UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

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1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : A. Redouani & E. Elqorachi 1

2 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique Ensembles Applications Relations binaires Dénombrement & Dénombrabilité Chapitre : Structures algébriques Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles Définition formelle des polynômes Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d autres exemples, d autres résultats,, donc la présence aux séances du cours magistral est obligatoire!!!

3 Chapitre I : Introduction en Algèbre. I. Notion de Logique : On appelle assertion ou proposition simple un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté s il est vrai ou s il est faux. Exemple : «3 < 10» est une assertion vraie ; «5 <» est une assertion fausse. Par deux points distincts il passe une droite et une seule : est une assertion vraie. On appelle prédicat ou proposition fonctionnelle un énoncé contenant des variables, qui sera vrai pour certaines valeurs attribuées aux variables, faux pour les autres variables. Exemple : «P(x) : x > 10» est vraie pour les réels strictement supérieurs à 10, fausse pour les autres. La négation d une proposition «P» que l on note «non P» est vraie lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vraie. Exemple : La négation d une fonction f paire est une fonction f telle qu il existe x 0 R vérifiant f ( x0) f ( x0). Connecteurs : Définitions : La conjonction de deux propositions P, Q qu on note «P et Q» est vraie ssi P et Q sont vraies simultanément et fausses dans tous les autres cas. La disjonction (inclusive) de deux propositions P et Q que l on note par «P ou Q» est vraie si au moins l une des propositions P ou Q est vraie et fausse dans les autres cas. La disjonction exclusive de deux propositions P et Q est «ou bien P ou bien Q» est vraie ssi l une des propositions est vraie et l autre fausse. En mathématique, le sens du mot «ou» est toujours le ou inclusive!!! L implication : la proposition P Q est fausse si P est vraie et Q fausse, elle est vraie dans tous les autres cas ; sa réciproque est Q P ; sa contraposée est nonq nonp. L équivalence : la proposition P Q est vraie si les deux propositions P et Q sont vraies toutes les deux ou fausses toutes les deux. Propriétés : A l aide de la table de vérité, on vérifie que : 1. ( P Q) ( nonp ou Q ) ( nonq nonp). non( PouQ ) ( nonp) et( nonq).. Quantificateurs : Le symbole s appelle le quantificateur universel, il signifie «pour tout», «quel que soit» ; par exemple : x R x 0. Le symbole s appelle le quantificateur existentiel, il signifie «il existe au moins» ; si on a l unicité de l existence on écrit! ; par exemple :! x R tel que x

4 La négation de ( x E P (x) ) est ( x E nonp (x) ) ; par exemple la négation de (( x R x > 0) est ( x R x 0). La négation de ( x E P (x) ) est ( x E nonp (x) ) ; exemple!!! Remarque : Si dans une expression on a les symboles et, il ne faut pas les permuter ; comme le montre l exemple suivant : x R n N / x n est vrai mais n N x R x n est faux. Méthodes de raisonnement mathématique : Raisonnement par récurrence : il consiste à montrer qu une propriété P(n) est vraie pour tout entier n no ; on vérifie que P ( n 0 ) est vraie puis on montre que P ( n) P( n 1) pour tout n n0. Exemple : 1) montrons que n n n 5. 5 On a 3 5 5, ensuite supposons n n 1 n et montrons que ( n 1). De n ( n 1) pour même n 3 n n on obtient. n. n, comme., on a le résultat. ) Trouver l erreur dans la démonstration de l assertion suivante : Tout groupe de personnes qui contient (au moins) une femme ne contient que des femmes. Démonstration : 1. P(1) est vraie.. Supposons que P(n) est vraie et montrons qu alors P(n + 1) est vraie. Soit un groupe de (n + 1) personnes qui contient une femme. Notons (e 1, e,, e n+1 ) ce groupe, e 1 désignant une femme. Le groupe (e 1,, e n ) de n personnes contient une femme : e 1 ; P(n) étant supposée vraie, ce groupe ne contient que des femmes. On en déduit que le groupe (e,, e n+1 ) est un groupe de n personnes qui contient au moins une femme (e n, par exemple). Il ne contient donc que des femmes (puisque P(n) est vraie). Par suite e n+1 est une femme et donc P(n + 1) est vraie. Conclusion : Par récurrence, P(n) est vraie pour tout nεn. Raisonnement par contraposée : Il consiste à montrer que P Q est vraie en montrant que sa contraposée nonq nonp est vraie. Exemple : On montre facilement que n est pair n est pair à l aide de la contraposée. Raisonnement par l absurde : Pour montrer qu un énoncé est vrai on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction, par exemple pour montrer que P Q est vraie on suppose que P est vraie et Q fausse et on aboutit à une contradiction car la négation de P Q est (P et non Q). Exemple : a Montrons que ( a R, 0 a ) ( a 0), en effet : sinon a 0, alors pour a on aurait a, absurde. D où le résultat. Raisonnement par déduction directe : comme son nom l indique!! Exemple : montrons que : le trinôme ax bx c possède une racine réelle x0 le b discriminant b 4ac 0 ; ( ax0 bx0 c 0... ( x0 ), donc 0 ) a 4a. 4

5 II. Notion d Ensembles : La notion d ensemble est une notion élémentaire en mathématique qui n est donc pas définissable par d autres notions plus simples. Par ensemble on entend une collection d éléments possédant les mêmes propriétés caractéristiques. Pour indiquer qu un élément x appartient à un ensemble E on écrit x E, dans le cas contraire x E. Exemples d ensembles : N, Z, Q, R, C, F E, F.. ;!!!!! Définitions : Partie ou sous-ensemble d un ensemble : on dit que A est un sous ensemble de E si tout élément de A est aussi élément de E, on écrit A E. Intersection de deux ensembles : A B = {x A et x B}. Réunion de deux ensembles : A B = {x A ou x B}. Le complémentaire d un sous-ensemble dans un ensemble : C A E = {x E et x A}. La différence de deux ensembles : A\B = x A et x B. La différence symétrique de deux ensembles : A B = A\B B\A. L ensemble des parties d un ensemble : P E = A tel que A E, φ E. Le produit cartésien de deux ensembles : E F = x, y tel que x E et y F. Généralisation de l intersection et de la réunion d une famille de parties d un ensemble : Soient E un ensemble et (A iεi ) une famille de parties de E, on appelle réunion des A i l ensemble noté iεi A i = {xεe tq i I avec x A i } (de même l intersection) III. Notion d Applications : Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides. a. On appelle application f de E dans F et l on note par f : E F une règle qui associe à chaque élément x E un élément unique y F appelé image de x ; E est dit ensemble de départ, F ensemble d arrivée et x l antécédent de y. b. L application f est dite injective si tout élément de F est image d au plus un élément de E ; elle est dite surjective tout élément de F est image d au moins un élément de E. Elle est dite bijective si elle est injective et surjective, i,e : tout élément de F est image d un élément unique de E. c. Soit g : F G une application, on appelle le composé de f et g que l on note par gof l application gof : E G définie par gof ( x) g( f ( x)). d. On dit que l application f : E F admet comme application réciproque 1 h : F E si on a : hof id E et foh id F, on note h par f. e. Soient A E, B F et f : E F une application ; on appelle image directe de A par f l ensemble f ( A) f ( x) / x A, l image réciproque de 1 B par f l ensemble f ( B) x E / f ( x) B Exemples : L application identique : id E : x E x E. L injection canonique : Soit A E, i : x A x A E, l application i : A E. L application f: Z N définie par f ( n) n si n 0 et f ( n) n 1 si n 0 est bijective. Encore des exemples!!! 5

6 Expression de l application, l injection, la surjection et de la bijection à l aide des symboles : Une application : x = y f x = f y. Une injection : f x = f y x = y ou x y f x f y. Une surjection : yεf x E tel que y = f x. Une bijection : yεf! x E tel que y = f x. Théorème : Une application est bijective ssi elle admet une réciproque. Pour la démonstration on utilise les deux lemmes suivants. Lemme 1 : si gof est injective alors f est injective. Lemme : si gof est surjective alors g est surjective. IV. Relations binaires : Relation d équivalence & relation d ordre. Définitions : Une relation binaire R sur un ensemble E est une règle qui permet de lier certains éléments de E entre eux. La relation R est dite réflexive si xεe on a xrx. La relation R est dite symétrique si xry yrx. La relation R est dite antisymétrique si xry et yrx x = y. La relation R est dite transitive si x Ry et yrz xrz. La relation R est dite d équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive. La relation R est dite d ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Exemples : L inclusion dans P(E) est une relation d ordre. L égalité dans P(E) est une relation d équivalence. Dans R la relation xry si x y = x y est une relation d équivalence ; cl(x) =?!!!!!! Soit R une relation d équivalence sur un ensemble E et x E, on appelle classe d équivalence de x l ensemble x = yεe tel que xr y. L ensemble des classes s appelle l ensemble quotient et l on note par E R. Exemple : Sur Z la relation R définie par nrm si n m est un multiple de p où p N et p est une relation d équivalence et on a Z R = {0, 1,, p 1 }, on le note par Z pz. Propriété : La famille des classes d équivalence forme une partition de E,i,e : les classes d équivalence sont disjointes deux à deux et leur réunion est égale à E. Il suffit de montrer que si x, yεe on a: ou bien x = y ou bien x y =, en effet : Si x y, z x y donc xrz et zry, par la transitivité on a xry donc x = y. Réciproquement : soit (A i ) iεi une partition de E, alors il existe une relation d équivalence R sur E tel que E R soit l ensemble des A i, iεi. On considère xry s il existe iεi tq x, yεa i. (vérification simple!) Décomposition canonique d une application : Soit f: E F une application ; la relation R sur E définie par xry si f x = f(y) est une relation d équivalence, appelée relation d équivalence associée à f. Théorème : 6

7 Il existe une application unique f: E R f(e) telle que f = iofos où s: E E R est la surjection canonique définie par s x = x et i: f(e) F est l injection canonique définie par i y = y. De plus f est bijective. V. Dénombrement & Dénombrabilité : Permutations : On note F n = {1,, n}, on appelle permutation de F n toute bijection de F n dans lui-même. On note par exemple par σ = ( ) la permutation de F 5 définie par σ 1 =, σ = 5, σ 3 = 4, σ 4 = 3 et σ 5 = 1. L ensemble des permutations de F n est noté S n. La donnée d un élément σ ε S n est définie par les données successives de σ 1 εf n, σ ε F n σ 1,, σ n. On en déduit : cards n = n n 1 1 = n! car on a n possibiltés pour le choix de σ(1) dans F n et une fois σ(1) choisie il reste (n 1) possibilités pour le choix de σ() dans F n σ 1 et ainsi de suite. Arrangements : Soient n, pεn avec p n. On appelle arrangement de p éléments de F n (ou parmi n éléments) tout p uplet x 1,, x p de (F n ) p tel que x 1,, x p soient distincts deux à deux. La donnée d un arrangement (x 1,, x p ) revient aux données successives de x 1 dans F n (donc n choix), de x dans F n {x 1 } (donc (n 1) choix),,x p dans F n {x 1,, x p 1 } (donc n p + 1) choix. On en déduit que le nombre d arrangements de p éléments de F n est : n! A p n = n n 1 n p + 1 =. C est aussi le nombre des injections de F n p! p dans F n. Combinaisons : Soit (n, p)εn. Si p n, on appelle combinaison de p éléments de F n toute partie de F n de cardinal p. A chaque partie {x 1,, x p } de F n correspond p! arrangements, donc A p p n = p! C n où C n p est le nombre des combinaisons de p éléments de F n. On a : C n p = 7 n! p! n p!. Formule fondamentale : C p n + C p+1 n = C p+1 n+1. (la vérifier!) Triangle de Pascal : le dessiner! Formule du binôme de Newton : l écrire et la prouver par récurrence! Application : si carde = n, alors cardp E = n (partir de (1 + 1) n = ) Un ensemble E est dit fini si le nombre de ses éléments est fini, on le note carde. Il est infini dans le cas contraire. Proposition : Soient E un ensemble fini et f: E E une application, alors f est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective. Un ensemble E infini est dit dénombrable s il existe une bijection f: N E. Théorème : Toute partie de N est finie ou dénombrable. soit A une partie N infinie, on définit une application n N x n A ainsi : x 0 est le plus petit élément de A, x 1 le plus petit élément de A {x 0 }. Supposons x n défini, on pose x n+1 = le plus petit élément de A {x 0, x 1,, x n }. Comme par construction on a : i < j x i < x j alors cette application est injective. Montrons qu elle est surjective : soit aεa, si a = x 0 pas de problème (a est image), sinon, soit m le plus grand entier tq x m < a, donc a = x m+1 car aεa {x 0, x 1,, x m } et si a x m +1 on aurait x m +1 < a, ce qui contredit la définition de m.

8 Corollaire : Toute partie d un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable. S il existe f: N E surjective alors E est fini ou dénombrable. S il existe f: E N injective alors E est fini ou dénombrable. Théorème : La réunion finie d ensembles dénombrables est dénombrable. il suffit de le prouver pour deux ensembles dénombrables E et F ; soient deux bijections : n N x n E et n N y n F, alors l application f: N E F définie par f n = x n et f n + 1 = y n est surjective, comme E F est infini alors il est dénombrable. Corollaire : Z = N Z est dénombrable. Théorème : Tout produit fini d ensembles dénombrables est dénombrable. Si f: N E et g: N F sont deux bijections alors l application : N N E F définie par n, m = (f n, g(m)) est une bijection, donc il suffit de trouver une bijection entre N N et N. Soit f: N N N définie par f n, m = n+m (n+m+1) + n, c est une bijection en effet : Pour vérifier l injection : on montre n + m < s + t f n, m < f(s, t) en utilisant le fait suivant a, bεn et a < b a + 1 b. Pour la surjection : soit nεn on pose A n = {kεn tq n = 1,,3, 6. En posant p = n m(m +1) k k+1 n}, expliciter A n pour, q = m p où m est le plus grand élément de A n, montrer que p, qεn et f p, q = n. Faire un schéma de ce procédé d énumération des éléments N N. Application : déterminer n, m tq f n, m = 010. Corollaire : Q est dénombrable. L application p, q ε Z Z p ε Q est surjective. q Série de Travaux dirigés N 0 1 Exercice 1 : On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n et tout réel > 0, on a (1 + x) n 1 + nx. 1. La récurrence porte-elle sur n? sur x? sur les deux?. Enoncer l hypothèse de récurrence. 3. Vérifier que 1 + nx 1 + x = 1 + n + 1 x + nx. 4. Rédiger la démonstration. Exercice : Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a : n ( 1) k k = 1 n n+1 1 k=1 4 8

9 Exercice 3 : Démontrez que si vous rangez (n + 1) paires de chaussettes dans n tiroirs distincts, il y a au moins un tiroir contenant deux paires de chaussettes. Exercice 4 : Soit f: E F. 1. Montrer que f est injective ssi pour tous A, B E on a f A B = f(a) f(b).. Montrer que f est bijective ssi pour tout A E on a f C A = C f(a). 3. Justifier les inclusions f f 1 B B et A f 1 f A où A E et B F. A-ton égalité en général? Exercice 5 : Soit trois applications f: E F, g: F G, : G E telles que gof et og soient bijectives, démontrer que f, g, sont bijectives. Exercice 6 : y si y est pair Soient f, g: N N définies par f x = x et g y = y 1 si y est impair. Etudier l injectivité, la surjectivité, la bijectivité de f et g; préciser gof etfog. Exercice 7 : On définit sur Z la relation xry ssi x + y est pair. Montrer qu on définit ainsi une relation d équivalence puis expliciter ses classes d équivalence. Exercice 8 : On définit sur R la relation xry ssi xe y = ye x. Montrer qu on définit ainsi une relation d équivalence puis expliciter ses classes d équivalence. Exercice 9 : Une relation R sur un ensemble E est dite circulaire si arb et brc cra. Montrer qu une relation est une relation d équivalence ssi elle est réflexive et circulaire. Donner un exemple de relation circulaire qui ne soit pas une relation d équivalence. Exercice 10 : On considère R muni de l ordre usuel. 1. Soit R la relation définie sur R par x, y R x, y ssi x x et y y. Vérifier que c est une relation d ordre ; l ordre est-il total? Est-ce que (R ) admet une borne supérieure dans R, si oui, quelle est-elle? (ordre produit). Mêmes questions si on considère la relation S définie sur R par x, y S x, y ssi x x ou (x = x et y y ) (ordre lexicographie) Exercice 11 : Soit n un entier naturel. On se donne (n + 1) réels x 0, x 1,..., x n de [0, 1] vérifiant : x 0 x 1 x n. On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante : «Il y a deux de ces réels qui sont distants de moins de 1/n» a) Ecrire à l'aide de quantificateurs et des valeurs x i x i 1 une formule logique équivalente à la propriété. b) Ecrire la négation de cette formule logique. c) Rédiger une démonstration par l'absurde de la propriété.(on montrera que x n x 0 > 1) Exercice 1 : Soient f: A B et g, : B A trois applications telles que : gof = id A et fo = id B. Montrer que f est bijective et que g = = f 1. 9

10 Exercice 13 : Montrer qu un ensemble est infini ssi il est en bijection avec l un de ses sous-ensembles propres. Exercice 14 : Soit f: NXN N définie par f p, q = p (q + 1). Montrer qu elle est bijective. 10

11 Chapitre II : Structures algébriques (Groupes - Anneaux Corps) I. Lois de composition interne : On appelle loi de composition interne (lci) sur un ensemble E, notée ici par le signe, une application : E E E, qui à tout couple (x, y) d éléments de E, associe un unique élément z noté x y, appelé le composé de x et y. Exemples : L addition et la multiplication sur N, Z, Q, R, C. La soustraction n est pas une lci sur N, la division n est pas aussi une lci sur Z. La réunion, l intersection et la différence symétrique d ensembles sont des lci sur l ensemble des parties d un ensemble. La composition des fonctions est une lci sur l ensemble des fonctions numériques F(R, R). L addition et le produit aussi. Propriétés des lci : Associativité : Cette propriété exprime que le composé de trois éléments ne dépend pas des parenthèses ; a, b, c E a b c = a b c. Conséquence : il est possible de définir le composé de 3 éléments, a b c, et de proche en proche de n éléments, si la loi est associative. Comme exemples de lois associatives on cite l addition et la multiplication sur les ensembles N, Z, Q, R, C. ainsi que l addition, la multiplication et la composition sur F(R, R), la réunion, l intersection et la différence symétrique d ensembles dans P E. Commutativité : Le composé de deux éléments ne dépend pas de l ordre. a, b E on a: a b = b a. Exemples : 1) L addition et la multiplication dans N, Z, Q, R, C. ) La soustraction n est pas commutative sur Z, Q, R, C. 3) La réunion, l intersection et la différence symétrique d ensembles sont commutatives. 4) La composition des applications n est pas commutatives. Elément neutre : e est élément neutre pour la lci si x E e x = x e = x. Exemples : 1) 0 est neutre pour l addition dans N, Z, Q, R, C ; ) 1 neutre pour la multiplication dans N, Z, Q, R, C. 3) Id A neutre pour la composée des applications dans F(A, A). 4) Chercher l élément neutre ( s il en existe) pour les lci : intersection, réunion, différence symétrique dans P E. propriété1 : Si une lci possède un élément neutre celui-ci est unique. ( la preuve est facile!) 11

12 propriété : Si une lci possède un élément neutre à droite e (i,e : xεe x e = x), (1) et un élément neutre à gauche e" (i,e: xϵe e" x = x) () alors e = e". il suffit de faire x = e dans la (1) et x = e dans la (). Symétrique d un élément : Soit une lci sur un ensemble E ayant un élément neutre e, on dit qu un élément xεe admet un symétrique x εe si x x = x x = e. Si la loi est l addition, le symétrique s appelle l opposé. Si la loi est la multiplication, le symétrique s appelle l inverse. Pour la composition des fonctions dans F(R, R), les fonctions qui ont un symétrique sont les bijections et le symétrique d une fonction bijective est la bijection réciproque. Propriété1 : Soit une lci sur un ensemble E associative et ayant un élément neutre e, si un élément xεe admet un symétrique, celui-ci est unique. Supposons que x possède deux symétriques x et x", alors on a grâce à l associativité : x = x e = x (x x" )=(x' *x) * x"=e * x" = x", d où le résultat. Remarque : La preuve précédente montre aussi que si on a une lci sur un ensemble E associative et ayant un élément neutre e, et si un élément xεe admet un symétrique x à gauche (x * x = e) et un symétrique x à droite (x * x = e) alors x = x. Propriété : Soit une lci sur un ensemble E associative et ayant un élément neutre e, si un élément a ε E admet un symétrique a alors l équation a x = b possède une solution unique x = a b. Propriété3 : Soit une lci sur un ensemble E associative et ayant un élément neutre e, si les éléments x, yεe admettent des symétriques x et y alors le symétrique de x y est y x. Remarque : On connaît déjà cette propriété dans le cas où f et g sont des bijections (fog) -1 = g -1 of -1. Dans la suite on va étudier des exemples de structures. Ce sont des ensembles avec des lci ayant de «bonnes propriétés.» II. Groupes : On appelle groupe un ensemble G muni d une lci notée vérifiant les axiomes suivants : L associativité, l existence d un élément neutre et l existence de l élément symétrique pour tout élément de G. Si de plus la lci est commutative G est dit groupe commutatif. Exemples : Z, Q, R, C pour l addition. Z, Q, R, C pour la multiplication.(on retire 0 car il n est pas inversible) F(R, R) pour l addition. P(E) muni de la différence symétrique d ensembles. L ensemble des bijections de E dans E muni de la composition des applications. 1

13 Soit G un groupe pour la loi, et F un sous-ensemble de G. On dit que F est un sous-groupe de G si : F est stable par la loi i,e : x, y F x yεf. L élément neutre appartient à F Le symétrique de tout élément de F est dans F. Remarque : Un sous-groupe F d un groupe G est lui-même un groupe. Exemple : - e et G sont des sous-groupes triviaux de G. - L ensemble des fonctions dérivables sur R est un sous-groupe de F(R, R) pour l addition. - Z, Q sont des sous-groupes de R pour l addition. Propriété : Les sous-groupes de (Z, +) sont n Z = {nk, k parcourt Z }, où n est un entier naturel. a) On vérifie facilement que nz est bien un sous-groupe de Z. b) Réciproque : soit F un sous-groupe de Z. Si ce sous-groupe est 0, on a 0 = 0Z. Sinon, il existe a F, a 0, a > 0 (car aεf) ; soit n le plus petit entier non nul dans F. Soit x > o, et xεf la division euclidienne de x par n donne : x = nq + r et 0 r < n, comme nq = n + + n q fois, nεf nq, nq εf donc r = x nqεf. Puisque n est le plus petit entier non nul de F, on en conclut r = 0, d où F nz. Pour l inclusion inverse, elle résulte du fait que n F et kn = n + + n k fois F. Propriété : On vérifie facilement que l intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe. Remarque : Si on prend H = Z et G = 3Z on a H G n est pas un sous-groupe de (Z, +). Morphisme d un groupe : Soient G,., (G, ) deux groupes et f: G G une application. On dit que f est un homomorphisme de groupe si : x, y ε G on a f x. y = f x f y. c-à-d : l image du composé de deux éléments de G par f est le composé de leur image) Exemple : ln: (R +,. ) (R, +). Propriété : Soit f: G G un homomorphisme de groupe, alors on a : 1. f e = e où e (resp. e ) est l élément neutre de G (resp.g ).. Le symétrique de f(x) est l image du symétrique de x. 3. L image réciproque par f de l élément neutre de G est un sous-groupe de G. Il est dit noyau de f et noté Kerf. 4. f est injective ssi le noyau de f est réduit à {e}. 5. L image d un sous-groupe de G par f est un sous-groupe de G. 1) Soit xεg, f x = f xe = f x f e, donc f e = e. ) Soient xεg, x 1 son symétrique alors f x f x 1 = f x. x 1 = f e = e, d où. 3) Le noyau de f se par N(f) ou kerf, il contient e l élément neutre de G ; on vérifie facilement que c est un sous-groupe. 13

14 4) Supposons f injective ; puisque f(e) = e on a bien Kerf = {e}. Réciproquement, si Kerf = {e} alors f x = f y f x f y 1 = e = f xy 1 xy 1 = e x = y. 5) Vérification simple. Groupe quotient : Soient G un groupe dont la loi est notée multiplicativement, H un sous-groupe de G et R la relation entre les éléments de G définie par xry si x 1 yεh ; alors les propriétés suivantes sont faciles à vérifier : i) R est une relation d équivalence. ii) La classe de x est xh. iii) L application y xy de H dans xh est bijective. Remarque : Si l on considère la relation xy 1 H on a des propriétés analogues aux précédentes, avec Hx au lieu de xh. Les ensembles de la forme xh (resp. Hx ) s appellent classes à gauche (resp. à droite) suivant H ; si G est commutatif on parle seulement de classe suivant H. Conséquence de iii) : (théorème de Lagrange) Si G est un groupe fini (card(g) fini), H un sous-groupe de G, alors card(h) divise card(g) Supposons maintenant que G est commutatif, on va définir une lci sur l ensemble quotient G/R par x. y = xy où x désigne la classe d équivalence de x. Il faut voir que la classe de xy ne dépend pas du choix des représentants des classes de x et de y ; soient x 1 ε x, y 1 ε y, on a x 1 = xs, y 1= yt, où s, tεh donc x 1 y 1 = xsyt = xy st, avec st ε H, car le groupe est supposé commutatif, ce qui prouve que la lci est bien définie. Théorème : L ensemble quotient G/R muni de cette loi est un groupe commutatif, on le note par G/H. De plus la surjection canonique s: x ε G x ε G/H est un homomorphisme de groupes. La preuve : On vérifie que l élément neutre est H, l inverse de xh est x -1 H, l associativité et la commutativité découlent de celles de la loi du groupe G ; la propriété d homomorphisme résulte de la définition de la loi de G/H. Exemple : S i G = Z, +, H = pz on a: xry si x y ε pz et Z pz = {0, 1,, (p 1)}. Dresser les tables des groupes ( Z pz, +) avec p = 4, 5, 6. Remarque : Si G n est pas un groupe commutatif, on obtient un groupe quotient en supposant que H soit un sous-groupe distingué i,e : x ε G on a xh = Hx (ce qui est équivalent à xhx 1 = H). III. Anneaux : On appelle anneau un ensemble A muni de deux lci, la 1 ère notée + et fait de A un groupe commutatif, la ème notée (.) et vérifie l associativité et la distributivité par rapport à la loi + i,e : a, b, c ε A on a: a. b + c = a. b + a. c et b + c. a = b. a + c. a, de plus si la loi (.) est commutative (resp. admet un élément unité) on dit que l anneau A est commutatif (resp. unitaire). Exemples : Z, +,. est un anneau, de même Q, R, C. 14

15 F R, R, +,.. P E,,. F R, R, +, o où o est la composition des applications n est pas un anneau par manque de la distribution de la loi o pa rapport à l addition. Règles de calcul dans un anneau : Soit (A, +,. ) un anneau. 1) a, b, c ε A on a: a b c = ab ac et b c a = bc ca. ) a ε A on a: a. 0 = O. a = 0, où 0 est l élément neutre pour la loi +. 3) a, b ϵ A, on a: a b = ab = a b. 4) Si A est commutatif la formule du binôme de Newton est encore valable. 1. a b c + ac = a b c + c = ab, donc a b c = ab ac; de même pour l autre. a0 = a b b = ab ab = 0; de même pour 0a = a b = a 0 b = a0 ab = 0 ab = ab; 4. Par récurrence sur n, on montre (a + b) n p=n = C p p=0 n a n p b p. La formule du binôme reste valable dans le cas où l anneau n est pas commutatif à condition que a et b commutent. Soient (A, +,. ) un anneau et B une partie de A. on dit que B est un sous-anneau de A, si (B,+) est sous-groupe de (A,+) et B stable pour la loi. c-à-d : x, y B x. y ε B. On dit que B est un idéal de A, si (B,+) est sous-groupe de (A,+) et on a : xεa, yεb xy et yx εb. Remarque : un idéal est bien un sous-anneau, mais la réciproque est fausse ; comme le montre l exemple suivant : Z, +,. est un sous-anneau de Q, +,. mais pas un idéal. Propriété : Si (A, +,.) est anneau commutatif, unitaire et B une partie de A stable pour la loi + et vérifie x ε A, y ε B xy ε B, alors B est un idéal de A. (à vérifier) Propriété : Soit (A, +,.) est anneau commutatif et aεa. Alors a = aa = {ax, xεa} est un idéal de A, appelé idéal engendré par a. (à vérifier) Un anneau A est dit principal si tout idéal de A est de cette forme, par exemple Z, K[X] l ensemble des polynômes à coefficients dans un corps K (on le verra dans le chapitre des polynômes!). Soient maintenant (A, +,. ) un anneau commutatif et I un idéal de A ; puisque (I, +) est un sous-groupe du groupe commutatif (A, +) on a formé le groupe quotient A I ; on définit une multiplication par : x. y = xy ( elle est bien définie grâce au fait que I est un idéal ) Théorème : ( A I, +,. ) est un anneau commutatif. L application canonique s: xεa x ε A I est un homomorphisme d anneaux i,e : s x + y = s x + s y et s xy = s x s y. La démonstration est analogue à celle du groupe quotient. Exemple : Dresser les tables de multiplications de ( Z pz, +,. ) pour p = 5, 6. 15

16 Un anneau A est dit intègre si la relation ab = 0 entraine a = 0 ou b = 0. Z pz est intègre ssi p est premier Dans un anneau A un élément non nul a est dit diviseur de zéro s il existe b non nul dans A tel que ab = 0 ; donc un anneau intègre n a pas de diviseur de zéro. On a.3 = 0 dans Z 6Z. Corps : Un anneau unitaire est un corps si tout élément non nul (i,e différent de l élément neutre pour la première loi) est inversible. Comme exemple on cite Q, R, C, Z pz (p premier). On parle de sous-corps, d homomorphisme de corps,.. Série N de TD STRUCTURES ALGEBRIQUES EXERCICE 1: Soit la loi de composition interne définie sur R par : x y = xy + x 1 (y 1). Vérifier que cette loi est commutative, non associative, et admet un élément neutre. EXERCICE : Soit E un ensemble fini muni d une loi associative notée multiplicativement, possédant un élément neutre. Démontrer que tout élément régulier admet un symétrique. A l aide d un contre-exemple, montrer que ce résultat est faux si E est infini. EXERCICE 3: (Axiomes faibles d un groupe) Soit G un monoïde (c-à-d la lci est associative) vérifiant les conditions suivantes : 1) Il existe dans G au moins un élément neutre à droite, e. ) Par rapport à e, tout xεg admet au moins un inverse à droite x. On va montrer que G est un groupe : a) Soit xεg, on pose y = x x. montrer que y = y puis y = e (utiliser son inverse à droite y ). Conclusion. b) Montrer que e est aussi élément neutre à gauche. Conclusion. EXERCICE 4: Déterminer tous les groupes possibles à 1,,3,4 éléments. EXERCICE 5: On définit sur R la loi par x y = x + y xy. Est-ce une loi de groupe? EXERCICE 6: On considère sur 1, +1 la loi x y = x+y, montrer que ( 1, +1, ) est un groupe. 1+xy 16

17 EXERCICE 7: Soit G,. un groupe tel que x G, x. x = e G. Montrer que G est un groupe commutatif. EXERCICE 8: Montrer qu un sous-ensemble H d un groupe G, est un sous-groupe ssi x, y H on a x y H où y est le symétrique de y. EXERCICE 9: Montrer que la réunion de deux sous-groupes d un groupe est un sous groupe ssi l un est inclus dans l autre. EXERCICE 10: On pose G = R et on définit la loi suivante x, y εg G xτy = xy x + y Montrer que (G, τ) est un groupe commutatif.. Montrer que f: x x est un isomorphisme de (G, τ) sur (R, ). 3. Montrer que (, +, τ) est un sous-groupe de (G, τ). EXERCICE 11 : Démontrer que tout homomorphisme de (Q, +) dans (Z, +) est nul. EXERCICE 1: On munit R des lois τ et de la façon suivante : xτy = x + y 1 et x y = x + y xy. Cela en fait-il un anneau? EXERCICE 13: Soit E un ensemble. Montrer que (P E,, ) est un anneau. En préciser les éléments neutres, les éléments inversibles (et leur inverse) pour chacune des deux lois. Cet anneau est-il intègre? Si FCE, (P F,, ) est-il un sous-anneau de P(E)? EXERCICE 14: Un anneau A est dit booléien ( ou anneau de Boole) si xεa, x = x. Montrer que xεa, x = 0 et que A est commutatif (indication : considérer (x + y) ). Vérifier que (P E,, ) est un tel anneau. EXERCICE 15: Montrer que dans un anneau à élément unité, l ensemble des éléments inversibles est un groupe pour la multiplication. EXERCICE 16: Montrer qu un anneau fini intègre unitaire commutatif est un corps. EXERCICE 17: Dans R on définit une addition et une multiplication par : a, b + c, d = (a + c, b + d) et a, b c, d = (ac, ad + bc). Montrer qu on obtient un anneau commutatif unitaire non intègre. 17

18 EXERCICE 18: Soit (G, ) un groupe d élément neutre e et H une partie de G, non vide, finie et stable pour la loi. Pour aεh on considère l application f: x H a x H. Montrer que f est injective puis surjective ; en déduire que H est un sous-groupe de G. EXERCICE 19 : On admettra que Q. Soit H = a + b, a, b Z. 1. Montrer que H muni de l addition usuelle est un sous-groupe de R, +.. Montrer que 0, + muni de la multiplication usuelle est sous-groupe de R,.. 3. Soit x H. Montrer qu il existe un unique couple a, b Z tel que x = a + b. 4. Soit f: H 0, + définie par f a + b = 3 a+b. Montrer que f est un homomorphisme de groupes, déterminer kerf & imf, f est-il injectif, surjectif? EXERCICE 0 : (facultatif mais conseillé!!) On se propose de munir R 4 d une structure de corps. Pour cela, on définit une addition et une multiplication par : a, b, c, d + a, b, c, d = (a + a, b + b, c + c, d + d ) (1) et a, b, c, d a, b, c, d = (aa bb cc dd, ab + ba + cd dc, ac + ca + db bd, ad + da + bc cb ) () 1) Vérifier que (R 4, +) est groupe abélien. ) On pose : 1 = 1,0,0,0, i = 0,1,0,0, j = 0,0,1,0, k = (0,0,0,1) ; vérifier que G = 1, i, j, k, 1, i, j, k muni de la multiplication définie par () est un groupe non commutatif (dresser sa table, on trouvera : i = j = k = 1, et j = ji; jk = kj = i; ki = ik = j.) 3) On identifie R 4 à l ensemble H = a + bi + cj + dk, a, b, c, dεr ( penser à l identification R à C). Pour α = (a, b, c, d)εr 4, on peut l écrire donc α = a + bi + cj + dk. Soit α = a + b i + c j + d k, écrire le produit αα en fonction de i, j, k. 4) On pose α = (a, b, c, d) (le conjugué de α = (a, b, c, d)) et N α = a + b + c + d, montrer que N α = αα, et que N αβ = N α N(β). ( un réel x est identifié à (x, 0,0,0)!!!) 5) En déduire que tout élément non nul de R 4 est inversible. 6) Montrer que R 4 est un corps non commutatif 18

19 Chapitre III : Arithmétique dans Z I. Divisibilité : Théorème de la division euclidienne : Soient a et b deux éléments de Z, avec b 0. Il existe un couple unique (q, r) Z vérifiant a = bq + r et 0 r < b. On dit que q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. - Existence : On suppose d abord b > 0 : L ensemble A = {a bk, kε Z} N n est pas vide, en effet si a 0, on prend k = 0, et si a 1, il suffit de prendre k = a, de sorte que a bk = a(1 b) 0. Soit r le plus petit élément de A et l entier q de Z défini par l égalité r = a bq, alors le couple (q, r) convient. Sinon r b, on écrit alors 0 r b = a bq b = a b(q + 1)ϵA, mais 0 r b < r, ce qui est contredit le fait que r est le plus petit élément de A. Ensuite : Si b < 0, on effectue la division euclidienne de a par ( b), on obtient : a = b q + r où 0 r < b = b, donc a = b( q) + r où 0 r < b Unicité : Supposons a = bq + r = bq + r avec 0 r < b et 0 r < b. Si q q, supposons par exemple q q 1, on écrit alors b b q q = r r r, ce qui contredit l hypothèse r < b. On en déduit q = q et il s ensuit que r = r. Exemples : - 15 =. 7 1 n est pas une division euclidienne. - Division euclidienne de 17 par 5 : 17 = 5 3 +, q = 3 et r =. - Division euclidienne de 17 par 5 : 17 = 5 ( 4) + 3, q = 4 et r = 3. - Division euclidienne de 18 par 4 : 18 = = ( 4) ( 4) +. - Division euclidienne de 15 par 4 : 15 = 4 ( 4) + 1 = ( 4) Remarque importante : Dans tous les cas le reste r est positif ou nul. Si a, b ε Z, on dit que a divise b, et on note a b s il existe k ε Z tel que b = ak, i,e le reste de la division euclidienne de b par a est nul. On dit que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a. Dans le cas contraire, on dit que a ne divise pas b et on note a b. Exemples : Tout entier relatif divise 0. Les diviseurs de 0 sont :... Propriétés : Si a b, alors a bc, cεz. Si a b et b c, alors a c. Si a b et a c, alors a bk + c, k, ε Z. Si a b et b a, alors a = ±b. 19

20 Si a b et b 0, alors a b. Proposition et définition : Soient a et b deux éléments de Z, l ensemble des diviseurs communs à a et b dans N admet un plus grand élément appelé pgcd(a, b). En effet, les diviseurs de a et b dans N sont majorés par a et b, donc sont en nombre fini. Algorithme d Euclide (recherche du pgcd) : Puisque pgcd a, b = pgcd( a, b ), il suffit de prendre a, bεn. On utilisera les lemmes suivants faciles à démontrer : Lemme 1 : Soient a, bεn, si a = bq + r est le résultat de la division euclidienne de a par b, alors pgcd (a, b) = pgcd (b, r). Lemme : Soient a, bεn, si a b alors pgcd a, b = b. Théorème (Algorithme d Euclide ) : Soient a, bεn, avec a b; en appliquant successivement et jusqu`à obtenir un reste nul, le théorème de la division euclidienne, on obtient la suite d équations: a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b b = r 1 q + r, 0 < r < r 1 r 1 = r q 3 + r 3, 0 < r 3 < r r j = r j 1 q j + r j, 0 < r j < r j 1 r j 1 = r j q j +1 Alors le pgcd a, b = r j : le dernier reste non nul. Exemple : pgcd 17,144 = 4 et 4 = = Théorème : Soient a, bεn, alors d = pgcd(a, b) ssi : 1. d divise a etb. u, v Z tel que au + bv = d Si d = pgcd(a, b), on a bien d divise a etb. Les entiers u et v sont obtenus par substitution des restes r j 1, r j,, r 1 de la suite d équations lors de l algorithme d Euclide. (exemple!!) Réciproquement : si d vérifie 1) et ) montrons qu il est le plus grand diviseur de a et b. Soit c un diviseur commun à a et b dans N, a 1, b 1 ϵ Z tq a = a 1 c, b = b 1 c, d après ), on a d = au + bv = a 1 u + b 1 v c, donc c divise d. Remarque : Il faut absolument que d vérifie 1) et ) : = 5 mais 5 ne divise ni 8 ni 9. Nombres premiers entre eux : Soient a, b ε Z, a et b sont dits premiers entre eux si pgcd a, b = 1. Donc a et b sont premiers entre eux ssi leurs seuls diviseurs communs sont (-1) et 1. Théorème de Bézout: a et b sont premiers entre eux ssi u, v Z tq au + bv = 1. La preuve résulte du théorème précédent. Corollaire1 :(Théorème de Gauss) Soient a, b, c ε Z, si a est premier avec b et divise le produit bc, alors a divise c. Démonstration : a divise bc donc il existe k Z tel que bc = ka ; a est premier avec b donc il existe u, v Z tq au + bv = 1. On multiplie cette égalité par c on obtient auc + bvc = c, puis on remplace bc par ka on obtient a(uc + kv) = c ; d où a divise c. 0

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