > a Lorsqu'on considère uniquement les réels de l'intervalle ]a - r ; a[, on parlera de ite à gauche en a ou de ite en a par valeurs inférieures, on notera a < a Par eemple pour la fonction f définie sur ]- ; [ ] ; + [ par f() = 1, on a : f() = - et f() = + < > TS Limites page 5 / 15

6 Eercice 6 On considère la fonction f définie par f() = (- 1) 2. 1 ) Justifier que l'ensemble de définition de f est ]- ; 1[ ]1; + [ 2 ) Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de f en 1? 3 ) On considère l'intervalle ]1 ; + [. Donner une condition portant sur pour que, f() ]1 ; + [. 4 ) On considère un intervalle ]A ; + [ avec A > 2. Donner une condition suffisante portant sur pour que, f() ]A ; + [. 5 ) Justifier que f() = +. 1 Soit (C) la courbe représentative d'une fonction f et (D) la droite d'équation y = a + b Soit un réel Le point M de (C) d'abscisse a pour ordonnées f() Le point P de (D) d'abscisse a pour ordonnée a + b f() - (a + b) correspond à la différence des ordonnées de ces deu points. a+b f() D (C) P M Définition Si f() - (a + b) =, on dit que la courbe (C) représentative de f a pour asymptote la droite (D) d'équation y = a + b au voisinage de +. Si f() - (a + b) =, on dit que la courbe (C) représentative de f a pour asymptote la droite (D) - d'équation y = a + b au voisinage de -. Lorsque a =, la droite (D) a pour équation y = b, elle est parallèle à l'ae (O). On utilisera parfois dans ce cas le terme d'asymptote horizontale. Lorsque a, on utilisera parfois le terme d'asymptote oblique. Propriété (voir démonstration 2) Soient f une fonction définie sur ]α ; + [. S'il eiste une fonction h et deu réels a et b et tels que pour ]α; + [ f() = a + b + h() et h() =, la courbe (C) représentative de f a pour asymptote la droite (D) d'équation y = a + b au voisinage de +. On a une propriété similaire pour une asymptote en - (C) Eemple La courbe (C) représentative de f définie sur IR * par f() = a pour asymptote oblique la droite (D) D d'équation y = + 3 quand tend vers - et quand tend vers +. En effet f() = h() avec h() = 1 et h() = 1 = ; h() = = TS Limites page 6 / 15

7 III Limites et ordre Propriété (voir démonstration 3) Soient (u n ) et (v n ) deu suites définies pour n ³ n Si pour tout n ³ n, u n v n, si u n = l et si v n = l' alors l l' Soient deu fonctions f et g définies sur un intervalle ]a; + [ Si pour tout ]a; + [ f() g(), si f() = l et g() = l' alors l l' Si des fonctions ou des suites sont dans un certain ordre, alors leurs ites sont dans le même ordre. Attention La propriété n'est pas vraie avec des inégalités strictes. Si u n v n ou si f g alors on ne peut pas en déduire l < l', mais seulement l l'. Voir par eemple f() = - 1 et g() = 1 ; ou u n = - 1 n et v n = 1 n Pour ces deu fonctions et pour ces deu suites, on peut écrire des inégalités strictes, mais on ne peut pas espérer démontrer une inégalité stricte sur leurs ites puisqu'elles sont égales (à ). La propriété permet de comparer deu ites, mais elle ne permet pas de démontrer l'eistence de la ite d'une suite ou d'une fonction. Pour des fonctions la propriété peut s'étendre à des ites quand tend vers -, vers, à des ites à gauche ou à droite. (il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions) Propriété correspondante quand tend vers - : Soient deu fonctions f et g définies sur un intervalle ]- ; a[ Si pour tout ]- ; a[ f() g(), si f() = l et g() = l' alors l l' - - Propriété (voir démonstration 4) Soient (u n ) et (v n ) deu suites définies pour n ³ n Si pour tout n ³ n, u n ³ v n et si v n = + alors u n = + Soient f et g deu fonctions définies sur un intervalle ]a; + [ si pour tout ]a; + [ f() ³ g() et si g() = + alors f() = + Si une suite (ou une fonction) tend vers + alors toute suite (toute fonction) qui lui est supérieure tend aussi vers + Pour des fonctions, cette propriété peut s'étendre à des ites quand tend vers -, vers, à des ites à gauche ou à droite. (il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions) Propriété correspondante quand tend vers par valeurs supérieures : Soient f et g deu fonctions définies sur un intervalle ] ; + r[ avec r > si pour tout ] ; + r[ f() ³ g() et si g() = + > alors f() = + > Eercice 7 Soit f() = sin. Démontrer que f() = + TS Limites page 7 / 15

8 Propriété admise Soient (u n ) et (v n ) deu suites définies pour n ³ n Si pour tout n ³ n, u n v n et si v n = - alors u n = - Soient f et g deu fonctions définies sur un intervalle ]a; + [ si pour tout ]a; + [ f() g() et si g() = - alors f() = - Si une suite (ou une fonction) tend vers - alors toute suite (toute fonction) qui lui est inférieure tend aussi vers - Pour des fonctions, cette propriété peut s'étendre à des ites quand tend vers -, vers, à des ites à gauche ou à droite. (il suffira de modifier l'intervalle de définition des fonctions) Eercice 8 1 ) On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par f() = 5. Observer la représentation graphique de f donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur la ite de f en? Démontrer le résultat conjecturé. 2 ) Soit g la fonction définie sur ]; + [ par g() = cos 1. Démontrer que g() = +. > Vérifier en représentant graphiquement g avec une calculatrice ou un ordinateur. Propriété (théorème des gendarmes) (voir démonstration 5) Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies pour n ³ n Si pour tout n ³ n, v n u n w n et si v n = w n = l alors Soient trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle ]a; + [ Si pour tout ]a ; + [ g() f() h() et si u n = l. g() = h() = l, alors f() = l Pour des fonctions, cette propriété peut s'étendre à des ites quand tend vers -, vers, à des ites à gauche ou à droite. (il faudra modifier l'intervalle de définition des fonctions) La propriété peut aussi s'étendre à une ite l infinie, mais la double inégalité est alors inutile et on retrouve les propriétés vues précédemment. Eemple On considère la suite (u n ) définie pour n ³ 1 par u n = (v n ) et (w n ) définies par v n = - 2 n et w n = 2 n. cos n + sin n n peut être encadrée par les deu suites On a v n = et w n = donc u n = Propriété (voir démonstration 6) Soient (u n ) et (v n ) deu suites définies pour n ³ n et soit l un réel. Si pour tout n ³ n, u n - l v n et si v n = alors u n = l. Soient f et g deu fonctions définies sur un intervalle ]a; + [ si pour tout ]a ; + [ f() - l g() et si g() = alors f() = l. Pour des fonctions, cette propriété peut s'étendre à des ites quand tend vers -, vers, à des ites à gauche ou à droite. (il faudra modifier l'intervalle de définition des fonctions) TS Limites page 8 / 15

9 IV Opérations sur les ites Les tableau suivants permettent de donner, dans certains cas, la ite de la somme, du produit, du quotient de deu suites (u n ) et (v n ) ou de deu fonctions f et g, lorsqu'on connaît la ite des deu suites ou la ite des deu fonctions. La plupart des résultats se comprennent de façon intuitive. Ils peuvent tous être démontrés en utilisant les définitions données précédemment. l et l' désignent des nombres réels. Dans le cas de deu fonctions, les ites peuvent être des ites en +, en -, en, des ites à droite ou à gauche, mais bien entendu toutes les ites utilisées doivent être de la même nature. ( Il n'est, par eemple, pas question d'utiliser le tableau avec la ite de f en + et la ite de g en ) Limite d'une somme Si (u n ) ou f a pour ite l l l Si (v n ) ou g a pour ite l' Alors (u n ) + (v n ) ou f + g a pour ite l + l' pas de résultat général Limite d'un produit Si (u n ) ou f a pour ite l l + ou - Si (v n ) ou g a pour ite l' + ou - + ou - + ou - Alors (u n v n ) ou f g a pour ite l l' + ou - suivant les signes + ou - suivant les signes pas de résultat général Limite d'un inverse Si (u n ) ou f a pour ite l Alors 1 ou 1 u n f a pour ite 1 l par valeurs supérieures par valeurs inférieures + ou Les résultats des deu tableau précédents permettent de trouver les résultats pour un quotient : Limite d'un quotient Si (u n ) ou f a pour ite l l l + ou - + ou - + ou - Si (v n ) ou g a pour ite l' + ou - Alors u n v ou f n g a pour ite l l' par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures + ou - suivant les signes pas de résultat général par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures + ou - suivant les signes l' + ou - + ou - suivant les signes pas de résultat général TS Limites page 9 / 15

10 Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle souvent de «forme indéterminée». Les formes indéterminées sont de 4 types eprimés sous forme abrégée par : + - Ces notations, incorrectes, sont à proscrire dans un devoir rédigé. Eercice 9 À partir des tableau précédents, et en signalant la propriété utilisée, déterminer les ites suivantes : + ; 4 ( + 1) ; - 1 n ; sin π 4 ; > < Eercice 1 ; 1 n n + 1 n + n ; 2 < ; > Eercice 11 1 ) Vérifier que 3-2 se présente sous une forme indéterminée. En factorisant 3 dans l'epression 3-2, déterminer ) Vérifier que se présente sous une forme indéterminée. + En factorisant 3 dans l'epression 3 +, et en factorisant 2 dans l'epression 2 +, déterminer ) Vérifier que se présente sous une forme indéterminée En factorisant le numérateur et le dénominateur, déterminer ) Vérifier que se présente sous une forme indéterminée. En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'epression par déterminer Dans un cas de forme indéterminée, il sera nécessaire, pour trouver la ite cherchée, de procéder à des calculs supplémentaires ou d'utiliser des propriétés connues. On retiendra les principes suivants. + - : Factorisation du terme "dominant" 3-2 : Factorisation du terme "dominant" au numérateur et au dénominateur puis simplification : Factorisation d'un terme tendant vers au numérateur et au dénominateur, puis simplification La forme indéterminée peut en général se ramener à l'une des formes ou. Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent pas de résultat, on pourra multiplier par la quantité "conjuguée" TS Limites page 1 / 15

11 Eercice 12 Déterminer : ; > ; < ; Règles opératoires La ite en + ou en - d'une fonction polynôme est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite en + ou en - d'une fonction rationnelle (quotient de deu polynômes) est égale à la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. Le résultat peut se démontrer par factorisation comme cela a été fait dans les eemples et les eercices précédents. Attention : ce résultat est valable uniquement pour une ite en + ou -. Il ne faut pas l'utiliser pour une ite en ou en a. Ce résultat peut aussi être appliqué pour les suites. Eemple Pour déterminer , on pourra écrire : = -2 3 = - Pour déterminer , on pourra écrire : = = = + Pour déterminer n2 + 1 n 2, on pourra écrire : - 1 n2 + 1 n 2-1 = n2 n 2= 1 = 1 Attention : + sin = 2= 1 = donne un résultat juste mais non justifié puisque la fonction + sin 2 n'est pas une fonction rationnelle. + 1 Eercice 13 Déterminer les ites suivantes. On pourra éventuellement utiliser les règles opératoires n n n 2-1 n + - ( + 1)( - 3) Propriété (voir démonstration 7) Soit q un nombre réel, on considère la suite (q n ) Si q > 1, on a q n = + Si q = 1, on a q n = 1 donc q n = 1 Si - 1 < q < 1, on a q n = Si q - 1, la suite (q n ) n'a pas de ite. Le résultat précédent pourra être utilisé dans le cas d'une suite (u n ) géométrique de raison q, puisqu'on sait que dans un tel cas on a : u n = u q n La ite d'une suite (u n ) arithmétique de raison r, se détermine de façon immédiate puisqu'on sait que dans un tel cas on a : u n = u + n r TS Limites page 11 / 15

12 Eemple On considère la suite (v n ) n IN définie par v n = cos nπ 2n + 1 Considérons la suite (u n ) définie par u n = nπ pour n IN. 2n + 1 On peut écrire u n sous la forme u n = nπ n = π n n et on s'intéresse à la ite de cette suite. On sait que 1 n =, on obtient alors par somme puis par quotient u n = π 2 D'autre part on sait que cos = cos π π 2 = 2 On peut alors penser que v n = cos nπ 2n + 1 = En utilisant une calculatrice ou un tableur, on peut calculer de nombreu termes de la suite (v n ) et la représenter graphiquement. Il semble là encore que v n = Propriété admise a,b et l désignent soit des réels, soit +, soit -. Si u n = b et g(x) = l, alors g(u X b n ) = l Si f() = b et g(x) = l, alors g o f() = l a X b a Eercice 14 Soit f définie sur IR par f() = Déterminer f() TS Limites page 12 / 15

13 V Convergence des suites monotones Eercice 15 On considère la suite (u n ) définie par u = et u n+1 = 1 2 u n + 1 pour tout n IN 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 Placer les points correspondants sur une droite graduée. 2 ) Démontrer que la suite (u n ) est bornée. 3 ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante 4 ) Que peut-on conjecturer pour la ite de (u n )? Propriété admise Une suite croissante majorée est convergente. Une suite décroissante minorée est convergente. La propriété permet de justifier qu'une suite est convergente, mais elle ne permet pas de donner la ite. D'après les propriétés vues sur les ites, si une suite est majorée par K, sa ite, si elle eiste, est nécessairement inférieure ou égale à K. Propriété (voir démonstration 8) Une suite croissante non majorée a pour ite + Une suite décroissante non minorée a pour ite - Une suite non majorée n'a pas nécessairement pour ite +. Une telle suite a des termes aussi grands que l'on veut puiqu'elle n'est pas majorée, mais elle n'a pas nécessairement ses termes aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang On peut citer comme eemple la suite u n = [(-1) n + 1]n Eercice 16 On considère la suite (u n ) définie par u = 1 et pour tout n N u n+1 = 2u n ) Donner des valeurs approchées à 1-3 près de u 1 ; u 2 ;... ; u 1 2 ) Démontrer que, pour tout n IN u n 3 3 ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante et convergente. 4 ) Déterminer u n. Lorsqu'une suite définie par récurrence est convergente, la relation de récurrence permet de déterminer une relation vérifiée par la ite. Eemple Si la suite (u n ) n³ vérifiant la relation de récurrence u n+1 = 3u n + 5 est convergente, alors sa ite l vérifie la relation l = 3l + 5 c'est-à-dire l = Attention : Cette relation ne permet en aucun cas d'affirmer que cette suite est convergente. On pourrait vérifier dans ce cas que si u = - 5, la suite est convergente (c'est une suite constante) 2 et si u la suite n'est pas convergente (elle a pour ite + ) TS Limites page 13 / 15

14 VI Suites adjacentes Eercice 17 Partie préinaire. On considère la courbe (C) de la fonction inverse f() = 1 pour [1 ; 2] On voudrait trouver une valeur approchée de l'aire comprise entre (C), l'ae O et les droites d'équations = 1 et = 2 On découpe l'intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude Donner les valeurs ; 1 ;... ; n des bornes des intervalles. Déterminer les valeurs de f( ) ; f( 1 ) ;... ; f( n ) O 1 2 En considérant les aires des n rectangles dont l'un des sommets est sur la courbe (C) déduire en fonction de n l'epression de l'aire coloriée sur chacun des dessins ci-dessous. 1 2 n 1 2 n Dessin 1 Dessin 2 On considère la suite (u n ) définie par u n = 1 n n i = n 2n = i = 1 1 n + i et la suite (v n ) définie par v n = 1 i = n-1 n + 1 n n - 1 = 1 i = n + i 1 ) Déterminer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; v 1 ; v 2 ; v 3 ; v 4 et en donner des valeurs approchées à 1-2 près. Représenter les points correspondants sur une droite. 2 ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante. 3 ) Calculer v n - u n et démontrer que v n - u n =. 4 ) Quelle conjecture peut-on faire pour le suites (u n ) et (v n )? 5 ) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner une valeur approchée à 1-3 près de u 5 et v 5 puis de u 1 et v 1 Définition On dit que deu suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : (u n ) est une suite croissante, (v n ) est une suite décroissante et v n - u n = Propriété (voir démonstration 9) Si (u n ) et (v n ) sont des suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même ite. TS Limites page 14 / 15

15 Eercice 18 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u n = 1-1 -n et v n = n pour tout n IN 1 ) Donner les valeurs de u ; v ; u 1 ; v 1 ; u 2 ; v 2 ; u 3 ; v 3 ; u 4 ; v 4 2 ) Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 3 ) Quelle est leur ite? 4 ) Que peut-on dire du nombre dont l'écriture décimale est, (avec une infinité de 9) Eercice 19 On considère la suite (u n ) n³1 définie par u n = p = n p = 1p 2= n 2 et la suite (v n ) n³1 définie par v n = u n + 1 n 1 ) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. Soit l leur ite. 2 ) Donner un entier n pour lequel l'encadrement de l par u n et v n est un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à 1-3. En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, donner une valeur approchée de u n et v n 3 ) Est-il possible que l soit égale à π2 6? Eercice 2 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par u = et u n+1 = 3u n pour tout n IN v = 2 et v n+1 = 3v n pour tout n IN 1 ) Dans un repère orthonormal (O; i, j ), tracer les droites D et d'équations respectives y = et y =. 4 Utiliser D et pour construire sur l'ae des abscisses les points A 1 ; A 2 ; A 3 d'abscisses respectives u 1 ; u 2 ; u 3 ainsi que les points B 1 ; B 2 ; B 3 d'abscisses respectives v 1 ; v 2 ; v 3. 2 ) Calculer u 1 ; v 1 ; u 2 ; v 2 ; u 3 ; v 3 3 ) Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et donner leur ite. TS Limites page 15 / 15

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