Statistiques. sont les valeurs du caractère étudié et n ; n ; 1 2. correspondants, la moyenne de la série statistique est : x =

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1 Statstques A) Vocabulare d une sére statstque. Poulaton et ndvdu : La oulaton est l ensemble des ndvdus sur lequel vont orter les observatons. Caractère : Le caractère est la rorété étudée. Le caractère est qualtatf s l n est as une valeur numérque. Le caractère est quanttatf s l eut être mesuré : ) l est dscret s l ne rend que des valeurs solées (en général entères). ) l est contnu s l eut rendre toutes les valeurs dans un ntervalle donné. Modaltés : Les modaltés sont les valeurs rses ar le caractère. Effectfs et fréquences : L effectf d une modalté est le nombre d ndvdus résentant cette modalté. La fréquence d une modalté est le raort entre l effectf de cette modalté et l effectf total de la oulaton. Une fréquence est donc un nombre comrs entre 0 et (mas elle eut auss être donnée en ourcentage). La somme de toutes les fréquences est (00 avec les ourcentages). B) Caractérstques de oston et de dserson.. Caractérstques de oston. a) Mode : Le mode est la valeur du caractère ayant le lus grand effectf. Dans le cas de réartton en classe, on arle de classe modale. b) La médane : On consdère une sére de données rangées dans l ordre crossant. La médane est la valeur du caractère qu artage l effectf total en deux artes de même effectf. Dans le cas d un caractère dscret : S l effectf total est mar, la médane est la valeur du caractère stuée au mleu de la sére. S l effectf total est ar, la médane est la moyenne des deux valeurs centrales. Dans le cas d un caractère contnu, la médane eut être obtenue ar lecture, sur le olygone des effectfs cumulés crossants, de l abscsse du ont ayant our ordonnée N (N étant l effectf total). c) La moyenne : S x ; x ;...; x sont les valeurs du caractère étudé et n ; n ;...; n les effectfs nx + n x n x corresondants, la moyenne de la sére statstque est : x = n + n n S la sére statstque est contnue, x est le centre de chacune des classes. Année 0 0. ère ES

2 Exemle : La réartton des accdents cororels de la route selon les heures de la journée est décrte ar le tableau suvant, our l'année 999. Classe modale : [8; [. Calcul de la moyenne. On rend le centre de chacune des classes. 4550, , , , ,5 x = = On calcule les effectfs cumulés crossants assocés à cette sére. Médane : Lecture sur le olygone des effectfs cumulés crossants. Quartles : Lectures sur le olygone des effectfs cumulés crossants. Afn de détermner la médane on se lace à la moté de l effectf total à savor usque nous sommes c en résence d un olygone des effectfs cumulés crossants. Afn de détermner la médane sur un olygone des fréquences cumulées crossantes on se lace à 50% our effectuer la lecture grahque. La médane est l abscsse du ont du olygone ayant our ordonnée 40000, c on obtent envron 0. Afn de détermner les quartles on se lace au quart (res tros quarts) de l effectf total à savor 0000 (res 60000) our effectuer la lecture grahque. Afn de détermner les quartles sur le olygone des fréquences cumulées crossantes on se lace à 5% (res 75%) our effectuer la lecture grahque. Année 0 0 ère ES

3 . Caractérstques de dserson. a) Etendue : L étendue d une sére statstque est la dfférence entre la lus grande et la lus ette valeur du caractère. b) Quartles : On consdère une sére de données rangées dans l ordre crossant. Les quartles sont des données de la sére qu la artagent en quatre artes à eu rès de même effectf. Le remer quartle est noté Q rerésente les 5 remers ourcents de la sére. Le trosème quartle est noté Q 3 rerésente les 75 remers ourcents de la sére. L effectf total est dvsble ar 4 : On consdère une sére de 60 données (ar exemle) rangées dans l ordre crossant. 60 = 5 donc Q est la 5 ème donnée de cette sére = 45 donc Q 3 est la 45 ème donnée de cette sére. 4 L effectf total n est as dvsble ar 4 : On consdère une sére de 4 données (ar exemle) rangées dans l ordre crossant. 4 = 0,5 donc Q est la ème donnée de cette sére = 30,75 donc Q 3 est la 3 ème donnée de cette sére. 4 Dans le cas contnu on se reortera au olygone des fréquences (ou effectfs) cumulées crossantes afn d y lre les abscsses des onts corresondants resectvement au quart et au tros-quarts de l ordonnée maxmale. c) Intervalle et écart nterquartles : L'ntervalle [ Q ; Q 3 ] est aelé l'ntervalle nterquartle. L'écart Q3 Q est aelé l'écart nterquartle. d) Dagramme en boîte ou dagramme à moustaches ou boîte à moustaches : étendue 0 valeur mnmale er quartle médane moyenne 3 ème quartle valeur maxmale Année 0 0 ère ES

4 Exercce n : Chrstne et atma sont des fans de basket-ball et elles ont noté le nombre de aners qu'a nscrt leur joueur référé lors de 7 matchs : Parte A : Caractère dscret. ) Calculer la moyenne de cette sére de notes. ) Calculer la médane de cette sére de notes. 3) Donner le remer et le trosème quartle de cette sére de note. 4) Calculer l étendue de cette sére de note. 5) Construre le dagramme en boîte de cette sére. Parte B : Caractère contnu. atma a regroué les valeurs ar classe de la façon suvante : ) Calculer la moyenne de cette sére. ) Donner la classe modale de cette sére. 3) Calculer les fréquences et les fréquences cumulées crossantes. Exercce n : Voc les notes obtenues en mathématques au brevet ar les élèves d'un collège : Parte A : Caractère dscret. ) Calculer la moyenne de cette sére de notes. ) Calculer la médane de cette sére de notes. 3) Donner le remer et le trosème quartle de cette sére de note. 4) Calculer l étendue de cette sére de note. 5) Construre le dagramme en boîte de cette sére. Parte B : Caractère contnu. Pour étuder l'orentaton des élèves, le CPE regroue les notes ar classes d'amltude 5 : ) Recoer et comléter le tableau suvant : Année 0 0 ) Calculer la moyenne de cette sére. 3) Donner la classe modale de cette sére. 4) Calculer les fréquences et les fréquences cumulées crossantes. 5) Tracer le olygone des fréquences cumulées crossantes. 6) Détermner la médane, le er et le 3 ème quartle de cette sére. 7) Comarez avec les résultats obtenus en Parte A. Ce regrouement a-t-l une nfluence sur les résultats de l étude? ère ES

5 3. Varance et écart-tye. On consdère la sére statstque suvante : Valeur x x x x Effectf n n n n réquences f f f f Total N On note x est la moyenne de cette sére. Défntons : La varance d une sére statstque donnée mesure la dserson de la sére ar raort à sa moyenne x. La varance est la moyenne des carrés des écarts ar raort à la moyenne. n ( x x) n ( x x) La varance de cette sére statstque est le réel : V =. N L écart-tye est la racne carrée de la varance : σ = V. La lettre σ se lt «sgma». Prorétés : Autres formules our calculer la varance La varance de cette sére statstque est le réel : ( ) n x n x V = x. N V = f x x f x x. La varance de cette sére statstque est le réel : ( ) ( ) Remarque : On eut asément obtenr ces formules mas nous ne les démontrerons as c sauf s certans érouvent des dffcultés à les établr. Notatons : Autre façon d écrre les formules de la varance La varance de cette sére statstque est le réel : V = n ( x x) La varance de cette sére statstque est le réel : V N = = n x N = La varance de cette sére statstque est le réel : V = f ( x x) x = = = Remarque : Ces calculs seront le lus souvent réalsés ar la calculatrce! 4. Résumé d une sére statstque... f x x On résume souvent une sére statstque ar une mesure de tendance centrale assocée à une mesure de dserson. Deux chox sont couramment roosés : le coule (moyenne ; écart-tye) qu a l nconvénent d assocer deux mesures sensbles aux valeurs extrêmes et le coule (médane ; écart nterquartle) qu a mons de défaut mas dont la détermnaton est mons ratque.. Année 0 0 ère ES

6 Exercce n 3 : Dans un vllage de vacances, l admnstrateur a recensé les enfants de mons de 4 ans. Voc les données résumées dans deux tableaux : Ages [ 0 ; [ [ ; [ [ ; 3[ [ 3 ; 4[ [ 4 ; 5[ [ 5 ; 6[ [ 6 ; 7[ réquences cumulées crossantes 6% 6% 35% 43% 5% 58% 64% Ages [ 7 ; 8[ [ 8 ; 9[ [ 9 ; 0[ [ 0 ; [ [ ; [ [ ; 3[ [ 3 ; 4[ réquences cumulées crossantes 7% 78% 83% 86% 9% 95% 00% ) Sans aucun calcul, détermner à quel ntervalle aartent le er quartle, la médane et le 3 ème quartle. ) Rerésenter le olygone des fréquences cumulées crossantes. 3) Lre le er quartle, la médane et le 3 ème quartle. 4) Rerésenter ces données dans un dagramme en boîte en renant 0 et 4 comme extrémtés. 5) L age moyen est-l suéreur à l âge médan? Exercce n 4 : Le dagramme en bâtons suvant donne, our une agence bancare, le nombre de retrats effectués ar mos à un guchet automatque ar ses clents ossesseurs de la carte «Sécurté- Plus» : ) Calculer le nombre moyen x de retrats ans que l'écart-tye σ (arrondr au dxème). ) Quel aramètre statstque ermet d'affrmer qu'au mons la moté des clents ont effectué au lus 4 retrats ar mos? 3) Les hut clents ayant effectué lus de retrats ar mos ne sont as rs en comte récédemment car les retrats sont consdérés comme non rerésentatfs. a) Quelle est l'nfluence de ces clents sur la moyenne x et l'écart-tye σ? b) Peut-on toujours affrmer qu'au mons la moté des clents ont effectué au lus 4 retrats ar mos? Année 0 0 ère ES

7 Exercce n 5 : A Monteller, les temératures moyennes, en C, en 99 et en 008 sont données dans le tableau suvant : Mos J M A M J J A S O N D 99 8,5 8,5,3,3 3,8 8,7,8 4,4 5,8 8, ,7 9,7 3,3 6,8 9,6,8,7 9,5 6,9,4 9, ) Rerésenter, dans un même reère mas avec des couleurs dfférentes, les données de chaque année ar deux nuages de onts. ) Grahquement, en quelle année les temératures mensuelles moyennes semblent-elles mons dsersées? 3) Vérfer en calculant l écart-tye des données de chaque année. 4) Justfer grahquement que la médane des données de 99 est envron de 3. 5) Quelle est celle our les données de 008? Exercce n 6 : Les notes au remer oral d'un concours sont les suvantes : ) Calculer les effectfs cumulés crossants de ces notes. ) Détermner le remer quartle et le trosème quartle. Précser l'écart nterquartle. 3) Calculer la moyenne et l'écart-tye (arrondr au dxème). 4) Les aramètres des notes au deuxème oral sont les suvants : La moyenne est d envron 7,4 et l écart-tye d envron 3,9. Comarer la dserson des notes des deux oraux. Exercce n 7 : Un ndustrel a commandé à un sous tratant un lot de 40 èces dont le damètre dot mesurer 80mm et l est convenu que le lot ne sera acceté que s les deux condtons suvantes sont smultanément réalsées : L écart entre 80mm et la moyenne x du lot est nféreur à 0,05mm. Au mons 60% des èces du lot ont un damètre d tel que : 80 0,05 d , 05. Les mesures fates sur le lot sont les suvantes : Mesure de d 79,75 79,80 79,85 79,90 79, ,05 80,0 80,5 80,0 à 0,05mm rès Effectf ) Calculer la moyenne x des mesures réalsées. ) Quel est le ourcentage de èces dont le damètre d vérfe 80 0,05 d , 05? 3) Le lot est-l acceté ou refusé ar l ndustrel? Justfer la réonse. Année 0 0 ère ES

8 Exercce n 8 : Dans un vllage ossédant une seule boulangere, les habtants susectent le boulanger de vendre des ans de 400g tro légers. Ils décdent un jour de eser les ans achetés. Un habtant se charge de récolter les données et résume la stuaton ar le dagramme suvant: ) À la lecture de ce dagramme, récser s les affrmatons suvantes sont vraes, fausses ou s on ne eut as savor : a) La masse moyenne de ces ans est 400g. b) La masse de la moté (envron) de ces ans est nféreure ou égale à 400g. c) Les ans dont la masse est comrse entre 40 et 430g rerésentent envron 5 % de ces ans. d) Les servces de la réresson des fraudes tolérant que 5 % de ans aent une masse nféreure à 360g, alors ce boulanger est en règle. ) Les vllageos ameraent qu'au mons les tros quarts des ans èsent au mons 390g. Le voeu des vllageos est-l réalsé? 3) Au vu des résultats et comte tenu du voeu des vllageos, le boulanger décde de modfer son rocédé de fabrcaton. Les habtants décdent tout de même de renouveler leur exérence en esant 50 ans. Pour comarer, un habtant fournt ce grahque : La nouvelle fabrcaton eut-elle satsfare les vllageos? Exercce n 9 : Comarason des rx : Indce Bg Mac. «The Economst» utlse le rx d un menu Mc Donald our établr le «Bg Mac Index». Certanes entrerses, notamment françases, l utlsent afn d avor une dée du coût de la ve dans ces vlles et donc de la rme à attrbuer a ses exatrés our comenser le coût de la ve. Les données de cette étude ont été collectées rncalement aurès des offces du toursme des vlles ctées mas auss à l ade d Internet : ) Calculer la moyenne, la varance et l ecart-tye de ces séres de rx. ) Calculer la médane, le remer et le trosème quartle de ces séres de rx. 3) Calculer l étendue de ces séres de rx. 4) Construre le dagramme en boîte de ces séres de rx. 5) Une chambre d hôtel coûte, à Pars, 40 à l ade du «Bg Mac Index» donner une estmaton du rx ayé à Moscou. Année 0 0 ère ES

9 Exercce n 0 : Dans le cadre du lan de réventon du brut, une muncalté décde d'nstaller des cateurs our mesurer le nveau de brut dans tros rues de la vlle. Ces cateurs fournssent chacun 0 relevés sur une érode de 4 heures. Les mesures effectuées sont en décbels (db). ) Calculer le nveau moyen de brut our les deux rues étudées. ) Donner les écarts tyes corresondants. 3) Commenter la qualté sonore de la ve des habtants de ces deux rues endant la érode étudée. 4) Pour la trosème rue étudée, les résultats sont donnés ar le tableau c-dessous : a) Construre les dagrammes en boîte corresondant aux tros séres sur le même grahque. b) Précser s les affrmatons suvantes sont vraes ou fausses : Quel que sot le moment de la journée, la rue est lus bruyante que la rue. Au mons 5% des mesures effectuées dans la rue sont nféreures ou égales à toutes les mesures effectuées dans la rue et la rue 3. 5) Pour décder de l'mlantaton d'une constructon, l est nécessare de suvre les recommandatons du code de l'urbansme (vor tableaux c-dessous). a) Pourra-t-on envsager de construre une mason ndvduelle dans la rue? dans la rue 3? b) Peut-on construre un lycée dans la rue 3? Année 0 0 ère ES

10 Exercce n : Les statstques d'accdents aérens ermettent d observer les rogrès de l'ndustre aéronautque. Les tableaux suvants montrent l évoluton du nombre d'accdents au cours de deux décennes : les années 970 et les années 000. ) Détermner la médane, le remer et le trosème quartles de chacune des séres. ) Construre les dagrammes en boîtes des deux séres. 3) Par lecture des deux grahques, eut-on affrmer que le nombre d'accdents entre 000 et 00 a dmnué ar raort au nombre d'accdents entre 970 et 980? Justfer. 4) Calculer le nombre moyen d'accdents, ans que les écarts tyes des deux séres. 5) Calculer le ourcentage d évoluton du nombre moyen d'accdents entre ces deux décennes. 6) En 009, on a comté 35 mllons de vols. Le taux mondal d'accdents est mesuré en erte d'avons ar mllon de vols. a) Calculer ce taux en 009. b) L organsaton de l'avaton cvle nternatonale (OACI) a annoncé qu elle esérat rédure de 45% sur 6 ans le nombre d'accdents d'avons dans le monde, malgré une hausse révue de 0% ar an du trafc aéren dans les rochanes années. Calculer le taux mondal d'accdents d'avon eséré en 05. Année 0 0 ère ES

11 Exercce n : La socété «Je-Cours» est sécalsée dans la vente en lgne de matérel de course à ed. Les ventes de ares de chaussures de runnng au cours du mos de jun 00 sont rerésentées cdessous. Parte A : On s'ntéresse aux 84 ares de chaussures «emme». ) Le remer quartle est égal à 38. Rédger une hrase utlsant ce aramètre. ) La moyenne des ontures x est égale à envron 38,9. La médane eut-elle être égale à la moyenne? Justfer. 3) L écart-tye σ est égal à envron,6. Calculer le ourcentage de ares de chaussures x σ ; x + σ. vendues dont la onture est comrse dans l'ntervalle [ ] Parte B : On s'ntéresse aux ares de chaussures «Homme». Les nombres de ventes sont ndqués dans le tableau suvant : ) Calculer, à 'ade de a calculatrce, la moyenne x H et l'écart-tye σ H (arrondr au dxème). ) Détermner la médane et les er et 3 ème quartles. Parte C : On s'ntéresse à l'ensemble des chaussures vendues. Les aramètres de la sére des ontures des chaussures «emme» sont les suvants : Q = 38Q, Med = 39, Q = 3 40, x 38, 9 et σ, 6. ) Rerésenter les séres des ontures ar deux dagrammes en boîte. ) Utlser ces dagrammes our comarer la dserson des ontures vendues. 3) La moyenne des ontures est égale à envron 4,55. Comment trouve-t-on ce résultat? 4) Comarer l écart-tye des ontures de la totalté des ares de chaussures vendues aux deux écarts-tyes récédents. Argumenter. Année 0 0 ère ES

12 Exercce n 3 : Valeurs aberrantes de J.-W. Tukey Un aarel contrôle la longueur des vs fabrquées ar une machne. Il a relevé les longueurs suvantes en mm : 79,9 79,8 80, 80 80, 80 79,9 79,9 79,7 80,3 80, 79,9 80, 80,3 79,7 79,6 80,3 80, 79,8 79,4 80,7 79,6 79,5 79,8 80,9 80,7 80, 80, 79,6 79,7 80, 84 79,8 80,4 79, 79,9 79, 80,4 80,3 8 79, 79, 79,6. ) Calculer la médane, le remer et le trosème quartle de cette sére statstque. ) Le statstcen J.-W. Tukey qualfat d'aberrantes les valeurs d'une sére statstque qu se 3 3 stuaent à l'extéreur de l'ntervalle Q ( Q3 Q ) ; Q3 + ( Q3 Q ). Calculer les bornes de cet ntervalle our la sére consdérée. 3) En dédure les valeurs aberrantes de cette sére statstque. 4) Calculer la médane, le remer et e trosème quartle de la sére statstque sans les valeurs aberrantes. Exercce n 4 : Paradoxe de Smson Un laboratore harmaceutque étude l'effcacté de deux médcaments contre le Cancer. Voc les résultats du Pr. Lauret : ) Calculer f ( A) et ( B) f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B. Le Pr. Bas a fat de son côté une autre étude et l uble les résultats suvants : f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B. 3) Quel médcament vous semble le lus effcace? 4) Les rofesseurs Lauret et Bas décdent de ubler leurs résultats en unssant leur test. Recoer et comléter le tableau c-dessous : ) Calculer f ( A) et ( B) 5) Calculer f ( A) et ( B) l'ensemble de l'étude. 6) Confrmez-vous les résultats du 3)? f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B de Année 0 0 ère ES

13 Exercce n 5 : Ecrre un rogramme qu, lorsqu on sas les classes en Lst et les effectfs en Lst affche : Les fréquences en Lst 3. Les fréquences cumulées en Lst 4. Les effectfs cumulés en Lst 5 La moyenne (on ourra se servr des fréquences). La varance (on ourra se servr de la formule avec fréquences et de la moyenne). L écart-tye. Le remer quartle noté Q. Le trosème quartle noté Q3. La médane. La valeur maxmale de cette sére. La valeur mnmale de cette sére. Le ou les modes de cette sére. Remarque : la rogrammaton de la médane étant un eu lus technque nous utlserons la foncton rédéfne de la machne : «Medan(Lst, Lst j)» qu donne la médane de la sére statstque dont les classes sont en lste et les effectfs sont en lste j. Pour écrre ce rogramme, on ourra utlser les outls suvants : «Dm Lst» qu donne le nombre d éléments de la lste. «SortA(Lst, Lst j)» qu tre dans l ordre ascendant la lste et mantent l ordre de déart entre la lste et lste j. «Lst []» qu donne la valeur du ème élément de la lste. «Int(x)» qu donne la arte entère du nombre x. «Cuml(Lst )» qu donne la lste cumulée crossante des termes de la lste. «Sum(Lst )» qu addtonne tous les termes de la lste. Les boucles tératves : «Whle» et «or». La condton : «If». Année 0 0 ère ES

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