Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. Lorsque le rapport

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1 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I deret a un réel appartenant à I. f() f(a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand tend vers a en restant dans I, on dit que la a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f f() f(a) (a)=lim a a TANGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe au point d abscisse a. f(a) j 0 i a A PROPRIÉTÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe au point A d abscisse a est : = f (a) ( a)+ f(a) EXEMPLE La courbe tracée ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie surr. T 5 4 T T Par lecture graphique, déterminer f (0), f () et f (). A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6

2 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID. Le nombre dérivé f (0) est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point d abscisse 0. Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite T est égal à. Ainsi, f (0)=. La tangente T à la courbe au point d abscisse est parallèle à l ae des abscisses. Donc f ()=0. La droite T, tangente à la courbe au point d abscisse passe par les points de coordonnées (;0) et (5; ). Son coefficient directeur a est a= 0 5 = Le nombre dérivé f () est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse. Donc f ()= REMARQUE La courbe représentative d une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a. La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d équation = 0 en 0. Or la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 en effet : 0 lim = lim = lim =+ 0 ce n est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0. j 0 i II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel appartenant à I, f est dérivable en, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel appartenant à I son nombre dérivé f () est appelée la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Elle est notée f. DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE fonction définie et dérivable sur : fonction f définie par : fonction dérivée f définie par : R f()=k f ()=0 R f()=a+b a R f()= n (n entier n ) f ()= n n ] ;0[ ou ]0;+ [ f()= f ()= ] ;0[ ou ]0;+ [ f()= n (n entier n ) f ()= n n+ ]0;+ [ f()= f ()= R f()=sin f ()=cos R f()=cos f ()= sin A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6

3 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS u et v sont deu fonctions dérivables sur un intervalle I fonction f définie par : fonction dérivée f : Produit d une fonction par un réel k ku ku Somme u+v u + v Produit u v u v+uv Quotient (v 0 sur I) Inverse (v 0 sur I) Composée avec une fonction circulaire u v v sin(u) cos(u) u v uv v v v u cos(u) u sin(u) EXEMPLES. Produit de deu fonctions )( Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f()= (+ ). Calculer f (). Sur ]0; + [ f est dérivable comme produit de deu fonctions dérivables. f = uv d où f = u v+uv. Avec pour tout réel appartenant à l intervalle ]0;+ [, u()=+ d où u ()= v()= d où v ()= Soit pour tout réel appartenant à l intervalle ]0;+ [, f ()= ( )+ ) (+ = = + 6 Ainsi, f est la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()= Quotient de deu fonctions Soit f la fonction définie surrpar f()= 4 +. Calculer f (). SurR, f est dérivable comme somme et quotient de deu fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v. Avec pour tout réel, u()=4 d où u ()=4 v()= + d où v ()= A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6

4 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID Soit pour tout réel, f ()= 4( + ) (4 ) ( + ) = ( + ) = ( + ) Ainsi, f est la fonction définie surrpar f ()= ( + ).. Une particule est animée d un mouvement rectiligne sinusoïdal d équation (t) = 0,08 sin(t + 0,) où (t) est en mètres et t en secondes. La vitesse instantanée v(t) est donnée par (t) soit v(t)= 0,08 cos(t+ 0,)=0,96cos(t+ 0,) III DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f ()= 0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel appartenant à I, f () 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I deret f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I deret 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un etremum local en 0, alors f ( 0 )=0.. Si la dérivée f s annule en 0 en changeant de signe, alors f admet un etremum local en 0. a 0 b a 0 b f () 0 + f () + 0 maimum f() f() minimum A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 6

5 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID REMARQUES. Dans la proposition. du théorème l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie surrpar f()= qui a pour dérivée la fonction f définie surrpar f ()=. f (0)=0 et pour tout réel non nul, f ()>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d etremum en 0.. Une fonction peut admettre un etremum local en 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction f définie surrpar f()= +. f est une fonction affine par morceau, f admet un minimum f() = or f n est pas dérivable en. 0 0 POINT MÉTHODE En pratique, pour étudier les variations d une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f : on détermine la dérivée f de f ; on étudie le signe de f sur D f ; on applique le théorème sur chacun des intervalles de D f où le signe de f est constant ; on dresse le tableau des variations en indiquant les etremums, s il a lieu et éventuellement les limites au bornes de son ensemble de définition. EXEMPLE : ÉTUDE D UNE FONCTION Soit f la fonction définie surrpar f()= Calculer f (). SurR f est dérivable comme somme et quotient de deu fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v. Avec pour tout réel, Soit pour tout réel, u()=4 d où u ()=4 v()= + d où v ()= f ()= 4( + ) (4 ) ( + ) = ( + ) = ( + ) Ainsi, f est la fonction définie surrpar f ()= ( + ) A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 6

6 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID. Étudier les variations de la fonction f Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Étudions le signe de f ()= ( + ) : Pour tout réel, ( + ) > 0. Par conséquent, f () est du même signe que le polnôme du second degré avec a= 4, b=6 et c=4. Le discriminant du trinôme est =b 4ac Soit Comme >0, le trinôme admet deu racines : =6 4 4 ( 4)=00 = b a et = b+ a Soit = Soit = = = Un polnôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f () suivant les valeurs du réel ainsi que les variations de la fonction f : + f () f() 4 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 6

7 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID EXERCICE La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie surrdans un repère du plan. On note f la fonction dérivée de f. La courbe vérifie les propriétés suivantes : La tangente à la courbe au point A d abscisse est parallèle à l ae des abscisses ; la tangente à la courbe au point B(0;) passe par le point de coordonnées (;0). A 4 B Donner les valeurs de f( ), f ( ) et f (0). EXERCICE - Sur la figure ci-dessous les droites d, d, d et d 4 sont tangentes à la courbe représentative d une fonction f dérivable sur R. d d d d - -. Déterminer graphiquement f (0), f (), f (4) et f (8).. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f (0), f (), f (4) et f (8).. En déduire les équations réduites des tangentes d, d, d et d 4. EXERCICE Sur la figure ci-dessous, est la courbe représentative d une fonction f dérivable surr.les droites d, d, d et d 4 sont tangentes à la courbe. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 6

8 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID d d d 4 A 4 B d. Déterminer graphiquement f( 4), f( ) et f().. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f ( 4) et f ().. La tangente à la courbe au point A d abscisse passe par l origine du repère. Déterminer f ( ). ( 4. La tangente T à la courbe au point B 6; 8 ) est parallèle à la droite d 4. Déterminer f ( 6) puis, donner une équation de la tangente T à la courbe au point B. Tracer cette droite sur le graphique précédent. EXERCICE 4 Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer la dérivée f ().. f est définie surrpar f()= f est définie sur ]0;+ [ par f()= +. f est définie sur ]0;+ [ par f()= + 5 EXERCICE 5 Calculer la dérivée des fonctions suivantes.. f est définie surrpar f()=( ) ( 0,5 + ). g est la fonction définie surrpar f()= +. h est la fonction définie surrpar h(t)= sint +cost EXERCICE 6. Donner une équation de la tangente à la parabole d équation = +5 au point d abscisse.. Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f ()= Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d abscisse. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 6

9 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID EXERCICE 7 Soit f une fonction définie et dérivable surr. On note f la dérivée de la fonction f. On donne ci-dessous la courbe représentant la fonction f. ( La courbe passe par les points A( ;0), B(;), C(4;,) et D ; 5 ). 6 L ae des abscisses est tangent en A à la courbe. La courbe admet une deuième tangente parallèle à l ae des abscisses au point C. La tangente à la courbe au point B passe par le point M( 4; ). C B D A À partir du graphique et des données de l énoncé, répondre au questions suivantes.. Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f surr.. Déterminer f ( ), f (4) et f ().. Quel est l ensemble solution de l inéquation f () 0? 4. On donne f (5,5)=,5. Calculer les coordonnées du point d intersection de la tangente à la courbe au point D avec l ae des ordonnées. 5. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle Courbe C -4 Courbe C -4 Courbe C EXERCICE 8 Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f()= +. On note sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal.. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f ().. Étudier le signe de f ().. Donner le tableau des variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 9 sur 6

10 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f()= 8+7. On note f la dérivée de la fonction f. + Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée, est donnée ci-dessous à titre indicatif.. Calculer f ().. Étudier le signe de f ().. Donner le tableau des variations de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse. Tracer sur le graphique donné, la tangente T. ( ) 0 EXERCICE 0 Soit f la fonction définie surrpar f() = On note sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. Calculer la dérivée de la fonction f.. Étudier les variations de f.. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse. EXERCICE Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée d une fonction f dérivable surr. On sait que : la droite D est tangente à la courbe au point A( ;) ; la courbe admet deu tangentes parallèles à l ae des abscisses au points d abscisse et. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 0 sur 6

11 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID 4 D A Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est eacte.. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f alors : - f ( )= f ( )= f ( )> f (0). L équation f ()=0 admet : une solution deu solutions trois solutions. f est définie surrpar : f ()= ( )( + ) +9 EXERCICE f ()= ( ) (+) +7 f ()= ( )(+) La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable surr. On note f la dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe (C) coupe l ae des ordonnées au point A(0; ) ; la tangente en A à la courbe (C) coupe l ae des abscisses au point d abscisse 4. 0 (C). À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer f(0) et f (0).. Soit g la fonction définie surrpar g()= f(). Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6

12 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID EXERCICE Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée d une fonction f dérivable surr. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe admet une tangente parallèle à l ae des abscisses au point A(;). A 0. À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer f() et f ().. Une seule des trois propositions suivantes est eacte, déterminer laquelle. a. f () f (4)<0 b. f () f (4)=0 c. f () f (4)>0. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f? 0,5 0 0 Courbe C Courbe C 0 Courbe C 4. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C est-à-dire la fonction h définie surrpar h()= f(). a) Calculer h () b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h? EXERCICE 4 Soit f la fonction définie pour tout réel par f()= On note sa courbe représentative.. Calculer la dérivée de la fonction f. Vérifier que f ()= + ( +5) A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6

13 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID. a) Étudier le signe de f (). b) En déduire le tableau des variations de la fonction f.. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous EXERCICE 5 Soit f la fonction définie sur l intervalle [ π;π] par f()=sin() sin. Montrer que la fonction f est impaire. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f ().. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [0;π]. 4 π 5π 4π π π π 0 π π 4π 5π π π - - a) Vérifier par le calcul, que l équation f ()=0 admet quatre solutions dans l intervalle [0;π] b) À l aide du graphique, donner le signe de f (). 4. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l intervalle [0;π] 5. Recopier et compléter le tableau suivant : 0 f() π π 6. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ π; π] dans le repère précédent. - A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 6 π 4π π π

14 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID EXERCICE 6 Soit f la fonction définie surrpar f ()=( ) ( ). On note f sa fonction dérivée. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan est donnée ci-dessous.. Calculer f ().. Étudier les variations de la fonction f.. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous. 5 0 EXERCICE 7 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par f() = a+b+ c où a, b et c sont trois réels. Sa courbe représentative notée est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note f la dérivée de la fonction f. La courbe passe par les points A(;0) et B(;). La tangente à la courbe au point B est parallèle à l ae des abscisses. B A Déterminer f ().. Eprimer f () à l aide de a, b et c.. Calculer a, b et c et donner l écriture de f(). 4. Vérifier que f ()= 4. Étudier le signe de f (), en déduire le tableau des variations de la fonction f. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 6

15 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID 5. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point A. Tracer cette droite sur le graphique précédent. 6. Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation graphique d une fonction F définie sur l intervalle ]0; + [ et aant pour dérivée la fonction f? Courbe Courbe Courbe EXERCICE 8 Soit f une fonction définie définie et dérivable sur l intervalle donné ci-dessous. ] [ ;+ dont le tableau des variations est + f(). On note f la dérivée de la fonction f. Déterminer f ().. Déterminer les réels a et b tels que f()=a+b On admet que f est la fonction définie sur l intervalle ] [ ;+ par f()= Justifier par le calcul les résultats obtenus dans le tableau de variation. 6 EXERCICE 9 On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d une fonction f définie sur l intervalle ] ;+ [. On note f la dérivée de la fonction f A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 6

16 Lcée JANSON DE SAILLY 0 novembre 04 DÉRIVATION re STID PARTIE A. Par lecture graphique, donner les valeurs de f() et de f (). Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle Courbe C Courbe C Courbe C PARTIE B La fonction f est définie sur l intervalle ] ;+ [ par f()= Calculer f ().. Donner le tableau complet des variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 6