Soit la fonction f définie sur ]2 ; 10] par 2

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1 T le ES 2 Chapitre 10 Convexité Exercice 1 : On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ; 4]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe C f représente la fonction f. Elle passe par les points B(0 ; 2) et A d abscisse 1. Elle admet au point A une tangente parallèle à l axe des abscisses. La tangente T à la courbe C f au point B passe par le point D(2 ; 0) et traverse la courbe en B. 1) En utilisant les données graphiques, indiquer : a) le nombre de solutions sur l intervalle [ 2 ; 4] de l équation f(x) = 1 et un encadrement d amplitude 0,5 des solutions éventuelles. b) la valeur de f ( 1). c) l équation de la tangente T. d) la valeur de f (0). e) le signe de la dérivée f de la fonction f sur l intervalle [ 2 ; 4]. f) si la courbe C f admet un point d inflexion. g) la convexité de la fonction f. 2) Parmi les 3 courbes suivantes, quelle est celle qui peut représenter la courbe de la dérivée f de f? Exercice 2 : Déterminer la convexité de la fonction f et l existence pour la courbe de f de points d inflexion. 1) f est une fonction dérivable sur [ 4 ; 7] 2) f est une fonction dérivable sur [ 2 ; 5] et telle que f admette le tableau de telle que f admette le tableau de variations: variations: Exercice 3 : Les affirmations sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse. 1) Si f est une fonction convexe et dérivable sur R, qui vérifie f (0)= 0, alors pour tout x 0, f (x) 0. 2) Si f est une fonction dérivable sur R qui vérifie f (x) = x 2 alors f est convexe sur R. 3) Toutes les fonctions convexes sur un intervalle I, dont la courbe est tangente à l axe des abscisses vérifient f(x) 0 pour tout réel x de I. 4) Si f est une fonction convexe sur R qui vérifie f(0) = 0, alors pour tout réel x positif, on a f(x) 0. Exercice 4 : f est la fonction définie sur R par f(x) = 1 3 x3-2 x On note C la courbe de la fonction f dans un repère orthogonal. 1) En utilisant la calculatrice et par lecture graphique indiquer la convexité de la fonction f suivant les valeurs de x. 2) En déduire, par lecture graphique, l existence d un point d inflexion pour la courbe C et le sens de variation de la dérivée f de la fonction f sur R. 3) a) Calculer la dérivée f. b) Etudier le signe de f sur R, puis dresser le tableau de variations de la fonction f. 4) a) Calculer la dérivée f de la fonction f. b) Etudier le signe de f sur R. 5) Indiquer le point d inflexion de la courbe de la fonction f. Exercice 5 : Soit la fonction f définie sur ]2 ; 10] par 2 f(x) = 3 x - x 2 On désigne par C f la courbe de la fonction f. En utilisant un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants : En déduire la convexité de la fonction f sur ]2 ; 10] Exercice 6 : Une entreprise fabrique un produit liquide, sa production peut varier de 0 à 15 hectolitres par jour. On suppose que tout le produit fabriqué est vendu. On note C(x) en milliers d euros, le coût moyen de fabrication d un hectolitre et P(x) le prix de vente d un hectolitre pour x hectolitres fabriqués. On suppose que C(x) = 0,5 x + 8 et que P(x) = - 0,8 x + 13 avec 0 x 15. x 1) Démontrer que C est une fonction convexe sur [0 ; 15]. 2) En déduire l intervalle dans lequel doit se situer x pour que l entreprise soit bénéficiaire. Exercice 7 : La courbe C ci-contre représente la fonction f définie sur R par f(x) = (ax + b) e x où a et b sont des nombres réels. La droite Δ est la tangente à la courbe C au point A d abscisse 0. Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3 ; 0). 1) a) Déterminer graphiquement f(0). b) Déterminer graphiquement f (0). c) La fonction f semble convexe sur [0 ; 6], en est-il ainsi? Justifiez sans calcul votre réponse. 2) a) Exprimer f (x) en fonction de a et b. b) A l aide des résultats des questions 1) a) et 1) b) déterminer a et b. 3) a) Calculer f (x). b) Indiquer l intervalle de R sur lequel f est convexe et celui sur lequel f est concave>4. 4) a) Justifier que C possède un point d inflexion b) Donner une équation de la tangente en ce point.

2 T le ES 2 Exercices BAC Convexité Exercice 1 : Sports nautiques Dans une entreprise, le coût total, exprimé en euros, réalisé en produisant x jets skis, est modélisé par la fonction C définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 100] par : C(x) = 0,06x 3 5x x orthogonal représentée ci-contre : 1) Quels sont les coûts fixes de production? 2) Par lecture graphique : a) Indiquer lorsque le coût total est inférieur à b) Conjecturer la convexité de la fonction C. c) La courbe admet-elle un point d inflexion? Si oui quel est son abscisse? d) Indiquer l abscisse pour laquelle le coût marginal est minimal. 3) Par le calcul : a) Déterminer l expression du coût marginal C m (x) en fonction de x sur [0 ; 100]. b) Dresser le tableau de variations de la fonction C m. c) En déduire la valeur pour laquelle le coût marginal est minimal. Exercice 2 : Cristallerie Dans une verrerie, le coût total, exprimé en milliers d euros, pour une production de x centaines de flacons en cristal, est modélisé par la fonction C définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 13] par C(x) = 0,012 x 3-0,18 x 2 + x + 1 orthogonal donnée ci-contre. 1) Par lecture graphique : a) Conjecturer la convexité de la fonction C. b) La courbe admet-elle un point d inflexion? Si oui, quelle est son abscisse? c) Indiquer l abscisse pour laquelle le coût marginal est minimal. 2) a) Dresser le tableau de variations de la fonction C sur [1 ; 13]. b) Pour quelles quantités le coût total est-il inférieur à euros? c) Démontrer que la courbe admet un point d inflexion. 3) On admet que le bénéfice réalisé est de 10 euros par flacons vendus. On note B(x), défini sur [1 ; 13] et exprimé en milliers d euros, le bénéfice réalisé en vendant x centaines de flacons en cristal. a) Vérifier que B(x) = 0,012 x 3 + 0,18 x 2 1 b) A l aide de la calculatrice, conjecturer pour quelles valeurs l entreprise a intérêt à produire et pour quelle valeur le bénéfice est maximal. c) Etudier le sens de variation de B et vérifier les conjectures émises précédemment. T le ES 2 Exercices BAC Convexité Exercice 1 : Sports nautiques Dans une entreprise, le coût total, exprimé en euros, réalisé en produisant x jets skis, est modélisé par la fonction C définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 100] par : C(x) = 0,06x 3 5x x orthogonal représentée ci-contre : 1) Quels sont les coûts fixes de production? 2) Par lecture graphique : a) Indiquer lorsque le coût total est inférieur à b) Conjecturer la convexité de la fonction C. c) La courbe admet-elle un point d inflexion? Si oui quel est son abscisse? d) Indiquer l abscisse pour laquelle le coût marginal est minimal. 3) Par le calcul : a) Déterminer l expression du coût marginal C m (x) en fonction de x sur [0 ; 100]. b) Dresser le tableau de variations de la fonction C m. c) En déduire la valeur pour laquelle le coût marginal est minimal. Exercice 2 : Cristallerie Dans une verrerie, le coût total, exprimé en milliers d euros, pour une production de x centaines de flacons en cristal, est modélisé par la fonction C définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 13] par C(x) = 0,012 x 3-0,18 x 2 + x + 1 orthogonal donnée ci-contre. 1) Par lecture graphique : a) Conjecturer la convexité de la fonction C. b) La courbe admet-elle un point d inflexion? Si oui, quelle est son abscisse? c) Indiquer l abscisse pour laquelle le coût marginal est minimal. 2) a) Dresser le tableau de variations de la fonction C sur [1 ; 13]. b) Pour quelles quantités le coût total est-il inférieur à euros? c) Démontrer que la courbe admet un point d inflexion. 3) On admet que le bénéfice réalisé est de 10 euros par flacons vendus. On note B(x), défini sur [1 ; 13] et exprimé en milliers d euros, le bénéfice réalisé en vendant x centaines de flacons en cristal. a) Vérifier que B(x) = 0,012 x 3 + 0,18 x 2 1 b) A l aide de la calculatrice, conjecturer pour quelles valeurs l entreprise a intérêt à produire et pour quelle valeur le bénéfice est maximal. c) Etudier le sens de variation de B et vérifier les conjectures émises précédemment.

3 Exercice 1 : Correction des exercices de la fiche sur le chapitre «Convexité» Exercice 4 : Exercice 3 : Exercice 5 :

4 Exercice 6 : Exercice 8 : Exercice 7 :

5 Exercice 9 :