L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

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1 ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie cette grndeur un signl inire (0,) en fixnt des seuils, le pssge d'un seuil crctérise le pssge de l'étt à O et réciproquement. Pour éviter les miguïtés on définit souvent une zone dns lquelle ucun étt logique n'est défini. 0 seuil2 seuil ignl logique informtion img ignl réel informtion sourc On peut ssocier insi à un grnd nomre de phénomènes physique un étt logique (porte ouverte/fermée; voynt écliré/éteint;...). On ssocie générlement à l étt logique l sitution ctionné du composnt. 2. Convention élément d'informtion (outons et détecteurs) Contct étlissement de Contct à coupure de Circuit circuit étt physique ctionné Non ctionné ctionné Non ctionné étt électrique pssnt Non pssnt Non pssnt Pssnt étt logique 0 0 Exemple Interrupteur Le cournt psse s'il est ctionné ctionneurs ctionneur étt physique en fonction ne fonctionne ps étt logique 0 poussoir de réfrigérteur (pssnt lorsque l porte est ouverte, le contct est non ctionné). 3. Algère de Boole L'lgère de BOOLE ou lgère logique est l'lgère définie pour des vriles ne pouvnt prendre que deux étts. 4. Opérteurs logiques fondmentux On distingue l opérteur identité ou opérteur OUI, l opérteur complémenttion (opérteur NON), l somme logique (opérteur OU) et le produit logique (opérteur ET) ) Opérteur OUI L opérteur OUI ou opérteur identité f()= f() /0/03 ystèmes logiques pge /5

2 ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot NON ET OU propriétés de l complémenttio n f ( ) = ( rre ou non ) =0 et 0= d'où l propriété d'involution = 0.0=0.0=0 0.=0.= Propriétés du produit logique.0=0.=.=. = 0 0+0=0 +0= += 0+= Propriétés de l somme logique 0+= += += += 5. Propriétés des opérteurs logiques Commuttivité, ssocitivité, distriutivité Le produit et l somme logique sont commuttifs et ssocitifs. Propriétés cominées de l somme et du produit +.= propriété d'sorption +.=+ +.c=(+).(+c) distriutivité de l somme / produit Vérifier les propriétés précédentes vec l tle de vérité 6. Théorème de De Morgn - Le complément d'un produit est égl à l somme des compléments des termes du produit. =. =.=+ 2- Le complément d'une somme est égl u produit des compléments des termes de l somme. =+ =+ =. B. pécifiction d'un fonction ooléenne:. Tle de vérité Une tle de vérité permet de décrire le fonctionnement d'un système comintoire, l'étt de chque entrée est représenté pr s vleur logique, de même pour les sorties. Il est possile de déterminer l'éqution de fonctionnement en recherchnt toutes les vleurs pour lesquelles l sortie= L'éqution de fonctionnement est égle à l somme logique de toutes les cominisons pour lesquelles l sortie vut. 2. Fonctions logiques de se à 2 vriles ) Fonctions fondmentles 28/0/03 ystèmes logiques pge 2/5

3 ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot OUI NON ET OU Amplifiction Inversion logique Produit logique omme logique églité Complémenttion = = = ET & = + OU utilistion d un contct NC X Contcts en série contcts en prllèle x Utilistion d un relis ) Autres fonctions NAND NOR OUX NON OUX Inhiition Non ET Non OU OU exclusif identité = = + = + = = = + = = + = & = = & 28/0/03 ystèmes logiques pge 3/5

4 ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot v et vient Tout fonctionnement peut être décrit en utilisnt les fonctions logiques de se. Et, OU, OUI, et NON *Les fonctions NAND, NOR, OUX sont des fonctions universelles, c est à dire que l on peut réliser vec chcune de ces fonctions toutes les utres fonctions. Ces fonctions sont principlement utilisées en technologie électronique (circuits intégrés) pour optimiser les circuits ( seul type de composnt pour toutes les fonctions). 3. Exercices ) Eclirge intérieur utomoile L lumière intérieure d'un véhicule s'éclire si une des deux portes vnts est ouverte (cpteurs pd et pg à coupure de circuit) ou si l'interrupteur du plfonnier est ppuyé. ) Décrire le fonctionnement pr une tle de vérité. 2) Déterminer l'éqution. 3) Etlir le schém électrique. 4) Etlir le schém logique. ) Fonctions universelles. Donner le schém logique des fonctions NON, ET, OU à l ide de fonction NAND et NOR. 4. Représenttion des fonctions logiques à l'ide d'un chronogrmme Un chronogrmme est un grphique sur lequel on représente l'évolution des différentes vriles en fonction du temps. Fonction ET Fonction OU t t C. Techniques de simplifiction élémentire. Utilistion des propriétés des fonctions logiques Utilistion des règles de l'lgère de Boole 2. Tleu de Krnugh Un tleu de Krnugh est un tleu dns le quel on regroupe tous les étts des sorties d un système n (un tleu pr sorties). Ce tleu comporte 2 cellules vec n n de vriles d entrées du système. on indique ussi les étts qui ne correspondent ps à un fonctionnement du système (étt incomptile) 28/0/03 ystèmes logiques pge 4/5

5 ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot 3. Exemple: description du fonctionnement d'un système à l'ide d'une tle de vérité - utilistion du tleu de KARNAUGH. Le niveu d'une cuve est contrôlé pr 2 cpteurs de niveu (n, nh) et 2 cpteurs de tempérture (th, t). Une vnne permet le remplissge tnt que le niveu hut n'est ps tteint. Une résistnce chuffnte ssure le chuffge jusqu à l tempérture mximle. une sécurité de fonctionnement interdit le chuffge si le niveu s est tteint, de même le remplissge est rrêté si l tempérture minimle est tteinte. Les cpteurs de niveu sont à l'étt logique lorsque l'eu est présente devnt le cpteur. Les cpteurs de tempérture sont à l'étt logique si l tempérture est supérieure à l tempérture à détecter. Décrire le fonctionnement pr une tle de vérité. Déterminer les équtions de fonctionnement. 28/0/03 ystèmes logiques pge 5/5

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