Chapitre V : Torsion simple.

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1 Torsion simple. Cours RD / A.U : Chapire V : Torsion simple. Objecifs Pré-requis Elémens de conenu Déerminer la répariion des conraines dans une secion de poure solliciée à la orsion. Vérifier la condiion de résisance pour une poure solliciée à la orsion. Dimensionner une poure soumise à une orsion. Torseur de cohésion. Conraine angenielle. Essai de orsion. Relaions : Conraine Déformaion / Conraine -momen de orsion. Condiions de résisance / de rigidié à la orsion. Concenraion de conraines. Cours résisance des maériau 31

2 Torsion simple. Cours RD / A.U : I. Inroducion : Définiion : Une poure es solliciée à la orsion simple si elle es soumise à deu couples de momens opposés porés par la ligne moyenne. Figure 5.1 : omens des acions eérieures appliqués à de la poure. La poure es supposée à secion circulaire consane e de poids négligé. Le orseur effors de cohésion à la secion droie () de cenre de surface es défini par : II. Essai de orsion simple : II.1. Principe : { τ } coh 0 = Une éprouvee cylindrique de révoluion es encasrée à son erémié (1) de cenre de gravié 1. On applique à l erémié droie sur la secion (2) de cenre de gravié 2 une acion mécanique modélisée en 2 par un orseur «couple» : {} τ 2 0 = 2 2 En faisan croîre =, on mesure les déformaions de la poure Cours résisance des maériau 32

3 Torsion simple. Cours RD / A.U : L Figure 5.2 : Illusraion de l essai de orsion simple. II.2. Résulas : Le déplacemen d une secion droie () es uniquemen une roaion d un angle α auour de son ae, e cee roaion es proporionnelle à sa disance par rappor à ( 1 ). On obien une courbe illusrée à la Figure 5.3 semblable à celle de l essai de racion : Figure 5.3 : courbe =f(α) Elle comprend une zone de déformaions élasiques où l angle de orsion α es proporionnel au momen de orsion. A parir du poin A les déformaions croissen rapidemen jusqu à avoir rupure de l éprouvee. III. Eude des déformaions : L essai monre que oue secion plane e normale à l ae du cylindre rese plane e normale à l ae e que la disance relaive enre deu secions rese sensiblemen consane. Toues les fibres se déformen donc suivan une hélice, sauf la ligne moyenne qui rese droie. α On consae que le rappor θ = rese oujours consan. Ce rappor es appelé angle uniaire de orsion [rad /mm]. α = Angle de roaion de la secion en rad. = Disance séparan à la secion de référence 0 en mm. Cours résisance des maériau 33

4 Torsion simple. Cours RD / A.U : IV. Eude des conraines : On considère un pei élémen de longueur d une fibre : Après déformaion, le poin 2 (Figure 5.2) siué à une disance du poin vien en 2, la générarice 12 subi alors une déviaion γ comparable à celle observée dans l éude du cisaillemen simple. la disance relaive enre deu secions rese consane au cours de la déformaion, donc l allongemen = 0, alors on peu écrire que la déformaion longiudinale ɛ=0, on adme donc que la composane normale nulle. = ρ y z τ τ mai τ mai () Figure 5.4 : Répariion des conraines au niveau de la secion. La loi de Hooke pour les conraines angenielles s eprime donc par : τ =. γ où es le module d élasicié ransversale ou module de Coulomb. α. ρ Comme l angle γ es pei : l arc 2 2 = αρ= γ., on aura γ = = θ. ρ La conraine angenielle s écri : τ =. θ.ρ τ : Conraine angenielle de orsion (en Pa) ρ : Disance du poin à la ligne neure ou ae de la pièce qui ne subi aucun effor (en mm) θ : Angle uniaire (en rad/ mm) : odule d élasicié ransversal ou module de coulomb (en Pa) Remarque : τ a es aeine pour les poins périphériques de la surface du solide els que ρ = R (Rayon) IV.1.Relaion enre conraine e momen de orsion : En un poin de la secion, Le veceur conraine s écri : C, Le momen de orsion es suivan l'ae (0, ) s'écri : = D'aure par = ^ C(, 2 2 ) d = r1^ θ r d = θ r d = θ r d ( ) =τ ( ) = θr Cours résisance des maériau 34

5 Torsion simple. Cours RD / A.U : r 2 d es par définiion le momen quadraique polaire de la surface par rappor à son cenre de gravié. Il es noé I qui dépend de la forme e des dimensions de cee secion. Figure 5.5 : omen quadraique polaire en foncion de la secion. La relaion enre le momen e la déformaion (équaion de déformaion) es: =θi z Il en découle τ ( ) = r ou τ ( ) I = I r La conraine maimale de orsion es obenue pour r=r : τ ma = I R : [N mm]; θ [rad/mm]; [pa] e I : [mm 4 ] V. Condiion de résisance: la conraine τma doi reser inférieure à la valeur de la conraine praique au glissemen Rpg, en adopan un coefficien de sécurié s el que Rpg = Re/s, où s dépend de l'applicaion. D'où la condiion de résisance d'une pièce en orsion : τ ma Rpg R Rpg I VI. Condiion de rigidié : Le calcul des dimensions des arbres de ransmission ou barres de orsion se fai plus par une condiion de déformaion qu une condiion de résisance. En effe pour assurer une ransmission rigide e évier les vibraions, l angle de orsion uniaire θ ne doi pas dépasser pendan le service, une valeur limie θ lim. D'où la condiion de rigidié d'une pièce en en orsion : I θ lim Cours résisance des maériau 35

6 Torsion simple. Cours RD / A.U : VII. Concenraion de conraines : En enan compe d un évenuel coefficien k de concenraion de conraines, La condiion de résisance s'écri : τ eff Rpg avec τ eff = Kτ hma ma ma Figure 5.6: Coefficien de concenraion de conraines K en Torsion simple. Cours résisance des maériau 36

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