La loi des sinus. Z, auctore. 22 février 2006

Transcription

1 L loi des sinus Z, utore février Nottions trditionnelles On rppelle ii les nottions générlement employées pour désigner un ertin nomres d éléments dns un tringle ABC. Fig. 1 Tringle ABC les longueurs des ôtés AB =, AC = et BC = ; les mesures des ngles  = BAC, ˆB = ÂBC et Ĉ = ÂCB ; l ire du tringle A(ABC) = S ; Le ryon du erle ironsrit OA = R. On retiendr notmment que le ôté opposé u sommet A est désigné pr l lettre, le ôté opposé à B est noté pr et le ôté opposé à C est. 1

2 L loi des sinus On se propose d étlir le théorème ffirmnt que les ôtés d un tringle sont proportionnels ux sinus des ngles opposés. Pour otenir l forme l plus omplète de et énoné, on onsidère deux onfigurtions..1 Première onfigurtion Dns le tringle ABC, on mène l huteur [CD] issue de C ; deux s de figure se produisent selon que ette huteur est intérieure ou extérieure u tringle. Dns le premier s, on CD = AC sin  = sin  et dns le seond Fig. Ave une huteur de ABC. s, on CD = AC sin(180 Â) = sin Â. Dns les deux s de figure, l ire S est donnée pr sin  S = On en déduit pr un risonnement nlogue les églités sin Ĉ sin ˆB = S = Cei montre le fit importnt que l ire du tringle peut être lulée ve deux ôtés et le sinus de l ngle djent 1. On en déduit sin  sin ˆB sin Ĉ S = = = et on otient enfin lors ette forme de l loi des sinus sin  = sin ˆB = sin Ĉ = S 1 on dit ussi l ngle ompris. (1)

3 . Deuxième onfigurtion Dns le erle ironsrit à ABC, on tre le dimètre [AZ]. Deux s sont à envisger selon que Z est sur le même r de erle que B, d extrémités A et C, ou ien sur l r omplémentire. Dns le premier s de figure, les ngles Fig. 3 Ave un dimètre du erle ironsrit. insrits ˆB et Ẑ sont égux. Dns le seond s de figure, les ngles insrits ˆB et Ẑ sont supplémentires, et on don sin Ẑ = sin(180 ˆB) = sin ˆB. En effet, il résulte du théorème de l ngle u entre que deux ngles insrits qui intereptent l même orde sont égux ou ien supplémentires. Dns les deux s, le tringle AZC étnt retngle en C, on en déduit AZ = AC sin Ẑ est-à-dire R = sin ˆB Pr un risonnement en tout point similire, on otient insi sin  = R = sin Ĉ Cei montre que le ryon du erle ironsrit ne dépend que d un ôté et de l ngle opposé, est à dire de l ngle insrit qui interepte e ôté. Il résulte de es églités l forme suivnte de l loi des sinus sin  = sin ˆB = 3 = R. () sin Ĉ

4 .3 Énoné de l loi des sinus En regroupnt les formules (1) et (), on est onduit à et énoné omplet. Théorème 1 (Loi des sinus). Dns tout tringle, les ôtés sont proportionnels ux sinus des ngles opposés ; préisément, on sin  = sin ˆB = sin Ĉ = S = R On rppelle que S désigne l ire du tringle, et R le ryon de son erle ironsrit. Un orollire immédit du théorème 1 est l reltion = 4RS. (3) est-à-dire que le produit des trois ôtés est égl à qutre fois le produit de l ire et du ryon du erle. 3 Applitions 3.1 Exemples Deux ngles et le ôté ompris. L loi des sinus permet de déterminer, dns un tringle, un ôté ou ien un ngle lorsque l on onnît pr exemple un ôté et les deux ngles qui lui sont djents. Cel orrespond u premier s d isométrie des tringles. Exemple 1. Soit ABC un tringle ; on donne BC = 1, ˆB = 6 et Ĉ = 50. Déterminer le troisième ngle et les deux utres ôtés. Le troisième ngle est  = 68. On pplique l loi de sinus, ve = 1 ii 1 sin 68 = sin 6 = 4 sin 50

5 et insi on otient = 1 sin 6 sin 68 ve des rrondis u dixième. 11, 4 et = 1 sin 50 sin 68 9, 9 Deux ôtés et l ngle non ompris. Dns ertins s de figure, on peut luler les éléments mnqunts lorsque sont donnés deux ôtés et un ngle opposé à l un d eux. Exemple. Soit ABC un tringle ; on donne BC = 5, AC = 36 et ˆB = 7. Déterminer le troisième ôté et les deux utres ngles. Dns e s, où = 5 et = 36, l loi des sinus s érit d où on tire sin 5 sin  = 36 sin 7 = sin Ĉ 5  = sin 7, soit  et on en déduit le troisième ngle Ĉ 67, les mesures des ngles étnt rrondies u degré. Alors, l loi des sinus permet le lul du troisième ôté vleur rrondie u dixième. 3. Exeries = 36 sin 67 sin 7 34, 8 Exerie 1. Dns un tringle ABC, on BC = 8, ˆB = 50, Ĉ = 110. Exerie. Dns un tringle ABC, on BC = 7, ˆB = 50,  = 80. Exerie 3. Dns un tringle ABC, on BC = 5, AC = 10 et Ĉ = 80. Exerie 4. Dns un tringle ABC, on BC = 7, 5, AC = 10 et Ĉ = 4. Exerie 5. Dns un tringle ABC, on BC = 36, ˆB = 45 et Ĉ = 6. Déterminer l ire de ABC. 5

6 Exerie 6. Soit ABCD un qudriltère onvexe, dns lequel on donne les longueurs AB = 0, AC = 40 et CD = 30, insi que les ngles BAC = 60 et ÂCD = 45. Déterminer l ire de ABCD. Exerie 7 (Clul d une huteur «inessile»). Soit ABC un tringle ynt l ngle ˆB otus), tel que AB = 50, BAC = 74 et ĤBC = 81. Soit H le projeté orthogonl de C sur (AB). Déterminer l huteur CH. Exerie 8 (Clul d une huteur «inessile» is). Sur l figure (4), on donne ĤAC = 4, Â = 105, ˆB = 36 et AB = 300. Déterminer CH. Fig. 4 Huteur «inessile» is. Exerie 9. Dns un tringle ABC, ve les nottions usuelles, montrer que = os Ĉ + os ˆB pour en déduire l formule d ddition sin( ˆB + Ĉ) = sin ˆB os Ĉ + sin Ĉ os ˆB. Remrque. Dns L trigonométrie de Roert Cmpell (Que-sis-je n o 69, 1956), on trouve des pplitions de l loi des sinus à l stronomie, pour déterminer l distne Terre-Lune, l distne Terre-Soleil (pr le proédé de Hlley) et l distne entre l Terre et une utre étoile. ouvrge hélàs diffiile à se prourer... 6