Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

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1 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne, 9 rue de Tolbic, 7513 Pris

2 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 2 Pln du cours 1 Intégrles générlisées 2 Intégrles multiples 3 Suites et séries de fonctions 4 Intégrles dépendnt d un prmètre 5 Equtions différentielles linéires 6 Séries entières Bibliogrphie Livres pour commencer Archinrd G et Guerrien, B Anlyse pour économistes Economic Chuvt G, Chollet A et Bouteiller Y Mthémtiques - BTS/DUT industriel - Anlyse, Ediscience Piller, A Anlyse II pour économistes - Mnuel d exercices corrigés vec rppels de cours Premium Livres de niveu plus élevé Mthémtiques L2 Person Eduction Liret F et Mrtinis D Mthémtiques à l université - Anlyse - 2e nnée - Cours et exercices vec solutions Licence 2e nnée MIAS, MASS et SM Dunod Monier, J-M Anlyse MPSI - Cours, méthodes, exercices corrigés Dunod Rmis, E, Deschmps, C et Odoux, J Cours de mthémtiques, tome 4: Séries et équtions différentielles Dunod Rmis, JP et Wrusfel, A Mthémtiques Tout-en-un pour l Licence, Niveu L2 : Cours complets vec pplictions et 76 exercices corrigés Dunod

3 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 3 1 Intégrles générlisées (impropres) On s intéresse à des intégrles dont les bornes comprennent soit ±, soit des points où l fonction à intégrer n est ps définie 11 Convergence d une intégrle générlisée Définition Soit f : I IR une fonction On dit que f est une fonction loclement intégrble sur I si pour tout intervlle [α,β] I, β f(t)dt existe α Définition Soit f : [,b[ IR une fonction loclement intégrble sur [,b[ (b pouvnt être + ) On dit que l intégrle dite générlisée (ou impropre) f(t)dt est convergente si lim x x b f(t)dt existe On poser lors f(t)dt = lim x x b f(t)dt Sinon, on dir que l intégrle est divergente Remrque Pour simplifier l écriture, ici on ne considère qu un point problémtique pour l intégrle, à svoir b, ce qui rrive notmment lorsque b = + ou si f n ps de limite en b vec b fini Il peut cependnt y voir d utres points problémtiques, en pr exemple Pr exemple, x dx et e x dx sont des intégrles impropres (l première diverge l seconde converge) Théorème Critère de convergence de Cuchy Si f loclement intégrble sur [, b[ (b pouvnt être ), x lors: f(t)dt converge si et seulement si ε >, c [,b[ tel que (x,x ) [c,b[ 2, f(t)dt ε Conséquence Si f loclement intégrble sur [,b[ lors si Remrque L réciproque est fusse f(t) dt converge lors Définition Pour f loclement intégrble sur [, b[ on dit que f(t)dt est une intégrle bsolument convergente si f(t) dt < f(t)dt est une intégrle semi-convergente si f(t) dt = mis x f(t)dt converge f(t)dt existe Théorème Théorèmes de comprison Soient f et g loclement intégrbles sur [, b[ Si f g en b, lors ( (fux vec semi-convergence); Si f g sur [,b[, lors ( Si f g sur [,b[, lors ( Conséquence f(t)dt bsolument convergente) ( g(t)dt convergente) = ( f(t)dt divergente) = ( g(t)dt bsolument convergente) f(t)dt convergente); g(t)dt divergente) Si f est loclement intégrble sur [,b[ vec b < +, et si lim f(x) existe lors f est prolongeble pr x b continuité en b et Conséquence f(t)dt converge + Si f est loclement intégrble sur [,+ [ tel que lim f(x) lors f(t)dt diverge x +

4 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 4 Remrque + f(t)dt peut converger même si f est non bornée en + En ceci l étude de l convergence des intégrles impropres diffère de celle des séries Il est souvent possible de se rmener pr un théorème de comprison à l étude des intégrles de Riemnn En prticulier, on doit svoir que: 1 dx converge dès que α < 1 et xα 1 dx converge dès que α > 1 xα 12 Clcul des intégrles générlisées Propriété Si f et g sont loclement intégrbles sur [,b[ et si 1 Pour λ IR, 2 Si 3 c λf(t)dt = λ f(t)dt g(t)dt est bsolument convergente, f(t)dt = f(t)dt+ 4 Si f g sur [,b] lors 5 Si c b f(t)dt et f(t)dt b f(t)dt est bsolument convergente, (f(t)+g(t))dt = f(t)dt = g(t)dt f(t)dt f(t)dt et f(t)dt+ f(t)dt (Chsles) f(t) dt g(t)dt convergent lors : g(t)dt Les méthodes de clcul utilisées pour les intégrles définies peuvent être reprises en rjoutnt certines conditions On suppose que f est loclement intégrbles sur [, b[ et que 1 Utilistion d une primitive: 2 Intégrtion pr prties: on u (t)v(t)dt existent 3 Chngement de vrible: f(t)dt = lim x b F(x) F() f(x)dx = u(t)v (t)dt = lim x b [ u(t)v(t) ] x limx b φ 1 (x) φ 1 () monotone de clsse C 1 sur [φ 1 (),lim x b φ 1 (x)[ f(t)dt converge : u (t)v(t)dt si lim x b [ u(t)v(t) ] x et φ (t)f(φ(t))dt où φ est une bijection strictement

5 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 5 2 Intégrles multiples On s intéresse ici à une fonction f : IR n IR, à un ensemble IR n sur lequel f est continue pr morceux et à l intégrle (lorsqu elle existe) f(x)dx = f(x 1,,x n )dx 1 dx n 21 Domine mesurble et volume d un pvé Dns l écriture d une intégrle multiple ci-dessus on peut se demnder quelle forme peut prendre l ensemble pour que l on puisse clculer l intégrle Dns IR, on l hbitude de trviller vec des intervlles ou des unions d intervlles (ouverts ou fermés) Dns IR n, on peut imginer différents types d ensembles: des rectngles, des prllélépipèdes, des boules, Mis pour quel type d ensemble peut-on considérer une intégrle multiple? Définition On ppelle pvé P de IR n un ensemble de l forme P = I 1 I n, où I 1,,I n sont des intervlles de IR Si les I k sont des intervlles ouverts (respectivement fermés) lors P est un pvé ouvert (respectivement fermé) Dns R, R 2, Définition On dit qu un ensemble de IR n est mesurble (en toute rigueur Lebesgue-mesurble) s il peut s écrire comme une union ou une intersection dénombrble de pvés de IR n, c est-à-dire s il existe une suite (P n ) n IN de pvés de IR n tels que = n IN P n ou = n IN P n Montrer qu un tringle est bien un ensemble mesurble de IR 2 Définition On dit qu une fonction f : IR n IR m est mesurble (en toute rigueur Lebesgue-mesurble) si pour tout ensemble mesurble A m IR m, f 1 (A m ) = {x IR n, f(x) A m } est un ensemble mesurble de IR n Pour A mesurble sur IR n, f = II A est mesurble De même pour f une fonction continue, ou continue pr morceux de IR n dns IR n Propriété Une fonction mesurble de IR n dns IR peut toujours s écrire sous l forme f = i I iii Pi où les i sont des réels, les P i sont des pvés disjoints de IR n et I N Propriété Si f : IR n IR m est mesurble (pr exemple si f est continue pr morceux) et A m est un ensemble mesurble de IR m, lors l ensemble f 1 (A m ) est un ensemble mesurble de IR n Montrer qu un disque est bien un ensemble mesurble de IR 2 Remrque En fit, même s il existe une infinité d ensembles non mesurbles dns IR n (l ensemble des ensembles non mesurbles est même infiniment plus grnd que celui des ensembles mesurbles), il n est ps fcile d en construire un Tous les ensembles uxquels on peut penser hbituellement (boules, cylindres, cônes,) sont eux mesurbles

6 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Définition générle d une intégrle multiple On commence pr définir une intégrle multiple à prtir du volume d un pvé: Définition Pour P = [ 1,b 1 ] [ n,b n ] un pvé de IR n tel que < i < b i < (on peut ussi prendre les intervlles ouverts, ou bien ouverts d un seul côté), on définit le volume de ce pvé pr n dx = II P (x)dx = (b i i ) P IR n Ceci permet de définir d une nouvelle mnière une intégrle (dite de Lebesgue) sur IR n : Définition Pour f : IR n IR + une fonction mesurble telle que f = i I iii Pi où les i sont des réels positifs, P i sont des pvés disjoints de IR n et I IN, lors on peut toujours définir l intégrle de f pr: = IRf(x)dx α i ( dx) (pouvnt prendre l vleur + ) i I P i Définition Pour f : IR n IR une fonction mesurble (non nécessirement positive) telle que f(x) dx < IR n, on peut poser f = f + f, où f + = mx(,f) et f = mx( f,) sont deux fonctions mesurbles positives, et insi f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx IR n IR n IR n Si est un ensemble mesurble de IR n, on noter f(x)dx = II IR n (x)f(x)dx Propriété Il est fcile de voir à prtir d une telle définition qu une intégrle est une forme linéire d un ensemble de fonctions dns IR, cr stble pr l ddition ou pr l multipliction pr une constnte En prticulier, on voit fcilement ici qu une fonction continue sur IR n est toujours intégrble sur un pvé fermé On retrouve ussi vec cette notion d intégrle des propriétés connues pour l intégrle de Riemnn: Propriété Soit f : IR n R une fonction intégrble sur domine mesurble de IR n Alors: 1 Si = 1 2 vec 1 et 2 deux ensembles mesurbles disjoints de IR n, lors f(x)dx = 1 f(x)dx+ 2 f(x)dx (Reltion de Chsles) 2 Si f g vec g : IR n IR une fonction intégrble sur lors f(x)dx g(x)dx On peut ussi étendre cette notion d intégrle à des intégrles semi-convergentes: Définition Soit f : IR n IR une fonction mesurble et un ensemble mesurble de IR n On suppose qu il existe ( i ) i IN une suite croissnte (u sens de l inclusion: i i+1 pour tout i IN) d ensembles mesurbles de IR n, telle que = i IN i et lim i i f(x)dx < Alors on peut définir l intégrle de f sur et f(x)dx = lim f(x)dx i i Si f(x) dx =, on dir lors que l intégrle de f sur est semi-convergente (mis f ne ser ps intégrble u sens de Lebesgue) Onpourrinsiconsidérerlesintégrles n Attention à l reltion de Chsles pour les intégrles multiples! Ainsi n+1 en générl, mis (fire un dessin pour s en convincre) Remrque n+1 n+1 = n n i=1 n f(x,y)dxdy pourmontrerlconvergencede f(x,y)dxdy + n+1 n n + n n+1 n + n+1 n+1 n n+1 n n n + n+1 n Si f : IR IR est Riemnn-integrble sur IR (ce peut être une intégrle générlisée) lors les définitions ci-dessus permettent de retrouver l vleur de f(x)dx clculée usuellement (à prtir de l notion d intégrle de Riemnn) L intérêt de l notion d intégrle de Lebesgue définie ci-dessus est qu elle permet de définir des intégrles pour des fonctions plus générles que des fonctions Riemnn-intégrbles Pr exemple 1 II Q(x)dx est désormis définie et clculble (et vut ) n+1 n

7 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Clcul d une intégrle multiple Les définitions ci-dessus permettent de définir mis ps forcément de clculer une intégrle multiple Un résultt très puissnt(théorème de Fubini) qui permet de revenir à des intégrles simples et une générlistion du chngement de vrible à plusieurs dimensions peuvent permettre de clculer une intégrle multiple (mis ce n est évidemment ps toujours possible; rppelons pr exemple que x /2 e t2 dt n est ps exprimble, mis existe et peut être pprochée pr des méthodes numériques) Remrquons que dns le cs d intégrles multiples le recours à une primitive n est ps possible directement (qu est-ce qu une primitive d une fonction à deux vribles pr exemple?), mis il pourr tout de même être utilisé si l on peut décomposer l intégrle multiple en intégrles simples Théorème (Théorème de Fubini-Tonelli pour les fonctions positives) Si f : IR m IR n IR + est mesurble et positive, lors les pplictions x IR m f(x,y)dy et y IR n f(x,y)dx sont mesurbles IR n IR m positives On de plus [ ] [ ] f(x,y)dxdy = f(x,y)dy dx = f(x,y)dx dy IR m IR n IR m IR n IR n IR m Théorème (Théorème de Fubini-Lebesgue) Si f : IR m IR n IR est mesurble et intégrble sur IR m IR n (c est-à-dire que IR m IR n f(x,y) dxdy < ) lors f(x,y)dxdy = IR m IR n IR m [ ] f(x,y)dy dx = IR n IR n [ ] f(x,y)dx dy IR m Le premier Théorème de Fubini (vec Tonelli) permet vérifier que l fonction est bien intégrble et le second (vec Lebesgue) permet de l clculer en l découpnt en intégrles simples (cr ce qui est fit dns cet énoncé peut être générlisé en pssnt de IR n IR m à IR IR) N oublions ps que l on peut églement triter le cs des intégrles semi-convergentes en considérnt une suite d ensembles mesurbles tendnt vers (ou IR m IR m ) Voyons mintennt deux cs prticuliers: les intégrles doubles et triples Intégrles doubles On suppose ici que est un ensemble mesurble de IR 2 On suppose qu il existe deux fonctions φ 1 et φ 2 de IR dns IR et continues telles que = {(x,y) IR 2, x I, ψ 1 (x) y ψ 2 (x)} (on peut remplcer certins des pr des < dns cette écriture), où I est un ensemble mesurble de IR (typiquement un intervlle) Alors si f est intégrble sur : [ ψ 2(x) f(x,y)dxdy = f(x,y)dy ] dx I Remrquons que si peut-être prmétré de cette mnière, il peut l être souvent ussi en même temps sous l forme = {(x,y) IR 2, y J, φ 1 (y) x φ 2 (y)}, ce qui revient à d bord clculer l intégrle pr rpport à x puis celle pr rpport à y Exercice ψ 1(x) Clculer x sinydxdy, où = {(x,y) [,1]2, x+y 1} Intégrles triples On étend à l dimension 3 le risonnement précédent On suppose donc que est un ensemble mesurble de IR 3 tel qu il existe des fonctions ψ 1, ψ 2 continues de IR dns IR, et φ 1 et φ 2 continues de IR 2 dns IR, telles que = {(x,y,z) IR 3, x I, ψ 1 (x) y ψ 2 (x), φ 1 (x,y) z φ 2 (x,y)} (on peut remplcer certins pr des < dns cette écriture), où I est un ensemble mesurble de IR (typiquement un intervlle) Alors si f est intégrble sur : [ ψ 2(x) [ φ 2(x,y) f(x,y,z)dxdydz = f(x,y,z)dz ] dy ] dx I ψ 1(x) φ 1(x,y)

8 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 8 Exercice Déterminer le volume d un tétrèdre régulier (6 rêtes de même longueur l, chcune des 4 fces étnt un tringle équiltérl) Pssons mintennt u chngement de vrible Remrquons tout d bord que l on ne peut ps simplement ppliquer l formule du chngement de vrible pour les intégrles simples à chcune des vribles Pr exemple, si on psse de (x,y) à (2x+3y, x y) comment fire? Commençons pr définir les chngements de vribles dmissibles : ce seront les C 1 -difféomorphismes dont nous vons vu l définition u chpitre 2 Définition (Rppel) Une fonction de clsse C 1 (I) où I est un pvé de IR n, bijective, et dont l réciproque est églement de clsse C 1 est ppelée un C 1 -difféomorphisme sur I Définition Pour φ une fonction telle que φ(u 1,,u n ) = ( φ 1 (u 1,,u n ),,φ n (u 1,,u n ) ) soit un C 1 -difféomorphisme sur I où I est un pvé de IR n, on ppelle mtrice jcobienne de φ l mtrice crrée: φ 1 φ 1 (u 1,,u n ) (u 1,,u n ) u 1 u n J φ (u 1,,u n ) = φ n φ n (u 1,,u n ) (u 1,,u n ) u 1 u n Le déterminnt de J φ (u 1,,u n ) est ppelé jcobien de φ (ou jcobien du chngement de vrible) On noter souvent Jφ (u 1,,u n ) l vleur bsolue de ce déterminnt Théorème (Formuleduchngementdevribles) Soit f : IR n IR une fonction mesurble et un ensemble mesurble de IR n tels que f(x) dx < Pr illeurs on suppose qu il existe φ un C1 -difféomorphisme de IR n dns tel que φ(u 1,,u n ) = ( φ 1 (u 1,,u n ),,φ n (u 1,,u n ) ) et Jφ (u 1,,u n ) > sur Alors f(x 1,,x n )dx 1 dx n = J φ (u 1,,u n ) f ( φ 1 (u 1,,u n ),,φ n (u 1,,u n ) ) du 1 du n Chngement de vrible en polire dns IR 2, en sphérique dns IR 3 Exercice Clculer IR 2 e (x2 +y 2 )/2 dxdy près voir montré son existence En déduire IR e x2 /2 dx

9 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 9 3 Interlude sur les suites et séries de fonctions 31 Suites de fonctions Définition Une suite de fonctions est une suite de type (f n (x)) n IN où chque f n est une fonction On dit qu une suite de fonctions (f n (x)) n IN converge simplement vers une fonction f(x) en x si f n (x ) f(x ) Pr exension, on dir que (f n (x)) n IN converge simplement vers f sur I IR si n + pour tout x I, f n (x) f(x) n + on dir que (f n (x)) n IN converge uniformément vers f sur I IR si sup x I f n (x) f(x) n + Propriété (Convergence uniforme) = (Convergence simple) Remrque L réciproque est fusse (contre-xemple: f n (x) = x n sur [,1] converge simplement mis ps uniformément) Théorème Théorème de continuité Si (f n ) est une suite de fonctions continues sur A, qui converge uniformément vers f sur A, lors f continue sur A Remrque L continuité étnt locle, f est continue en x si les f n sont continues et convergent uniformément sur un intervlle contennt x Théorème Théorème d intégrtion Si (f n ) est une suite de fonctions continues sur [,b], qui converge uniformément vers f sur [, b], lors: lim n + f n (x)dx = lim f n(x)dx = n + f(x)dx Théorème Théorème de dérivtion Si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C 1 sur [,b] et si: Il existe x [,b] tel que (f n (x )) converge simplement, Les (f n) converge uniformément vers une fonction g sur [,b], lors (f n ) converge simplement vers f sur [,b], f est de clsse C 1 sur [,b] telle que f = g soit (lim n + f n ) (x) = lim n + f n(x) 32 Séries de fonctions Définition Série de fonctions: soit (f n ) n IN une suite de fonction On ppelle série de fonctions n IN f n: lorsqu elle existe c est donc une fonction On retrouver les mêmes notions que pour les suites de fonctions en considérnt l suite ( n k= f ) k L série de fonctions n IN f n converge simplement en x IR (ou C ) lorsque n= f n(x) existe L série de fonctions n IN f n converge uniformément sur I IR lorsque sup x I k=n f k(x) n + L série de fonctions n IN f n converge normlement sur I IR lorsque n= sup x I f k (x) < On se souviendr que l convergence normle est presque toujours sufficnte pour obtenir l convergence uniforme et on essyer en priorité d obtenir l convergence normle Cependnt dns l exemple de l semiconvergence, comme pr exemple n IN ( 1)n x n /(n+1) on l convergence uniforme sur [,1] (en utilisnt le reste pour une série lternée), mis ps l convergence normle (celle-ci est uniquement possible sur [, ] vec < 1) n IN Propriété (Convergence normle) = (Convergence uniforme) = (Convergence simple)

10 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 1 Remrque L réciproque est fusse Propriété Si x A, f n (x) u n et u n converge lors f n (x) converge normlement sur A Théorème Théorème de continuité Si (f n ) est une suite de fonctions continues sur A et si f n (x) converge uniformément vers S(x) sur A, où S(x) = f n (x), lors S continue sur A Théorème Théorème d intégrtion Si (f n ) est une suite de fonctions continues sur [,b] et si f n (x) convergent uniformément vers S sur [,b], où S(x) = f n (x), lors: + n= f n (x)dx = + n= f n (x)dx Théorème Théorème de dérivtion Si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C 1 sur [,b] et si: Il existe x [,b] tel que f n (x ) converge, L suite ( f n) converge uniformément sur [,b], lors ( + ) f n est de clsse C 1 sur [,b] et pour x [,b], f n (x) = n= 4 Intégrles dépendnt d un prmètre + n= f n(x) On s intéresse ici ux différentes propriétés (domine de définition, continuité, dérivbilité,) de l fonction F : x I f(x,t)dt où f : (x,t) I J f(x,t) IR J 41 Théorèmes de convergence pour des suites d intégrles Pour commencer, on considère une suite de fonctions de l forme ( J f n(x)dx ) n IN où (f n) n IN est une suite de fonctions intégrbles sur J (l notion d intégrbilité reste pour l instnt celle de Riemnn, c est-à-dire presque le fit d être continu pr morceux; les deux théorèmes qui suivent s ppliquent en fit à des fonctions beucoup plus générles) Théorème (Théorème de convergence monotone) Soit (f n ) n IN une suite de fonctions continues pr morceux sur J IR telles que: 1 pour tout n IN, J f n(x)dx existe; 2 pour tout n IN, f n f n+1 (donc pour tout x J, f n (x) f n+1 (x)); 3 il existe f : J IR, continue pr morceux, telle que pour tout x J, f n (x) n + simple) f(x) (convergence Alors lim f n (x)dx = lim f n(x)dx = f(x)dx (cette limite pouvnt être + ) n J J n J Appliquer le résultt précédent à l suite de fonctions f n (x) = x n sur [,1] Le théorème qui suit ser beucoup plus intéressnt: Théorème (Théorème de convergence dominée dit encore Théorème de Lebesgue) Soit (f n ) n IN une suite de fonctions continues pr morceux sur J IR telles que: 1 pour tout n IN, J f n(x)dx existe;

11 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S il existe une fonction g : J IR positive et continue pr morceux telle que pour tout n IN, f n g (donc pour tout x J, f n (x) g(x)) et g(x)dx existe; J 3 il existe f : J IR, continue pr morceux, telle que pour tout x J, f n (x) n + simple) Alors lim f n (x)dx = lim f n(x)dx = f(x)dx n J J n J f(x) (convergence Ce théorème s pplique donc à une fonction dont l vleur bsolue est inférieure à une utre fonction qui est intégrble Cel peut être beucoup demnder qund les fonctions oscillent utour de (pr exemple pour l exemple suivnt f n (x) = nsin(x/n)/x sur I = IR) On est lors obligé de trviller à l min pour montrer l convergence Triter le cs des séries de fonctions sur IR: f n (x) = e x2 (sinx) n puis f n (x) = n sin(x/n) x Attention, pour le théorème de Lebesgue l domintion est essentielle Pr exemple pour l suite de fonctions f n (x) = x/n pour x n et f n (x) = si x n, les fonctions sont intégrbles sur IR + et ont bien une limite simple (l fonction nulle) mis il n y ps possibilité d interchnger intégrle et limite sur IR + 42 Continuité d une intégrle dépendnt d un prmètre Proposition Soit f : (x,t) I J f(x,t) IR une fonction continue sur I J (I et J peuvent être des ouverts) On suppose pr illeurs qu il existe une fonction g : I IR +, positive, continue, telle que f(x,t) g(t) pour (x,t) I J Si J g(t)dt < lors l fonction F : x I f(x,t)dt existe et est continue sur I J Remrque Comme les ensembles I et J peuvent être des ouverts, l proposition précédente s pplique ussi ux intégrles générlisées (impropres) Pr exemple, si J = [,b[, J f(x,t)dt = f(x,t)dt Proof Pour x I, on s intéresse à lim x x F(x) Mis pour (h n) n IN une suite tendnt vers, on lim x x F(x) = lim n J f(x + h n,t)dt Or pour tout t J, lim n f(x + h n,t) = f(x,t) cr f est continue en x pr hypothèse, et pour tout t J, f(x,t) g(t) et J g(t)dt < Donc d près le Théorème de Lebesgue, on peut intervertir l limite et l intégrle et lim n J f(x +h n,t)dt = J limn f(x +h n,t)dt = J f(x,t)dt = F(x ): F est bien continue en x Exercice Déterminer l ensemble de définition et de continuité de l fonction F(x) := e t x+t dt Corollire Sous les hypothèses de l propriété précédente, si : I J et b : I J sont deux fonctions continues sur I telles que b, lors l fonction G : x I (x) f(x,t)dt est continue sur I (x) Proof Onpeutreprendrelmêmepreuvequelpropositionprécédente, misonconsidèremintennth(x,t) = f(x,t)ii (x) t b(x) On clirement G(x) = J h(x,t)dt Comme et b sont des fonctions continues, pour tout t J vec t (x ) et t b(x ), lim n II (x +h n) t b(x +h n) = II (x ) t b(x ) pour tout x I, d où lim n h(x + h n,t) = h(x,t) De plus pour tout n IN et tout t J \ {(x ),b(x )}, h(x + h n,t) g(t) On peut donc encore ppliquer le Théorème de Lebesgue et lim n G(x +h n) = G(x ): G est bien continue en x Corollire Soit f : (x,t) I [,b] f(x,t) IR une fonction continue sur I [,b] Alors l fonction F : x I f(x,t)dt existe et est continue sur I Proof Dns ce cs, comme J est un intervlle compct [,b], et f est continue sur I J, on peut poser pour tout (x,t) I J, f(x,t) = g x(t) vec J gx(t)dt < cr gx est continue et J = [,b] L proposition peut donc être ppliquée Déterminer l ensemble de définition et de continuité de F(x) = x t 2 +x 2dt

12 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Dérivbilité d une intégrle dépendnt d un prmètre Propriété Soit f : (x,t) I J f(x,t) IR une fonction continue sur I J dmettnt une dérivée prtielle f x continue sur I J et telle qu il existe g : I IR + et g 1 : I IR +, positives, continues, vérifint f(x,t) g (t) et f x (x,t) g1 (t) pour (x,t) I J Si J g (t)dt < et J g 1(t)dt <, lors l fonction F : x I J f(x,t)dt est de clsse C1 sur I et F (x) = J f (x,t)dt pour tout x I x Proof Soit x J Alors F(x + h n) F(x ) = ( J f(x + h n,t) f(x,t) ) dt cr les deux intégrles sont bsolument convergente d près le Théorème de Lebesgue Ainsi, F(x +h n) F(x ) f(x +h n,t) f(x,t) lim = lim dt n h n n J h n Mis on sit que lim n f(x +h n,t) f(x,t) h n Théorème des Accroissements Finis, on sit que f(x +h n,t) f(x,t) h n pour tout t I, sup f x J x (x,t) g1 (t) vec J de fonctions ( f(x +h n,t) f(x,t) h n ) = f x (x,t) cr on supposé que f est continue sur I J De plus, d près le x sup f x J x (x,t) pour tout n IN et pr hypothèse, g(t)dt < On peut donc ppliquer le Théorème de Lebesgue à l suite f x (x,t)dt: l fonction F est bien dérivble en n IN et donc limn F(x +h n) F(x ) = h n J x L continuité de F se déduit fcilement du fit de l proposition précédente (continuité) cr x f mjorée pr une fonction intégrble Attention, le fit que f doit être ussi dominée est importnt Exercice (x,t) est continue et x Déterminerl ensemblededéfinition,decontinuitéetdedérivbilitédelfonctionf(x) := e t2 cos(tx)dt Clculer F (x) Montrer que F est solution d une éqution différentielle linéire, et en déduire l expression excte de F Corollire Sous les hypothèses de l propriété précédente, si : I J et b : I J sont deux fonctions de clsse C 1 sur I telles que b, lors l fonction G : x I (x) (x) f(x,t)dt est de clsse C1 sur I et F (x) = (x) (x) f x (x,t)dt+b (x)f(x,b(x)) (x)f(x,(x)) pour tout x I Proof Soit x 1 J D près l proposition précédente, pour x J, on peut noter F x1 (x,y) = y x 1 f(x,t)dt Il est clir que G(x) = F x1 (x,b(x)) F x1 (x,(x)) Il reste à montrer que Fx 1 (x,y) existe et est continue Pour ce fire, on considère y F x1 (x,y +h n) F x1 (x,y ) h n = 1 y +h n h n y f(x,t)dt Il est fcile de voir que lorsque (h n) est une suite qui tend vers lors le tux de vrition précédent tend vers f(x,y) (on utilise pr exemple une primitive en t de f(x,t)) L continuité de F x1 y (x,y) s obtient ussi du fit que t f(x,t) est continue Ainsi Fx 1 (x,y) existe et est continue Mintennt, comme y G(x) = F x1 (x,b(x)) F x1 (x,(x)), G est bien de clsse C 1 sur J cr les fonctions et b sont ussi de clsse C 1 sur J et G (x) = F x1 x (x,b(x))+b (x) Fx 1 y (x,b(x)) Fx 1 x (x,(x)) (x) Fx 1 y (x,b(x)) = (x) f (x) x (x,t)dt+b (x)f(x,b(x)) (x)f(x,(x)) Corollire Soit f : (x,t) I [,b] f(x,t) IR une fonction continue sur I [,b] dmettnt une dérivée prtielle f x continue sur I [,b] Alors l fonction F : x I f(x,t)dt est de clsse C1 sur I et F f (x) = (x,t)dt pour tout x I x Proof L démonstrtion copie le cs correspondnt pour l continuité Clculer 1 cos(xt)dt pour x IR En déduire que l fonction sinus crdinl F(x) = sinx/x pour x, F() = 1) est de clsse C sur IR

13 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Equtions différentielles linéires On s intéresse ici à des équtions lint les dérivées d une même fonction Ce genre d éqution se retrouve pour décrire l dynmique propre de nombreux systèmes physiques (mécnique newtonnienne pr exemple), chimiques (cinétique chimique), économiques (finnces ou microéconomie), L forme générle d une éqution différentielle est h(y,y,,y (k),x) = où h est une fonction explicite; on cherche lors des fonctions x y(x) pouvnt vérifier une telle éqution Pr exemple, y (x) sin(y (x)) = 2xy 3 (x)+2lnx est une éqution différentielle Le cs générl est difficile On peut tout de même donner un théorème très générl d existence et d unicité d une solution: c est le Théorème De Cuchy-Lipschitz (existence et unicité sont essentielles en physique ou chimie pr exemple) 51 Théorème de Cuchy-Lipschitz générl On considère l éqution différentielle générle Y x (x) = Y (x) = h(y,x), (1) où h est une fonction de IR n IR dns IR n Notons pr exemple que si on pose Y = (y,y ) on peut insi retrouver une éqution relint y,y et y Notons que dns (1) n est ps précisé sur quel ensemble on prend x Il est fcile de voir que si l intervlle I IR est un tel ensemble, et qu il existe une solution Y de l éqution différentielle (1) sur I, lors pour tout utre intervlle J I, Y /J (Y restreinte à l intervlle J) est ussi une solution de (1) mis sur J Définition On dit que Y est une solution mximle de l éqution différentielle (1) si elle n est ps l restriction d une utre solution de (1) Attention! une éqution différentielle peut voir plusieurs ou même une infinité de solutions mximles Soit l éqution différentielle y = y, où IR est une constnte Trouver une solution mximle, puis des solutions non mximles On peut spécifier un peu plus une éqution différentielle en rjoutnt une condition initile Définition (Problème de Cuchy) Pour h une fonction de IR n IR dns IR n, x IR et y IR n, on ppelle Problème de Cuchy l résolution du système suivnt: { Y (x) = h(y,x) Y(x ) = y (2) Voici mintennt un gros théorème qui permet de montrer l existence et l unicité d une solution mximle u Problème de Cuchy Théorème (Théorème de Cuchy-Lipschitz générl) Soit le problème de Cuchy (2) précédent Soit U n une boule ouverte de IR n et I un intervlle de IR tels que x I et y U n Si on suppose en plus que h est continue sur U n I et qu il existe K > tel pour tout (y 1,y 2,x) U n U n I, h(y 1,x) h(y 2,x) K y 1 y 2 (h est Lipschitzienne pr rpport à s première vrible), lors il existe une unique solution de (2) sur I Tout utre solution de (2) est une restriction de cette solution sur un intervlle inclus dns I contennt x Proof Nous ne donnerons qu une esquisse de l preuve cr donner une preuve rigoureuse et intégrle nécessite des connissnces u-delà du niveu supposé de ce cours On suppose donc une suite de fonction (z n) n IN définie del mnière suivnte: z est x fixée (pr exemple z (x) = pour tout x I) et on pose l reltion de récurrence z n+1 (x) = y + h(z n(t),t)dt pour t I x C est ce que l on ppelle une itértion de Picrd On peut montrer que l suite (z n) n converge cr elle est une suite de Cuchy et grâce à un théorème du point fixe, celui-ci étnt vérifié du fit que h est Lipshitzienne pr rpport à l première vrible De plus z n(t ) = y pour tout n IN On donc convergence vers un unique point fixe Ce théorème est très intéressnt pour démontrer l existence et l unicité, mis il ne nous offre ps de méthode pour déterminer explicitement des solutions ux équtions différentielles Pour cel nous llons restreindre nos mbitions et ne considérer que des équtions différentielles linéires

14 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Equtions différentielle linéires On s intéresse à: (E) y (n) (x)+ n 1 (x)y (n 1) (x)+ + 1 (x)y (x)+ (x)y(x) = b(x), où, 1,, n 1 et b sont des fonctions continues sur un intervlle I Avnt de tenter de trouver des solutions à une éqution différentielle linéire, voici une petite proposition bien utile pour simplifier l recherche de solutions Proposition (Méthode de superposition des solutions) On suppose l éqution différentielle linéire (E 1,2 ) y (n) (x)+ n 1 (x)y (n 1) (x)+ + 1 (x)y (x)+ (x)y(x) = b 1 (x)+b 2 (x), b 1 et b 2 étnt continues sur I Alors si y i pour i = 1, 2 est solution de (E i ) y (n) (x)+ n 1 (x)y (n 1) (x)+ + 1 (x)y (x)+ (x)y(x) = b i (x) lors y 1 +y 2 est solution de (E 1,2 ) Proof On pose y = y 1 +y 2 Alors on vérifie bien pr linérité que y est solution de l éqution (E 1,2 ) En prticulier si b 1 =, l éqution (E 1 ) est ppelée éqution homogène ssociée à (E 1,2 ) Corollire (CorrolireduThéorèmedeCuchy-Lipschitz) Sous les conditions de continuité de, 1,, n 1 sur I, il existe une unique solution (mximle) sur I de (E) qund on fixé les conditions initiles sous l forme y(x ) = y, y (x ) = y 1,,y (n 1) (x ) = y n 1, où x I et (y,,y n 1 ) IR n Proof On pose Y = (y (n 1),,y,y) Alors (E) s écrit Y = AY + B, où A est une mtrice crrée de tille n (voir cidessous), et B = (b,,,) L seule chose à vérifier est que l fonction h(y,x) = A(x)y + B(x) est bien Lipshitzienne pr rpport à l première vrible (il est clir qu elle est continue) Mis on h(y 1,x) h(y 2,x) A(x) y 1 y 2 en rison des propriétés des normes Si on se plce sur un intervlle I m inclus dns I et fermé, il est clir que comme l mtrice A(x) est de tille n et est continue sur I m lors k = A(x) < Donc si I est inclus dns un compct, l preuve est chevée Si I = IR (pr exemple, ou une demi-droite) lors comme le corollire est vri sur tout I m (pr exemple I m = [ m,m]) il ser vri sur I Conséquence 1 L ensemble H des solutions de l éqution homogène ssociée à (E), soit (EH) y (n) (x)+ n 1 (x)y (n 1) (x)+ + 1 (x)y (x)+ (x)y(x) =, est un espce vectoriel de dimension n 2 Si (y 1 (x),,y n (x)) est une bse de H, et si ỹ(x) est une solution prticulière de (E), lors l ensemble S des solutions de (E) est S = { 1 y 1 (x)+ + n y n (x)+ỹ(x) ( 1,, n ) IR n } Proof 1 On montre fcilement que H est un espce vectoriel comme sous-espce vectoriel de l espce vectoriel constitué pr les fonctions de clsse C n (I) Pr illeurs, l ppliction qui à tout (y,,y n 1 ) IR n ssocie y solution du problème de Cuchy vec conditions initiles est un isomorphisme (l linérité est clire du fit de l structure linéire de l éqution homogène et l bijectivité se déduit du Théorème de Cuchy-Lipshitz) Donc H l même dimension que IR n, donc n 2 Cel se déduit imméditement pr l propriété de superposition des constntes: soit ỹ une solution prticulière de (E) On peut toujours écrire que si y est une solution de (E) lors elle peut s écrire sous l forme y = ỹ+u, où u est une fonction Alors u = y ỹ est solution de (E H ) D où l propriété Proposition (Méthode de l vrition des constntes) On suppose que (y 1 (x),,y n (x)) est une bse de H et on ne connît ps de solution prticulière de (E) Alors, on pose ỹ(x) = λ 1 (x)y 1 (x)+ +λ n (x)y 1 (x), vec λ 1,,λ n des fonctions dérivbles sur J, que l on détermine en résolvnt le système: y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x) y n (n 1) y (n 2) 1 (x) y (n 2) 2 (x) y n (n 2) y 1(x) y 2(x) y n(x) y 1 (x) y 2 (x) y n (x) (x) (x) λ 1(x) λ 2(x) λ n 1(x) λ n(x) = b(x)

15 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 15 Proof On Y = A(x)Y + B(x) Soit Y k = t (y (n 1) k,,y k,y k) une solution de Y = A(x)Y Alors en posnt Y(x) = λ k (x)y k (x) où λ k : I IR est une fonction C 1, on Y (x) = λ k (x)y k(x) + λ k (x)y k (x) donc Y est solution de (E) si λ k (x)y k(x)+λ k (x)y k (x) = A(x)λ k(x)y k (x)+b(x) Or Y k est solution de (EH), donc λ k (x)y k (x) = A(x)λ k(x)y k (x) et insi λ k doit vérifier λ k (x)y k(x) = B(x) Cette éqution est vlble pour tout k = 1,,n: on tombe bien sur le système de l proposition Comme l fmille (Y 1,,Y n) est une bse de H, lors le déterminnt de l mtrice (Y 1,,Y n) est non nul, on peut donc inverser le système et tomber insi sur n équtions non liées vérifiées pr les λ k, ce qui permet de déterminer les λ k et trouver insi une solution prticulière Solution d une éqution différentielle linéire dns les cs n = 1 ou n = 2 1 n=1: L éqution est lors: (E) y (x) (x)y(x) = b(x), Si J est l ensemble de continuité communs ux fonctions et b, on obtiendr des solutions mximlesde(e)surlesplusgrndsintervllescontenusdnsj Prexemple, sij = IR, onchercher des solutions mximles sur ],+ [ et ],[ L ensemble H solution de (EH) est, vec c J: { ( x ) H = kexp (t)dt c } k IR L méthode de l vrition de l constnte revient à écrire ỹ(x) = λ(x)y 1 (x) vec λ (x)y 1 (x) = b(x), où y 1 H On pourr lors essyer de trouver des solutions sur J entier dns le cs où l on pourr rccorder pr continuité et dérivbilité les solutions obtenues sur chcun des intervlles Proof On vérifie fcilement que si y(x) = kexp ( x c (t)dt) lors y (x) = (x)y(x) pour tout x I Comme dimh = 1 et que l on peut choisir k IR, on bien trouvé toutes les solutions de (EH) 2 n=2: L éqution est lors: (E) y (x)+ 1 (x)y (x)+ 2 (x)y(x) = b(x), Comme dns le cs n = 1, on déterminer les intervlles sur lesquels chercher les solutions Ps de méthode générle pour trouver H, ensemble solution de (EH) Si y 1 est une solution connue de (EH), on peut trouver une deuxième solution y 2 de (EH) en écrivnt y 2 (x) = z(x)y 1 (x) ce qui mène à résoudre une éqution du premier ordre en z Si on connît (y 1 (x),y 2 (x)) bse de H, l méthode de l vrition de l constnte revient à écrire ỹ(x) = λ(x)y 1 (x)+λ(x)y 2 (x) et ( )( ) ( ) y 1 (x) y 2(x) λ 1 (x) b(x) y 1 (x) y 2 (x) λ = 2(x) Comme pour le cs n = 1, on pourr lors tenter de rccorder les solutions mximles obtenues sur des intervlles distincts Proof L seule chose à montrer et que si y 1 est une solution connue de (EH), lors on peut trouver une deuxième solution y 2 de (EH) en écrivnt y 2 (x) = z(x)y 1 (x) En effet, y 2 (x) = z(x)y 1 (x) + z (x)y 1 (x) et y 2 (x) = z(x)y 1 (x) + 2z (x)y 1 (x) + z (x)y 1 (x) Alors, si y 2 est solution de (EH), on y 2 (x) + 1(x)y 2 (x) + (x)y 2 (x) = z(x)(y 1 (x) + 1 (x)y 1 (x)+ (x)y 1 (x))+2z (x)(y 1 (x)+ 1(x)y 1 (x))+z (x)y 1 (x) =, soit 2Z(x)(y 1 (x)+ 1(x)y 1 (x))+z (x)y 1 (x) =, vec Z = z ce qui est une éqution du premier ordre que l on sit résoudre 53 Eqution différentielle linéire à coefficients constnts Proposition Si les fonctions i (x) sont des constntes (= i pour i =,,n 1), lors on trouve explicitement l ensemble H des solutions de l éqution différentielle homogène (EH) qui s écrivent sous l forme Y(x) = t (y (n 1) (x),,y (x),y(x)) = λexp(xa), vec λ IR n et A = n 1 n

16 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 16 Proof Il est clir que l éqution (E H ) s écrit ussi Y = AY Pour déterminer une exponentielle de mtrice, on commence pr tenter de digonliser A Si cel est possible on digonlise A (dns IR ou dns C) cr l exponentielle d une mtrice digonle D est simplement l mtrice digonle dont les termes digonux sont les exponentielles des termes digonux de D Cependnt le polynôme crctéristique de cette mtrice A est simple et s écrit Aussi, définit-on: χ(λ) = ( 1) n (λ n + n 1 λ n 1 + n 2 λ n λ+ ) Définition On ppelle éqution crctéristique ssociée à l éqution différentielle linéire à coefficients constnts y (n) + n 1 y (n 1) y + y = l éqution X n + n 1 X n 1 + n 2 X n X + = Propriété Si son éqution crctéristique dmet m rcines complexes distinctes λ 1,,λ m de multiplicités respectives r 1,,r m, lors dns C, Conséquence H = { m Q k (x)e λ k x, Q k Cr k 1[X] } k=1 Si son éqution crctéristique dmet q couples de rcines complexes conjuguées (z 1,z 1 ),,(z q,z q ) tels quez j = Re(z j )+iim(z j )etim(z j ),demultiplicitésrespectivesl 1,,l q,etprcinesréellesx 1,,x p de multiplicités respectives m 1,,m p, lors l solution générle de l éqution différentielle linéire à coefficients constnts y (n) + n 1 y (n 1) y + y = est y(x) = R 1 (x)e x1x + R p (x)e xpx + ( P 1 (x)cos(im(z 1 )x)+q 1 (x)sin(im(z 1 )x) ) e Re(z1)x + + ( P q (x)cos(im(z q )x)+q q (x)sin(im(z q )x) ) e Re(zq)x où les P i, Q i sont des polynômes réels de degré l i 1 et les R i des polynômes réels de degré m i 1 Proof Pour simplifier l preuve nous commencerons pr trviller dns C et reviendrons dns IR à l fin Notons que dns C l dimension de H est 2n du fit de l isomorphisme entre H et n C et le fit que n C est un IR-espce vectoriel de dimension 2n En premier lieu, pour f C 1 (R), l ppliction f D(f) = f est linéire On définit fcilement pour f C k (R), l ppliction D k = D od O D est églement linéire, tout comme P(D) = D n + n 1 D n D + I d pour f C n (R) On voit insi que y est solution de (EH) si et seulement si y kerp(d) Mis P est scindé dns C[X], soit P(X) = m j=1 (X λ j) r j (donc P dmet m rcines complexes chcune ynt une multiplicité r j ) Mis P est donc un polynôme nnulteur de D sur ker P(D) donc d près l décomposition des polynômes nnulteurs en rcines simples, on kerp(d) = ker [ (D λ 1 ) r ] 1 ker [ (D λ 2 ) r ] 2 ker [ (D λ m) rm] cr les rcines λ j sont distinctes Il revient donc de chercherunebsedeker [ (D λ j ) r ] j Missif j C n (R)esttellequef j (x)e λjx ker [ (D λ j ) r ] j lors(d λ j ) r jf j (x)e λjx = pour tout x IR, ce qui revient à f (r j) j (x)e λjx = pour tout x IR, soit f j = Q j, un polynôme à coefficients complexes de degré r j 1 Ainsi dimker [ (D λ j ) r ] j = 2r j, et comme 2n = 2(r 1 + +r m), on en déduit donc que dns C, l ensemble des solutions de (EH) est { m Q j (x)e λjx, Q j Cr j 1[X] } Pour trouver les solutions réelles de (EH), on doit donc prendre l j=1 prtie réelle de ces solutions, ce qui revient dns le cs où λ j est réel à choisir Q j à coefficients réels, et dns le cs où λ j est un nombre complexe, à décomposer e λjx = [ cos(im(λ j ))+i sin(im(λ j )) ] e xre(λj) Exercice Résoudre y +3y +2y =, y +4y =, y +y +y = Corollire Pour une éqution différentielle à coefficient constnts y (n) + n 1 y (n 1) y + y = b vec b(x) = T(x)e αx, T étnt un polynôme de degré d et α IR, lors on peut trouver une solution prticulière de cette éqution sous l forme y (x) = Q(x)e αx, où Q est un polynôme réel de degré d+m α, où m α est l multiplicité de α comme rcine réelle de l éqution crctéristique (si α n est ps rcine, m α = )

17 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 17 Proof Avec les nottions de l preuve précédente, et en trvillnt dns le cs complexe, on commence pr montrer que F = {Q(x)e αx, Q C k[x]} est un espce vectoriel Ensuite, on montre fcilement que pour f F, D(f) F Donc si on note D F l ppliction D restreinte à F, D F : F F est un endomorphisme En en déduit de même pour P(D) F qui est l ppliction P(D) restreinte à F: c est donc ussi un endomorphisme Pr illeurs, si α n est ps une rcine de l éqution crctéristique, comme H = kerp(d) on en déduit que kerp(d) F = {} cr F H = {} Pr conséquent, P(D) F est un isomorphisme (et même un utomorphisme) Comme l éqution (E) s écrit églement P(D)(y) = T(x)e αx, on peut en déduire qu il existe une unique solution dns F qui est ỹ = ( P(D) F ) 1 (T(x)e αx ) Si α est une rcine de P, tout se psse de l même mnière, suf que dns ce cs kerp(d) F = {S(x)e αx, S C m α 1[X]} sev de F de dimension 2m α En conséquence dimip(d) F = dimf 2m α, on ne peut trouver une solution à l éqution P(D) F (y) = T(x)e αx vec T que si dimip(d) F 2degT, soit dimf = 2degT +2m α dns C, soit dimf = degt +m α dns IR Corollire Pour une éqution différentielle à coefficient constnts y (n) + n 1 y (n 1) y + y = b vec b(x) = P(x)cos(βx)e αx ou b(x) = P(x)sin(βx)e αx, P étnt un polynôme de degré d et α, β IR, lors on peut trouver une solution prticulière de cette éqution sous l forme y (x) = ( Q(x)cos(βx) + R(x)sin(βx) ) e αx, où Q et R sont des polynômes de degré d+m, où m est l multiplicité de α+iβ comme rcine complexe de l éqution crctéristique (si α+iβ n est ps rcine, m = ) 54 Exemples d équtions différentielles se rmennt à une éqution différentielle linéire Pr un chngement de vrible (on remplce l fonction inconnue y d une éqution différentielle pr une fonction de clsse C k de y ou bien on écrit l vrible x à prtir d une utre vrible), certines équtions différentielles non linéires peuvent se rmener à une éqution différentielle linéire Attention cependnt u chngement de vrible, celui-ci doit se fire de mnière bijective On introduit insi l définition suivnte: Définition Une fonction différentible et bijective, dont l réciproque est églement différentible est ppelée un difféomorphisme Plus générlement, une fonction de clsse C k, bijective, donc l réciproque est églement de clsse C k est ppelée un C k -difféomorphisme NousnedevronsdoncmintenntqueconsidérerdeschngementsdevriblesquisontdesC k -difféomorphismes 541 Equtions différentielles d Euler Une éqution d Euler est une éqution différentielle linéire de l forme n x n y (n) (x)+ n 1 x n 1 y (n 1) (x)++ y(x) = ( n ) On peut se rmener à une éqution à coefficients constnts en effectunt le chngement de vrible: x = e t Pour illustrer cel, considérons l éqution d Euler d ordre 2: 2 x 2 y + 1 xy + y = Alors, si l on se plce sur l intervlle x ];+ [ (pour pouvoir poser x = e t ) et que l on pose z(t) = y(x), on y (x) = z (t)/x et y (x) = (z (t) z (t))/x 2, on retombe sur l éqution: 2 z (t)+( 1 2 )z (t)+ = On sit ensuite résoudre une telle éqution, et il suffir ensuite d écrire que y(x) = z(logx) Résoudre x 2 y +xy +y = Equtions différentielles de Bernoulli On suppose l éqution différentielle: y (x)+(x)y(x) = b(x)y(x) m, où m IR\{,1} On doit donc supposer ici que y si m > (et y > si m < ) Pour résoudre cette éqution on pose le chngement de vrible u(x) = 1 y m 1 (x)

18 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 18 et l on boutit insi à une éqution linéire 1 1 m u (x) + (x)u(x) = b(x) que l on sit résoudre Il fudr cependnt toujours considérer des solutions telles que u soit positive Résoudre y +xy 2 = 543 Equtions différentielles de Riccti On suppose l éqution différentielle: y = q (x)+q 1 (x)y +q 2 (x)y 2, où q, q 1 et q 2 sont trois fonctions continues sur un intervlle commun Ce type d équtions d bord été rencontré en mécnique newtonienne vec l étude d un mouvement pln On les ensuite utilisées en mécnique quntique et d utres chmps de l physique (hydrologie, coustique,), mis églement en mthémtiques finncières Il n existe ps de méthode générle pour résoudre une telle éqution Cependnt, si l on peut connître une solution prticulière y à cette éqution, lors on peut trouver toute ses solutions Il suffit lors de poser u = y y, où y est ussi solution de l éqution Alors u vérifier l éqution: u (q 1 +2q 2 y 1 )u = q 2 u 2 qui est une éqution de Bernoulli que l on sit résoudre Résoudre y = y 2 2x x 2 On pourr chercher une solution prticulière sous l forme y(x) = x+b

19 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S Séries entières Définition Les séries entières sont des séries de fonctions de type n IN nz n pour z Ω C, où ( n ) n IN est une suite de nombres complexes Remrque Certines séries de fonctions ne s écrivent ps forcément à première vue comme des séries entières Pr exemple, n IN nz 3n+1 Mis en fisnt un chngement de l suite ( n ) n IN en une utre suite (b n ) n IN (pour notre exemple, b n = n si n est de l forme 3n+1 et b n = sinon) on pourr retrouver l expression usuelle d une série entière Avnt d étudier plus en détil ces séries et les fonctions qu elles peuvent représenter il convient de svoir sur quel ensemble Ω C une série entière est convergente 61 Ryon de convergence Théorème Lemme d Abel S il existe ρ > tel que l suite ( n ρ n ) n IN est bornée lors pour tout z C tel que z < ρ, n IN nz n est bsolument convergente Proof Soit z < ρ Alors n z n = ( n ρ n ) ( z / ρ ) n Donc comme ( n ρ n ) n IN est bornée, il existe M <, tel que n ρ n M pour tout n IN D où n z n M ( z / ρ ) n et comme z / ρ < 1, M ( z / ρ ) n converge (série géométrique) D près le théorème de comprison des séries à termes positifs, on en déduit que n IN nzn est bsolument convergente Proposition Il existe un unique R [,+ ] tel que: 1 Pour tout z C tel que z < R (ou z = si R = ) lors n z n est bsolument convergente 2 Si R < +, pour tout z C tel que z > R lors n z n ne tend ps vers qund n + et n z n diverge Proof Soit R = sup r {( n r n ) n IN est bornée} R existe toujours (mis peut vloir + ) Comme vu vec le Lemme d Abel, pour tout z C tel que z < R, lors nz n est bsolument convergente Si z > R lors lim n nz n (cr sinon cel signifierit que ( n z n ) n IN est bornée donc que R n est ps le sup de l ensemble ci-dessus: contrdiction) et pr conséquent nz n diverge (cr c est une série numérique dont le terme générl ne tend ps vers ) Définition Le réel positif R de l proposition précédente est ppelé le ryon de convergence de l série entière Le disque D(,R) = {z C, z < R} est ppelé le disque de convergence de l série entière (si R =, D(, ) = C ) Celle-ci converge pour tout z D(,R) Théorème Règle d Abel S il existe z C tel que l suite ( n z n ) n IN soit bornée, lors R z S il existe z 1 C tel que l suite ( n z n 1) n IN ne converge ps vers, lors R z 1 Proof Ceci est immédit d près le théorème précédent Théorème Règle de Cuchy Si lim n n 1/n = l vec l [, ], lors R = 1 l (en notnt 1 = et 1 = ) Proof Soit z C tel que z < 1/l Alors n z n = ( n 1/n /l ) n ( z l ) n vec z < 1/l < 1/l Comme lim n n 1/n /l = 1, on en déduit que lim n ( n 1/n /l < 1 donc (( n 1/n /l ) n ) n IN est borné Comme z l < 1 et donc ( z l ) n est convergente, on peut ensuite ppliquer le théorème de comprison pour les séries à termes positifs Ainsi R 1/l Mis si z > 1/l lors n z n = ( n 1/n z ) n ne peut donc ps tendre vers qund n : l série diverge et donc R 1/l Théorème Règle de d Alembert Si lim 1 = ) n n+1 n = l vec l [, ], lors R = 1 l (en notnt 1 = et

20 Licence MASS deuxième nnée: Anlyse S4 2 Proof Soit z C tel que z < 1/l Alors l tel que z < 1/l < 1/l et N IN tel que n+1 l pour tout n N n Ceci signifie qu il existe C tel pour tout n N, n C(l ) n Ainsi n z n C(l ) n z n et comme l z < 1, l série n z n converge (toujours d près le théorème de comprison) Donc R 1/l Mintennt, pour z > 1/l, n z n ne tend ps vers (cr il existe l tel que z > 1/l > 1/l et n C l n vec C > ) donc l série nz n diverge Exercice Déterminer le ryon de convergence des séries entières n IN zn, n IN nzn, n IN zn /n! Propriété Soit n z n et b n z n de ryon de convergence R et R b 1 ( n +b n )z n = n z n + b n z n est une série entière de ryon de convergence R min(r,r b ) 2 c n z n = n z n b n z n vec c n = n k= kb n k est une série entière de ryon de convergence R min(r,r b ) 3 (n+1) n+1 z n et n 1 z n /(n 1) ont pour ryon de convergence R Proof 1/ D près le théorème de comprison des séries à termes positifs, pour z C tel que z < min(r,r b ), lors ( n +b n)z n n z n + b n z n donc ( n +b n)z n est bsolument convergente D où R min(r,r b ) 2/ Même risonnement 3/ Il est clir que le ryon de convergence R de (n+1) n+1 z n vérifie R R Si z C est tel que z < R, lors il existe R > r > z tel que lim(n+1) n z n = cr (n+1) n z n = (n+1) n r n z/r n et ( n r n ) n est borné (puisque r < R ) et (n+1) z/r n Donc R R Même risonnement pour n 1 z n /(n 1) Exercice Déterminer le ryon de convergence de l série entière n IN nz n, vec = 1 =, et pour p IN, 3p = (p+ p) 1, 3p+1 = p!/p p et 3p+2 = ( 2) p 62 Propriété de l somme d une série entière On s intéresse donc ici ux propriétés de l fonction z Ω n z n Propriété Une série entière de ryon de convergence R > converge normlement donc uniformément sur tout disque fermé D(,ρ) = {z C, z ρ} vec ρ < R Proof Pour tout z D(,ρ), on n z n n ρ n et n ρ n converge cr ρ < R Donc sup z D(,ρ) { n z n } converge: l série entière converge normlement Théorème Théorème de continuité L somme d une série entière de ryon de convergence R > est continue sur I =] R,R[ Proof Soit x ] R,R[ Alors il existe un voisinge de x, ]x η,x +η[ ] R,R[ tel que l série entière soit normlement (donc uniformément) convergente sur ce voisinge Comme en plus l fonction x nx n est continue sur ce voisinge, on en déduit que l série entière est continue en x (d près le théorème de continuité des séries de fonctions) Théorème Théorème d intégrtion On peut intégrer terme à terme une série entière de somme S(z) = n z n de ryon de convergence R > sur tout intervlle inclus dns ] R,R[ et en prticulier x ] R,R[, x S(t)dt = x + n= n t n dt = + n= n n+1 xn+1, série de ryon R Proof Soit x < R Alors l série entière est normlement (donc uniformément) convergente sur [,x] De plus, l fonction x nx n est continue sur [,x] et comme on vu que nt n+1 /(n + 1) converge pour tout t [,x] (puisque le ryon de convergence de cette série entière est ussi R) on peut ppliquer le théorème d intégrtion des séries de fonctions et intervertir intégrle et série Théorème Théorème de dérivtion Si S(x) = n x n est l somme d une série entière de ryon de convergence R >, lors S est de clsse C 1 sur ] R,R[ et pour tout x ] R,R[, S (x) = n n x n 1, série de ryon R Proof L preuve est similire à celle concernnt l intégrtion Corollire Plus générlement, S est de clsse C sur ] R,R[ et pour tout x ] R,R[, S (k) (x) = n(n 1) (n k +1)n x n k, série de ryon R

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