TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

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1 TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver trois expressions analytiques différentes pour le représenter. II ) Les signaux suivants sont-ils à énergie finie? à puissance moyenne finie non nulle? 1) x(t) = A rect(t/t) T > 0. 2) x(t) = A sin(ωt) A,ω > 0. 3) x(t) = u(t) 4) x(t) = A u(t) exp(-at) A,a > 0. III ) Donner l'allure des réalisations correspondant aux signaux aléatoires suivants: a) x(t) = A sin( ω(ζ) t + φ ) t kt + φ( ζ ) b) x(t) = Ak ( ζ ) rect( ) k T c) x(t) = A sin( ωt) + K( ζ ) Pour ces signaux, ω(ζ), A k (ζ ), φ(ζ), K(ζ) sont des variables aléatoires continues. IV ) Un signal aléatoire z(t) possède la d.d.p: p(z) c z Calculer la probabilité pour que z(t) < 1.5

2 V ) Signal binaire aléatoire On considère un signal aléatoire stationnaire binaire y(t) à valeur dans l'ensemble { -2, 5} avec les probabilités 1/3 et 2/3. 1- Donner et tracer la fonction de répartition de y(t) notée F(y). 2- Calculer et représenter la densité de probabilité associée à y(t). 3- Calculer la moyenne statistique et la valeur quadratique moyenne statistique pour un tel signal. VI ) La figure suivante représente un registre à décalage à 5 bits bouclé par un ou exclusif qui part des bits 1 et 3. Quelle est la période principale du signal pseudo-aléatoire engendré par ce montage? Donner les valeurs prises par le signal x(t) en fonction du temps et sur une période. Le registre est préalablement initialisé comme ce qui est indiqué sur la figure.

3 TD2 Séries de Fourier I ) Développer en série de Fourier réelle le signal périodique suivant sur l'intervalle [0,T]: x( t) = u( t) rect( 2 t / T ). Représenter sur un diagramme amplitude-fréquence le spectre du signal, obtenu à partir des coefficients de la décomposition. II ) Redressement d un signal sinusoïdal simple et double-alternance. La fonction de redressement d un signal sinusoïdal a pour but l obtention d un signal dont la composante continue est non nulle afin de pouvoir l extraire pour réaliser une alimentation en tension ou courant continu. Cette fonction est réalisée en partie par un composant électronique (la diode) dont on ne cherche pas ici à expliquer la structure ni les propriétés. On appellera redresseur, le système électronique qui réalise la fonction décrite au début de ces lignes. e(t) Redresseur s(t) Le signal d entrée est une sinusoïde qui est délivrée par un générateur, e( t) = sin( 2π F 0t), le signal de sortie est périodique, et s exprime sur une période par, s( t) = sin( 2π F 0t) pour 0 t T 0/2 s( t) = 0 pour T /2 t T 0 0 1) Représenter les signaux d entrée et de sortie e(t) et s(t) sur deux courbes amplitude-temps. 2) Décomposer en série de Fourier e(t) et s(t) puis représenter le spectre des coefficients obtenus pour chacun d eux sur un diagramme amplitude-fréquence. 3) Interpréter les spectres des signaux en rapport avec la fonction du système électronique étudié ici. 4) On utilise maintenant un redresseur double-alternance, le signal d entrée étant toujours e(t), on observe en sortie un signal s(t) tel que, s( t) = sin( 2π F 0t) pour 0 t T 0/2 reprendre la question 2) pour s(t). Quelle amélioration est apportée par le redresseur double-alternance, du point de vue de la fonction à réaliser?

4 TD3 Systèmes linéaires invariants, convolution, réponse fréquentielle I ) Calculer et représenter sur une courbe amplitude-temps le produit de convolution suivant: y(t) = x(t) * x(t) avec x(t) = rect( t/t ) II ) Soit un système S.L.I de réponse impulsionnelle h(t) telle que: h( t) = u( t) exp( at), où a est une constante d'amortissement > 0. 1 ) Calculer et représenter le signal de sortie du système sur une courbe amplitude-temps à partir des deux cas suivants : t T / 2 x( t) = rect( ) T 2 ) Calculer la réponse fréquentielle du système, puis représenter la courbe de variation de son module en fonction de la fréquence. Quelle est la fonction de ce système? III ) Le signal de sortie d un redresseur double alternance est couplé avec un réseau RC dont la réponse impulsionnelle est : h( t) = u( t) 1 RC e t RC Entrée x(t) Redresseur Réseau RC Sortie y(t) L entrée est sinusoïdale, avec la fréquence Fo = 50 Hz. 1) Donner la condition nécessaire sur RC pour que l harmonique 2 du signal redressé subisse un affaiblissement de -3 db en sortie du réseau (reprendre au besoin les résultats du premier TD). 2) Quel est alors l écart en db entre la composante continue présente dans le signal et l harmonique de rang 2? 3) Sachant que la résistance est en fait constituée par la partie résistive globale du pont de diodes, on a R=10 Ohms, donner la valeur du condensateur C en microfarads.

5 TD4 Transformée de Fourier, corrélation I ) Montrer les diverses propriétés de parité et de symétrie de la TF: a) si x(t) réel alors X* ( f ) = X ( f ). (symétrie hermitienne ) b) si x(t) est réel alors X(f) est paire. c) si x(t) est réel pair alors X(f) est réel paire. d) si x(t) est réel impair alors X(f) est imaginaire impaire. II ) Calculer la transformée de Fourier X(f) et représenter sur une courbe amplitude-fréquence l'allure du spectre en module des signaux à énergie finie suivants: a) x(t) = A rect(t/t) b) x(t) = u(t) exp(-at) a > 0. c) x(t) = exp(-a t ) a > 0. d) x(t) = tri (t/t) III ) Utiliser la propriété de la TF du produit de convolution afin de calculer la T.F du signal x(t) = tri (t/t). IV ) Calculer la T.F du signal représenté sur la figure suivante en utilisant la relation qui donne la TF de la dérivée d'un signal. V ) Pour le signal x(t) = u(t) exp(-at ), a > 0. Vérifier l'égalité entre X(f) ² et la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du signal. A π VI ) Soient x( t) = Asin( 2π f 0 t) et y( t) = cos( 2 f0t + ), déterminer : La fonction d intercorrélation de x(t) et y(t), - La fonction d autocorrélation de x(t), - La densité spectrale de puissance de x(t), la puissance totale de x(t).

6 TD5 TF des signaux à puissance moyenne finie non nulle, stationarité, ergodicité I ) Exprimer u(t) en fonction de la fonction signe sgn(t), puis en déduire sa transformée de Fourier U(f). II ) Calculer la transformée de Fourier et représenter sur une courbe amplitude-fréquence le spectre des signaux suivants: a) x(t) = u(t) cos(2πf 0 t) b) y(t) = cos²(2πf 0 t) c) On suppose que y(t) est le signal recueilli en sortie d un quadrateur, dont la relation entrée-sortie est donnée par, s(t) = e(t)². Dans le cas où e(t) = cos(2πf 0 t), représenter les signaux e(t) et s(t). En vous appuyant uniquement sur les spectres des signaux e(t) et s(t) indiquer la raison pour laquelle le quadrateur n est pas un système linéaire. III ) Déterminer parmi ces signaux lesquels sont stationnaires au sens large: a) x(t) = A sin( ω(ζ) t + φ ) b) x(t) = A sin( ωt) + b( t, ζ ) c) x(t) = A sin( ωt) + K( ζ ) IV ) Calculer la valeur moyenne et la puissance totale d'un signal aléatoire ternaire prenant les trois valeurs x1 = -2, x2 = 0.5 x3 = 3 avec les probabilités respectives 1/4, 5/8 et 1/8. V ) Soit un signal aléatoire analogique défini par : X ( t, ξ ) = Y ( ξ )cos( θ t) + Z( ζ )sin( θt) Y et Z sont des variables aléatoires réelles indépendantes centrées et de même variance σ² et θ est un réel. a) Calculer la moyenne statistique, la covariance statistique, l autocorrélation statistique et la puissance moyenne du signal. b) Déterminer et représenter le spectre de puissance du signal. c) Le signal est-il stationnaire? d) Le signal est-il ergodique?

7 TD6 Echantillonnage, signaux discrets I ) Soit x(t) un signal analogique tel que: On échantillonne ce signal à la fréquence 4f. x( t) = 3a cos( 3πft ) + acos( 7π ft) 1) Représenter la courbe en module de la transformée de Fourier du signal échantillonné. Interpréter cette courbe. 2) La condition de Shannon est-elle respectée? Quelles solutions proposez-vous pour qu'elle le soit le cas échéant. II ) Calculer la Transformée de Fourier du signal représenté sur la figure suivante: x(t) 1-5T0-3T0 -T0 0 T0 3T0 5T0 III ) Principe de l'échantillonnage périodique avec moyennage: C'est un échantillonneur avec maintien dans lequel le signal est moyenné en amont. Le schéma de principe est le suivant: x(t) g1(t) g2(t) x eµ (t) e(t) le filtre moyenneur g1(t) et le filtre de mise en forme g2(t) ont respectivement pour expression: g1(t) = 1/D rect( (t-d/2) / D ) g2(t) = rect( (t-d/2) / D ) la fonction d'échantillonnage e(t) est un peigne de période T o. Etablir l'expression du signal échantillonné xeµ ( t ) et sa transformée de Fourier Xeµ ( f ) en module carré.

8 IV ) Soit la fonction x(t) = tri(t/t) et X(f) son spectre. On échantillonne dans le domaine fréquentiel le spectre X(f), la période d échantillonnage choisie est Fe. On obtient ainsi un spectre échantillonné en fréquence Xe(f). Soit y(t) le signal ayant pour transformée de Fourier Xe(f), donner la condition sur Fe permettant d éviter le recouvrement des motifs du signal x(t). V ) Soit le système défini par l équation aux différences suivante : y( n) = x( n) + ay( n 1 ) avec a > 0 1) Calculer la réponse impulsionnelle causale du système 2) Préciser la condition de stabilité du système. 3) Calculer la réponse du système au signal suivant : jω n 0 x(n) = u(n)e sachant que la condition initiale est y(n) = 0, pour n < 0. 4) Montrer que y(n) peut se décomposer en deux termes, dont l un caractérise la réponse en régime transitoire (tendant vers zéro quand n tend vers l infini) et l autre caractérise la réponse en régime permanent (dont le module est indépendant de n).

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