Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales généralisées

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1 Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles générlisées C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 24

2 Pln 1 Définitions et premières propriétés Intégrles en dehors du cdre des intégrles simples Définition des intégrles générlisées Intégrles de Riemnn Propriétés immédites 2 Convergence bsolue Intégrles de fonctions positives Absolue convergence C. Mugis-Rbusseu (INSA) 2 / 24

3 Sommire 1 Définitions et premières propriétés Intégrles en dehors du cdre des intégrles simples Définition des intégrles générlisées Intégrles de Riemnn Propriétés immédites 2 Convergence bsolue Intégrles de fonctions positives Absolue convergence C. Mugis-Rbusseu (INSA) 3 / 24

4 Introduction On veut définir l intégrle d une fonction f, définie suf u plus en un nombre fini de points d un intervlle I, dns les cs suivnts : l intervlle d intégrtion I est non borné : I = ], + [ ou I est une demi-droite, l fonction f ne reste ps bornée lorsque I, le point pouvnt être à l intérieur de I ou une etrémité de I. Grâce à l reltion de Chsles, on se rmène toujours à l une des deu situtions suivntes : 1 l intervlle I est de l forme [, + [ ou I = ], ], R ; 2 l un des cs suivnts : I =], b] et f () ne reste ps bornée lorsque ou I = [, b[ et f () ne reste ps bornée lorsque b C. Mugis-Rbusseu (INSA) 4 / 24

5 Introduction Les secondes situtions de (1) et (2) se tritent ectement comme les premières. Nous llons donc eminer celles-ci, les dpttions étnt immédites pour les cs I =], ] et I = [, b[ et f () ne reste ps bornée lorsque b. L figure suivnte donne les deu cs génériques qui ne rentrent ps dns le crde des intégrles simples. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 5 / 24

6 Définition Définition Soit f une fonction que l on veut intégrer sur I =], b], qui n est ps bornée lorsque : Si 1 l restriction de f sur tout intervlle [, b], vec ], b[, est intégrble : ], b[, f I([, b]) 2 ], b], F : f (t)dt dmet une limite finie l qund lors l intégrle générlisée f (t)dt est convergente. L limite l est ppelée intégrle générlisée (ou impropre) de f entre et b et notée f (t)dt = lim f (t)dt = lim F(). Dns le cs contrire, on dit que l intégrle est divergente. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 6 / 24

7 Définition Définition Soit f une fonction que l on veut intégrer sur I = [, + [ : Si 1 l restriction de f sur tout intervlle [, ], vec >, est intégrble : >, f I([, ]) 2 >, F : f (t)dt dmet une limite finie l qund + lors l intégrle générlisée f (t)dt est convergente. L limite l est ppelée intégrle générlisée (ou impropre) de f entre et b et notée f (t)dt = lim f (t)dt = + lim F(). + On dit que l intégrle est divergente si F() ne tend ps vers une limite finie lorsque +. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 7 / 24

8 Définition Remrque Pr commodité, on utilise souvent l nottion f () d ou f () d pour désigner une intégrle générlisée que l on veut clculer ou étudier même si on ne sit ps priori si elle est convergente. Eemple Étudiez l nture de d et d C. Mugis-Rbusseu (INSA) 8 / 24

9 Intégrles de Riemnn Proposition Pour tout réel > 0 : 0 1 d est convergente ssi α < 1. α 1 d est convergente ssi α > 1. α C. Mugis-Rbusseu (INSA) 9 / 24

10 Propriétés Proposition Pour tout c tel que < c < b, l intégrle générlisée f (t)dt, vec f non bornée lorsque, est convergente si et seulement si c f (t)dt est convergente et f (t)dt = c f (t)dt + f (t)dt. c On de même, pour tout c tel que c >, l intégrle générlisée + f (t)dt est convergente si et seulement si c f (t)dt est convergente et f (t)dt = c f (t)dt + c f (t)dt. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 10 / 24

11 Propriétés Proposition Soit f et g deu fonctions vérifint les conditions générles de l proposition précédente. Si f () d et g() d sont toutes les deu convergentes, pour tous réels λ et µ, l intégrle générlisée λf () + µg()d converge et on λf () + µg()d = λ f () d + µ g() d. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 11 / 24

12 Propriétés Proposition Si lim f () = l 0, l R lors f ()d diverge. + Remrque Attention, lim f () = 0 f (t)dt est convergente. + 1 Pr eemple : lim = 0 et pourtnt + dt t = ln() ln() + + donc 1 d diverge. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 12 / 24

13 Sommire 1 Définitions et premières propriétés Intégrles en dehors du cdre des intégrles simples Définition des intégrles générlisées Intégrles de Riemnn Propriétés immédites 2 Convergence bsolue Intégrles de fonctions positives Absolue convergence C. Mugis-Rbusseu (INSA) 13 / 24

14 Résultts pour fonctions positives Théorème 1 Soit f 0 sur D f ], b]. L intégrle générlisée f (t)dt CV M R, f (t)dt M, ], b]. 2 Soient f et g t.q. 0 f () g(), D f Dg ], b], lors si si g()d converge lors f ()d diverge lors f ()d converge. g()d diverge. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 14 / 24

15 Résultts pour fonctions positives Théorème 1 Soient f et g t.q f (), g() 0 pour tout D f Dg ], b] et f () lim = l R. Alors g() l > 0 f ()d et 2 En prticulier, si f () g() lors g()d sont de même nture. f ()d et g()d sont de même nture C. Mugis-Rbusseu (INSA) 15 / 24

16 Résultts pour fonctions positives Théorème 1 Soit f 0 sur D f [, + [. f (t)dt CV M R, 2 Soient f et g deu fonctions vérifint 0 f () g(), D f Dg [, + [, lors si si + g()d converge lors f ()d diverge lors + f (t)dt M, [, + [. f ()d converge. g()d diverge. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 16 / 24

17 Résultts pour fonctions positives Théorème 1 Soient f et g t.q f () et g() 0 pour tout D f Dg [, + [, f () et lim = l R. Alors + g() l > 0 f ()d et g()d sont de même nture 2 En prticulier, si f () + g() lors f ()d et g()d sont de même nture C. Mugis-Rbusseu (INSA) 17 / 24

18 Résultts pour fonctions positives Remrque Il est évident que si une fonction f est négtive lors f est positive et les intégrles f ()d et ( f )()d seront de même nture. Les résultts de ce prgrphe seront encore vlbles pour des fonctions négtives. Eemple Étudiez l nture de d α ln() vec > e, selon les vleurs de α. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 18 / 24

19 Convergence bsolue Théorème-Définition Si l intégrle générlisée f () d est convergente lors f ()d est convergente. On dit lors que l intégrle f ()d est bsolument convergente. Si l intégrle générlisée f () d est convergente lors f ()d est convergente. On dit lors que l intégrle f ()d est bsolument convergente. Eemple Étudiez l nture de 1 sin 2 d C. Mugis-Rbusseu (INSA) 19 / 24

20 Convergence bsolue Remrque Attention : une intégrle générlisée peut être convergente sns être bsolument convergente. On dit lors qu elle est semi-convergente. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 20 / 24

21 Eemple Considérons l intégrle générlisée 0 sin d. sin C est une intégrle simple u voisinge de = 0 cr lim = 1. 0 Le problème ne se pose qu u voisinge de l infini. Comme l convergence de l intégrle ne dépend ps de l borne = 0, on v étudier celle de sin d pour ne ps introduire une difficulté qui n en est ps. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 21 / 24

22 Eemple On regrde d bord si cette intégrle est bsolument convergente. Comme sin 1, on sin 2 sin. Mis sin 2 = sin 2 = (1 cos(2))/2 et donc sin 2 d = d 1 2 cos(2) d. On clcule l 1 ère intégrle et on intègre pr prties l seconde sin 2 ( sin (2) d = 1 2 ln (/) ) sin (2) 2 d. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 22 / 24

23 Eemple sin (2) Comme 2 convergente et donc Il vient donc lim + 1 2, l intégrle sin (2) 2 dest bsolument sin (2) + sin (2) lim + 2 d = 2 d R. sin 2 d = sin (2) 2 d = +. Des critères de comprison pour les fonctions positives, on déduit que sin d est divergente et donc 0 sin d n est ps bsolument convergente. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 23 / 24

24 Eemple On regrde mintennt si IPP : sin d = sin d est convergente. [ cos ] = = cos 2 d. Comme cos / 2 1/ 2, l intégrle correspondnte est bsolument + sin convergente. Il en résulte que d est convergente et Ainsi, 0 sin d = 1 cos 2 d. sin d n est ps bsolument convergente mis converge. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 24 / 24

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