Nouvelles surfaces ayant de propriétés remarquables

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1 Nouvelles surfaces ayant de propriétés remarquables Exposé au Conseil Scientifique de l Université de Poitiers, 11 Février 2016

2 L article présenté, domaine de recherche Chern slopes of simply connected complex surfaces of general type are dense in [2,3] Annals of Mathematics 182 (2015), Travail avec Giancarlo Urzúa (Santiago, Chili). Domaine de recherche : la Géométrie Algébrique Deux grands noms du domaine: Alexander Grothendieck ( ) Jean-Pierre Serre (né en 1926)

3 Figure: Une courte biographie de A. Grothendieck, 2016, vendu à la libraire la belle aventure à Poitiers.

4 Historique du problème ; Les polyèdres convexes Définition Polyèdre : Partie finie de l espace, limitée par des polygones (faces du polyèdre) de telle façon que chaque arête soit commune à deux faces. Définition S il existe une droite tracée à la surface du polyèdre qui entre dans le polyèdre, celui-ci est dit concave, sinon il est dit convexe.

5 Un exemple de polyèdre concave

6 Exemples de polyèdres convexes

7 Théorème (Descartes, Euler) Dans un polyèdre convexe, le nombre S de sommets moins le nombre A d arêtes plus le nombre F de faces est toujours égal à 2: S A + F =2.

8 Exemple des 5 polyèdres réguliers de Platon La formule d Euler-Descartes pour ces figures est: V + F E =2

9 Généralisation aux surfaces de Riemann Au 19 ième sciècle, Poincaré a généralisé ce résultat. Il a considéré des objets appelés surfaces de Riemann dont voici l aspect: Figure: Surface à n trous Ces surfaces sont les représentations graphiques des solutions d équations algébriques à deux variables, par exemple l ensemble: X = {(x, y) 2 C 2 y 2 = x(x 1)(x 2)} est une surface à un trou.

10 Généralisation aux surfaces de Riemann On peut trianguler une telle surface, c est-à-dire la recouvrir de triangles: Figure: Surface à 2 trous triangulée Théorème Sur une surface X à n trous dessinons une triangulation. Soit S le nombre de sommets, F le nombre de triangles et A le nombre d arêtes de cette triangulation, alors: S A + F = 2 2n Un point remarquable est que quelle que soit la triangulation, on retombe sur le même nombre, dit nombre d Euler e(x ) = S + F A de X.

11 Généralisation aux surfaces de Riemann En fait j ai été un peu trop rapide dans la définition de surface de Riemann. Par exemple, les deux surfaces de Riemann {(x, y) 2 C 2 y 2 = x(x 1)(x 2)} et {(x, y) 2 C 2 y 2 = x(x 1)(x 3)} ont des propriétés très di érentes. La première ne possède qu un nombre fini de solutions (x, y) avecx et y tous deux rationnels, alors que la seconde en possède une infinité. (Aparté : la seconde surface peut être utilisée pour crypter vos données de carte bleue ou d accès à vos mails.) Mais d un point de vue topologique, les deux surfaces de Riemann sont les mêmes, elles se déforment de la même façon en un tore (c est-à-dire en une surface à un trou): Ces deux surfaces ont le même nombre d Euler: e =2 2 1 = 0. Définition On dit que le nombre d Euler e(x ) d une surface X est un invariant topologique.

12 Généralisation en dimension 4 Les objets que nous avons vu jusqu à présent sont de dimension 2 : des surfaces (de Riemann). J étudie des objets X de dimension 4 définis eux aussi à l aide d équations polynômiales sur les nombres complexes ; par exemple : X = {(x, y, z) 2 C 3 z 2 = x 3 + y 5 }.!! mes objets sont également appelés des surfaces!! C est parce qu il sont de dimension complexe 2.

13 Àquoiressembleunesurfacededimension4 Figure: La partie visible de la surface dodèctique de Sarti

14 Comme pour les surfaces de Riemann, il est possible de découper ces objets en briques de dimensions 0, 1, 2, 3, 4 (= points, arêtes, faces, volumes, objets de dimension 4). Théorème (H. Poincaré) Soit b k le nombre de briques de dimension k d un découpage de X. Le nombre e(x ) := b 0 b 1 + b 2 b 3 + b 4 est indépendant du découpage choisi. On dit que e(x ) est le nombre d Euler de notre objet X.

15 Un second invariant Le nombre d Euler de X est un entier, c est un invariant topologique de X (c est-à-dire qu il reste constant quand on déforme X ), il est aussi appelé second nombre de Chern de X, et noté c 2 (X ). Définition Il existe un autre nombre entier dit premier nombre de Chern et noté c1 2 (X ) qui est également un invariant topologique de X. Je ne connais pas d interprétation géometrique simple de cet invariant. Restrictions sur ces deux invariants : 1 5 apple c2 1 (X ) apple 3, e(x ) inégalités de Noether (1900) et de Bogomolov-Miyaoka-Yau (1977) respectivement (de plus 12 divise c1 2 (X )+e(x )).

16 Un travail impliquant une quinzaine de chercheurs sur une vingtaine d années ( ) a permis de montrer le résultat réciproque suivant: Théorème Soient a, b deux entiers tels que 1 5 apple a b apple 3 et 12 divise a + b. AlorsilexisteunesurfaceX telle que c1 2 (X )=a, e(x )=b. Dès le début de la classification des surfaces (1975), on a cherché les surfaces qui vérifient une condition supplémentaire : la simple-connexité, dont je vais parler maintenant.

17 La simple connexité : définition et exemples Comme le montre la figure suivante, sur une sphère, un élastique enroulé sur l équateur peut se resserrer en un seul point : Dit autrement, tout chemin dessiné sur une sphère se déforme en un point : la sphère est dite simplement connexe. A l opposé, sur une surface à un trou, il n est pas possible de resserrer les élastiques rouge et violet: Figure: une surface à un trou n est pas simplement connexe

18 Définition On dit qu une surface (de dimension 4) est simplement connexe si tout chemin dessiné dessus se déforme en un point. Etant donné la di culté à construire des surfaces simplement connexes avec c2 1 (X ) e(x ) élévé, a été formulé la conjecture suivante: Conjecture (1980) Soit X une surface simplement connexe. Alors c2 1 (X ) e(x ) < 2. Un contre exemple à cette conjecture a été construit 7 ans plus tard (par Teicher Moishezon). De nombreux chercheurs ont ensuite travaillé sur le problème suivant : Problème Construire des surfaces simplement connexes telles que le ratio c2 1 (X ) e(x ) soit le plus élevé possible. Quel est le maximum que c2 1 (X ) e(x ) puisse atteindre? Contributions par Bogomolov, Holzapfel, Chen, Persson, Peters, Xiao...

19 En 1996, Persson, Peters, Xiao obtiennent le résultat suivant : Théorème (1996) Il existe une surface simplement connexe telle que c2 1 (X ) e(x ) =2, En 2010, Urzua améliore ce résultat par : Théorème (2010 Urzua) Il existe une surface simplement connexe telle que c 2 1 (X ) e(x ) =2, Enfin en 2014, j ai obtenu avec G. Urzua le résultat suivant: Théorème (Urzua, X.R. - Annals of Maths 2015) Il existe des surfaces simplement connexes X 1, X 2, etc... telles que les ratios successifs soient de plus en plus proche de 3. c 2 1 (X 1) e(x 1 ), c2 1 (X 2) e(x 2 ), etc... Par exemple la surface X 7 vérifie que c2 1 (X7) e(x 7) =2, 94...

20 Théorème (Urzua, X.R.- Annals of Maths. 2015) Il existe des surfaces simplement connexes X 1, X 2, etc... telles que les ratios successifs soient de plus en plus proche de 3. c 2 1 (X 1) e(x 1 ), c2 1 (X 2) e(x 2 ), etc... Rappelons que pour toute surface X, on a c2 1 (X ) c 2 1 (X ) e(x ) e(x ) apple 3, deplussi = 3, alors la surface n est pas simplement connexe. Le résultat que nous obtenons est donc optimal et clos le problème. Notre construction utilise de manière essentielle et paradoxale les surfaces ayant c2 1 (X ) e(x ) = 3 dont on sait qu elles ne sont jamais simplement connexes.

21 Merci pour votre attention!

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