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1 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire Driss BOULARAS

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3 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles Prties d un ensemble Réunion Intersection Différence ensembliste Complémentire Produit crtésien Crdinl d un ensemble Applictions Définition et exemples Grphe d une ppliction Imge directe, imge réciproque Restriction et prolongement d une ppliction Injectivité, surjectivité et bijectivité Intégrles générlisées 3. Divers rppels Rppels sur l intégrle définie d une fonction continue Rppels sur les fonctions équivlentes Intégrle générlisée Position du problème Générlistion ux intervlles semi-ouverts Générlistion ux intervlles ouverts Propriétés des intégrles convergentes Intégrle générlisée de fonctions positives Critère de Cuchy Convergence bsolue Intégrbilité et équivlence de fonctions Cs d une fonction complexe de vrible réelle Exercices Séries numériques Rppels sur les suites numériques Position du problème, définitions, premières propriétés Prdoxe de Zénon Définitions, premières propriétés

4 4 TABLE DES MATIÈRES 2.3 Séries à termes positifs Séries à termes quelconques Séries bsolument convergentes D utres critères de convergence Produit de séries numériques Clcul pproché de l somme d une série lternée Note historique Exercices Suites et séries de fonctions Suites de fonctions Introduction Convergence simple d une suite de fonctions Convergence uniforme d une suite de fonctions Propriétés des suites uniformément convergentes Séries de fonctions Convergence simple, uniforme et bsolue Convergence normle Tbleu récpiltultif Autres propriétés Exercices Séries entières Disque et ryon de convergence Définitions et exemples Propriétés des séries entières Opértions sur les séries entières Série dérivée d une série entière Série intégrle d une série entière Propriétés de l fonction somme Dérivtion et intégrtion terme à terme Applictions Résolution d éqution différentielle Clcul d intégrles Séries trigonométriques Introduction et définitions Convergence des séries trigonométriques Propriétés de l fonction somme Coefficients et série de Fourier Cs des fonctions T -périodiques Interpréttion géométrique Produit sclire sur un espce vectoriel E Inéglité de Bessel, églité de Prsevl Note historique Exercices

5 Chpitre Rppels. Ensembles et opértions sur les ensembles L notion d ensemble est intuitive. S mnipultion est précisée pr les opértions définies ci-dessous. Les premiers exemples sont ceux des ensembles de nombres. Nottions usuelles des ensembles de nombres : N : ensemble des nombres entiers nturels, N : {x N; x }, Z : ensemble des nombres entiers reltifs, Q : ensemble des nombres rtionnels, R : ensemble des nombres réels, R : {x R; x }, C : ensemble des nombres complexes, C : {x C; x }, R : {x R; x }, R + : {x R; x }, R + : {x R; x>}, R : {x R; x<}. De mnière générle, les ensembles les plus cournts sont les ensembles de nombres, de points géométriques (du pln ou de l espce) ou de fonctions (dont l définition ser donnée plus trd). Exercice. Citer un élément de chcun des ensembles précédents.. Prties d un ensemble Soit E un ensemble quelconque. Une prtie de E est un ensemble dont les éléments pprtiennent à E. Exemples. On pose E = R 2. Les ensembles A = {(x, y) R 2 ; x < } et B = {(x, y) R 2 ; x = et y } sont bien des prties de E. 2. Si E désigne l ensemble des qudriltères du pln, l ensemble des rectngles en est une prtie. 3. Soit E l ensemble des fonctions définies dns R, à vleurs dns R et continues. L ensemble des fonctions polynomiles est une prtie de E. 5

6 6 CHAPITRE. RAPPELS Exercice.2 En représentnt R 2 pr un pln rpporté à un repère, dessiner les prties A et B de l exemple. Exercice.3 l ensemble des qudriltères est-il une prtie du pln? Exercice.4 L ensemble des fonctions rtionnelles n est ps une prtie de E de l exemple 3 ci-dessus. Pourquoi? On note P(E), l ensemble des prties de l ensemble E. Si A est une prtie de E, on note A E ou A P(E). Un cs prticulier de prtie de E est l ensemble vide. On le désigne pr...2 Réunion Soient A et B deux prties de E. On ppelle réunion de A et de B l prtie de E, notée A B, et définie pr A B = {x E; x A ou x B}. Exemple : E = R 2,A = {(x, y) R 2 ; x < }, B = {(x, y) R 2 ; x = et y }. Dessiner l prtie A B. Dns l suite l ensemble d indices I est une prtie de N ou Z, (en prticulier N ou Z tout entiers), tout en schnt que l on peut définir plus générlement cette notion. De fçon nlogue, on définit l réunion d une fmille de prties (A i ) i I de E, où I est un ensemble d indices donné. On ppelle réunion de l fmille (A i ) i I l prtie notée i I A i et égle à A i = {x E; i I vérifint x A i }. i I Exemple : Si E = R, I = N et A i =] i, i[, lors i I A i = R...3 Intersection Soient A et B deux prties de E. On ppelle intersection de A et de B, l prtie de E, notée A B, et égle à A B = {x E; x A et x B}. Exemple : E = R 2,A= {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < }, B= {(, ), (, ), (, ), (, )}. A B =.

7 .. ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 7 De fçon nlogue, on définit l intersection d une fmille de prties (A i ) i I de E, où I est un ensemble d indices donné. On ppelle intersection de l fmille (A i ) i I l prtie notée A i et égle à i I A i = {x E; i I, x A i }. i I Exemple : E = R, I = N,A i =] i, i [,..4 Différence ensembliste A i = {}. Soient A et B deux prties de E. On ppelle différence ensembliste de A et de B, l prtie de E, notée A \ B, et égle à i I A \ B = {x A; x / B}. Exemple : On pose E = R 2, A = {(x, y) R 2 ; x 2 <y}, B = {(x, y) R 2 ; x =}, C = {(x, y) R 2 ; y =}. Les prties A \ B et A \ C sont l prtie du pln située u dessus de l prbole privée respectivement du demi-xe positif des ordonnées et du sommet (, ). Exercice.5 décrire A \ (B C) et A \ (B C)...5 Complémentire Un cs prticulier de l différence ensembliste est le pssge u complémentire. On ppelle complémentire de l prtie A dns E, l prtie de E, notée E \ A, et égle à E \ A = {x E; x A}. Exemple : E = R 2, A = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < }. E \ A = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 }...6 Produit crtésien Soit E et F deux ensembles. On ppelle produit crtésien de E pr F, l ensemble noté E F constitué des éléments de l forme (, b) vec E, b F et qui vérifient l propriété (, b) = (,b ) ( = ) et (b = b ). On déduit pr récurrence sur n l définition du produit crtésien de n ensembles (n 2). C est insi que l on définit les ensembles déjà connus des n-uplets de nombres réels R n ou de nombres complexes C n.

8 8 CHAPITRE. RAPPELS..7 Crdinl d un ensemble Le crdinl d un ensemble est le nombre de ses éléments. On le note crd(e). Il peut être fini ou infini. Exercice.6 Montrer (pr récurrence) que si crd(e) =n, lors crd(p(e)) = 2 n. Exercice.7 Soit A et B deux ensembles finis. Clculer le crdinl de A B..2 Applictions.2. Définition et exemples On ppelle ppliction l objet mthémtique noté f : E F où E et F sont des ensembles et f l correspondnce qui, à tout élément x de E ssocie un et un seul élément f(x) de F. Les ensembles E et F sont respectivement ppelés domine de déprt et domine d rrivée de l ppliction. Les éléments de E sont ppelés objets ou ntécédents de l ppliction. Remrque : L définition que l on vient de donner n est ps stisfisnte cr elle fit référence à l notion de correspondnce qui n ps été définie. Une définition rigoureuse vous ser proposée plus trd. On pose lors y = f(x) et l lettre f indique l loi de correspondnce qui lie les éléments de E et ceux de F. Il s ensuit lors une nottion très utilisée : f : E F pour désigner une ppliction. C est celle-là que nous dopterons dns ce cours. Ainsi, les pplictions f : R R g : R R x x 2, + x x 2 h : R + R x x 2, l : R + R + x x 2. sont différentes. En fit, on déjà vu plusieurs clsses d pplictions. Ainsi, u premier semestre de l première nnée, les fonctions réelles de vrible réelle (E R et F R) sont des pplictions prticulières dont on pprofondi l étude. De même, u second semestre toujours de l première nnée, pour les suites de nombres réels où E N et F R et les pplictions linéires (E R n et F R m ). Cette nnée et plus trd, nous étudierons des clsses d pplictions plus générles. On utiliser les nottions suivntes :

9 .2. APPLICATIONS 9 F(I) : ensemble des fonctions réelles définies sur l intervlle I de R, C(I) : ensemble des fonctions réelles continues sur l intervlle I de R, C n (I) : ensemble des fonctions réelles n fois continûment dérivbles sur l intervlle I de R, C (I) : ensemble des fonctions indéfiniment dérivbles sur l intervlle I de R, P n : ensemble des fonctions polynomiles de degré inférieur ou égl à n, P : ensemble des fonctions polynomiles. Au cours de ce semestre, nous verrons en détil le cs où E est égl à N (éventuellement privé d un nombre fini d éléments), et F égl à l ensemble F(I) où I est un intervlle ou une réunion d intervlles de R. Ces pplictions seront ppelées suites de fonctions. Autres exemples :. E = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 et y }, F = R et f(x) = x 2 y E = C([, ]) (ensemble des fonctions continues sur l intervlle [, ] et à vleurs dns R), F = R et f(x) = x(t) dt. 3. E = F = C et f(z) =zz, où z désigne le conjugué de z. Remrques :. Lorsqu il n y ps risque d mbiguïté sur les domines de déprt et d rrivée, on peut, pr bus de lngge, prler de l ppliction f u lieu de f : E F. 2. Pour nous, les mots ppliction et fonction sont des synonymes. Qund E est une prtie de R m ou de C m, on privilégie l terminologie de fonction. Eglité d pplictions : Deux pplictions f : E F et f 2 : E 2 F 2 sont égles si E = E 2, F = F 2 et x E, f (x) =f 2 (x). Lorsqu il n y ps risque d mbiguïté sur les domines de déprt et d rrivée, on écrit seulement f = f 2. Exercice.8 On définit les prties A = {f F([, ]); f soit bornée}, B = C([, ]) On remrque que B A (pourquoi?) et que l prtie A \ B est constituée de fonctions réelles bornées et non continues (donner un exemple d une telle fonction)..2.2 Grphe d une ppliction On ppelle grphe d une ppliction f : E F, l ensemble {(x, f(x)); x E}. Le grphe de l ppliction f : E F est donc une prtie du produit crtésien E F.

10 CHAPITRE. RAPPELS.2.3 Imge directe, imge réciproque Soit f : E F une ppliction. On ppelle imge directe d une prtie A de E pr l ppliction f, l prtie de F notée f(a) et égle à f(a) ={f(x); x A}. Soit f : E F une ppliction. On ppelle imge réciproque d une prtie B de F pr l ppliction f, l prtie de E notée f (B) et égle à f (B) ={x E; f(x) B}. Attention : cette nottion peut prêter à confusion. Elle git sur les prties de F et non sur les éléments de ce dernier. Exemples :. On reprend les exemples du début de ce prgrphe. f([, 2]) = [, 4], f ([, ]) = [, ], h ([, ]) = [, ], h ([, ]) = [, ]. 2. On considère l ppliction f : R 2 R définie pr f(x, y) = x 2 + y 2. On peut vérifier que f(r) =R + et f ([, ]) = {}..2.4 Restriction et prolongement d une ppliction Soit f : E F une ppliction et A une prtie de E. On ppelle restriction de l ppliction f à l prtie A, l ppliction notée f A : A F et définie pr x A, f A (x) =f(x). Ainsi, pr exemple, u début de ce prgrphe, l ppliction h est l restriction de f à R +. Soit f : E F une ppliction et A un ensemble qui inclut E : E A. On ppelle prolongement de l ppliction f à l ensemble A, toute ppliction f : A F qui vérifie : c est-à-dire, f E = f. x E, f(x) =f(x), Remrque : l restriction d une ppliction est définie de fçon unique tndis que le prolongement ne l est ps..2.5 Injectivité, surjectivité et bijectivité Une ppliction f : E F est injective si quels que soient deux éléments x et x de E, leurs imges f(x) et f(x ) sont différentes. En termes de logique élémentire, une ppliction f : E F est injective si quels que soient deux éléments x et x de E, l ssertion suivnte (qui dépend de x et de x ) est vrie : x x = f(x) f(x ).

11 .2. APPLICATIONS En pssnt à l contrposée, cel équivut à dire : f(x) =f(x )= x = x. Une ppliction f : E F est surjective si tout élément de F dmet un ntécédent dns E : y F, x E; y = f(x). Une ppliction f : E F est bijective si elle est à l fois injective et surjective. Exemples : si on revient ux exemples du début de ce prgrphe, on vérifie que :. h et l sont injectives et f et g ne le sont ps, 2. g et l sont surjectives et f et h ne le sont ps, 3. seule l ppliction l est bijective. Une ppliction f : E F bijective dmet une ppliction réciproque ou inverse notée f : F E définie pr y = f(x) x = f (y). Exemple : l ppliction l étnt bijective, s réciproque est définie pr : l : F E, où l (y) = y Remrque :. Lorsque f est bijective, f désigne une fonction. Elle s pplique ux éléments de F et de P(F ). Pr contre, si elle n est ps bijective, f ne s pplique qu ux éléments de P(F ). 2. pour exprimer l fonction l, on pouvit utiliser n importe quelle lettre et en prticulier x. Il n y ps risque de confusion cr dns l (x), x désigne un élément cournt de l ensemble de déprt de l. Autres exemples : nous connissons deux utres types d exemples d pplictions réciproques. Ce sont. les fonctions rc définies en M (comme rcsin, rccos,...), 2. et les isomorphismes d espces vectoriels, qui, rppelons le, sont des pplictions linéires bijectives. Dénombrbilité On dir qu un ensemble E est dénombrble s il existe une bijection entre une prtie de N et E. Cette notion est très importnte cr l distinction entre un ensemble fini (en bijection vec une prtie finie de N ), un ensemble dénombrble et un ensemble non dénombrble nous conduit à des types de démonstrtion très différents. Exemples : Z, Q, D sont des ensembles dénombrbles ; R, C ne le sont ps.

12 2 CHAPITRE. RAPPELS

13 Chpitre Intégrles générlisées. Divers rppels.. Rppels sur l intégrle définie d une fonction continue Soit [, b] un intervlle de R. On note E([, b]) l espce vectoriel des fonctions en esclier définies sur l intervlle [, b] et C([, b]) l espce vectoriel des fonctions réelles et continues sur l intervlle [, b]. Définitions Cs d une fonction en esclier Théorème (et définition) Soient ϕ une fonction en esclier sur [, b] et σ une subdivision : x = <x < <x n = b ssociée à ϕ telle que : Le nombre : ϕ(x) =c i pour x ]x i,x i+ [, i =,..., n. n c i (x i+ x i ), i= est indépendnt de l subdivision ssociée. Il est ppelé intégrle de ϕ sur l intervlle [, b] et est noté : b ϕ(x)dx. Cs d une fonction continue sur un intervlle [, b] Théorème 2 (et définition) Soient f une fonction continue sur [, b] et E f l ensemble des nombres défini pr : { b } E f = ϕ(x)dx ; ϕ E([, b]) et ϕ(x) f(x). L ensemble E f est mjoré. On ppelle intégrle de f sur le segment [, b] l borne supérieure de E f ; on l note b f(x)dx. 3

14 4 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exemples, dessins et commentires : en cours Exercices de révision Exercice. Soit f et g deux fonctions réelles et continues sur l intervlle [, b] (vec < b) et vérifint f g.. Étblir l inéglité : b f(x)dx b g(x)dx. () Montrer que f est bornée. On note m et M ses bornes inférieure et supérieure, respectivement. (b) En déduire l inéglité : (c) Montrer qu il existe c [, b] tel que : m b f(x)dx M b b f(x)dx =(b )f(c). Exercice.2 Soit f une fonction continue sur l intervlle [, b]. Montrer que b b f(x)dx f(x) dx. Dns quel cs l inéglité cesse-t-elle d être vrie? b b f(x)dx f(x) dx Lien vec les primitives Dns tout ce prgrphe I désigne un intervlle de R et un élément de I. Soit f : I R une fonction continue. Pour tout x I, l restriction de f à l intervlle [, x], si x, ou à [x, ], si x, est continue. Pr conséquent, à tout nombre x de I, on peut lui ssocier le nombre fonction F : I R pr x f(t) dt (qui est unique). On définit insi une nouvelle F (x) = x f(t) dt. Théorème 3 (et définition) L fonction F : I R définie pr F (x) = dérivble et F (x) =f(x). On l ppelle primitive de l fonction f : I R x f(t) dt est

15 .. DIVERS RAPPELS 5 Remrque usuelles. Exemple : x On ne pourr ps toujours expliciter les primitives à l ide des fonctions dt L primitive existe mis elle ne peut ps s exprimer à l ide des fonctions usuelles. 2 ln t L expression de l fonction F :], + [ R définie pr F (x) = x 2 dt ln t ne peut ps être dvntge simplifiée. Exercice.3 Démontrer le théorème 3. Exercice.4 L fonction F peut être définie à prtir d une fonction f en esclier et, dns ce cs, l définition de F reste vlble, mis ps le théorème. Donner un exemple. Exercice.5 Soit G : I R une fonction dérivble telle que G (x) = f(x). Montrer que les fonctions F et G ne différent que pr une constnte. Ainsi donc, les primitives d une fonction continue sur un intervlle I sont égles, à une constnte près. Exercice.6 Clculer les intégrles : t 2 e t dt, 2 ln t t dt, +x +x 2 dt...2 Rppels sur les fonctions équivlentes L équivlence de fonctions u voisisnge d un point est une procédure de simplifiction du problème d étude locle de fonction. Définition (et nottion) Deux fonctions f et g, définies u voisinge d un point sont équivlentes si ε>, δ> ; x ] δ, + δ[\{} f(x) g(x) <ε g(x). On écrit lors f g. Proposition (Crctéristion) Soient f et g deux fonctions définies u voisinge d un point. On suppose que g ne s nnule ps dns ce voisinge. Alors, elles sont équivlentes si, et seulement si, Preuve en cours. lim x f(x) g(x) =.

16 6 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exercices de révision Exercice.7 Écrire l définition de deux fonctions équivlentes u voisinge de ±. Exercice.8 Montrer que (équivlents remrqubles).2 Intégrle générlisée.2. Position du problème sin x x, ln( + x) x, e x +x. Jusqu à présent, pour nous, l intégrle (dite définie) est une notion qui ne concerne que les fonctions continues sur un intervlle fermé et borné. Ces fonctions sont en prticulier bornées (voir le cours de l première nnée). Exercice.9 Donner des exemples de fonctions bornées et non bornées sur des intervlles de type [, b[ et [, + [. Question En quoi consiste l générlistion de l intégrle définie? Réponse Elle consiste à ffiblir toutes les hypothèses qui ont servi à l définir. Dns le cdre de ce cours, nous grderons celle de l continuité et ssouplirons celles de l intervlle (fermé et borné). Autrement dit, nous voudrions donner un sens ux objets f(x) dx, b f(x) dx, + b f(x) dx, + f(x) dx où f est continue respectivement sur les intervlles ouverts ou semi-ouverts d extrémités les bornes correspondntes. Ces intégrles sont prfois ppelées intégrles impropres. Dns un premier temps, nous verrons le cs des intervlles semi-ouverts où nous distinguerons les cs des intervlles semi-ouverts bornés des intervlles semi-ouverts non bornés. Ensuite, nous étudierons les cs restnts comme des combinisons des premiers..2.2 Générlistion ux intervlles semi-ouverts Cs d un intervlle borné Les intervlles semi-ouverts bornés sont de l forme ], b] ou [, b[ où et b sont des nombres réels. Soit f :], b] R une fonction continue. Alors, pour tout c ], b], le nombre I(c) = b c f(x) dx est bien défini et cel, de fçon unique (pourquoi?). Définition 2 L fonction f :], b] R est intégrble (ou que b f(x) dx converge) si l limite de l fonction I existe lorsque c tend vers. Cette limite est lors ppelée intégrle de f sur l intervlle ], b] et on écrit b f(x) dx = lim c I(c).

17 .2. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE 7 Une intégrle qui ne converge ps diverge. Proposition 2 (fondmentle) Soit f :], ] R l fonction définie pr f(x) = x. α L intégrle x dx α converge si α< et diverge pour α. Preuve : elle es bsée sur le clcul I(c) = c x α dx = Exercice. Quelle est l nture de l intégrle c ln c si α =, α ( c α ) si α. x dx? Exercice. Trnsposer l définition (2) ux intervlles de l forme [, b[. Exercice.2 Donner un exemple de fonction continue, non bornée et intégrble sur un intervlle de type [, b[. Proposition 3 Soit f x. L intégrle Preuve : en cours. b Cs d un intervlle non borné :], b] R une fonction continue qui dmet une limite lorsque f(x) dx est convergente. Soit f :[, + [ R une fonction continue. Alors, pour tout c [, + [, le nombre I(c) = c f(x) dx est bien défini et cel, de fçon unique. Définition 3 L fonction f :[, + [ R est intégrble (ou que + f(x) dx converge) si l limite de l fonction I existe lorsque c tend vers +. Cette limite est lors ppelée intégrle de f sur l intervlle [, + [ et on écrit + f(x) dx = lim c I(c). Proposition 4 (fondmentle) Soit f : [, + ] R l fonction définie pr f(x) = x. L intégrle α x dx α converge si α> et diverge pour α. c

18 8 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Preuve : voir l proposition (2). Exercice.3 Reprendre l définition précédente pour l intervlle de type ],]. Exercice.4 Trouver l nture de l intégrle x 2 ( x) dx..2.3 Générlistion ux intervlles ouverts Cs d un intervlle borné Un intervlle ouvert et borné est de l forme ], b[ où et b sont nombres réels. Définition 4 Soit f :], b[ R une fonction continue. Si pour un nombre c ], b[, les intégrles c f(x) dx et b c f(x) dx convergent, lors f est dite intégrble sur ], b[ et b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Proposition 5 Cette définition ne dépend ps du choix du nombre c. Exemple L intégrle Cs d un intervlle non borné dx est convergente (pourquoi?). x 2 Un intervlle ouvert non borné est de l forme ],b[, ], + [ ou ], + [. Définition 5 Soit f :], + [ R une fonction continue. Si pour un nombre c ], + [, les intégrles ], + [ et c f(x) dx et + + c f(x) dx = f(x) dx convergent, lors f est dite intégrble sur c f(x) dx + + c f(x) dx. Proposition 6 Cette définition ne dépend ps du choix du nombre c. Exercice.5 Trnsposer cette définition ux cs des intervlles ],[ ou ], + [. Exemple L fonction f :], + [ R définie pr f(x) =e x est intégrble (cours). Exercice.6 Montrer que l intégrle l intégrle + e x dx? + dx converge. En est-il de même pour +x2 Terminologie Une fonction f : I R est dite intégrble sur l intervlle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert) si son intégrle converge.

19 .3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES CONVERGENTES 9.3 Propriétés des intégrles convergentes.3. Intégrle générlisée de fonctions positives Rppelons qu une fonction continue et croissnte u :[, b[ R dmet une limite lorsque x tend vers b si, et seulement si, elle est mjorée (prouvez le). Ce rppel permet d étblir un critère de convergence des intégrles de fonctions positives. Lemme Soit f b :[, b[ R une fonction continue et positive. Pour que l intégrle f(x) dx converge, il fut et il suffit que l ensemble des nombres soit mjoré. Preuve en cours. t f(x) dx où t [, b[ Exercice.7 Trncrire le théorème précédent ux utres cs d intervlles semi-ouverts et ouverts. Théorème 4 Soient f, g f g. Alors,. Si l intégrle 2. Si l intégrle t t :[, b[ R deux fonctions continues et positives telles que g(x) dx converge, l intégrle f(x) dx diverge, l intégrle t t f(x) dx converge ussi. g(x) dx diverge ussi. Preuve : en cours Ce corollire est prfois ppelé critère de comprison. Exemples. On vérifie que pour tout x de l intervlle [, + [, e x2 e x. Donc, l intégrle + e x2 2. Pr illeurs, l intégrle dx où est un réel quelconque converge (à montrer rigoureusement)..3.2 Critère de Cuchy sin x dx diverge (pourquoi?). Ce prgrphe ne concerne que les étudints qui suivent en prllèle l unité d enseignement compléments de mthémtiques. Rppelons qu une fonction F : I R, définie sur l intervlle [, b[ dmet une limite l en b si quelle que soit l suite d éléments (x n ) [, b[ qui tend vers b, l suite imge (F (x n )) tend vers l. Ce critère de continuité (ppelé prfois continuité séquentielle) pour conséquence un utre critère (ppelé critère de Cuchy) qui présente un réel intérêt prtique. D bord, un complément sur les suites numériques.

20 2 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Les suites de Cuchy Définition 6 Une suite de nombres réels (x n ) est de Cuchy si ε>, N N; p, q > N, on x p x q <ε Théorème 5 (dmis) Une suite de nombres réels converge dns R si, et seulement si, elle est de Cuchy. L importnce des suites de Cuchy réside dns deux fits :. L notion de convergence de suite de nombres est tributire de l ensemble uquel pprtient l limite (exemple de Q). 2. Dns R, les notions de convergence et de suite de Cuchy sont équivlentes (on dit que R est complet). Preuve du théorème en cours. Lemme 2 Une fonction F :[, b[ R, continue, dmet une limite en b si ε>, α> ; x, x ]b α, b[, on F (x) F (x ) < ε. Preuve en cours. Grâce à ce lemme, on peut étblir le théorème suivnt : Théorème 6 Soit f :[, b[ R une fonction continue. L intégrle si, et seulement si, b f(x) dx converge ε>, α> ; x, x ]b α, b[, on x x f(t) dt < ε. Exercice.8 Montrer que ce théorème reste vri si l on remplce l intervlle [, b[ pr l intervlle [, + [. Remrque Évidemment, on peut réecrire ce théorème pour les intervlles de type ], b] et ],b]. Corollire L intégrle de toute fonction continue et bornée sur un intervlle borné converge. est conver- Exemple L intégrle de l fonction f gente. :], ] R définie pr f(x) = sin x Exercice.9 Montrer que ce corollire cesse d être vri si l on remplce intervlle borné pr intervlle quelconque.

21 .4. CAS D UNE FONCTION COMPLEXE DE VARIABLE RÉELLE Convergence bsolue Définition 7 Soit I un intervlle ouvert ou semi-ouvert et f : I R une fonction continue. Son intégrle est dite bsolument convergente si l intégrle de l fonction f : I R est convergente. Dns cette définition, l intervlle I pourrit être borné ou non borné. Théorème 7 Soit f : I R une fonction continue sur l intervlle ouvert ou semi-ouvert I. Si son intégrle est bsolument convergente, lors elle est convergente. Preuve en cours. Exemple Ainsi, l intégrle sin x dx est bsolument convergente (à montrer). x 2 Exercice Montrer que l ensemble des fonctions continues et bsolument intégrbles sur un intervlle I est stble pr rpport à l ddition..3.4 Intégrbilité et équivlence de fonctions Théorème 8 Soit f, g : [, b[ R deux fonctions positives, continues. Si elles sont équivlentes équivlentes u voisinge du point b. Alors, les deux intégrles b f(x) dx, b g(x) dx sont de même nture (ou bien elles convergent toutes les deux, ou bien elles divergent toutes les deux). Preuve en cours Exemple l fonction f(x) = intégrle converge. 2x x5 + x + est équivlente à l infini à 2. Donc, son x3/2 Exercice.2 L intégrle + x cos dx est divergente (pourquoi?) x Remrque Le théorème précédent peut être étendu ux fonctions posistives f, g : [, b[ R telles que lim x x = f(x) g(x) = λ. Ceci se justifie pr le fit que l ensemble des fonctions intégrbles sur un intervlle (semi)- ouvert I est un espce vectoriel sur R..4 Cs d une fonction complexe de vrible réelle De telles fonctions sont définies sur une prtie I de R et prennent leurs vleurs dns C. Exemples. L imge de l fonction f : R C définie pr f(t) =e it est le cercle trigonométrique (ensemble des nombres complexes de module égl à.)

22 22 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 2. L imge de l fonction g : R C définie pr g(t) = t( + i) est l première bissectrice du pln rpporté u repère usuel. Remrque Soit I un intervlle. L donnée d une fonction f : I C équivut à l donnée de deux fonctions f,f 2 : I R qui correspondent ux prties réelle et imginire de l première. On écrit : f = f + if 2. Définition 8 Soit I un intervlle quelconque. L fonction f : I C est dite continue si les prties réelle et imginire f et f 2 sont continues. Il suffit que l une des deux fonctions f ou f 2 soit discontinue pour que l fonction f le soit. Définition 9 Soit I un intervlle quelconque. L fonction f : I C, continue, est intégrble si les prties réelle et imginire f et f 2 sont intégrbles sur I et lors, f(x) dx = f (x) dx + i f 2 (x) dx. I I Cette définition regroupe tous les cs d intervlle. Elle concerne donc les intégrles définies comme les intégrles générlisées. Attention : il s git bien ici de fonctions complexes de vrible réelle cr pour les fonctions complexes de vrible complexe, l définition d intégrle est toute utre. Elle ser vue en troisième nnée. Les règles d intégrtion vues précédemment s ppliquent ux fonctions ussi bien réelles que complexes, mis de vrible réelle. I

23 .5. EXERCICES 23.5 Exercices Exercice.2 Étudier l nture des intégrles générlisées suivntes : + + ) e αx ln(x) dx (α R) ; b) dx ; x 2 + dx + ( c) (α R) ; d) +xα 2 x Arcsin( ) x ) dx ; + ( e) 2 x + + ) + dx ; f) xe ix3 dx ; x + e itx g) ( + x) dx, (t α R,α R + ). Exercice.22 Étudier l nture des intégrles générlisées suivntes : dx ) ; b) ln(x) ln(x) dx ; c) x 2 x dx ; d) π/2 tn(x) dx ; e) sin ( x ) dx. Exercice.23 Étudier l convergence des intégrles générlisées suivntes et trouver leurs vleurs éventuelles : ) c) + π/2 Arctn(x) dx ; b) x 2 ln(sin(x))dx et π/2 x n dx x 2 ln(cos(x))dx. (n Z) ; Exercice.24 Trouver l nture des intégrles suivntes : 2 2 ( ) ln x dx ; b) ln(x) ) dx ; c) x Exercice.25 Montrer que si l intégrle A + I, lors on : lim f(x)dx = I. A + A Prouver sur un exemple que l réciproque est fusse. + + dx x3 +. f(x)dx est convergente et pour vleur Exercice.26 Soit f continue sur [, + [, décroissnte et à vleurs dns R +, telle que l intégrle + Montrer que l on : f(x)dx soit convergente. lim f(x) =. x +

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