LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

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1 LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques

2 .

3 Tble des mtières I Séries numériques. Séries - Somme d une série. 2. Séries bsolument convergentes. 3. Séries à termes positifs. 4. Séries semi-convergentes. II Suites et séries de fonctions 2. Convergence simple. 2. Convergence uniforme. 3. Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions. 4. Séries de fonctions. 5. Propriétés des sommes de séries de fonctions. III Séries entières 35. Séries entières - Ryon de convergence. 2. Opértions sur les séries entières. 3. Convergence uniforme - Propriétés des sommes de séries entières. 4. Fonctions développbles en série entière. 5. Développements en série entière des fonctions usuelles. 6. Exponentielle complexe. 7. Résolution d équtions différentielles. IV Séries de Fourier 59. Fonctions périodiques. 2. Séries trigonométriques. 3. Séries de Fourier.

4 V Intégrles générlisées 75. Rppels sur les intégrles de Riemnn. 2. Intégrles convergentes. 3. Intégrle générlisée d une fonction positive. 4. Critère de Cuchy. 5. Intégrles bsolument convergentes. 6. Intégrles semi-convergentes. 7. Comprison série-intégrle. 8. Suites d intégrles générlisées. VI Intégrles dépendnt d un prmètre 95. Intégrles de Riemnn dépendnt d un prmètre. 2. Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre.

5 I SÉRIES NUMÉRIQUES. Séries - Somme d une série. Définitions et proposition On considère n éléments u, u 2,, u n d un K-espce vectoriel E ; on noter u + u u n = u k. k= L indice k est ppelé indice de sommtion et peut être remplcé pr une utre lettre (utre que u et n) : il s git d un indice dit muet. On l propriété de linérité suivnte : si u, u 2,, u n, v, v 2,, v n sont des éléments de E et λ et µ des sclires, on (λu k + µv k ) = λ k= u k + µ k= v k. D utre prt, on peut fire une trnsltion d indices dns une somme, i.e, si est un entier, en posnt p = k +, on : u p = p= n k= u k+. k=.2 Définitions Soit (u n ) n N une suite de nombres réels ou complexes. On peut lors définir une utre suite à prtir de l suite (u n ) n N en posnt pour tout entier n N S n = u k. k= On ppelle série numérique de terme générl u n et on note u n le couple ((u n ) n N, (S n ) n N ). Le nombre S n est ppelé somme prtielle d ordre n de l série u n et l suite (S n ) n N est ppelée suite des sommes prtielles de l série u n..3 Définition Si une suite (u n ) de nombres réels ou complexes n est définie qu à prtir du rng n, on peut considérer pour tout n n l somme prtielle S n = u k et définir insi l série k=n ((u n ) n n, (Sn) n n ) que l on noter u n. n n Réciproquement, à l série u n et à l entier n, on peut ssocier l série n n u n, dite série déduite de u n pr troncture u rng n.

6 .4 Définitions Soit u n une série à termes réels ou complexes. On dit que l série u n converge si l suite des sommes prtielles S n = u k converge, et qu elle diverge si l suite des sommes prtielles diverge. k= Lorsque l série u n converge, on ppelle somme de l série l limite de l suite des sommes prtielles et on note lim S n = n + lim n + u k = k= k= u k. Lorsque l série u n converge, on ppelle reste d ordre n de l série le nombre R n = u k u k = u k k= k= k=n+ qui converge lors vers. On dit que deux séries sont de même nture lorsqu elles convergent toutes les deux ou lorsqu elles divergent toutes les deux. Une série et s série déduite pr troncture sont insi de même nture ; toutefois elles n ont ps l même somme..5 Exemples ) Soit C ; l série n, ppelée série géométrique de rison, converge si et seulement si < et dns ce cs n =. En effet S n = b) L série n k= k = n+ si et S n = n + si =, d où le résultt., ppelée série hrmonique, diverge ; en effet : n si k, pour tout x [k, k + ] on x k, d où k+ inéglités on obtient lors k x dx. En sommnt ces k or d où k= k+ k k= k+ k x dx n+ x dx = x ln(n + ) k= k= k dx = ln(n + ) k. 2

7 On en déduit que l suite des sommes prtielles hrmonique diverge. c) L série n S 2n+2 S 2n = De plus ( ) n n converge, en effet si S n = 2n + 2 k= k= k tend vers + et insi l série ( ) k k, on < et S 2n+ S 2n = + >. 2n + 2n + 2n S 2n+ S 2n = 2n + on en déduit que l suite (S 2n ) n est décroissnte, l suite (S 2n+ ) n est croissnte et l suite (S 2n+ S 2n ) n converge vers : les suites (S 2n ) n et (S 2n+ ) n sont donc djcentes et pr conséquent convergent vers l même limite l, donc l suite (S n ) n converge ussi vers l, i.e l série ( ) n converge. n n.6 Procédé télescopique Soit (v n ) n N une suite à termes réels ou complexes et considérons u n = v n+ v n. L série un converge si et seulement si l suite (v n ) n N converge et dns ce cs on u n = lim v n v. n + En effet, on u k = k= (v k+ v k ) = v n+ v d où le résultt. k=.7 Exemples ) L série n(n + ) converge ; en effet, on pour tout n, n(n + ) = n n +. n b) L série ( ln + ) diverge ; en effet, on pour tout n n n ( ln + ) ( ) n + = ln = ln(n + ) ln(n). n n 3

8 .8 Proposition Si l série u n converge, lors son terme générl u n tend vers. En effet, si l série u n converge, l suite des sommes prtielles S n = vers une limite finie S ; lors on u k converge k= u n = S n S n S S =. Remrque Cette condition nécessire de convergence d une série n est ps suffisnte : en effet, l série hrmonique diverge lors que son terme générl n.9 Proposition tend vers. Considérons deux séries à termes réels ou complexes u n et v n et λ R ou C non nul. ) Si les séries u n et v n convergent, lors l série (u n + v n ) converge et on (u n + v n ) = u n + Si l une des deux séries converge et l utre diverge, l série (u n + v n ) diverge. b) Les deux séries u n et (λu n ) sont de même nture et si u n converge, lors on (λu n ) = λ découle imméditement des propriétés des limites de suites. u n. v n. Remrque On ne peut rien dire de l série (u n + v n ) si les deux séries u n et v n divergent. En effet les deux séries n et ( ) divergent lors que l série somme n n n est l série nulle donc converge ; pr contre, l série ( n + ) diverge. n n. Proposition Soit u n une série à termes réels ou complexes ; on suppose que les séries u 2n et u2n+ convergent lors l série u n converge et on u n = u 2n + 4 u 2n+.

9 Notons S n = et u k, lors on : k= n N, S 2n = n N, S 2n+ = 2 k= 2n+ k= u k = u k = n u 2p + p= u 2p + p= or les séries u 2n et u 2n+ convergent donc T n = V n = et u 2p+ une limite finie L ; on en déduit que p= p= p= p= u 2p+ u 2p+ u 2p lim S 2n = lim (T n + V n ) = L + L n + n + lim S 2n+ = lim (T n + V n ) = L + L. n + n + une limite finie L et Comme l ensemble des nombres pirs et l ensemble des nombres impirs forment une prtition de N, on en déduit que donc l série u n converge et on lim S n = L + L n + u n = u 2n + u 2n+. 2. Séries bsolument convergentes 2. Critère de Cuchy Soit u n une série à termes réels ou complexes ; l série u n converge si et seulement si m ε >, N N, n, m N, m > n N = u k < ε. k=n Il suffit d ppliquer le critère de Cuchy à l suite des sommes prtielles S n = m puisque S m S n = u k. k=n k= u k 5

10 2.2 Définition On dit qu une série u n à termes réels ou complexes converge bsolument, ou est bsolument convergente, si l série à termes positifs u n converge. 2.3 Théorème Soit u n une série à termes réels ou complexes ; si l série u n est bsolument convergente, lors elle est convergente, de plus on u n u n. L série u n étnt convergente, elle vérifie le critère de Cuchy 2. : pour tout ε >, il existe N N tel que pour tous n et m N, m > n N = Or l inéglité tringulire nous donne m u k d où k=n m u k < ε. k=n m u k k=n m m > n N = u k < ε et insi l série u n converge, toujours d près le critère de Cuchy. k=n D utre prt, on églement pour tout m N m m u k u k on obtient lors, qund m + k= k= u k k= k= u k. Remrque Une série peut être convergente sns être bsolument convergente ; pr exemple on vu en.5 que l série ( ) n converge mis l série diverge puisqu on n n n n n, k= n+ dx = 2( n + ) + qund n +. k x 6

11 3. Séries à termes positifs 3. Proposition Soit u n une série à termes réels positifs et considérons l suite des sommes prtielles S n = u k ; lors l suite (S n ) n N est croissnte et l série u n converge si et seulement k= si l suite (S n ) n N est mjorée. Dns ce cs, on n N, S n k= u k. Pour tout n N on S n+ S n = u n+ donc l suite (S n ) n N est croissnte : elle converge donc si et seulement si elle est mjorée. De plus dns ce cs, l limite de l suite (S n ) n N mjore tous les termes de l suite. 3.2 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels vérifint : lors N N tel que n N = u n v n ) Si l série v n converge, l série u n converge. b) Si l série u n diverge, l série v n diverge. comme une série et s série déduite pr troncture u rng N sont de même nture, on fer l démonstrtion dns le cs N =. Posons, pour tout n N, S n = u k et T n = v k. En sommnt les inéglités u n k= v n pour tout n N, on obtient lors k= n N, S n T n. Si l série v n converge, l suite (T n ) n N est mjorée donc l suite (S n ) n N églement et insi l série u n converge d près 3.. Si l série u n diverge, lors l suite (S n ) n N n est ps mjorée et lim T n = + églement et insi l série v n diverge. n + lim S n = + donc n + 7

12 3.3 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels vérifint les deux conditions suivntes : ) Il existe N N tel que n N = v n est de signe constnt ; b) u n v n qund n +. Alors les séries u n et v n sont de même nture. On peut supposer que l suite (v n ) est à termes positifs à prtir du rng N (sinon on risonne sur v n ) ; De plus u n v n qund n +, donc il existe une suite (α n ) n N convergent vers telle que pour n ssez grnd, u n = α n v n et v n. Comme lim α n =, il existe donc n + N N tel que d où n N = 2 α n 3 2 et v n n N = 2 v n u n 3 2 v n. les propositions.9 et 3.2 nous permettent lors de conclure. ( Exemple Reprenons u n = ln + ) pour tout n étudié dns.7 : on u n > et n u n n or l série hrmonique diverge, donc l série ( ln + ) diverge. n n Remrque L proposition 3.3 n est vlble que pour les séries à termes de signe constnt comme le prouve le contre-exemple suivnt : considérons u n = ( )n + n n et v n = ( )n pour tout n ; on vu en.6 que l série n vn converge et que l série hrmonique diverge, donc l série u n diverge d près.9. Cependnt, on pour tout n donc u n v n qund n +. u n v n = + ( )n n 3 2 qund n + 8

13 3.4 Proposition Soit f une fonction continue, décroissnte, positive sur un intervlle [N, + [ (N N) ; lors les propriétés suivntes sont équivlentes : ) l série n N f(n) converge ; b) l série n N n+ c) l fonction F (x) = n f(t) dt converge ; x N f(t) dt dmet une limite finie en +. ) = b) : comme f est décroissnte sur [N, + [, on pour tout n N t [n, n + ], f(n + ) f(t) f(n) d où f(n + ) = n+ f(n + ) dt n+ f(t) dt n n n n+ f(n) dt = f(n) ( ) donc, si l série n N f(n) converge, lors l série n N b) = c) : supposons que l série n N D près l reltion de Chsles on k=n k+ k n+ n f(t) dt = n+ n f(t) dt converge. n+ N f(t) dt = F (n + ) f(t) dt converge d près 3.2. donc l suite (F (n + )) n N possède une limite finie l. Or l fonction f étnt positive sur [N, + [, l fonction F est croissnte sur [N, + [ donc possède une limite qund x + qui ne peut donc être que l. c) = ) : Si F (x) dmet une limite finie l en +, lors l suite (F (n + )) n N converge n+ vers l, i.e l série f(t) dt converge. On en déduit lors que l série f(n + ) n N n n N converge grâce à l encdrement (*), donc l série f(n) converge églement. n N 9

14 3.5 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels strictement positifs. On suppose qu il existe n N tel que lors on n n = u n+ u n v n+ v n ) si l série v n converge, l série u n converge ; b) si l série u n diverge, l série v n diverge. On pour tout n n, u n u n v n v n u n u n 2 v n v n 2. u n + u n v n + v n lors, en multiplint ces inéglités, on obtient pour tout n n, i.e u n u n u n v n v n ( un v n ) v n. Il ne reste plus qu à ppliquer 3.2 pour obtenir l proposition. 3.6 Règle de d Alembert Soit u n une série à termes réels strictement positifs telle que l suite une limite l R + {+ }. lors on ) si l <, l série u n converge ; b) si l > ou l = +, l série u n diverge. ( un+ ) u n n N possède

15 u n+ ) Si l <, il existe ε > tel que = l + ε < ; d utre prt, lim n + u n N N tel que n N = l ε u n+ l + ε =. u n Posons v n = n, on lors = l donc il existe n N = u n+ u n = v n+ v n. Or < donc l série v n converge, pr conséquent l série u n converge d près 3.5. b) Si l > ou l = +, il existe N N tel que n N = u n+ u n = n+ n. Comme l série n diverge, l série u n diverge, toujours d près 3.5. Remrques ) On ne peut ps conclure si l = : en effet si u n = n ou u n = u n+ lim n + u n =. Mis l série n n(n + ) on n diverge lors que l série n(n + ) converge. n b) Une série ( ) u n à termes réels strictement positifs peut converger sns que l suite un+ it une limite. u n 3.7 Règle de Cuchy Soit u n une série à termes réels strictement positifs telle que l suite ( n u n ) n N possède une limite l R + {+ }. Alors on ) Si l <, l série u n converge. b) Si l > ou l = +, l série u n diverge. ) Si l <, il existe ε > tel que = l + ε < ; d utre prt, lim n + existe N N tel que n N = l ε n u n l + ε = d où n N = u n n. n un = l donc il Or < donc l série n converge, pr conséquent l série u n converge d près 3.2.

16 b) Si l > ou l = +, il existe N N tel que n N = n u n et donc n N = u n. Pr conséquent, l suite (u n ) n N ne converge ps vers : l série u n diverge donc. Remrques ) L règle de Cuchy ne permet ps de conclure qund l = : en effet si u n = n ou u n = n(n + ) on lim n un =. Mis l série diverge lors que l série n + n n n(n + ) converge. n b) On peut montrer que si u n est une série à termes réels strictement positifs telle que u n+ lim = l, lors lim n u n = l. Pr conséquent si on se trouve dns le cs douteux n + u n n l = pour l règle de d Alembert, il est inutile d essyer l règle de Cuchy. c) Une série u n à termes réels strictement positifs peut converger sns que l suite ( n u n ) it une limite. 3.8 Séries de Riemnn On ppelle série de Riemnn toute série dont le terme générl est de l forme u n = n α où α R. L série de Riemnn converge si et seulement si α >. nα n Si α, l suite n ne tend ps vers donc l série de Riemnn α n diverge. α n Si α >, considérons l fonction f(x) = sur [, + [ : elle est continue, décroissnte xα et positive et si on note F (x) = x F (x) = x α α f(t) dt, on si α et F (x) = ln x si α =. pr conséquent F(x) possède une limite finie en + si et seulement si α > : on déduit 2

17 lors de 3.4 que l série de Riemnn converge si et seulement si α >. nα n 3.9 Règle de Riemnn Soit u n une série à termes réels strictement positifs et soit α R. On suppose que (n α u n ) n possède une limite l. Alors on ) Si l est finie non nulle, les séries u n et n b) Si l = et α >, l série u n converge. c) Si l = + et α, l série u n diverge. sont de même nture. nα tout d bord, remrquons que l nécessirement. ) Si l est finie non nulle, lors u n l n ; on déduit lors de 3.3 que les séries u α n et sont de même nture. nα n b) Si l = et α >, pour ε =, il existe N N tel que d où n N = n α u n n N = u n n α. On déduit lors de 3.2 et 3.8 que l série u n converge. c) Si l = + et α, il existe N 2 N tel que d où n N 2 = n α u n n N 2 = u n n α. On déduit lors de 3.2 et 3.8 que l série u n diverge. Remrques ) Si l = et α, on ne peut ps conclure : vec α = 2, on nα n diverge, lors que nα et l série converge. n n 3 2 n n 3 2 n et l série 3

18 b) De même on ne peut ps conclure si l = + et α > : vec α = 7 4, on nα + n et l série diverge, lors que nα + et l série converge. n n n 3 2 n n 3 2 Exemples ) Posons u n = e n2 : on u n > et n 2 u n donc l série e n2 converge. b) Posons u n = ln n pour tout n : on u n > et nu n + donc l série ln n diverge. 4. Séries semi-convergentes 4. Définition On dit qu une série à termes réels ou complexes est semi-convergente si et seulement si elle est convergente sns être bsolument convergente. 4.2 Critère de Leibniz (dit des séries lternées) Soit (u n ) n N une suite réelle décroissnte, tendnt vers (donc à termes positifs). Alors l série (dite lternée) ( ) n u n est convergente, de plus on l mjortion du reste suivnte : ( ) k u k u n+. k=n+ Soit S n = u k l somme prtielle de l série u n, on lors k= n N, S 2n+2 S 2n = u 2n+2 u 2n+ et S 2n+ S 2n = u 2n+ + u 2n. Ainsi l suite (S 2n ) est décroissnte et l suite (S 2n+ ) est croissnte. De plus on n N, S 2n+ S 2n = u 2n+ donc l suite (S 2n+ S 2n ) tend vers. Les suites (S 2n ) et (S 2n+ ) sont donc djcentes et insi convergent toutes les deux vers une même limite finie S. Pr conséquent l suite (S n ) converge vers S, i.e, l série u n converge. De plus, on d où n N, S 2n+ S S 2n+2 = S 2n+ + u 2n+2 de même n N, S S 2n+ u 2n+2 d où n N, S 2n u 2n+ = S 2n+ S S 2n n N, u 2n+ S S 2n. 4

19 On en déduit que, pour tout entier n ( ) k u k = S S n u n+. k=n+ Exemple L série n ( ) n n est semi-convergente. 4.3 Proposition Soit u n une série semi-convergente et soit v n une série bsolument convergente ; lors l série (u n + v n ) est semi-convergente. L série v n étnt bsolument convergente est convergente, donc l série (u n + v n ) est convergente. D utre prt, l inéglité tringulire nous donne : n N, u n u n + v n + v n. donc, si l série (u n +v n ) étit bsolument convergente, l série u n le serit églement : pr conséquent l série (u n + v n ) est semi-convergente. Remrque L somme de deux séries semi-convergentes peut être bsolument convergente : soient u n = ( )n et v n = ( )n+ ; les deux séries u n et v n sont semiconvergentes lors que leur somme est l série nulle donc est bsolument n n n n convergente. 4.4 Critère d Abel Soit (v n ) n N une suite réelle décroissnte tendnt vers et soit (w n ) n N une suite réelle ou complexe vérifint M >, n, m N, m > n = w n + w n+ + + w m M. Alors l série v n w n converge et on v k w k Mv n. k=n 5

20 L preuve repose sur l écriture suivnte, ppelée trnsformtion d Abel : ( m m ) ( m ) ( ) v k w k = v m w k + (v m v m ) w k + + (v n v n+ ) w k. k=n On en déduit k=n k=n m m m v k w k v m w k + v m v m w k + + v n v n+ w k. k=n k=n k=n k=n k=n d où m v k w k M ( v m + v m v m + + v n v n+ ). k=n Or l suite (v n ) n N décroît vers l limite donc elle est à termes positifs et insi on v m + v m v m + + v n v n+ = v m + v m v m + + v n v n+ = v n d où m v k w k Mv n k=n ( ). De plus, l suite (v n ) n N converge vers i.e ε >, N N, n N = v n ε M d où m ε >, N N, m > n N = v k w k < ε. k=n Le critère de Cuchy permet lors de conclure que l série v n w n converge. De plus en fisnt tendre m vers + dns l inéglité (*) on obtient v k w k Mv n. k=n 6

21 5. Produit de séries 5. Définition et théorème Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs convergentes. On pose pour tout n N w n = u k v n k lors l série w n converge et on ( + ) ( + ) w n = u n v n. k= L série w n est ppelée produit des séries u n et v n. Pour tout n N, considérons les sommes prtielles U n = W n = w k. D utre prt, notons k= u k, V n = k= v k et k= I n = {(p, q) N 2 / p + q n} et J n = {(p, q) N 2 / p n et q n}. Il est clir que pour tout n N, I n J n I 2n, donc, comme les séries u n et v n sont à termes positifs, on en déduit u p v q u p v q u p v q (p,q) I n (p,q) J n (p,q) I 2n or et d où (p,q) I n u p v q = (p,q) J n u p v q = s= p+q=s ( ( ) u p v q = p= u p) ( q= v q ) = U n V n ( s ) u p v s p = s= p= n N, W n U n V n W 2n ( ) w s = W n Or les séries u n et v n sont à termes positifs et convergent donc les suites à termes positifs (U n ) n N et (V n ) n N sont mjorées pr conséquent l suite (U n V n ) n N est elle ussi mjorée : on en déduit que l suite (croissnte) (W n ) n N converge i.e l série w n converge. De plus, en fisnt tendre n vers + dns (*), on obtient ( + ) ( + ) w n = u n v n. s= 7

22 5.2 Théorème Soient u n et v n deux séries à termes réels ou complexes. Si u n et v n sont bsolument convergentes, lors leur série produit w n est bsolument convergente et on ( + ) ( + ) w n = u n v n. Avec les nottions de l preuve de 5., on pour tout n N w n u k v n k k= or les séries u n et v n sont bsolument convergentes, on en déduit lors d près 5. que l série produit des séries u n et v n converge, donc que l série w n converge bsolument d près 3.2. D utre prt, on pour tout n N d où U n V n W n = (p,q) J n u p v q (p,q) I n u p v q = (p,q) J n I n u p v q U n V n W n = u p v q (p,q) J n I n u p v q = u p v q u p v q (p,q) J n I n (p,q) J n (p,q) I n or et d où u p v q = (p,q) I n ( ) ( ) u p v q = u p v q (p,q) J n p= q= ( ) ( s ) u p v q = u p v s p s= p+q=s s= p= ( ) ( ) ( s ) U n V n W n u p v q u p v s p p= q= s= p= mis le terme de droite tend vers qund n tend vers + d près 5. donc U n V n W n églement d où ( + ) ( + ) w n = u n v n. 8

23 Exemple Soit z un nombre complexe tel que z < ; lors l série géométrique z n converge bsolument : fisons le produit de cette série pr elle-même. Le coefficient de cette série produit est donné pr w n = z k z n k = k= z n = (n + )z n. k= Le théorème 5.2 permet lors d ffirmer que l série (n + )z n converge bsolument et que ( + ) 2 (n + )z n = z n = ( z). 2 9

24 . 2

25 II SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS.Convergence simple. Définition Considérons une suite de fonctions (f n ) n N définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; on dit que l suite (f n ) n N converge simplement vers f, ou que f est l limite simple de l suite (f n ) n N si et seulement si pour tout x I, l suite numérique (f n (x)) n N converge vers f(x) : x I, ε >, N x,ε N, n N, n N x,ε = f n (x) f(x) < ε. Remrque : il est nturel de se demnder si les propriétés des fonctions f n se trnsmettent à leur limite simple f ; l exemple suivnt montre que l limite simple de fonctions continues n est ps continue en générl : Exemple Pour tout n N, posons f n (x) = x n pour x [, ] ; lors l limite simple f de l suite (f n ) n N est donnée pr f(x) = si x [, [ et f() = : insi l limite simple f n est ps continue sur [, ] lors que pour tout n N, l fonction f n l est..2 Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R convergent simplement vers f, lors on : ) Si les fonctions f n sont positives sur I à prtir d un certin rng, f est positive sur I ; b) Si les fonctions f n sont croissntes (resp. décroissntes) sur I à prtir d un certin rng, f est croissnte (resp. décroissnte) sur I. L preuve repose sur l conservtion des inéglités lrges pr pssge à l limite. 2.Convergence uniforme 2. Norme infinie Considérons une fonction f définie sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C ; on suppose que f est bornée sur I i.e M > tel que x I, f(x) M. Alors l fonction f est mjorée donc dmet une borne supérieure que l on note f et que l on ppelle norme infinie de f : f = sup f(x). x I Pr définition de l borne supérieure on lors : 2

26 ) x I, f(x) f ; b) Si M est une constnte telle que x I, f(x) M, lors f M. Si f n est ps bornée sur I, on pose f = Proposition L norme infinie est effectivement une norme sur l ensemble B des fonctions bornées de I dns R (resp. C), i.e elle vérifie les 3 propriétés suivntes : ) f B, f = f = ; b) f B, λ R (ou C), λf = λ f ; c) f et g B, f + g f + g. De plus, on d) f et g B, fg f g. D utre prt, si f ou g n est ps bornée sur I les propriétés ), b), c) et d) sont encore vérifiées. ) Soit f B ; si f = il est clir que f = ; réciproquement si f =, lors x I, f(x) f = i.e x I, f(x) = : f est donc l fonction nulle sur I. b) Soit f B ; on pour tout λ R (ou C) et pour tout x I d où le résultt. c) Soient f et g B ; on pour tout x I : d où λf(x) = λ f(x) (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g pr pssge à l borne supérieure. d) Soient f et g B ; on pour tout x I : f + g f + g (fg)(x) = f(x)g(x) = f(x) g(x) f g d où fg f g pr pssge à l borne supérieure. 22

27 2.3 Définition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C, et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; on dit que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f si et seulement si l suite numérique ( fn f ) n N converge vers i.e ε >, N N, x I, n N, n N = f n (x) f(x) < ε. 2.4 Proposition et définition Soient (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C. ) Soit J une prtie non vide de I : si l suite (f n ) n N converge uniformément vers f, lors l suite des restrictions à J des fonctions f n converge uniformément vers l restriction à J de l fonction f : on dit que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur J. b) Soient I et I 2 deux prties non vides de I ; si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I et sur I 2, lors (f n ) n N converge uniformément vers f sur I I 2. On dir qu une suite (f n ) n N de fonctions définies sur un intervlle I de R converge uniformément loclement sur I si elle converge uniformément sur tout segment contenu dns I. ) provient de l inéglité sup x J f n (x) f(x) sup f n (x) f(x). x I b) provient de l églité ( ) sup f n (x) f(x) = mx sup f n (x) f(x), sup f n (x) f(x). x I I 2 x I x I Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C telles que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur I ; lors l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur I. Exemple Posons pour tout n N, f n (x) = x n pour x [, ] ; lors l limite simple f de l suite (f n ) n N est donnée pr f(x) = si x [, [ et f() =. Si (f n ) n N converge uniformément sur [, ], ce ne peut être que vers s limite simple f d près 2.5, étudions donc l suite numérique ( fn f ) n N : 23

28 si x [, [, f n (x) f(x) = x n et f n () f() = donc fn f = sup f n (x) f(x) = = sup f n (x) f(x) = sup x n = x [,] x [,[ x [,[ et insi l suite (f n ) n N ne converge ps uniformément sur [, ], ni sur [, [. Pr contre si on fixe [, [, lors sup f n (x) f(x) = n x [,] et insi l suite (f n ) n N converge uniformément sur [, ] : on constte donc que l convergence uniforme locle sur [, [ n entrîne ps l convergence uniforme sur [, [. Il n est ps toujours possible de clculer explicitement f n f comme on vient de le fire, d où l utilité de l proposition suivnte : 2.6 Proposition L suite (f n ) n N converge uniformément sur I si et seulement si il existe une suite réelle ( n ) n N convergent vers telle que x I, n N, f n (x) f(x) n. Si (f n ) n N converge uniformément sur I, il suffit de prendre n = f n f. Réciproquement, s il existe une suite réelle ( n ) n N convergent vers telle que x I, n N, f n (x) f(x) n lors on en déduit et insi f n f. n N, f n f n 2.7 Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; s il existe une suite (x n ) n N de points de I telle que l suite numérique (f n (x n ) f(x n )) n N ne converge ps vers, lors l suite (f n ) n N ne converge ps uniformément vers f sur I. En effet, on n N, f n (x n ) f(x n ) f n f. 24

29 Alors si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I on f n f ; on en déduit lors f n (x n ) f(x n ) ce qui est bsurde ; donc (f n ) n N ne converge ps uniformément vers f sur I. 2.8 Proposition Soient (f n ) n N et (g n ) n N deux suites de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C de limites uniformes respectives f et g ; lors l suite (f n + g n ) n N converge uniformément vers f + g et si λ est un sclire, l suite (λf n ) n N converge uniformément vers λf. en effet on d près 2.2 (f n + g n ) (f + g) f n f + g n g et λf n λf = λ f n f. 2.9 Critère de Cuchy de convergence uniforme Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C ; lors l suite (f n ) n N converge uniformément si et seulement si on : ε >, N N, m, n N, m > n N = f n f m < ε. Supposons le critère de Cuchy vérifié, lors on en déduit que pour tout ε > il existe N N tel que x I, m, n N, m > n N = f n (x) f m (x) f n f m < ε 2 ( ) pr conséquent pour tout x I, l suite numérique (f n (x)) n N est une suite de Cuchy donc converge vers une limite que l on noter f(x). Ainsi l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur I. Or si on fit tendre m vers + dns ( ) on obtient x I, n N, n N = f n (x) f(x) ε 2 < ε et insi (f n ) n N converge uniformément vers f sur I. Réciproquement, si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, lors ε >, N N, n N, n N = f n f < ε 2. Alors l inéglité tringulire nous donne m > n N = f n f m < f n f + f f m < ε 2 + ε 2 = ε 25

30 et le critère de Cuchy de convergence uniforme est vérifié. 3 Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions 3. Théorème Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C de limite uniforme f sur I. Alors l fonction f est bornée sur I si et seulement si il existe N N tel que pour tout n N, l fonction f n est bornée sur I. L suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, donc pour ε =, il existe N N tel que n N = f n f <. Supposons qu il existe N 2 N tel que les fonctions f n soient bornées sur I pour tout n N 2, lors pour m = mx(n, N 2 ), on et insi f est bornée sur I. f f f m + f m < + f m Réciproquement, si f est bornée sur I, on pour tout n N, f n f n f + f < + f et insi les fonctions f n sont bornées sur I pour tout n N. 3.2 Théorème d interversion des limites Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C de limite uniforme f sur I et soit un point de I. On suppose que pour tout n N, l fonction f n (x) dmet une limite finie u n qund x tend vers. Alors l suite numérique (u n ) n N dmet une limite finie l et l fonction f(x) dmet l pour limite qund x tend vers, i.e ( ) lim lim f n(x) = lim n + x x ( lim f n(x) n + Montrons que l suite (u n ) n N est une suite de Cuchy : puisque l suite (f n ) n N converge uniformément sur I, on d près le critère de Cuchy uniforme ). ε >, N N, m, n N, m > n N = x I, f n (x) f m (x) < ε 2 26

31 lors en fisnt tendre x vers, on obtient m > n N = u n u m ε 2 < ε et insi (u n ) n N est une suite de Cuchy donc possède une limite finie l. Montrons que f(x) tend l qund x tend vers : Considérons ε > ; comme (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, il existe N N tel que n N = x I, f n (x) f(x) < ε 3 de plus (u n ) n N converge vers l donc il existe N 2 N tel que n N 2 = u n l < ε 3. Posons lors N = mx(n, N 2 ) : comme f N (x) tend vers u N qund x tend vers, il existe donc un voisinge V de dns I tel que On obtient lors x V, f N (x) u N < ε 3. x V, l f(x) l u N + u N f N (x) + f N (x) f(x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε et insi f(x) tend vers l qund x tend vers. 3.3 Théorème ) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C convergent uniformément vers une fonction f sur I et soit x un point de I ; si f n est continue en x pour n ssez grnd, lors f est continue en x. b) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C convergent uniformément loclement vers une fonction f sur I ; si f n est continue sur I pour n ssez grnd, lors f est continue sur I. ) On pplique le théorème 3.2 pour = x : ( ) lim n + lim f n (x) x x = lim x x ( ) lim f n(x). n + or l suite (f n ) n N converge uniformément donc simplement vers f sur I, et pour tout n, f n est continue en x d où lim f n(x ) = lim f(x) n + x x i.e donc f est continue en x. f(x ) = lim x x f(x) 27