Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006

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1 Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent eposé n ps pour voction de présenter l théorie de l nlyse des données pr régression u sens sttistique du terme. Pour cel nous renvoyons u nombreu ouvrges rédigés pr les sttisticiens eu-mêmes. Le but recherché ici est de proposer des eemples concrets de tritement ynt fit ppel à l nlyse pr régression linéire multiple selon différentes logiques priori éloignées les unes des utres. Nous verrons successivement comment l méthode des régressions linéires multiples permet : - d nlyser les liens entre une vrible dépendnte quntittive à epliquer et plusieurs vribles quntittives eplictives indépendntes comme on l dmet générlement ; - de déterminer les équtions d un justement polynomil non-linéire pour l nlyse des liens entre deu vribles quntittives ; - de déterminer les équtions de surfces de tendnces ; - d nlyser l rugosité du relief ; - de déterminer les équtions polynomiles d un modèle de correction géométrique pplicble à des vecteurs et/ou des données rster.. RÉGRESSION LINÉAIRE : LES PRINCIPES L nlyse descriptive des données repose sur une démrche en plusieurs étpes. On définit tout d bord les crctéristiques des vribles prises une à une (nlyse univriée ou tri à plt), puis on observe les liens qui les crctérisent deu pr deu (nlyse bivriée ou tri

2 croisée) pour finir pr l observtion des structures multiples lint plusieurs vribles (nlyse multivriée). On distingue lors deu fmilles principles, l première consiste à observer les liens unissnt une vrible vec plusieurs utres ( n), l seconde considère simultnément les structures multiples lint différentes vribles (n n, nlyse fctorielle). Selon l nture des vribles retenues les méthodes de clcul seront différentes mis l logique reste l même. L nlyse pr régression linéire multiple est une des solutions qui eiste pour observer les liens entre une vrible quntittive dépendnte et n vribles quntittives indépendntes. Toutes méthodes fisnt ppel u régressions reposent sur l ccepttion des hypothèses fondtrices de l sttistique prmétrique et l notion d justement pr les moindres crrés. L moyenne rithmétique d une vrible est pr conséquent considérée comme un centre de grvité et l notion des moindres crrés consiste à minimiser l somme des résidus élevés à l puissnce deu entre l vleur observée et celle etrpolée... Régression linéire simple Un eemple simple d justement pr les moindres crrés est donné pr l nlyse bivriée de vribles quntittives qui peut se simplifier pr le clcul des vrinces et de l covrince des deu vribles X et Y retenues. L vrince répond à l formule suivnte : où : n, nombre d individus i, vleur de l vrible pour l individu i, moyenne rithmétique de l vrible Pour simplifier à l etrême, l sttistique prmétrique repose sur l hypothèse que les données sont des vribles indépendntes distribuées selon une loi normle.

3 L covrince considère les vritions communes des deu vribles selon l formule : CovXY N n ( i ) * ( yi y) i où : n, nombre d individus i, vleur de l vrible pour l individu i, moyenne rithmétique de l vrible y i, vleur de l vrible pour l individu i y, moyenne rithmétique de l vrible y Enfin, le coefficient de corréltion est donné pr l formule : Ceof. cor CovXY VrX * VrY Le coefficient de corréltion correspond u cosinus de l ngle formé entre deu droites de régression se croisnt u coordonnées des moyennes rithmétiques des deu vribles observées (centre de grvité supposé). On définit donc deu droites répondnt chcune à une éqution ffine :

4 ' ' b X Y et b Y X X et Y étnt les vleurs estimées à prtir des vleurs observées X et Y. Dns le cs de l nlyse bivriée, les coefficients des équtions sont fcilement donnés pr : ( )( ) ( ) n i i n i i i y y ( )( ) ( ) n i i n i i i y y y y y b y b Prenons comme eemple l mtrice théorique suivnte (tble A) :

5 id X Y X' Y' X-moyX Y-moyY (X-moyX)² (Y-moyY)² (X-moyX)(Y-moyY) Tble A : Eemple théorique Le coefficient de corréltion est de , les équtions sont : Y X (en june) et X Y.497 (en mgent) L somme des crrés des écrts entre les vleurs observées et celles théoriques est ici minimle pour les deu droites de régression, ce qui correspond à l justement pr les moindres crrés. Notons que ces écrts sont ppelés résidus et qu ils sont perpendiculires (c est-à-dire indépendnts d un point de vue mthémtique) à l e de l vrible eplictive dont les vleurs ne chngent ps pr définition (figure A8).

6 Moyenne X 6.77 Moyenne Y 9.66 Figure A8 : Les deu droites de régression et le coefficient de corréltion.. Régression linéire multiple L eemple développé à prtir de deu vribles permet de comprendre l logique de l théorie de l régression mis il ne peut être générlisé de l sorte u régressions multiples. Le système à deu équtions à deu inconnus présenté se résolvit fcilement comme on l vu. Les équtions se compliquent vec plusieurs régresseurs, deu méthodes distinctes permettent de résoudre les équtions. L première repose sur l connissnce des coefficients de corréltion linéire simple de toutes les pires de vribles entre elles, de l moyenne rithmétique et des écrts-types de toutes les vribles. L seconde repose sur des clculs mtriciels.... Les étpes de clcul fondé les vribles descriptives

7 Soit un ensemble de p vrible où l p-ième vrible est l vrible indépendnte. Toutes les vribles sont u prélble centrées-réduites. Soit r, r 3 r pp les coefficients de corréltions linéires des pires de vribles et s, s,, s p les écrts-types. Prenons un eemple vec p 4 soit 3 vribles dépendntes. Dns un premier temps on clcule les coefficients de régression linéire,, 3 en résolvnt un système de p- équtions à p- inconnues : r p r r 3 3 r p r r 3 3 r 3p 3 r 3 r 3 3 Pour résoudre ce système on procède pr substitutions successives : r p - r r 3 3 d où r p ( r * (r p - r r 3 3 )) r 3 3 r p - r r r 3p - r 3 r 3 3 Connissnt désormis les coefficients de régression on détermine ceu des vribles brutes :

8 Enfin, l constnte d justement est donnée en résolvnt l éqution pour l coordonnée à l origine : ε y 3 3 Le coefficient de détermintion multiple est donné pr : R p ' j r j jp Prenons grde u fit que ce coefficient dont les p- constituent en quelque sorte l contribution croît vec le nombre de vrible. Pr conséquent, ce comportement déterministe lié u propriétés des vribles létoires doit être compenser, on clcule lors le coefficient justé : ( n ) R justé ( R ) n ( p ) Où : n : nombre d individus On peut églement résoudre le système d équtions en prennt comme principe l justement pr les moindres crrés (Chdule) : n i ε min i Où : ε : vrince résiduelle

9 Les coefficients j sont lors etrits des équtions : Cov Cov Cov p, Vr Cov,... p Cov, p p, Cov, Vr... p Cov, p p, p Covp, Cov,... p Vrp Les p- coefficients sont ensuite obtenus pr résolution du système. Avec deu vribles eplictives X et X et une vrible à epliquer Y on pr eemple : ( VrX * Cov ) ( ) YX Cov * YX Cov XX ( Vr * Vr ) Cov X X XX σ Y * ( ryx ( r ) YX * r XX * ( r ) σ X XX ( VrX * Cov ) ( ) Y Cov * YX Cov XX ( Vr * Vr ) Cov X X XX σ Y * ( ryx ( r ) YX * r XX * ( r ) σ X XX Le coefficient de corréltion multiple est lors donnée pr : ( r r ( r * r * r ) YX YX R Y, XX YX r X X YX X X r YY '... L nottion mtricielle L éqution de type : est donnée sous form mtricielle pr :

10 y Xβ ε Où : y..., X y y y n y n, n,,..., n, n,,..., n β, β β, ε β 0 ε ε ε n ε... n Il s git dès lors de clculer le vecteur des estimteurs β ) défini pr l églité suivnte : ) β ( X * X ') X ' y En nottion mtricielle X signifie l mtrice X trnsposée et X - l mtrice inverse. Dns l eemple qui suit nous rélisons une régression multiple pour epliquer l huteur de neige en fonction de l ltitude, de l rugosité, de l pente, de l orienttion, de l ltitude et de l longitude (tble A). H_NEIGE vecteur ltitude rugosite pente orient. lt long

11 Tble A : Huteur de neige et vribles environnementles Le produit X X donne : D où (X X) - : Le produit X X est donnée pr l formule : Où : : mtrice résultt ; b et c : mtrices initiles ; i : lignes ; j : colonnes. Le produit d une mtrice de k lignes et l colonnes pr une mtrices de l lignes pr k colonnes donne une mtrice crrée de k lignes et colonnes. D où l mtrice crrée suivnte :

12 L inversion d une mtrice fit ppel à des notions de clculs mtriciels poussés que nous ne développerons ps ici. Retenons qu en théorie toute mtrice dont le déterminnt est non nul peut être inversée (règle de Crmer). D où dns notre eemple (X X) - : Et X y : Donc (X X )- X y donne les termes de l éqution multiple : Constnte : Altitude : Rugosité :.0379 Pente : Orienttion : Ltitude : 0.59 Longitude : 3.640

13 . EXEMPLES D APPLICATION L utilistion des régressions multiples dépsse lrgement le cdre clssique de l epliction d une vrible dépendnte à prtir de n vribles indépendntes comme on l dmet générlement. Nous verrons tout d bord un eemple ppliqué à l nlyse du trchome en fonction de prmètres biogéogrphiques pour illustrer cette pproche clssique. Trois utres eemples nous permettront d ller plus en vnt dns l ppliction des régressions multiples : l justement non linéire en nlyse bivriée ; l nlyse pr surfces de tendnce d un phénomène géogrphique et l définition des équtions d un modèle de correction géométrique... Indicteurs environnementu et Trchome Le trchome est une mldie contgieuse qui se trnsmet d enfnt à enfnt ou de mère à enfnt. L infection se mnifeste dès l première nnée et l prévlence ugmente très rpidement pour tteindre un mimum qui serit d utnt plus précoce que le niveu de l endémie est élevé. L prévlence du trchome ctif diminue ensuite progressivement et lisse plce à des lésions cictricielles dont l fréquence ugmente vec l âge. Il n y ps de différence de prévlence selon le see significtive dns l enfnce, pr contre à l âge dulte les femmes sont plus fréquemment tteintes du fit des contcts vec les enfnts, elles présenteront pr l suite plus fréquemment un entropion trichisis que les hommes. Le trchome ctif est crctérisé pr une inflmmtion de l conjonctive trsle supérieure vec envhissement de l cornée pr un voile vsculire (pnnus). Ce stde inflmmtoire représente l phse contgieuse de l mldie. L inflmmtion trchomteuse en milieu hyper-endémique persister quelques nnées vnt d évoluer vers l cictristion qui pourr se fire selon deu modlités :

14 - soit l infection est restée modérée et l évolution se fer vers l guérison spontnée u pri de quelques cictrices conjonctivles minimes sns conséquence fonctionnelles : c est le trchome cictriciel bénin. - soit l inflmmtion conjonctivle été intense et prolongée : l cictristion pourr lors dépsser son but et entrîner une fibrose rétrctile de l pupière supérieure. Il s git lors d un trchome cictriciel grve susceptible d boutir à une déformtion du trse vec dévition des cils vers l cornée rélisnt un entropion trichisis. Le frottement des cils à chque clignement entretien une érosion cornéenne prticulièrement douloureuse, fvorisnt une surinfection qui évoluer vers une cécité complète et irréversible pr opcifiction de l cornée. Une fois les lésions cictricielles constituées, le seul moyen d'méliorer le pronostic et si possible d empêcher l cécité est l chirurgie du trichisis : les techniques chirurgicles sont reltivement efficces et sûres, mis elles sont insuffismment diffusées et utilisées. C est l durée et surtout l intensité de l inflmmtion trchomteuse qui déterminent le risque de l évolution vers l cécité. Cette intensité est conditionnée pr deu fcteurs : les surinfections bctériennes et les réinfections. L plus grnde grvité des réinfections est epliquée pr un mécnisme combiné d hypersensibilité et d uto-immunité. Un certin nombre de fcteurs de risque ssociés u trchome ont été identifiés. Ces fcteurs sont individuels, comportementu, sociu et ussi environnementu. C'est insi que l difficulté d'ccès à l'eu, l'ccumultion d'ordures, l proimité vec le bétil et l pullultion des mouches fvorise l survenue d'un trchome. L influence de l géogrphie et du climt est évoquée depuis longtemps dns le complee pthogène du trchome. En zone intertropicle sèche, l diminution de l humidité tmosphérique dessèche les muqueuses conjonctivles et fvoriserit l infection pr les chlmydi. Les poussières pourrient jouer un rôle non négligeble en gressnt l conjonctive et l cornée. Pr illeurs en hiver, le froid nocturne ugmente l promiscuité dns les chmbres et fvoriserit l circultion interhumine du germe. Dns une étude épidémiologique Slim rpporte qu u Soudn l prévlence du trchome ctif est inversement corrélée vec l pluviométrie et l hygrométrie. Nous vons ussi observé dns l'enquête ntionle rélisée u Mli, que le trchome ctif étit plus fréquent dns les régions sèches du nord comme Go ou Tombouctou.

15 L eemple développé ci-dessous s inscrit pleinement dns l qutrième prtie de l ouvrge. Il s git de déterminer des fcteurs environnementu du risque u Mli.. Les données sont issues d une enquête biomédicle rélisée uprès de 000 personnes en Afrique de l ouest. Elles sont confrontés à différentes vribles environnementles susceptibles d être liées à l mldie : ltitude (LAT), longitude (LONG), pluviométrie (PLUVIO), tempérture moyenne nnuelle (TMOY) et hygrométrie (HYGRO) à prtir du fichier des villges. Ces vribles ont été récupérées dns le fichier des individus femmes. Les données mnquntes ont été etrpolées pr régression linéire multiple vec les vribles LAT et LONG. Les données sur le trchome sont qunt à elles : trchome ctif (TT), trchome ches les femmes (TF), trchome chez les enfnts (TI) et trchome suspecté (TS). L figure A9 présente les crtes des vribles environnementles retenues.

16 Figure A9 : Les vribles environnementles Pr régression linéire multiple, on clcule les degrés de liisons entre les tu de prévlence entre l ltitude, l longitude, l pluviométrie, l ltitude, l tempérture moyenne et l hygrométrie (tble ).

17 Tble A3 : Tbles des corréltions multiples Les coefficients de corréltion multiple sont donnés pr l tble XX. A titre indictif le cs présente les vleurs pour une régression n intégrnt que l ltitude et l longitude, le cs intègre toutes les vribles environnementles retenues. On constte que les corréltions obtenues sont toujours significtivement plus élevées dns l cs. Cs Cs TT TS TI TF O Tble A4 : Tu de corréltion multiple On peut dès lors envisger de produire des crtes de prédiction des tu de prévlence du trchome et des résidus connissnt les vribles environnementles. Les coefficients des équtions sont donnés pr l mtrice A5. TF (0.33) TI (0.3) TS (0.50) TT (0.45) Constnte LAT LONG PLUVIO E-05 ALT TMOY HYGRO Tble A5 : Coefficients de régression multiple

18 D où, pr eemple, pour TT : TT estimé ( * LAT) ( * LONG) (7.5743E-05 * PLUVIO) ( * ALT) ( * TMOY) ( * HYGRO) L figure A0 présente les crtes des vleurs estimées de prévlence de TT, TI, TF et TS. On constte bien évidemment des écrts entre l simultion et les vleurs mesurées dns les villges, le modèle n epliqunt que 40 % de l distribution. Une crte de tu de prévlence de TT obtenue pr interpoltion sptile inversement proportionnelle à l distnce - est présentée en vis-à-vis de celle issue de l modélistion pr régression multiple. Les deu documents sont très différents et l on pourr retenir que ce n est ps l proimité à un lieu crctérisé pr de fort tu qui eplique l réprtition sptile de TT. Figure A0 : Estimtion des tu de prévlence pr régression multiple

19 .. Ajustement non-linéire et régression multiple L eemple théorique développé en introduction montrit un nuge de points distribués de mnière non linéire, d où un fible coefficient de détermintion (0.53) obtenu à prtir d un justement linéire. Figure A : Ajustement linéire et non-linéire d ordre On voit bien sur l figure A que les points répondent à une distribution qui s ligne sur un morceu de prbole de type polynôme de degré : Y ' X X b

20 Il s git en fit d une régression linéire multiple à prtir d une même vrible X dont les termes sont élevés à l huteur du degré du polynôme selon l formule générique : Y ' X X... n X n ε Dns l eemple présenté plus hut, un justement d un degré permet d obtenir un coefficient de détermintion de l ordre de Lorsque les formes de l distribution sont plus complees, on peut élever encore l ordre du polynôme comme l illustre l figure A. Figure A : Ajustements non linéire d ordre 3 à 5 Lorsque l distribution ne suit ps une loi polynomile on peut observer les limites de l justement comme l illustre l figure ci-dessous. On peut lors voir recours, selon l

21 forme, à une trnsformtion logrithmique de l vrible X pour donner une éqution ffine de type (figure A3) : Y '.ln( X ) b Figure A3 : Ajustements polynomil et logrithmique

22 .3. Surfces de tendnces, régression multiple selon l ltitude et l longitude Lorsque les phénomènes étudiés sont fortement dépendnts de leur position géogrphique on recours u surfces de tendnces pour etrpoler à l ensemble de l espce des vleurs initilement observées ponctuellement. Prenons un eemple théorique d un phénomène mrqué pr un fort grdient sud ouest nord est comme l illustre les figures A4 et A5. Figure A4 : Crtogrmme d un grdient Une régression linéire multiple vec comme vribles indépendntes l ltitude et l longitude nous donne ici un coefficient de détermintion de et une éqution :

23 Connissnt l ltitude et l longitude on peut désormis etrpoler l vrible X à tout l espce géogrphique découpé en un millge plus ou moins fin. On obtient lors un pln de régression ou surfce de tendnce d ordre comme l illustre le schém suivnt : Figure A5 : Surfce de tendnce d ordre pln de régression On peut imginer isément une distribution géogrphique non linéire d un phénomène quelconque, une ondultion pr eemple comme l illustre les figures A6 et A7..

24 Figure A6 : Crtogrmme d une ondultion L justement d un pln de régression ne serit lors ps du tout représenttif, dns notre eemple le coefficient de détermintion est même nul. Comme on vit recours à des polynômes de degré n on peut envisger ici des surfces polynomiles de degré n. Pr eemple, l éqution d une surfce de degré est : Soit présentement un coefficient de détermintion de 0.95 et une éqution : On obtient lors l surfce suivnte :

25 Figure A7 : Surfce de tendnce d ordre Pour des distributions plus complees, on peut ugmenter le degré du polynôme, pr eemple une surfce de degré 3 comme l illustre les figures A8 et A9..

26 Figure A8 : Crtogrmme d une vgue Figure A9 : Surfce de tendnce d ordre 3

27 On tteint cependnt rpidement des limites eut égrd u nombre d inconnus dns le système d équtions à résoudre. Celui-ci est donné pr l formule : t Ninc où t, degré du polynôme. L éqution polynomile d ordre t se générlise ensuite selon : t i i j j j i k y Z 0 0 ' où j j i i k. Pour un polynôme de degré 3, l éqution générique est de l forme : ε ' Y XY Y X X Y XY X Y X Z Pour un polynôme de degré 4, elle devient : ε ' Y Y X Y X Y X X Y XY Y X X Y XY X Y X Z

28 Au-delà, le système d éqution à résoudre devient difficile à mettre en œuvre et, surtout, l surfce etrpolée ne représente plus un phénomène géogrphique fortement dépendnt de l ltitude et de l longitude. Nous verrons dns un cours conscré u vriogrmme et covriogrmme comment etrpoler des surfces qui mettent en vnt des cycles ou des phénomènes ponctuels..4. Anlyse du relief et indicteur de rugosité Un cs prticulier de d ppliction des surfces de tendnces, donc des régressions multiples, et celui de l nlyse de l «rugosité» du relief à prtir d un Modèle Numérique de Terrin (MNT). Un MNT est une bse de données rster composée de NC colonnes et NL lignes dont les milles renseignent sur l ltitude. Figure A0 : Filtre de rugosité du relief Afin d obtenir une informtion synthétique sur les formes locles du relief on fit glisser sur chque piel de l imge une fenêtre de n milles de côtés à l intérieur de lquelle on jsute une surfce de tendnce d ordre locle. L rugosité correspond à l écrt-type clculé sur les résidus entre les ltitudes du MNT et celles de l surfce de tendnce. Plus l vleur de l écrt-type est élevée plus le relief est loclement ccidenté (creu, bosses,

29 crêtes, tlwegs ) et inversement (pln d un versnt, d une pline ). L figure A0 illustre l méthode mise en œuvre. Sns prler de l résolution du MNT, le choi de l tille de l fenêtre repose sur le niveu d observtion ttendu pr l utilisteur. Une fenêtre de l ordre de 3 à 9 piels donner des indicteurs locu, ils seront plus globu u-delà. L figure A présente une vue où différentes rugosités ont été clculées selon qutre tilles de fenêtres. Les teintes du rose u mrron sont une grdtion des vleurs de rugosité, respectivement de l plus fible à l plus forte. Figure A : Rugosité et tille des piels.4. Régression multiple et géoréférencement Un dernier eemple d ppliction des régressions multiples est conscré à l présenttion des géoréférencements fondés sur un modèle polynomile. Le principe d un géoréférencement consiste à modifier les coordonnées d une imge ou d un vecteur pour l rendre comptible vec un utre système de coordonnées, en l occurrence celui d une crte. Pr eemple, le cdstre initilement levé pr tringultion géodésique sur le terrin doit être rectifié pour être comptible vec les crtes à grnde échelle de l IGN. De même, une photogrphie érienne et/ou une imge de stellite doivent être géoréférencées pour

30 épouser les formes de l crte. Nous verrons plus loin que si les équtions nécessires à de telles trnsformtions sont les mêmes pour les imges ou les vecteurs, leur mise en œuvre poser plus de problèmes pour les imges. À ce sujet, notons dès à présent qu une correction géométrique et un géoréférencement sont deu notions différentes trop souvent confondues. L première pour but de corriger l géométrie de l imge qui, à l étt brut, est très perturbée pr l combinison : - des écrts d ttitude du stellite (lcet, roulis et tngge) ; - des propriétés de l orbite, elles-mêmes fonction du géoïde ; - de l rotondité de l terre (déformtion pnormique) ; - de l vitesse de rottion de l terre ( km.h - à l équteur, soit 4.7 km prcourus pendnt les 9 s que durent l cquisition d une imge Spot, pr eemple) ; - de l ngle de prise de vue des piels composnts l imge ; - des erreurs de prlle dues à l forme du relief (corrigées en intégrnt les données d un MNT : orthorectifiction) ; - des erreurs liées à l optique du cpteur ; Figure A : Prise de points d ppui

31 Selon les cs et les moyens finnciers dont on dispose tout ou prtie de ces perturbtions seront corrigées. Très souvent, certines des corrections sont rélisées en même temps que le géoréférencement, d où l confusion citée plus hut. L mise en œuvre d un géoréférencement consiste à relever les coordonnées de points identifibles sur les deu documents en question, l crte de référence (ltitude et longitude) et l imge ou le vecteur (colonne et ligne) comme l illustre l figure A. Il est souhitble de réprtir u mieu les points sur l ensemble des zones en commun dns les deu documents. On obtient l mtrice de coordonnées suivnte :.

32 Un géoréférencement consiste à définir les termes de deu polynômes d justement de mnière à estimer les ltitudes et les longitudes observées à prtir des coordonnées lignes et colonnes du document à modifier. Pr eemple, pour un polynôme de degré : Lt ' Lon ' Lig * b Col ε Lig * b Col ε où Lt et Lon : l ltitude et l longitude estimées ; Lig et Col : les coordonnées en ligne et en colonne de l imge ou du vecteur; n, b n et ε n : les termes du polynôme. Notons qu un minimum de points de contrôle est à prendre en fonction du degré du polynôme, ce seuil répond à l formule : S ( t )( t ) où t, degré du polynôme. Le prllèle vec les surfces de tendnces présentées plus hut est évident et l on peut de l même mnière élever le degré des polynômes pour obtenir un meilleur justement. Notons cependnt que l fibilité du modèle n est plus estimée pr le coefficient de détermintion mis pr un incteur qudrtique moyen (Root Meu Squre ou RMS) donnnt les distnces entre l position observée et celle estimée : RMS n ' ' ( ltn ltn ) ( lonn lonn ) où n : numéro du point ; lt et lon : ltitude et longitude estimées ; lt et lon : ltitude et longitude observées.

33 Les lignes surlignées en couleur dns l mtrice indiquent des points berrnts qu il conviendrit d éliminer de l collection initile. Ces berrtions sont souvent dues à des erreurs de sisies ou à des muvises interpréttions entre l imge et l crte ou bien encore à grnde différence d échelle voire de qulité entre l imge et l crte. Après vérifiction de l qulité du modèle celui-ci est ppliqué à l imge pour obtenir une nouvelle imge désormis correctement géoréférencée comme l illustre l figure A3. Figure A3 : Imge corrigée et crte IGN Le géoréférencement fondé sur un modèle polynomile tteint rpidement ses limites puisqu il n intègre ps les ltitudes sources d importntes erreurs de prlle. Il est nénmoins fcile à mettre en œuvre et efficce vec des données vectorielles ou des imges de secteurs offrnt peu de dénivelé.

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