LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER"

Transcription

1 LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques

2 .

3 Tble des mtières I Séries numériques. Séries - Somme d une série. 2. Séries bsolument convergentes. 3. Séries à termes positifs. 4. Séries semi-convergentes. II Suites et séries de fonctions 2. Convergence simple. 2. Convergence uniforme. 3. Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions. 4. Séries de fonctions. 5. Propriétés des sommes de séries de fonctions. III Séries entières 35. Séries entières - Ryon de convergence. 2. Opértions sur les séries entières. 3. Convergence uniforme - Propriétés des sommes de séries entières. 4. Fonctions développbles en série entière. 5. Développements en série entière des fonctions usuelles. 6. Exponentielle complexe. 7. Résolution d équtions différentielles. IV Séries de Fourier 59. Fonctions périodiques. 2. Séries trigonométriques. 3. Séries de Fourier.

4 V Intégrles générlisées 75. Rppels sur les intégrles de Riemnn. 2. Intégrles convergentes. 3. Intégrle générlisée d une fonction positive. 4. Critère de Cuchy. 5. Intégrles bsolument convergentes. 6. Intégrles semi-convergentes. 7. Comprison série-intégrle. 8. Suites d intégrles générlisées. VI Intégrles dépendnt d un prmètre 95. Intégrles de Riemnn dépendnt d un prmètre. 2. Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre.

5 I SÉRIES NUMÉRIQUES. Séries - Somme d une série. Définitions et proposition On considère n éléments u, u 2,, u n d un K-espce vectoriel E ; on noter u + u u n = u k. k= L indice k est ppelé indice de sommtion et peut être remplcé pr une utre lettre (utre que u et n) : il s git d un indice dit muet. On l propriété de linérité suivnte : si u, u 2,, u n, v, v 2,, v n sont des éléments de E et λ et µ des sclires, on (λu k + µv k ) = λ k= u k + µ k= v k. D utre prt, on peut fire une trnsltion d indices dns une somme, i.e, si est un entier, en posnt p = k +, on : u p = p= n k= u k+. k=.2 Définitions Soit (u n ) n N une suite de nombres réels ou complexes. On peut lors définir une utre suite à prtir de l suite (u n ) n N en posnt pour tout entier n N S n = u k. k= On ppelle série numérique de terme générl u n et on note u n le couple ((u n ) n N, (S n ) n N ). Le nombre S n est ppelé somme prtielle d ordre n de l série u n et l suite (S n ) n N est ppelée suite des sommes prtielles de l série u n..3 Définition Si une suite (u n ) de nombres réels ou complexes n est définie qu à prtir du rng n, on peut considérer pour tout n n l somme prtielle S n = u k et définir insi l série k=n ((u n ) n n, (Sn) n n ) que l on noter u n. n n Réciproquement, à l série u n et à l entier n, on peut ssocier l série n n u n, dite série déduite de u n pr troncture u rng n.

6 .4 Définitions Soit u n une série à termes réels ou complexes. On dit que l série u n converge si l suite des sommes prtielles S n = u k converge, et qu elle diverge si l suite des sommes prtielles diverge. k= Lorsque l série u n converge, on ppelle somme de l série l limite de l suite des sommes prtielles et on note lim S n = n + lim n + u k = k= k= u k. Lorsque l série u n converge, on ppelle reste d ordre n de l série le nombre R n = u k u k = u k k= k= k=n+ qui converge lors vers. On dit que deux séries sont de même nture lorsqu elles convergent toutes les deux ou lorsqu elles divergent toutes les deux. Une série et s série déduite pr troncture sont insi de même nture ; toutefois elles n ont ps l même somme..5 Exemples ) Soit C ; l série n, ppelée série géométrique de rison, converge si et seulement si < et dns ce cs n =. En effet S n = b) L série n k= k = n+ si et S n = n + si =, d où le résultt., ppelée série hrmonique, diverge ; en effet : n si k, pour tout x [k, k + ] on x k, d où k+ inéglités on obtient lors k x dx. En sommnt ces k or d où k= k+ k k= k+ k x dx n+ x dx = x ln(n + ) k= k= k dx = ln(n + ) k. 2

7 On en déduit que l suite des sommes prtielles hrmonique diverge. c) L série n S 2n+2 S 2n = De plus ( ) n n converge, en effet si S n = 2n + 2 k= k= k tend vers + et insi l série ( ) k k, on < et S 2n+ S 2n = + >. 2n + 2n + 2n S 2n+ S 2n = 2n + on en déduit que l suite (S 2n ) n est décroissnte, l suite (S 2n+ ) n est croissnte et l suite (S 2n+ S 2n ) n converge vers : les suites (S 2n ) n et (S 2n+ ) n sont donc djcentes et pr conséquent convergent vers l même limite l, donc l suite (S n ) n converge ussi vers l, i.e l série ( ) n converge. n n.6 Procédé télescopique Soit (v n ) n N une suite à termes réels ou complexes et considérons u n = v n+ v n. L série un converge si et seulement si l suite (v n ) n N converge et dns ce cs on u n = lim v n v. n + En effet, on u k = k= (v k+ v k ) = v n+ v d où le résultt. k=.7 Exemples ) L série n(n + ) converge ; en effet, on pour tout n, n(n + ) = n n +. n b) L série ( ln + ) diverge ; en effet, on pour tout n n n ( ln + ) ( ) n + = ln = ln(n + ) ln(n). n n 3

8 .8 Proposition Si l série u n converge, lors son terme générl u n tend vers. En effet, si l série u n converge, l suite des sommes prtielles S n = vers une limite finie S ; lors on u k converge k= u n = S n S n S S =. Remrque Cette condition nécessire de convergence d une série n est ps suffisnte : en effet, l série hrmonique diverge lors que son terme générl n.9 Proposition tend vers. Considérons deux séries à termes réels ou complexes u n et v n et λ R ou C non nul. ) Si les séries u n et v n convergent, lors l série (u n + v n ) converge et on (u n + v n ) = u n + Si l une des deux séries converge et l utre diverge, l série (u n + v n ) diverge. b) Les deux séries u n et (λu n ) sont de même nture et si u n converge, lors on (λu n ) = λ découle imméditement des propriétés des limites de suites. u n. v n. Remrque On ne peut rien dire de l série (u n + v n ) si les deux séries u n et v n divergent. En effet les deux séries n et ( ) divergent lors que l série somme n n n est l série nulle donc converge ; pr contre, l série ( n + ) diverge. n n. Proposition Soit u n une série à termes réels ou complexes ; on suppose que les séries u 2n et u2n+ convergent lors l série u n converge et on u n = u 2n + 4 u 2n+.

9 Notons S n = et u k, lors on : k= n N, S 2n = n N, S 2n+ = 2 k= 2n+ k= u k = u k = n u 2p + p= u 2p + p= or les séries u 2n et u 2n+ convergent donc T n = V n = et u 2p+ une limite finie L ; on en déduit que p= p= p= p= u 2p+ u 2p+ u 2p lim S 2n = lim (T n + V n ) = L + L n + n + lim S 2n+ = lim (T n + V n ) = L + L. n + n + une limite finie L et Comme l ensemble des nombres pirs et l ensemble des nombres impirs forment une prtition de N, on en déduit que donc l série u n converge et on lim S n = L + L n + u n = u 2n + u 2n+. 2. Séries bsolument convergentes 2. Critère de Cuchy Soit u n une série à termes réels ou complexes ; l série u n converge si et seulement si m ε >, N N, n, m N, m > n N = u k < ε. k=n Il suffit d ppliquer le critère de Cuchy à l suite des sommes prtielles S n = m puisque S m S n = u k. k=n k= u k 5

10 2.2 Définition On dit qu une série u n à termes réels ou complexes converge bsolument, ou est bsolument convergente, si l série à termes positifs u n converge. 2.3 Théorème Soit u n une série à termes réels ou complexes ; si l série u n est bsolument convergente, lors elle est convergente, de plus on u n u n. L série u n étnt convergente, elle vérifie le critère de Cuchy 2. : pour tout ε >, il existe N N tel que pour tous n et m N, m > n N = Or l inéglité tringulire nous donne m u k d où k=n m u k < ε. k=n m u k k=n m m > n N = u k < ε et insi l série u n converge, toujours d près le critère de Cuchy. k=n D utre prt, on églement pour tout m N m m u k u k on obtient lors, qund m + k= k= u k k= k= u k. Remrque Une série peut être convergente sns être bsolument convergente ; pr exemple on vu en.5 que l série ( ) n converge mis l série diverge puisqu on n n n n n, k= n+ dx = 2( n + ) + qund n +. k x 6

11 3. Séries à termes positifs 3. Proposition Soit u n une série à termes réels positifs et considérons l suite des sommes prtielles S n = u k ; lors l suite (S n ) n N est croissnte et l série u n converge si et seulement k= si l suite (S n ) n N est mjorée. Dns ce cs, on n N, S n k= u k. Pour tout n N on S n+ S n = u n+ donc l suite (S n ) n N est croissnte : elle converge donc si et seulement si elle est mjorée. De plus dns ce cs, l limite de l suite (S n ) n N mjore tous les termes de l suite. 3.2 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels vérifint : lors N N tel que n N = u n v n ) Si l série v n converge, l série u n converge. b) Si l série u n diverge, l série v n diverge. comme une série et s série déduite pr troncture u rng N sont de même nture, on fer l démonstrtion dns le cs N =. Posons, pour tout n N, S n = u k et T n = v k. En sommnt les inéglités u n k= v n pour tout n N, on obtient lors k= n N, S n T n. Si l série v n converge, l suite (T n ) n N est mjorée donc l suite (S n ) n N églement et insi l série u n converge d près 3.. Si l série u n diverge, lors l suite (S n ) n N n est ps mjorée et lim T n = + églement et insi l série v n diverge. n + lim S n = + donc n + 7

12 3.3 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels vérifint les deux conditions suivntes : ) Il existe N N tel que n N = v n est de signe constnt ; b) u n v n qund n +. Alors les séries u n et v n sont de même nture. On peut supposer que l suite (v n ) est à termes positifs à prtir du rng N (sinon on risonne sur v n ) ; De plus u n v n qund n +, donc il existe une suite (α n ) n N convergent vers telle que pour n ssez grnd, u n = α n v n et v n. Comme lim α n =, il existe donc n + N N tel que d où n N = 2 α n 3 2 et v n n N = 2 v n u n 3 2 v n. les propositions.9 et 3.2 nous permettent lors de conclure. ( Exemple Reprenons u n = ln + ) pour tout n étudié dns.7 : on u n > et n u n n or l série hrmonique diverge, donc l série ( ln + ) diverge. n n Remrque L proposition 3.3 n est vlble que pour les séries à termes de signe constnt comme le prouve le contre-exemple suivnt : considérons u n = ( )n + n n et v n = ( )n pour tout n ; on vu en.6 que l série n vn converge et que l série hrmonique diverge, donc l série u n diverge d près.9. Cependnt, on pour tout n donc u n v n qund n +. u n v n = + ( )n n 3 2 qund n + 8

13 3.4 Proposition Soit f une fonction continue, décroissnte, positive sur un intervlle [N, + [ (N N) ; lors les propriétés suivntes sont équivlentes : ) l série n N f(n) converge ; b) l série n N n+ c) l fonction F (x) = n f(t) dt converge ; x N f(t) dt dmet une limite finie en +. ) = b) : comme f est décroissnte sur [N, + [, on pour tout n N t [n, n + ], f(n + ) f(t) f(n) d où f(n + ) = n+ f(n + ) dt n+ f(t) dt n n n n+ f(n) dt = f(n) ( ) donc, si l série n N f(n) converge, lors l série n N b) = c) : supposons que l série n N D près l reltion de Chsles on k=n k+ k n+ n f(t) dt = n+ n f(t) dt converge. n+ N f(t) dt = F (n + ) f(t) dt converge d près 3.2. donc l suite (F (n + )) n N possède une limite finie l. Or l fonction f étnt positive sur [N, + [, l fonction F est croissnte sur [N, + [ donc possède une limite qund x + qui ne peut donc être que l. c) = ) : Si F (x) dmet une limite finie l en +, lors l suite (F (n + )) n N converge n+ vers l, i.e l série f(t) dt converge. On en déduit lors que l série f(n + ) n N n n N converge grâce à l encdrement (*), donc l série f(n) converge églement. n N 9

14 3.5 Proposition Soient u n et v n deux séries à termes réels strictement positifs. On suppose qu il existe n N tel que lors on n n = u n+ u n v n+ v n ) si l série v n converge, l série u n converge ; b) si l série u n diverge, l série v n diverge. On pour tout n n, u n u n v n v n u n u n 2 v n v n 2. u n + u n v n + v n lors, en multiplint ces inéglités, on obtient pour tout n n, i.e u n u n u n v n v n ( un v n ) v n. Il ne reste plus qu à ppliquer 3.2 pour obtenir l proposition. 3.6 Règle de d Alembert Soit u n une série à termes réels strictement positifs telle que l suite une limite l R + {+ }. lors on ) si l <, l série u n converge ; b) si l > ou l = +, l série u n diverge. ( un+ ) u n n N possède

15 u n+ ) Si l <, il existe ε > tel que = l + ε < ; d utre prt, lim n + u n N N tel que n N = l ε u n+ l + ε =. u n Posons v n = n, on lors = l donc il existe n N = u n+ u n = v n+ v n. Or < donc l série v n converge, pr conséquent l série u n converge d près 3.5. b) Si l > ou l = +, il existe N N tel que n N = u n+ u n = n+ n. Comme l série n diverge, l série u n diverge, toujours d près 3.5. Remrques ) On ne peut ps conclure si l = : en effet si u n = n ou u n = u n+ lim n + u n =. Mis l série n n(n + ) on n diverge lors que l série n(n + ) converge. n b) Une série ( ) u n à termes réels strictement positifs peut converger sns que l suite un+ it une limite. u n 3.7 Règle de Cuchy Soit u n une série à termes réels strictement positifs telle que l suite ( n u n ) n N possède une limite l R + {+ }. Alors on ) Si l <, l série u n converge. b) Si l > ou l = +, l série u n diverge. ) Si l <, il existe ε > tel que = l + ε < ; d utre prt, lim n + existe N N tel que n N = l ε n u n l + ε = d où n N = u n n. n un = l donc il Or < donc l série n converge, pr conséquent l série u n converge d près 3.2.

16 b) Si l > ou l = +, il existe N N tel que n N = n u n et donc n N = u n. Pr conséquent, l suite (u n ) n N ne converge ps vers : l série u n diverge donc. Remrques ) L règle de Cuchy ne permet ps de conclure qund l = : en effet si u n = n ou u n = n(n + ) on lim n un =. Mis l série diverge lors que l série n + n n n(n + ) converge. n b) On peut montrer que si u n est une série à termes réels strictement positifs telle que u n+ lim = l, lors lim n u n = l. Pr conséquent si on se trouve dns le cs douteux n + u n n l = pour l règle de d Alembert, il est inutile d essyer l règle de Cuchy. c) Une série u n à termes réels strictement positifs peut converger sns que l suite ( n u n ) it une limite. 3.8 Séries de Riemnn On ppelle série de Riemnn toute série dont le terme générl est de l forme u n = n α où α R. L série de Riemnn converge si et seulement si α >. nα n Si α, l suite n ne tend ps vers donc l série de Riemnn α n diverge. α n Si α >, considérons l fonction f(x) = sur [, + [ : elle est continue, décroissnte xα et positive et si on note F (x) = x F (x) = x α α f(t) dt, on si α et F (x) = ln x si α =. pr conséquent F(x) possède une limite finie en + si et seulement si α > : on déduit 2

17 lors de 3.4 que l série de Riemnn converge si et seulement si α >. nα n 3.9 Règle de Riemnn Soit u n une série à termes réels strictement positifs et soit α R. On suppose que (n α u n ) n possède une limite l. Alors on ) Si l est finie non nulle, les séries u n et n b) Si l = et α >, l série u n converge. c) Si l = + et α, l série u n diverge. sont de même nture. nα tout d bord, remrquons que l nécessirement. ) Si l est finie non nulle, lors u n l n ; on déduit lors de 3.3 que les séries u α n et sont de même nture. nα n b) Si l = et α >, pour ε =, il existe N N tel que d où n N = n α u n n N = u n n α. On déduit lors de 3.2 et 3.8 que l série u n converge. c) Si l = + et α, il existe N 2 N tel que d où n N 2 = n α u n n N 2 = u n n α. On déduit lors de 3.2 et 3.8 que l série u n diverge. Remrques ) Si l = et α, on ne peut ps conclure : vec α = 2, on nα n diverge, lors que nα et l série converge. n n 3 2 n n 3 2 n et l série 3

18 b) De même on ne peut ps conclure si l = + et α > : vec α = 7 4, on nα + n et l série diverge, lors que nα + et l série converge. n n n 3 2 n n 3 2 Exemples ) Posons u n = e n2 : on u n > et n 2 u n donc l série e n2 converge. b) Posons u n = ln n pour tout n : on u n > et nu n + donc l série ln n diverge. 4. Séries semi-convergentes 4. Définition On dit qu une série à termes réels ou complexes est semi-convergente si et seulement si elle est convergente sns être bsolument convergente. 4.2 Critère de Leibniz (dit des séries lternées) Soit (u n ) n N une suite réelle décroissnte, tendnt vers (donc à termes positifs). Alors l série (dite lternée) ( ) n u n est convergente, de plus on l mjortion du reste suivnte : ( ) k u k u n+. k=n+ Soit S n = u k l somme prtielle de l série u n, on lors k= n N, S 2n+2 S 2n = u 2n+2 u 2n+ et S 2n+ S 2n = u 2n+ + u 2n. Ainsi l suite (S 2n ) est décroissnte et l suite (S 2n+ ) est croissnte. De plus on n N, S 2n+ S 2n = u 2n+ donc l suite (S 2n+ S 2n ) tend vers. Les suites (S 2n ) et (S 2n+ ) sont donc djcentes et insi convergent toutes les deux vers une même limite finie S. Pr conséquent l suite (S n ) converge vers S, i.e, l série u n converge. De plus, on d où n N, S 2n+ S S 2n+2 = S 2n+ + u 2n+2 de même n N, S S 2n+ u 2n+2 d où n N, S 2n u 2n+ = S 2n+ S S 2n n N, u 2n+ S S 2n. 4

19 On en déduit que, pour tout entier n ( ) k u k = S S n u n+. k=n+ Exemple L série n ( ) n n est semi-convergente. 4.3 Proposition Soit u n une série semi-convergente et soit v n une série bsolument convergente ; lors l série (u n + v n ) est semi-convergente. L série v n étnt bsolument convergente est convergente, donc l série (u n + v n ) est convergente. D utre prt, l inéglité tringulire nous donne : n N, u n u n + v n + v n. donc, si l série (u n +v n ) étit bsolument convergente, l série u n le serit églement : pr conséquent l série (u n + v n ) est semi-convergente. Remrque L somme de deux séries semi-convergentes peut être bsolument convergente : soient u n = ( )n et v n = ( )n+ ; les deux séries u n et v n sont semiconvergentes lors que leur somme est l série nulle donc est bsolument n n n n convergente. 4.4 Critère d Abel Soit (v n ) n N une suite réelle décroissnte tendnt vers et soit (w n ) n N une suite réelle ou complexe vérifint M >, n, m N, m > n = w n + w n+ + + w m M. Alors l série v n w n converge et on v k w k Mv n. k=n 5

20 L preuve repose sur l écriture suivnte, ppelée trnsformtion d Abel : ( m m ) ( m ) ( ) v k w k = v m w k + (v m v m ) w k + + (v n v n+ ) w k. k=n On en déduit k=n k=n m m m v k w k v m w k + v m v m w k + + v n v n+ w k. k=n k=n k=n k=n k=n d où m v k w k M ( v m + v m v m + + v n v n+ ). k=n Or l suite (v n ) n N décroît vers l limite donc elle est à termes positifs et insi on v m + v m v m + + v n v n+ = v m + v m v m + + v n v n+ = v n d où m v k w k Mv n k=n ( ). De plus, l suite (v n ) n N converge vers i.e ε >, N N, n N = v n ε M d où m ε >, N N, m > n N = v k w k < ε. k=n Le critère de Cuchy permet lors de conclure que l série v n w n converge. De plus en fisnt tendre m vers + dns l inéglité (*) on obtient v k w k Mv n. k=n 6

21 5. Produit de séries 5. Définition et théorème Soient u n et v n deux séries à termes réels positifs convergentes. On pose pour tout n N w n = u k v n k lors l série w n converge et on ( + ) ( + ) w n = u n v n. k= L série w n est ppelée produit des séries u n et v n. Pour tout n N, considérons les sommes prtielles U n = W n = w k. D utre prt, notons k= u k, V n = k= v k et k= I n = {(p, q) N 2 / p + q n} et J n = {(p, q) N 2 / p n et q n}. Il est clir que pour tout n N, I n J n I 2n, donc, comme les séries u n et v n sont à termes positifs, on en déduit u p v q u p v q u p v q (p,q) I n (p,q) J n (p,q) I 2n or et d où (p,q) I n u p v q = (p,q) J n u p v q = s= p+q=s ( ( ) u p v q = p= u p) ( q= v q ) = U n V n ( s ) u p v s p = s= p= n N, W n U n V n W 2n ( ) w s = W n Or les séries u n et v n sont à termes positifs et convergent donc les suites à termes positifs (U n ) n N et (V n ) n N sont mjorées pr conséquent l suite (U n V n ) n N est elle ussi mjorée : on en déduit que l suite (croissnte) (W n ) n N converge i.e l série w n converge. De plus, en fisnt tendre n vers + dns (*), on obtient ( + ) ( + ) w n = u n v n. s= 7

22 5.2 Théorème Soient u n et v n deux séries à termes réels ou complexes. Si u n et v n sont bsolument convergentes, lors leur série produit w n est bsolument convergente et on ( + ) ( + ) w n = u n v n. Avec les nottions de l preuve de 5., on pour tout n N w n u k v n k k= or les séries u n et v n sont bsolument convergentes, on en déduit lors d près 5. que l série produit des séries u n et v n converge, donc que l série w n converge bsolument d près 3.2. D utre prt, on pour tout n N d où U n V n W n = (p,q) J n u p v q (p,q) I n u p v q = (p,q) J n I n u p v q U n V n W n = u p v q (p,q) J n I n u p v q = u p v q u p v q (p,q) J n I n (p,q) J n (p,q) I n or et d où u p v q = (p,q) I n ( ) ( ) u p v q = u p v q (p,q) J n p= q= ( ) ( s ) u p v q = u p v s p s= p+q=s s= p= ( ) ( ) ( s ) U n V n W n u p v q u p v s p p= q= s= p= mis le terme de droite tend vers qund n tend vers + d près 5. donc U n V n W n églement d où ( + ) ( + ) w n = u n v n. 8

23 Exemple Soit z un nombre complexe tel que z < ; lors l série géométrique z n converge bsolument : fisons le produit de cette série pr elle-même. Le coefficient de cette série produit est donné pr w n = z k z n k = k= z n = (n + )z n. k= Le théorème 5.2 permet lors d ffirmer que l série (n + )z n converge bsolument et que ( + ) 2 (n + )z n = z n = ( z). 2 9

24 . 2

25 II SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS.Convergence simple. Définition Considérons une suite de fonctions (f n ) n N définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; on dit que l suite (f n ) n N converge simplement vers f, ou que f est l limite simple de l suite (f n ) n N si et seulement si pour tout x I, l suite numérique (f n (x)) n N converge vers f(x) : x I, ε >, N x,ε N, n N, n N x,ε = f n (x) f(x) < ε. Remrque : il est nturel de se demnder si les propriétés des fonctions f n se trnsmettent à leur limite simple f ; l exemple suivnt montre que l limite simple de fonctions continues n est ps continue en générl : Exemple Pour tout n N, posons f n (x) = x n pour x [, ] ; lors l limite simple f de l suite (f n ) n N est donnée pr f(x) = si x [, [ et f() = : insi l limite simple f n est ps continue sur [, ] lors que pour tout n N, l fonction f n l est..2 Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R convergent simplement vers f, lors on : ) Si les fonctions f n sont positives sur I à prtir d un certin rng, f est positive sur I ; b) Si les fonctions f n sont croissntes (resp. décroissntes) sur I à prtir d un certin rng, f est croissnte (resp. décroissnte) sur I. L preuve repose sur l conservtion des inéglités lrges pr pssge à l limite. 2.Convergence uniforme 2. Norme infinie Considérons une fonction f définie sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C ; on suppose que f est bornée sur I i.e M > tel que x I, f(x) M. Alors l fonction f est mjorée donc dmet une borne supérieure que l on note f et que l on ppelle norme infinie de f : f = sup f(x). x I Pr définition de l borne supérieure on lors : 2

26 ) x I, f(x) f ; b) Si M est une constnte telle que x I, f(x) M, lors f M. Si f n est ps bornée sur I, on pose f = Proposition L norme infinie est effectivement une norme sur l ensemble B des fonctions bornées de I dns R (resp. C), i.e elle vérifie les 3 propriétés suivntes : ) f B, f = f = ; b) f B, λ R (ou C), λf = λ f ; c) f et g B, f + g f + g. De plus, on d) f et g B, fg f g. D utre prt, si f ou g n est ps bornée sur I les propriétés ), b), c) et d) sont encore vérifiées. ) Soit f B ; si f = il est clir que f = ; réciproquement si f =, lors x I, f(x) f = i.e x I, f(x) = : f est donc l fonction nulle sur I. b) Soit f B ; on pour tout λ R (ou C) et pour tout x I d où le résultt. c) Soient f et g B ; on pour tout x I : d où λf(x) = λ f(x) (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g pr pssge à l borne supérieure. d) Soient f et g B ; on pour tout x I : f + g f + g (fg)(x) = f(x)g(x) = f(x) g(x) f g d où fg f g pr pssge à l borne supérieure. 22

27 2.3 Définition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C, et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; on dit que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f si et seulement si l suite numérique ( fn f ) n N converge vers i.e ε >, N N, x I, n N, n N = f n (x) f(x) < ε. 2.4 Proposition et définition Soient (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C. ) Soit J une prtie non vide de I : si l suite (f n ) n N converge uniformément vers f, lors l suite des restrictions à J des fonctions f n converge uniformément vers l restriction à J de l fonction f : on dit que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur J. b) Soient I et I 2 deux prties non vides de I ; si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I et sur I 2, lors (f n ) n N converge uniformément vers f sur I I 2. On dir qu une suite (f n ) n N de fonctions définies sur un intervlle I de R converge uniformément loclement sur I si elle converge uniformément sur tout segment contenu dns I. ) provient de l inéglité sup x J f n (x) f(x) sup f n (x) f(x). x I b) provient de l églité ( ) sup f n (x) f(x) = mx sup f n (x) f(x), sup f n (x) f(x). x I I 2 x I x I Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C telles que l suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur I ; lors l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur I. Exemple Posons pour tout n N, f n (x) = x n pour x [, ] ; lors l limite simple f de l suite (f n ) n N est donnée pr f(x) = si x [, [ et f() =. Si (f n ) n N converge uniformément sur [, ], ce ne peut être que vers s limite simple f d près 2.5, étudions donc l suite numérique ( fn f ) n N : 23

28 si x [, [, f n (x) f(x) = x n et f n () f() = donc fn f = sup f n (x) f(x) = = sup f n (x) f(x) = sup x n = x [,] x [,[ x [,[ et insi l suite (f n ) n N ne converge ps uniformément sur [, ], ni sur [, [. Pr contre si on fixe [, [, lors sup f n (x) f(x) = n x [,] et insi l suite (f n ) n N converge uniformément sur [, ] : on constte donc que l convergence uniforme locle sur [, [ n entrîne ps l convergence uniforme sur [, [. Il n est ps toujours possible de clculer explicitement f n f comme on vient de le fire, d où l utilité de l proposition suivnte : 2.6 Proposition L suite (f n ) n N converge uniformément sur I si et seulement si il existe une suite réelle ( n ) n N convergent vers telle que x I, n N, f n (x) f(x) n. Si (f n ) n N converge uniformément sur I, il suffit de prendre n = f n f. Réciproquement, s il existe une suite réelle ( n ) n N convergent vers telle que x I, n N, f n (x) f(x) n lors on en déduit et insi f n f. n N, f n f n 2.7 Proposition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C et soit f une fonction définie sur I et à vleurs dns R ou C ; s il existe une suite (x n ) n N de points de I telle que l suite numérique (f n (x n ) f(x n )) n N ne converge ps vers, lors l suite (f n ) n N ne converge ps uniformément vers f sur I. En effet, on n N, f n (x n ) f(x n ) f n f. 24

29 Alors si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I on f n f ; on en déduit lors f n (x n ) f(x n ) ce qui est bsurde ; donc (f n ) n N ne converge ps uniformément vers f sur I. 2.8 Proposition Soient (f n ) n N et (g n ) n N deux suites de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C de limites uniformes respectives f et g ; lors l suite (f n + g n ) n N converge uniformément vers f + g et si λ est un sclire, l suite (λf n ) n N converge uniformément vers λf. en effet on d près 2.2 (f n + g n ) (f + g) f n f + g n g et λf n λf = λ f n f. 2.9 Critère de Cuchy de convergence uniforme Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C ; lors l suite (f n ) n N converge uniformément si et seulement si on : ε >, N N, m, n N, m > n N = f n f m < ε. Supposons le critère de Cuchy vérifié, lors on en déduit que pour tout ε > il existe N N tel que x I, m, n N, m > n N = f n (x) f m (x) f n f m < ε 2 ( ) pr conséquent pour tout x I, l suite numérique (f n (x)) n N est une suite de Cuchy donc converge vers une limite que l on noter f(x). Ainsi l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur I. Or si on fit tendre m vers + dns ( ) on obtient x I, n N, n N = f n (x) f(x) ε 2 < ε et insi (f n ) n N converge uniformément vers f sur I. Réciproquement, si (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, lors ε >, N N, n N, n N = f n f < ε 2. Alors l inéglité tringulire nous donne m > n N = f n f m < f n f + f f m < ε 2 + ε 2 = ε 25

30 et le critère de Cuchy de convergence uniforme est vérifié. 3 Propriétés des limites uniformes de suites de fonctions 3. Théorème Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un sous-ensemble I de R et à vleurs dns R ou C de limite uniforme f sur I. Alors l fonction f est bornée sur I si et seulement si il existe N N tel que pour tout n N, l fonction f n est bornée sur I. L suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, donc pour ε =, il existe N N tel que n N = f n f <. Supposons qu il existe N 2 N tel que les fonctions f n soient bornées sur I pour tout n N 2, lors pour m = mx(n, N 2 ), on et insi f est bornée sur I. f f f m + f m < + f m Réciproquement, si f est bornée sur I, on pour tout n N, f n f n f + f < + f et insi les fonctions f n sont bornées sur I pour tout n N. 3.2 Théorème d interversion des limites Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C de limite uniforme f sur I et soit un point de I. On suppose que pour tout n N, l fonction f n (x) dmet une limite finie u n qund x tend vers. Alors l suite numérique (u n ) n N dmet une limite finie l et l fonction f(x) dmet l pour limite qund x tend vers, i.e ( ) lim lim f n(x) = lim n + x x ( lim f n(x) n + Montrons que l suite (u n ) n N est une suite de Cuchy : puisque l suite (f n ) n N converge uniformément sur I, on d près le critère de Cuchy uniforme ). ε >, N N, m, n N, m > n N = x I, f n (x) f m (x) < ε 2 26

31 lors en fisnt tendre x vers, on obtient m > n N = u n u m ε 2 < ε et insi (u n ) n N est une suite de Cuchy donc possède une limite finie l. Montrons que f(x) tend l qund x tend vers : Considérons ε > ; comme (f n ) n N converge uniformément vers f sur I, il existe N N tel que n N = x I, f n (x) f(x) < ε 3 de plus (u n ) n N converge vers l donc il existe N 2 N tel que n N 2 = u n l < ε 3. Posons lors N = mx(n, N 2 ) : comme f N (x) tend vers u N qund x tend vers, il existe donc un voisinge V de dns I tel que On obtient lors x V, f N (x) u N < ε 3. x V, l f(x) l u N + u N f N (x) + f N (x) f(x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε et insi f(x) tend vers l qund x tend vers. 3.3 Théorème ) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C convergent uniformément vers une fonction f sur I et soit x un point de I ; si f n est continue en x pour n ssez grnd, lors f est continue en x. b) Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns R ou C convergent uniformément loclement vers une fonction f sur I ; si f n est continue sur I pour n ssez grnd, lors f est continue sur I. ) On pplique le théorème 3.2 pour = x : ( ) lim n + lim f n (x) x x = lim x x ( ) lim f n(x). n + or l suite (f n ) n N converge uniformément donc simplement vers f sur I, et pour tout n, f n est continue en x d où lim f n(x ) = lim f(x) n + x x i.e donc f est continue en x. f(x ) = lim x x f(x) 27

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

MATHEMATIQUES GENERALES partim A

MATHEMATIQUES GENERALES partim A Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique 04-05 Frnçoise BASTIN Introduction

Plus en détail

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2 GLMA -4 GLMA - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE - -4 CONTRÔLE CONTINU Durée : h Tout doument ou lultrie est interdit Il ser tenu ompte de l lrté et de l préision de l rédtion Il est importnt de justifier hune

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonctions analytiques

Fonctions analytiques CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Microéconomie de l Incertitude M1 Banque et Marchés Financiers

Microéconomie de l Incertitude M1 Banque et Marchés Financiers Microéconomie de l Incertitude M1 Bnque et Mrchés Finnciers Emmnuel DUGUET Notes de Cours, V1 2 1 Concepts de bse 5 1.1 Les loteries................................ 6 1.2 Le critère d espérnce mthémtique..................

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

REGLEMENT DU CLASSEMENT NATIONAL

REGLEMENT DU CLASSEMENT NATIONAL REGLEMET DU CLASSEMET ATIOAL / Les règles indiquées ici sont celles utilisées pour clculer les ttributions de points de l sison -. I. PRICIPES DE BASE Le clssement ntionl de l F.F.B. est le seul uquel

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p1 SYSTEMES OGIQUES OGIQUE COMBINATOIRE I Commnde des systèmes logiques 1. Structure des systèmes utomtisés Reprenons l structure étlie dns le cours

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR CAP PRO E SCHEMA : E MOTEUR folio folio folio folio folio folio folio 7 folio 8 folio 9 plque signlétique d un moteur puissnce sorée pr un moteur plque à ornes d un moteur triphsé e couplge étoile e couplge

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Systèmes logiques combinatoires

Systèmes logiques combinatoires «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail