Les suites (1) Vocabulaire usuel des suites Rappels de 1 ère et compléments

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1 TS Les sites () Vocablaire sel des sites Rappels de ère et complémets 4 3 Revoir le cors de ère formle explicite I Gééralités ) Défiitio Ue site mérie est e foctio : terme d idice relatio de récrrece sites compréhesio ) Notatio (les parethèses sot obligatoires) Qad il y a pas de parethèses, c est por défiir le ombre Qad il y a des parethèses, c est por défiir la foctio Exemple : ad o dit «la site est croissate», o met des parethèses 3 ) Différetes faços de défiir e site Il y e a trois pricipales ère faço : formle explicite doat le terme gééral e foctio de Exemple : e faço : par so premier terme et e relatio de récrrece (c est-à-dire e relatio liat dex termes coséctifs) (Novelle défiitio par rapport ax foctios) Exemple : 3 3 e faço : par compréhesio Exemple : 3,4596 ième décimale de II Esemble de défiitio d e site ) Remare géérale Ue site pet être défiie sr o selemet sr e partie de Détermier l esemble de défiitio d e site défiie par e formle explicite est e gééral facile E revache, c est sovet pls difficile das le cas d e site défiie par récrrece et os avos pas ecore tos les otils (raisoemet par récrrece) ) Exemples de sites défiies par e formle explicite ➀ La site telle e est défiie sr ➁ La site telle e est défiie sr o à partir de l idice ➂ La site telle e est défiie à partir de l idice 3 ) Exemples de sites défiies par récrrece ➀ 3 La site est défiie de maière évidete sr (pas de problème de défiitio) ➁ 3 La site est défiie sr mais ce est pas assi évidet e das le er exemple O pet faire raisoemet de proche e proche (i pls tard sera remplacé par raisoemet par récrrece)

2 3 ➂ ; O e pet pas calcler 3 La site est pas défiie à partir de l idice 3 (site fiie) Lorse e site est défiie par so premier terme et e relatio de récrrece d type f où f est e foctio mérie, il pet y avoir problème de défiitio sivat la valer de et l esemble de défiitio de f 4 ) Propriété d existece d e site défiie par récrrece (admise sas démostratio) f est e foctio mérie défiie sr e partie D de telle e f D D (o dit e D est stable par f) Por tot réel a D a et la relatio de récrrece f est défiie sr, la site défiie par so premier terme III Représetatios graphies ) Représetatio graphie sr axe gradé ) Représetatio graphie das repère d pla termes (droite x réelle) 3 ) Lectre graphie des termes d e site récrrete d ordre doé por tot f O trace la corbe C f d éatio lorse le repère est orthoormé) Recette : O place sr l axe des abscisses O mote js à C f O obtiet e ordoée car f O ralloge js à O redesced e abscisse ; o obtiet la valer de O recommece avec et aisi de site j O y f x et la droite d éatio y x («ère bissectrice» d repère Il s agit d e costrctio des termes d e site récrrete sas calcl Sivat les cas, o obtiet e costrctio e «marche d escalier» o «e spirale» («e escargot») i : y x C f IV Ses de variatio d e site ) Défiitios est e site O dit e est croissate por exprimer e : O dit e est strictemet croissate por exprimer e : j O i idices La site est représetée par des poits isolés («age de poits») O dit e est décroissate por exprimer e : O dit e est strictemet décroissate por exprimer e : O dit e est costate por exprimer e : O dit e est statioaire à partir de l idice por exprimer e : O dit e est mootoe por exprimer elle est soit croissate soit décroissate O dit e est strictemet mootoe por exprimer elle est soit strictemet croissate soit strictemet décroissate 3 4

3 ) NB O observera e les défiitios d e site croissate, décroissate etc fot appel à des phrases atifiées Ue site pet être mootoe à partir d certai idice 3 ) Méthodes d étde d ses de variatio d e site f croissate croissate f décroissate décroissate V Sites arithméties et géométries ) Tablea de formles Méthode par comparaiso directe Méthode par différece Méthode par otiet Méthode par étde de foctio Méthode por les sites arithméties et les sites géométries Méthode par récrrece O pose o 4 ) Bêtises à e pas faire Pricipe O compare et e tilisat les théorèmes de ragemet O étdie le sige de la différece Lorse tos les termes sot strictemet positifs, o pet comparer à Si, alors est croissate Si, alors est décroissate Lorse f où f est e foctio défiie sr +, o pet étdier le ses de variatio de f sr + et e dédire celi de O pet tiliser les règles particlières i sot doées das le paragraphe sivat (par rapport à la raiso) P : P : Commetaires Utilisatio assez limitée ; por les sites défiies par e formle explicite simple Il fat d abord vérifier e tos les termes sot de sige positif - Il fat coaître la foctio (foctio associée à la site) - Pas por les sites défiies par récrrece (voir remare das le 5 )) - Voir pls tard le chapitre sr le raisoemet par récrrece - Pratie por les sites défiies par récrrece Relatio de récrrece / Relatio etre dex termes elcoes d idices et p Sommes de termes coséctifs Formles sommatoires Ses de variatio (mootoie) r Sites arithméties raiso arithmétie (ombre fixé) p r p (e particlier por p et p r r ) Somme des termes ombre de termes er derier (ombre de termes moyee des termes extrêmes) r site strictemet croissate r site strictemet décroissate r site costate Sites géométries raiso géométrie (ombre fixé) p p Somme des termes er terme ombre de termes site strictemet décroissate site strictemet croissate site o mootoe site strictemet croissate site strictemet décroissate site o mootoe (cotraire das les dex premiers cas) Pas de tablea de variatio por les sites Ne pas dire «croissate sr» mais «croissate à partir de l idice» Ue site arithmétie est tojors mootoe Ue site géométrie de er terme différet de est mootoe si et selemet si Pas de dérivée de site doé f Le ses de variatio de f e doe pas celi de 5 6

4 ) Complémet : ombre de termes d e somme p p p termes Exemples : termes termes Applicatios : si est e SA : termes termes si est e SG de raiso : termes termes 4 ) Représetatio graphie Les poits de la représetatio graphie (age de poits) d e SA sot aligés sr e même droite Cette propriété caractérise les SA VI Sites périodies ) Défiitio O dit e site est périodie lors il existe etier p tel e p Le pls petit etier atrel p i vérifie la propriété est appelé la période de la site ) Exemple est la site défiie sr par (calcl sr les idices) VII Sites majorées, miorées, borées 3 ) Recoaître e SA o e SG ère méthode r o o r SA de raiso r SG de raiso La méthode par otiet écessite d avoir motré préalablemet e tos les termes de la site sot o ls ce i est pas tojors possible o ce i est parfois difficile e méthode a b SA de raiso b a b SG de raiso b 3 ) Idetités algébries : formles sommatoires à coaître Somme des premiers etiers atrels (SA) ( ) Somme des pissaces coséctives d même ombre différet de (SG) ) Défiitio est e site O dit e est majorée por exprimer il existe réel M tel e majorat de la site) O dit e est miorée por exprimer il existe réel m tel e miorat de la site) O dit e est borée por exprimer il existe dex réels m et M tel e ) Exercice est la site défiie sr par Démotrer e est borée Méthode : Il fat démotrer il existe dex réels m et M tels e Atremet dit, il fat ecadrer par dex ombres fixes Exploratio mérie : O pet chercher e calclat les premiers termes por avoir e idée ,, 3, 4, semble miorée par et majorée par 3 m M M (M est m (m est m M 7 8

5 Démostratio : Mioratio : Doc est miorée par ( est miorat de la site ;,5,,,,33 Majoratio : 3 Doc est majorée par 3 (3 est majorat de la site) Bila : 3 Doc la site est borée 3 ) Propriété (évidete) Tote site croissate est miorée par so premier terme Tote site décroissate est majorée par so premier terme 4 ) Méthodes por démotrer e site est miorée o majorée Por démotrer ombre m est miorat d e site : Méthode par comparaiso directe Pricipe O compare et m e tilisat les théorèmes de ragemet Méthode par différece O étdie le sige de la différece m et o motre e cette différece est positive o lle por tot etier atrel Méthode par récrrece O pose par exemple P : «m» Méthode par mioratio d e somme Voir pls tard Commetaires - Utilisatio lorse la site est défiie par e formle explicite - O tilise les théorèmes de ragemet - Pas tojors possible Assez commode e pratie lorse la site est défiie par e formle explicite Commode lorse la site est défiie par récrrece Voir pls tard Utilisatio por e site défiie sos forme d e somme Les mêmes méthodes s adaptet por démotrer ombre M est majorat d e site 5 ) Remare Ue site dot tos les termes sot positifs o ls est miorée par Ue site dot tos les termes sot égatifs o ls est majorée par 9 VIII Bila ) Q est-ce étdier e site? L étde d e site pet cosister à démotrer : e site est défiie calcler explicitemet le terme gééral étdier la mootoie étdier la covergece (voir pls tard) ) Otils d étde d e site - otils méries - otils graphies Avec tilisatio de la calclatrice (voir Appedice) o d tabler por programmer le calcl des termes et faire des représetatios graphies Sr tabler, o pet représeter age de poits IX Appedice : tilisatio de la calclatrice por les sites méries ) Por détermier les termes d e site récrrete TI 83 MODE (Se o Sit) ENTER d QUIT Y= Mi : premier idice d 7 por taper : Toche X, T,, por (Mi) : première valer de ) Por représeter e site TI 83 WINDOW Régler la feêtre d ZOOM (FORMAT) Time ENTER GRAPH Se placer e mode «site» Éditer la site Par exemple, soit la site défiie par : 4 3et et o TI : attetio, est oté exprime e foctio de Casio: o choisit d'abord le type de site à eregistrer La site est otée a Por calcler des valers TI : régler la table (TblSet) et l'afficher (Table) Casio : régler les paramètres de la Table Sr TI, les valers pevet être obtees directemet sr l'écra de calcl : (5) affiche 5 Casio Graph 35 MENU 8 (RECUR) F3 (TYPE) F ( a ) Por taper a o, F4 pis F o F F5 (RANG) (Start) EXE (Ed) EXE 3 a ) EXE ( Régler la feêtre d'affichage TI : Mi et Max sot les idices des premier et derier terme, PlotStart, l'idice d premier terme à tracer, PlotStep, le pas etre dex valers de Faire tracer le age de poits e appyat sr TRACE Casio Graph 35 SHIFT F3 (V-Widows) Régler la feêtre Retorer à la table, F6 (TABL) F6 (G-PLT)

6 IX Sommes : écritre avec le symbole ) Objectifs - modalité d écritre - commet o développe ) Exemple k5 k k Compredre e l o part de et e l o va js à 5 3 ) Exemple k k k O est obligé d écrire la somme avec des petits poits