STATISTIQUES. Dans ce chapitre, on considère des séries à caractères quantitatifs discrètes ou continues.

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1 STATISTIQUES Dans ce chatre, on consdère des séres à caractères quanttatfs dscrètes ou contnues. 1- Notatons x 1, x 2,, x sont les valeurs du caractère ou les centres des classes s ces valeurs sont regrouées en classe n 1, n 2,, n sont les effectfs resectfs des valeurs x 1, x 2,, x f 1, f 2,, f sont les fréquences resectves des valeurs x 1, x 2,, x N est l effectf total : N = n 1 + n n n La fréquence f est le raort de l effectf n à l effectf total N : f = N n Le ourcentage s obtent en multlant la fréquence ar 100 : = f = N Toute fréquence est comrse entre 0 et 1 ; tout ourcentage est comrs entre 0 et 100. La somme des fréquences de la sére vaut 1 ; la somme des leurs ourcentages vaut Caractérstques de oston et mesures de tendance centrale a- La moyenne arthmétque, notaton x : La moyenne de la sére statstque de valeurs et effectfs ( x1; n 1), ( x2; n 2). ( x ; n ) est : 1 1 x nx nx n x nx N N = = ( ) = 1 Remarque : S la sére est donnée avec valeurs et fréquences : x = fx 1 1+ fx fx = fx = 1 Exemle : Au derner devor de maths, les 14 flles ont eu une moyenne de 12 et les 21 garçons une moyenne de 9,5. Quelle est la moyenne de la classe? b- Le mode ou classe modale, notaton Mo : - Pour un caractère dscret, le mode est la valeur du caractère qu corresond au lus grand effectf. - Pour un caractère contnu, s les classes ont même amltude, la classe modale est la classe qu corresond au lus fort effectf. 1S 1

2 c- La médane, notaton Me : On aelle médane d une sére statstque le réel M e tel que - 50% des termes de la sére ont une valeur nféreure ou égale à M e et - 50% des termes de la sére ont une valeur suéreure ou égale à M e. Sot une sére statstque quanttatve ordonnée a 1 a 2.. S N est mar, N = 2k+1 ; l exste une seule valeur centrale a k+1 an a 1 a 2. a k a k +1 a k a 2k+1 La médane est donc la valeur du terme de rang N + 1 : Me = 2 S N est ar, N = 2k ; l exste 2 valeurs centrales a k et a k+1 a 1 a 2. a k 1 a k a k +1 a k+2... a 2k a 1 a 2... a k+ k+ 2k N N La médane est donc la moyenne des valeurs des termes de rang et + 1 : Me = 2 2 Exemle : S N = 29, Me = S N = 42, Me = Exemles : TABLEAU 1 A un contrôle de mathématques, dans une classe de 28 élèves, le rofesseur a obtenu les résultats suvants : notes nombre d'élèves (effectfs) effectfs cumulés (crossants) fréquences TABLEAU 2 Réartton des accdents cororels de la route selon les heures de la journée en 1999 Tranches horares [0 ;3[ [3 ;6[ [6 ;9[ [9 ;12[ [12 ;15[ [15 ;18[ [18 ;21[ [21 ;24[ Total Nombre d accdents Effectfs cumulés crossants Pourcentages cumulés crossants Tableau 1 : Mode : Me = x = 1S 2

3 Tableau 2 : Classe modale : Me = Polygone des effectfs cumulés crossants x = Caractérstques de oston non centrale : quartles et décles a- Quartles On aelle remer quartle d une sére statstque X le réel Q 1 tel que - 25% des termes de la sére ont une valeur nféreure ou égale à Q 1 et - 75% des termes de la sére ont une valeur suéreure ou égale à Q 1 On aelle trosème quartle d une sére statstque X le réel Q 3 tel que - 75% des termes de la sére ont une valeur nféreure ou égale à Q 3 et - 25% des termes de la sére ont une valeur suéreure ou égale à Q 3 Sére dscrète : S N 4 est un enter, le remer quartle Q 1 est la valeur qu dans cette lste occue le rang N 4 et le trosème quartle Q 3 est la valeur qu dans cette lste occue le rang 3N 4. Q 1 = et Q 3 = S N 4 n est as un enter, le remer quartle Q 1 est la valeur qu dans cette lste occue le rang mmédatement suéreur à N 4 et le trosème quartle Q 3 est le valeur qu dans cette lste occue le rang mmédatement suéreur à 3N 4. Q 1 = et Q 3 = Sére contnue : ( les valeurs sont regrouées ar classe ) Q 1 est la valeur corresondant à la fréquence cumulée crossante égale à 0,25. Q 3 est la valeur corresondant à la fréquence cumulée crossante égale à 0,75. 1S 3

4 Exemles : s N = 29 Q 1 = et Q = 3 Exemle : Tableau 1 : s N = 44 Q 1 = et Q = 3 Tableau 2 : Par lecture grahque : Par résoluton algébrque : 1S 4

5 Remarques : Une sére admet tros quartles ; le deuxème, dont on ne fat as usage en remère, est assocé à la valeur 50%. De nombreuses calculatrces consdèrent les quartles comme les médanes des deux séres obtenues arès avor artagé la sére ntale ar sa médane ce qu exlque les dfférences constatées. Dans la ratque, ces dfférences ont eu d mortance vu la talle des séres. b- Décles On aelle remer décle d une sére statstque X le réel D 1 tel que - 10% des termes de la sére ont une valeur nféreure ou égale à D 1 et - 90% des termes de la sére ont une valeur suéreure ou égale à D 1 On aelle neuvème décle d une sére statstque X le réel D 9 tel que - 90% des termes de la sére ont une valeur nféreure ou égale à D 9 et - 10% des termes de la sére ont une valeur suéreure ou égale à D 9 Remarque : De même que l on a défn les décles, qu artage la sére ar tranches de 10%, on ourrat défnr les centles, qu artagerat la sére en tranches de 1%. 4- Caractérstques de dserson a- Ecart nterquartle Défntons : On aelle L étendue e, de la sére statstque est la dfférence entre les termes extrêmes : xn x1 L écart nterquartle de la sére est égale à la dfférence Q 3 Q 1 Q ; Q L ntervalle nterquartle de la sére est l ntervalle [ ] 1 3 Exemle : Dans les séres statstques récédentes, on a : Tableau 1 : Q 3 Q 1 = Tableau 2 : Q 3 Q 1 = e = e = Remarques : L écart nterquartle mesure la dserson des valeurs autour de la médane ; lus l écart est ett, lus les valeurs de la sére aartenant à l ntervalle nterquartle sont concentrées autour de la médane. Contrarement à l étendue (notée e) qu mesure l écart entre la lus grande et la lus ette valeur, l écart nterquartle élmne les valeurs extrêmes qu euvent être douteuses, ceendant l ne tent comte que de 50% de l effectf On eut correctement résumer une sére statstque ar le coule : (médane ; ntervalle nterquartle). 1S 5

6 b- Dagramme en boîtes (ou à attes, ou à moustaches, ou dagramme de Tukey. Un dagramme en bote est un rectangle délmté ar le remer quartle et le trosème quartle. Ce dagramme rerésente grahquement une sére statstque avec ses rncaux ndcateurs de réartton, lacés sur un axe horzontal (ou vertcal) : Le mnmum et le maxmum de la sére statstque La médane de la sére statstque Le remer et le trosème quartle de la sére statstque Le remer et le neuvème décle de la sére statstque. Mn D 1 Q 1 Me Q 3 D 9 Max Exemles : Tableau 1 Mn D 1 Q 1 Me Q 3 D 9 Max Tableau 2 Mn D 1 Q 1 Me Q 3 D 9 Max Remarque : Comme extrémtés de la boîte à moustaches, on trouve auss le 1 er et le 9 ème décle. c- Varance et écart-tye Sot une sére statstque de valeurs et fréquences (x 1 ; f 1 ), (x 2 ; f 2 ).(x ; f ) et de moyenne x d( x) = n x x On défnt la foncton dserson ar ( ) 2 = 1 La foncton dserson d admet un mnmum our x = x. Ce mnmum est aelé V. 1S 6

7 Démonstraton : La varance V est la moyenne des carrées des écarts des valeurs x à la moyenne x, c'est à dre : V = 1 N ( n 1 ( x 1 x ) ² + n 2 ( x 2 x ) ² + + n ( x x ) ² ) V = f 1 ( x 1 x ) ² + f 2 ( x 2 x ) ² + + f ( x x ) ² Ce nombre s écrt auss V = 1 N =1 n ( x x ) ² = =1 f ( x x ) ² L écart tye s est la racne carrée de la varance : s = V Autre exresson de la varance : ( ben lus ratque ) V = 1 N =1 n 2 x x ² La varance est égale à la moyenne des carrés des x dmnuée du carré de la moyenne Démonstraton : On a : V = 1 N =1 n ( x x ) ² 1S 7

8 Exemles : Tableau 1 : Tableau 2 : Remarques : L écart tye est un aramètre lus fn que l étendue, car l tent comte de la réartton des valeurs. L écart tye à la même unté que les valeurs de la sére étudée. L écart tye mesure la dserson des valeurs de la sére autour de la moyenne. Plus l écart tye est ett, lus les valeurs de la sére sont concentrées autour de la moyenne. On eut correctement résumer une sére statstque ar le coule : ( moyenne ; écart tye ) 5- Transformaton affne de données S l on alque à une sére statstque la transformaton affne x ax + b, on obtent sur les valeurs caractérstques les effets suvants : Moyenne Varance Ecart-tye Médane Ecart nterquartle Sére ( x ; n ) Sére ( ax + b; n) x V s Me I 1S 8

9 Démonstratons: Remarques : S f : x x + b, alors la varance, l écart tye et l écart nterquartle sont nchangés. Ces rorétés ermettent un changement d orgne ( et/ou d échelle ) our le calcul de la moyenne de l écart nterquartle et de l écart tye. 6- Utlsaton de la calculatrce TI-89 APPS 6 : Edteur don/mat 3 : nouveau Donner un nom au fcher Dans le tableau, en colonne c1 : varable x en colonne c2 : effectf ou fréquence Les calculs sont font à l ade de la touche : F5 Il faut récser le nombre de varables : une varable (c1) l utlsaton de fréquences : ou (c2) x : moyenne arthmétque de la varable x nstat : nombre de données mnx : mnmum des valeurs de x maxx : maxmum des valeurs de x medstat : médane q 1 : remer quartle q 3 : trosème quartle x : somme des valeurs de x 2 x : somme des valeurs de x² Le calcul de la varance et de l écart-tye se fnssent à la man : Pour tracer un grahque, touche : F2 us F1 Enter x = = V nstat 2 2 V x et s Pour revenr au tableau : [2 nde ] Exemle : Tableau 1 1S 9