Soit f une fonction dérivable sur R dont le tableau de variations est donné ci-dessous où a et b désignent deux réels.

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1 Métropole septembre 0 EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats Soit f e foctio dérivable sr dot le tablea de variatios est doé ci-dessos où a et b désiget de réels a + b f () Détermier le sige de f () selo les valers de Das le pla mi d repère orthoormé ( O ; i, j ), o a tracé de corbes C et C Elles copet l ae des ordoées a poits A et B d ordoées et respectivemet L e de ces corbes est la corbe représetative de la foctio dérivée f de f et l atre la corbe représetative d e primitive F de la foctio f sr a Idiqer laqelle de ces de corbes est la corbe représetative de la foctio f Jstifier la répose b À l aide des corbes C et C, prover qe < a < et b > 0 Das cette qestio, o admet qe la foctio f est telle qe, por tot réel, f () f () = a Détermier e foctio affie g telle qe por tot réel, g () g () = b Démotrer qe la foctio f g est e soltio de l éqatio différetielle y = y c ésodre cette éqatio différetielle et e dédire l eistece d réel k tel qe por tot réel, f () = d E tilisat les coordoées des poits A et B, détermier les foctios f et F aisi qe les réels a et b k e EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats Les qestios et sot idépedates Ue re cotiet qatre boles roges et de boles oires idiscerables a tocher O prélève a hasard e bole de l re Si elle est roge, o la remet das l re et o prélève a hasard e secode bole Si la première bole est oire, o prélève a hasard e secode bole das l re sas remettre la bole tirée a Qelle est la probabilité qe les boles tirées soiet roges? b Calcler la probabilité qe la secode bole tirée soit oire Calcler la probabilité qe la première bole soit roge sachat qe la secode est oire Soit etier atrel spérier o égal à Ue re cotiet qatre boles roges et boles oires idiscerables a tocher O prélève sccessivemet et a hasard qatre boles de l re e remettat das l re la bole tirée après chaqe tirage La variable aléatoire X doat le ombre de boles roges tirées a cors de ces qatre tirages sit la loi biomiale de paramètres et p a Doer l epressio de p e foctio de b Démotrer qe la probabilité q qe l e a mois des qatre boles tirées soit oire est telle qe q = c Qel est le pls petit etier atrel por leqel la probabilité q est spériere o égale à 0,999 9? Métropole septembre 0

2 EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats L objet de cet eercice est d étdier la site ( ) défiie sr N par 0 = et por tot etier atrel, + = 7 O porra tiliser sas démostratio le fait qe por tot etier atrel, > 0 O désige par f la foctio défiie sr l itervalle ] 0 ; + [ par : f () = 7 Démotrer qe la foctio f admet miimm E dédire qe por tot etier atrel, 7 a Soit etier atrel qelcoqe Étdier le sige de + b Porqoi pet-o e dédire qe la site ( ) est covergete? c O dédit de la relatio ( ) qe la limite l de cette site est telle qe : l = 7 Démotrer qe por tot etier atrel, + 7 = ( 7 ) O défiit la site (d ) par : d 0 = et por tot etier atrel, d + = a Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel, 7 d b Voici algorithme : E etrat la valer 9, l algorithme affiche le ombre 5 Qelle iégalité pet-o e dédire por d 5? Jstifier qe 5 est e valer approchée de d Variables : et p sot des etiers atrels d est réel Etrée : Demader à l tilisater la valer de p Iitialisatios : Affecter à d la valer Affecter à la valer 0 Traitemet : Tat qe d > 0 p Affecter à d la valer 0,5 d Affecter à la valer + Sortie : Afficher 7 à 0 9 près Détermier l (*) EXECICE 5 poits Cadidats ayat pas sivi l eseigemet de spécialité Les ciq qestios sot idépedates Por chaqe qestio, e affirmatio est proposée Idiqer si elle est vraie o si elle est fasse e jstifiat la répose U poit sera attribé por chaqe répose correctemet jstifiée Ac poit e sera attribé à e répose o jstifiée Le pla complee est mi d repère orthoormé direct ( O ;, v ) L esemble des poits M d affie z telle qe z + i = z + i est e droite passat par le poit H d affie i O ote A, B et C les poits d affies respectives i, + i et i L image d poit B par l homothétie de cetre A et de rapport est le poit C Soit f la trasformatio complee qi à tot poit M d affie z associe le poit M d affie z telle qe z = L image d e droite d d pla par la trasformatio f est e droite qi est perpediclaire à la droite d Por les qestios sivates, l espace est rapporté à repère orthoormé ( O ; i, j, k ) ( i ) z t Soit P le pla d éqatio + y 7 = 0 et D la droite dot e représetatio paramétriqe est : y t, t z t La droite D est parallèle a pla P 5 Soiet P le pla d éqatio + y z + = 0 et A le poit de coordoées ( ; ; ) La sphère S de cetre A et de rayo est sécate a pla P Métropole septembre 0

3 EXECICE 5 poits Cadidats ayat sivi l eseigemet de spécialité Les ciq qestios sot idépedates Por chaqe qestio, e affirmatio est proposée Idiqer si elle est vraie o si elle est fasse e jstifiat la répose U poit sera attribé por chaqe répose correctemet jstifiée Ac poit e sera attribé à e répose o jstifiée Soit (E) y =, où et y sot des etiers relatifs Les sels coples qi sot soltios de l éqatio (E) sot les coples (8 k +, 5 k ) où k est etier relatif Le reste de la divisio eclidiee de 0 par 7 est égal à 6 Por les qestios sivates, le pla est mi d repère orthoormé direct ( O ;, v ) O ote A le poit d affie i et B l image d poit A par la rotatio de cetre O et d agle Le poit C est le milie d segmet [AB] Le poit C est l image d poit O par la similitde directe de cetre A, de rapport et d agle Soit f la similitde directe qi à tot poit M d affie z associe le poit M d affie z telle qe z = ( + i ) z La trasformatio composée f f trasforme la droite (AB) e e droite qi est perpediclaire à (AB) 5 La trasformatio complee qi à tot poit M d affie z associe le poit M d affie z telle qe z = ( i ) z + i, est la similitde directe de cetre A, de rapport et d agle Métropole septembre 0

4 COECTION EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats f est croissate sr ] ; a] doc por tot de ] ; a], f () 0 f est décroissate sr [a ; + [ doc por tot de [a ; + [, f () 0 a b f () a por tot de ] ; a], f () 0, et por tot de [a ; + [, f () 0 doc la corbe C représete la foctio f b f s ale e a or la corbe C cope l ae des abscisses e poit d abscisse comprise etre et doc < a < C représete e primitive F de la foctio f doc F = f et le coefficiet directer de la tagete à C a poit d abscisse a est f (a) or la tagete à C a poit d abscisse a, a e coefficiet directer strictemet positif doc f (a) > 0 doc b > 0 Das cette qestio, o admet qe la foctio f est telle qe, por tot réel, f () f () = a g est e foctio affie g doc il eiste de réels m et p tels qe por tot réel, g() = m + p g vérifie por tot réel, g () g () = doc por tot réel, (m + p) m = (m ) = m p ceci doit être vrai por tot réel doc m = 0 et m p = 0 soit m = et p = doc g() = + b (f g) () (f g) () = f () f () g () + g() (f g) () (f g) () = [ f () f ()] + [ g () g()] la foctio f est telle qe, por tot réel, f () f () = la foctio g est telle qe, por tot réel, g () g () = doc par différece membre à membre : (f g) () (f g) () = soit (f g) () (f g) () = 0 doc por tot réel (f g) () = (f g) () la foctio f g est e soltio de l éqatio différetielle y = y c l éqatio différetielle y = y a por soltios les foctios de la forme y = k e où k doc por tot réel, f () g () = k e soit f () = k e + + d f () = k e + or f (0) = doc k e doc f () = e f () = e + doc f () = 0 e + = 0 = l doc = l doc a = l b = f (a) = e a + a + = + l + doc b = l F() = e k F(0) = doc e k = doc k = 0 F() = e = soit k = e = Métropole septembre 0

5 EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats a La probabilité qe les boles tirées soiet roges est p = 5 5 b Si la secode bole tirée est oire, o a de cas : la première bole tirée est roge ( ) et la secode est oire ( la première bole tirée est oire ( ) et la secode est oire ( ) La probabilité qe la secode bole tirée soit oire est : p = p( ) + p( ) = La probabilité qe la première bole soit roge sachat qe la secode est oire est p = p ( ) p ( ) 5 = 8 5 Soit etier atrel spérier o égal à Ue re cotiet qatre boles roges et boles oires idiscerables a tocher O prélève sccessivemet et a hasard qatre boles de l re e remettat das l re la bole tirée après chaqe tirage La variable aléatoire X doat le ombre de boles roges tirées a cors de ces qatre tirages sit la loi biomiale de paramètres et p a p est la probabilité q e bole tirée parmi + boles soit roge doc p = b la probabilité q q ac des qatre boles tirées soit oire est la probabilité d avoir boles roges doc p soit La probabilité q qe l e a mois des qatre boles tirées soit oire est q = p = c Qel est le pls petit etier atrel por leqel la probabilité q est spériere o égale à 0,999 9? 0,9999 0, ,000 ) OU Métropole septembre 0 5

6 EXECICE 5 poits Comm à tos les cadidats 7 7 f () = 7 = 0 = 7 o = f () 0 f 7 f est décroissate sr ] 0 ; 7 ] et croissate sr [ 7 ; + [ doc f admet miimm e 7 et ce miimm est égal à f ( 7 ) = 7 Por tot > 0, f () 7 Motros par récrrece qe por tot etier atrel, 7 0 = doc 0 7, la propriété est vérifiée por = 0 Motros qe la propriété est héréditaire c est-à-dire qe por tot etier atrel, si 7 alors alors f ( ) 7 doc + 7 La propriété est héréditaire doc por tot etier atrel, 7 a + = or por tot etier atrel, > 7 doc décroissate 7 < 0 doc + < 0, la site ( ) est b la site ( ) est décroissate, miorée par 7 doc est covergete et soit l sa limite alors l 7 c = 7 doc = + 7 = 7 = 7 o = 7 l est soltio de = 7 et l 7 doc l = 7 por tot etier atrel, + 7 = = 7 7 doc + 7 = a Motros par récrrece qe por tot etier atrel, 7 d d 0 = et 0 7 = 7 or 7 0,5 doc d 0 La propriété est vérifiée por = 0 ( 7 ) Motros qe la propriété est héréditaire c est-à-dire qe por tot etier atrel, si 7 d alors + 7 d = ( 7 ) 0 7 d doc doc = ( 7 ) ( 7 ) d d doc + 7 d 7 or 7 doc por tot, d 0 doc + 7 d d La propriété est héréditaire doc por tot etier atrel, 7 d Métropole septembre 0 6

7 b d test d algorithme 0 d 0 d 0 > 0 9 0,5 d 0 l algorithme cotie d d > 0 9 0,5 d l algorithme cotie d 0 d > 0 9 0,5 d l algorithme cotie d d > 0 9 0,5 d l algorithme cotie d d > 0 9 0,5 d 5 l algorithme cotie 5 d 5 d 5 < 0 9 l algorithme s arrête E etrat la valer 9, l algorithme affiche le ombre 5, alors d por tot etier atrel, 0 7 d doc por = 5, d est e valer approchée de 7 à 0 9 près Métropole septembre 0 7

8 EXECICE 5 poits o spécialité Affirmatio vraie Soit A le poit d affie a = i et B le poit d affie b = + i alors z + i = z + i z a = z b MA = MB L esemble des poits M d affie z telle qe z + i = z + i est la médiatrice de [AB] Si z = i : z + i = i + i = + 7 i = 7 65 z + i = i + i = 8 + i = doc si z = i, z + i = z + i H appartiet à la médiatrice de [AB] 8 65 Affirmatio fasse AC a por affie i ( i ) = + i AB a por affie + i ( i ) = + i AC AB doc l image d poit B par l homothétie de cetre A et de rapport est pas le poit C Affirmatio fasse z = ( i ) z = i i z = e z f est la rotatio de cetre O d agle doc f trasforme tote droite d d pla e e droite faisat agle de avec d Atre soltio Soit A le poit d affie, la droite (OA) est l ae des réels (OA) est trasformée par f e la droite (OA ) où A = f (A) A a por affie ( i ) A appartiet pas à l ae des imagiaires prs doc la droite (OA) est pas trasformée par f e e droite perpediclaire Affirmatio vraie U vecter ormal a pla P est le vecter ( ; ; 0 ) U vecter directer de la droite D est le vecter ( ; ; ) = ( ) = 0 doc est orthogoale à La droite D est parallèle a pla P Atre soltio : rechercher les poits d itersectio de D et de P Soit M poit de D, M a por coordoées ( t ; + t ; t) M appartiet à D si et selemet si + y 7 = 0 ( t) + + t 7 = 0 6 t + + t 7 = 0 0 = 0 Tot poit M de D appartiet à P doc D est cotee das P doc la droite D est parallèle a pla P 5 Affirmatio vraie La sphère S de cetre A et de rayo est sécate a pla P si et selemet si la distace d cetre de la sphère a pla P est ifériere a rayo de la sphère doc à ( ) 8 d(a ; P) = or d < doc La sphère S de cetre A et de rayo est sécate a pla P 6 Métropole septembre 0 8

9 EXECICE 5 poits spécialité Affirmatio fasse Cotre eemple : ( 7 ) = 5 = or il eiste pas d etier k tel qe 9 = 8 k + doc l affirmatio est fasse Atre soltio : 5 6 y doc par différece terme à terme : ( 9 ) + 6 ( y + 7 ) = 0 doc 5 ( 9 ) = 6 ( y + 7 ) y + 7 est etier doc 6 divise 5 ( 9 ) 5 et 6 sot premiers etre e doc 6 divise 9 doc il eiste etier k tel qe 9 = 6 k E remplaçat 9 par 6 k das 5 ( 9 ) = 6 ( y + 7 ) alors y + 7 = 5 k doc = 6 k + 9 et y = 5 k 7 Vérificatio : si = 6 k + 9 et y = 5 k 7 alors y = doc les soltios de y = sot les coples (6 k +, 5 k ) où k est etier relatif Les coples soltios doés correspodet à k de la forme + Affirmatio fasse 0 = Le reste de la divisio eclidiee de 0 par 7 est égal à Affirmatio fasse B est l image d poit A par la rotatio de cetre O et d agle doc le triagle OAB B est triagle direct, rectagle isocèle e O C est le milie de l hypotése [AB] doc le triagle OAC est triagle direct, rectagle isocèle e C A partir de là, possibilités : Possibilité : C est l image d poit O par la similitde directe de cetre A, de rapport et d agle Possibilité : AB = OA doc AC = est fasse Possibilité : AO, AC OA doc AC AO doc l affirmatio est fasse doc l affirmatio O o C A Affirmatio vraie i + i = e doc f est la similitde directe de cetre O de rapport d agle f f est doc la similitde directe de cetre O de rapport d agle e e droite perpediclaire 5 Affirmatio fasse ( i ) ( i ) + i = i i + i doc ( i ) ( i ) + i = 5 i si z = i alors ( i ) z + i z doc A est pas le cetre de la similitde Cetre de la similitde : ( i ) z + i = z i z + i = 0 i z = + i z = ( + i ) i z = + i ( i ) = e i + soit doc f f trasforme tote droite doc la trasformatio complee qi à tot poit M d affie z associe le poit M d affie z telle qe z = ( i ) z + i, est la similitde directe de cetre ( + i ) de rapport et d agle Métropole septembre 0 9