Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

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1 Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008

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3 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles Continuité Dérivbilité De l dérivtion ux développements limités Propriétés des fonctions dérivbles Dérivées d ordre supérieur Formule de Tylor et dévéloppements limités Exemples et pplictions Clculs de DL et de limites Minim, mxim et DL Fonctions convexes Fonction convexes et concves et leurs pplictions Intégrles Fonctions Intégrbles Des clsses de fonctions intégrbles Fonctions monotones L intégrbilité des fonctions continues et l uniforme continuité Fonctions vrition bornée Le théorème fondmentl du clcul et l intégrtion pr prties Méthodes de clcul de primitives et intégrles Intégrles sur des intervlles spéciux (symétrie, périodicité) Intégrtion pr prtie : récurrence et ruses spéciles Des cs simples Chngement de vrible d intégrtion Fonctions rtionnelles Fonctions rtionnelles de fonctions trigonométriques Applictions des intégrles ux développements limités Equtions différentielles Equtions linéires coefficients constnts

4 4.1.1 Equtions homogènes Equtions non homogènes Equtions linéires d ordre un, coefficients vribles Equtions non linéires d ordre un à vrible séprbles Astuces diverses : chngement de vrible

5 Chpitre 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 1.1 Continuité On rppelle plusieurs définitions de fonction continue. Définition Soit A un sous-ensemble de R. Une fonction f : A R est dite continue u point x 0 A si pour tout ε > 0 il existe un δ > 0 tel que tout x A vec x 0 x < δ stisfit ussi f(x 0 ) f(x) < ε. De fçon équivlente, on peut dire que f est continue u point x 0 si l limite lim x x0, x A f(x) existe et est égle à l vleur f(x 0 ) (cel vient de l définition de limite) Dernièrement, on peut dire ussi que f est continue u point x 0 si pour toute suite (x n ) n A qui converge vers x 0 l limite de l suite (f(x n )) n existe et lim n f(x n ) = f(x 0 ) (ceci est une conséquence de l crctéristion séquentielle des limites). Une fonction est dite continue si elle est continue en tout point de son domin de définition A. Il vut mieux remrquer que d près cette définition toute fonction f est continue en tout point isolé de son ensemble de définition. Si pr exemple A = [0, 1] {2} l fonction f est sûrement continue u point 2 cr pour tout ε > 0 il suffit de choisir δ = 1/2 : de cette fçon le seul point x A vec x 2 < δ = 1/2 ser le point 2 lui-même et l condition f(x) f(2) < ε ser verifiée cr f(x) = f(2) (une conséquence de x = 2)! De fçon équivlente on peut considérer des suites : toute suite (x n ) n convergente vers 2 et composéee de points pprtennt à A rélise forcement l églité x n = 2 à prtir d un certin rng. Pr conséquent l suite (f(x n )) n stisfit f(x n ) = f(2) à prtir du même rng, ce qui est lrgement suffisnt pour donner l limite lim n f(x n ) = f(2). Dns ce chpitre on v voir comment l notion de continuité peut s ppliquer à l recherche des mxim et minim des fonctions. Ce qu on peut donner est un importnt résultt d existence. C est-à-dire : sous certines hypothèses on peut ssurer l existence d un point de minimum (ou de mximum). Pour le trouver vriment, il fut utiliser des conditions nécessires qui nous ident à restreindre l ensemble des possibles cndidts minimiseurs. Pour cel il fut utiliser les dérivées. Si l notion de continuité est celle importnte concernnt les fonctions à minimiser, les notions importntes concernnt les ensembles seront celles d ensemble fermé et d ensemble borné. Définition Soit A un sous-ensemble de R. On dit que A est ouvert si pour tout x A il existe un ryon r > 0 tel que {y R : x y < r} A (utrement dit, A inclut un segment biltérl utour de tout point qu il contient). Cette définition générlise celle d intervlle ouvert à des ensembles qui ne sont ps des intervlles. 5

6 On dit que A est fermé si son complémentire est ouvert. Théorème Un ensemble A R est fermé si et seulement si, dès qu on une suite (x n ) n A qui dmet une limite x 0 R, cette limite x 0 pprtient forcement à A. Démonstrtion. Démontrons d bord que si A est fermé l propriété qui nous intéresse concernnt les suites est vérifiée. Pour fire ç, supposons pr contrdiction qu il existe une suite (x n ) n A telle que x n x 0 A c. Comme A c est ouvert, prenons un ryon r > 0 tel que {y R : x 0 y < r} A c. Comme x n x 0, on sit que, à prtir d un certin rng, on ur x n x 0 < r et donc x n A c. Cel contredit x n A. Démontrons mintennt l réciproque, c est-à-dire que, si A stisfit cette propriété concernnt les suites, lors il est fermé. Supposons pr contrdiction qu il n est ps fermé, et donc que son complementire n est ps ouvert. Ceci signifie qu il existe un point x 0 A c tel que, pour tout r > 0, on {y R : x 0 y < r} A. Prenons r = 1/n et x n {y R : x 0 y < 1/n} A. L suite (x n ) n converge vers x 0 cr on x n x 0 < 1/n 0. Pourtnt x n A et x 0 A c. Ceci contredit l hypothèse. Pr exemple l ensemble A =]0, [ n est ps fermé cr l suite donnée pr x n = 1/n est composée de points de A mis s limite x 0 = 0 n pprtient ps à A. Pr contre l ensemble A = [0, [ et plus en générl tout intervlle ou demi-droite qui inclut ses points extremux est fermé. Observtion Il ne fut ps penser que tout ensemble est soit ouvert soit fermé : pr exemple l ensemble [0, 1[ n est ni ouvert ni fermé et l ensemble vide est u même temps ouvert et fermé. L utre définition est beucoup plus fcile. Définition Soit A un sous-ensemble de R. On dit que A est borné si il est inclus dns un intervlle [ R, R]. Autrement dit, A est borné si il existe R tel que pour tout x A on x R. Évidemment c est ps l même chose dire il existe R tel que pour tout x A on x R et pour tout x A il existe R tel que on x R. Dns ce deuxième cs en fit l quntité R peut dependre de x et donc cette propriété est toujours vérifiée, cr pour tout x on peut choisir pr exemple R = 1 + x et réliser l inéglité. On sit du théorème de Bolzno-Weierstrss que toute suite bornée dmet une sous-suite convergente. On peut dire toute suite contenue dns un intervl fermé et borné I dmet une sous-suite convergente et l limite de cette sous-suite pprtient encore u même intervlle I". Preillement on : Théorème (Une vrinte du Théorème de Bolzno-Weierstrss). Soit A un sous-ensemble fermé et borné de R et (x n ) n une suite d éléments de A. Il existe lors x 0 A et une sous-suite (x nk ) k telle que lim k x nk = x 0. Démonstrtion. L ensemble A étnt borné, il est contenu dns un intervlle fermé borné [ R, R]. On peut donc ppliquer à l suite (x n ) n le théorème de Bolzno-Weierstrss et en déduire l existence d une sous-suite (x nk ) k telle que lim k x nk = x 0, pour un certin x 0 [ R, R]. Ce qui nous reste à prouver est x 0 A. Ceci est une conséquence du fit que A est fermé, comme toute suite d élements de A, si jmis elle dmet une limite, limite dns A. Définition Un sous-ensemble A de R tel que tout suite (x n ) n A dmette une sous-suite convergente vers un point de A est dit un ensemble compcte. D près ce que l on vient de dire, tout ensemble fermé et borné est compcte. En fit, il est possible de démontrer plus que ç. 6

7 Proposition Un sous-ensemble A R est compcte si et seulement si il est fermé et borné. Démonstrtion. On sit déjà qu un fermé borné est compcte ; il nous reste donc à démontrer qu un compcte est fermé et ensuite qu un compcte est borné. Soit A compcte ; pour démontrer qu il est fermé on v utiliser l propriété concernnt les suites. Soit (x n ) n A une suite d éléments de A et supposons x n x 0. Il fut démontrer que x 0 pprtient à A. Or, on sit, pr définition de compcte, qu il existe une sous-suite x nk et un point x A tels que x nk x. A priori x 0, que l on pris dns l énoncé concernnt les suites, et x, qui vient de l défintion de compcité, n ont rien à voir l un vec l utre. A priori...en fit, comme on vit x n x 0, cel reste vri que x nk x 0 et, pr unicité de l limite, x 0 = x. Ceci démontre x 0 A et conclu l preuve que A est fermé. Pour démontrer qu il est églement borné supposons qu il ne l est ps. Alors pour tout R l inclusion A [ R, R] n est ps vrie. Si on prend R = n on peut trouver un point x n A \ [ n, n]. On donc une suite (x n ) n A vec x n = n +. Pr compcité, il fudrit pouvoir extrire une sous-suite x nk x 0, ce qui est impossible cr l suite x nk ne peut ps être bornée (on lim k x nk = + ) et on sit que toute suite convergente est bornée. Ceci est une contrdiction et l ensemble A est donc borné. On pourrit lors se demnder pourquoi inventer un nom pour les ensembles compctes lors que ce concept revient à fermé et borné. L réponse (peut-être décevnteà ce moment) est que cel est vri dns R mis que pour les sous-ensembles d un utre espce cel pourrit être fux. Une conséquence de tout ç est le bien connu théorème d existence des minim et mxim. Théorème (Weierstrss). Soit A un sous-ensemble compcte de R et f : A R une fonction continue. Il existe lors un point x 0 A tel que f(x 0 ) = min{f(x) : x A} (et, symmetriquement, il existe un point x 0 A tel que f(x 0 ) = mx{f(x) : x A}). Démonstrtion. Démontrons l existence du minimum, celle du mximum étnt complètement similire. L ensemble des vleurs {f(x) : x A} n dmet ps priori encore l existence d un minimum, mis il dmet sûrement un inf, c est à dire une vleur m [, + [ qui stisfit m f(x) pour tout x A et qui ussi l propriété qu on peut pprocher l vluer m utnt qu on veut vec des vleurs de l forme f(x) vec x A (si m R cel peut être enoncé en disnt pour tout ε > 0 il existe un x A tel que f(x) < m + ε et si m = on dit pr contre pour tout L R il existe un x A tel que f(x) < L ). Cel signifie il existe une suite des vleurs f(x n ) vec lim n f(x n ) = m. Les points x n sont des points de A et donc on peut extrire une sous-suite convergente (x nk ) k de l suite (x n ) n vec s limite x 0 A. Or, si x nk x 0, comme l fonction f est continue, on en déduit f(x nk ) f(x 0 ). Pourtnt, on svit que l limite de toute l suite (f(x n )) n étit m et donc on ussi lim k f(x nk ) = m. On en déduit f(x 0 ) = m. Si en un point l vleur de l fonction rélise l inf on conclu cr cet inf ser un minimum ussi, rélisé pr ce point-là. Observtion Une conséquence de ce résultt est que l imge pr une fonction continue d un intervlle fermé borné est un intervlle fermé borné, et prfois on le trouve enoncé comme ç. Que l imge d un intervlle soit un intervlle est une conséquence des théorème des vleurs intérmediires (théorème des zéros), lors que le fit qu il soit borné et que ses bornes pprtiennent à l imge sont des conséquences de l existence du minimum et du mximum que l on vient de montrer. Une utre rémrque qui est très importnte en optimistion et que vous rencontrerez probblement u cours de vos études mthémtiques plus vncées est l suivnte : 7

8 Observtion À fin de grntir l existence du minimum (mis non ps du mximum) on peut choisir une hypothèse un peu moins forte que l continuité de l fonction f. L continuité été en effet utilisé pour grntir m = f(x 0 ) lors qu on svit lim k f(x nk ) = m et lim k x nk = x 0. Ceci donnit m = lim k f(x nk ) = f(x 0 ). Pourtnt, comme on svit déjà m f(x 0 ) (cr m est l borne inférieure de f), il nous urit suffit m f(x 0 ). Ceci justifie l introduction de l notion de semicontinuité suivnte Définition On dit qu une fonction f est semi-continue inférieurement (resp., supérieurement) u point x 0 si pour toute suite (x n ) n vec x n x 0 et f(x n ) l on l f(x 0 ) (resp., l f(x 0 )). Autrement dit, on ne demnde qu une inéglité dns l définition de l continuité. Dns le lngge des δ et des ε on que f est semi-continue inférieurement (resp., supérieurement) si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que tout x A vec x 0 x < δ stisfit ussi f(x 0 ) ε < f(x). Théorème (Vrinte de Weierstrss vec l semicontinuité). Soit A un sous-ensemble compcte de R et f : A R une fonction semi-continue inférieurement. Il existe lors un point x 0 A tel que f(x 0 ) = min{f(x) : x A} (et, symmetriquement, si f est semi-continue supérieurement, il existe un point x 0 A tel que f(x 0 ) = mx{f(x) : x A}). On ne donne ps une preuve explicite de ce fit, une relecture de l preuve du Théorème étnt suffisnte, grâce à l Observtion Il est utile de voir quelques exemlples de non-existence du minimum ou mximum pour comprendre l importnce des hypothèses. Exemple Soit A = [ 1, 1] et f l fonction donnée pr f(x) = { x si x 0 2 si x = 0. Cette fonction n dmet ps de minimum sur l ensemble A, cr inf x A f(x) = 0 mis f(x) > 0 pour tout x A. En effet, il s git d une fonction qui est continue en tout point de A \ {0} mis non ps en 0. Non seulement, u point 0 elle n est même ps semi-continue inférieurement cr lim x 0, x 0 f(x) = 0 < f(0) = 1. Et c est justement le point 0 qui étit le point importnt dns l démonstrtion du théorème de Weierstrss, cr si l on prend une suite (x n ) n telle que f(x n ) n converge vers l inf on ur justement x n 0. Pr contre l même fonction dmet un mximum, et ce mximum est 2, cr on peut bien voir 2 = f(0) f(x) pour tout x. L fonction f est en effet semi-continue supérieurement (ce que l on n ps défini, mis l définition est complètement symétrique pr rpport à celle de semi-continuité inférieure). Exemple Soit A =]0, 1] et f l fonction donnée pr f(x) = 1 x. Cette fonction n dmet ps de mximum sur l ensemble A, cr sup x A f(x) = 1 mis, évidemment, f(x) < 1 pour tout x A. En effet, ici le problème n est ps posé pr f (qui est bien continue), mis pr A, qui est borné mis non ps fermé (il y des suites (x n ) n A qui converge à un point hors de A, et notmment à 0). Dns ce cs là ussi, si l on prend une suite (x n ) n telle que f(x n ) n converge vers le sup on ur justement x n 0. Mis 0 / A et donc il ne peut ps réliser le mximum. Il est intéressnt de remrquer que, en remplçnt 1 x pr 1/x, on urit même pu construire une fonction qui non seulement n dmet ps de mximum, mis elle n est ps non plus supérieurement bornée. Ceci n urit ps évidemment été possible si l on vit voulu utiliser une fonction continue sur un fermé borné. Comme on vu que les hypothèses de continuité peuvent être ffiblies en une condition uniltérle pour grntir le minimum, on peut églement être un peu plus souple sur l nture de l ensemble A, quitte à demnder à l fonction f de l ider un peu. On fer l exemple du cs A = R. 8

9 Théorème Soit f : R R une fonction continue. Supposons que f tende à + des deux côtés, c est-à-dire lim f(x) = lim f(x) = +. x + x Il existe lors un point x 0 R tel que f(x 0 ) = min{f(x) : x R}. Démonstrtion. Prenons une vleur quelconque rélisée pr l fonction f, pr exemple f(0). Il est évident que le minimum m, si il existe, v vérifier l condition m f(0). Tous les points x vec f(x) > f(x 0 ) n influencent guère l existence et l nture du minimum. Pr définition de limite infinie, on sit que pour tout K R il existe un numéro b tel que x > b entrine f(x) > K (ceci cr lim x + f(x) = + ) insi qu un numéro tel que x < entrine f(x) > K (cr lim x f(x) = + ). Cel signifie que l enseble X = {x R : f(x) K} est borné, cr on {x R : f(x) K} [, b] [ R, R], vec R = mx{, b }. De plus, cet ensemble est fermé : en fit, si on prend une suite (x n ) n X et on suppose x n x 0, pr continuité de f on doit voir f(x n ) f(x 0 ). Ceci implique f(x 0 ) K (à cuse du fit que toutes les vleurs f(x n ) étient plus petites que K). Prenons K = f(0). Grâce à ce qu on dit vnt, on peut donc se restreindre à l ensemble X R, cr inf x R f(x) = inf x X f(x). Et dns cet ensemble là il existe, grâce u théorème précedent, un point x 0 [, b] R tel que f(x 0 ) f(x) pour tout x X. Comme en plus on f(x) K = f(0) f(x 0 ) pour tout x / X], on finlement f(x) f(x 0 ) pour tout x R, ce qui montre que x 0 est un point de minimum. 9

10 1.2 Dérivbilité On rppelle mintennt qu est-ce qu une fonction dérivble. Définition Une fonction f :], b[ R est dite dérivble u point x 0 ], b[ si l limite f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 existe et est finie. L vleur de l limite est lors dite l dérivée de f u point x 0 et notée f (x 0 ). On sit bien que si une fonction f est dérivble u point x 0 elle est continue ussi u même point, mis évidemment l récipoque n est ps vrie. Pour pouvoir prler de dérivée ou dérivbilité d une fonction en un point il fut pouvoir considérer l limite des tux d ccroissements. Il vut mieux que ce point soit à l intérieur du domine de définition de l fonction. Si l on presenté ici le concept de dérivée c est pr ce qu il nous est utile pour donner des conditions nécessires pour qu n point soit un point de minimum ou mximum d une fonction. Ce qui est bien connu est le suivnt théorème : Théorème Soit f :], b[ R une fonction dérivble u point x 0 ], b[. Supposons que x 0 est un point de minimum pour f, c est-à-dire que pour tout x ], b[ on f(x) f(x 0 ). Alors f (x 0 ) = 0. Démonstrtion. On sit que l vleur f (x 0 ) est obtenue come limite des tux d croissement, cette limite étnt égle d une côté et de l utre. On peut donc écrire f (x 0 ) = f(x) f(x 0 ) lim, x x 0, x>x 0 x x 0 même si on sit qu en vri f (x 0 ) est égle à l limite prise des deux côtés (mis si cette limite existe, elle coïncide vec l limite droite, celle qu on est en trin de considérer, et vec l limite guche ussi). Les quntités f(x) f(x 0 ) et x x 0 sont positives (u sens 0), l une pr minimimlité de x 0, l utre pr ce que x est à droite de x 0. Pr conséquent les tux d croissement dont on prend l limite sont positifs et l limite ussi (c est une propriété connue des limites : les limites des quntités positives sont positives). On donc f (x 0 ) 0. Preillement, si l on considère l limite guche, on l positivité de f(x) f(x 0 ) lors que x x 0 ser negtif. On en deduit donc f (x 0 ) 0. Ceci implique f (x 0 ) = 0. Observtion On évidemment utilisé le fit que x 0 se trouve à l intérieur de l intervlle, cr on considéré l limite des deux côtés. Si l on regrde une fonction définie sur un intervlle fermé [, b] et un point de minimum sur le bord, en supposnt qu il dmette une dérivée d un côté (guche en, droit en b), lors on en déduit seulement une inéglité, et notmment f () 0 ou bien f (b) 0. Observtion Le théorème s dpte u cs d un point de mximum, et il donne toujours l condition f (x 0 ) = 0. Bien sûr, dns le cs des inéglités sur les points du bord, ces inéglités sont renversées. Ce théorème donne un critère puissnt pour l recherche des minim et mxim des fonctions dérivbles, même si lors qu on detecte un point x 0 vec f (x 0 ) = 0 on ne peut ps svoir ni si il ser un minimum, ni si il ser un mximum (cr l condition nécessire est complètement symmétrique), et encore il pourrit être un point qui n ni un cmportement de minimum ni un comportemet de mximum. Tout d bord le théorème s dpte très bien u cs des minim locux (c est-à-dire les points x 0 tels qu il existe un ryon r > 0 qui fit en sorte que x 0 soit un point de minimum pour l fonction f sur l intervlle ]x 0 r, x 0 + r[). Ceci nous montre qu un point vec f (x 0 ) = 0 pourrit très bien être un point de minimum locl, ou de mximum locl. Non seulement, l exemple suivnt est très bien connu : 10

11 Exemple Considrons A = [ 1, 1] et f(x) = x 3. On f (0) = 0 et pourtnt 0 n est ps un minimum, ni un mximum, ni un minimum locl, ni un mximum locl. On le peut vérifier fcilement cr près de 0 les vleurs positives de x donnent des vleurs de f(x) qui dépssent f(0) et les vleurs négtives restent toujours en dessous. Ce qui se psse est que l fonction est presque horizontle u voisinge de 0 mis elle une petite dévition des deux côtés, l une vers le hut, l utre vers le bs, si petite que qund on clcule l limite des tux d croissements elle n influence ps le résultt de l dérivée. En tout cs, l utlité du théorème est l possibilité de regrder un petit nombre de points, ceux qui stisfont les conditions nécessires, en tnt que cndidts minim, à l plce de regrder priori tous les points de l intervlle. Il est très utile si couplé vec le critère d existence et si l fonction est soit dérivble en tout point, soit à une petite liste de points près. Critère de recherche de minim et mxim bsolus : Soit f : [, b] R une fonction continue, dérivble en tout point de ], b[\s, où S est en ensemble fini et, si possible, ps nombreux. On peut donc composer une liste de points de [, b] qui sont cndidts à être minim et/ou mxim, et qui est composée de : les points de bord et b, cr là le critère du théorème n est ps pplicble ; les points de S cr là non plus on peut l ppliquer ; tout point x 0 ], b[\s qui stisfsse f (x 0 ) = 0 (ce qui est souvent rélisé pr un petit nombre de points). Le théorème de Weierstrss nous grntit que le minimum et le mximum existent et en plus on est sûr qu on les trouver prmi les points qu on listé. Il suffit donc de clculer les vleurs f(x) corréspondnt à tous les points x de l liste et on trouver le (ou les) point(s) de minimum en prennt ceux qui ont les vleurs les moins élevées et les points de mximums en prennt ceux qui ont les vleurs le plus élevées. Évidemment plein d utres critères similires peuvent être bâtis pour d utres situtions, pr exemple pour une fonction stisfisnt ux conditions du Théorème Observtion Quelle est l différence entre cette pproche et celle pr tbleu de vritions? ps grnde chose. Ici on ne clcule ps les signes de l dérivée (et donc on économise du temps) mis on se retrouve à regrder comme cndidts ces points ussi qui ont dérivée nulle (ou où f n est ps dérivble) mis qui ne peuvent ps vriment minimiser à cuse des signes de l dérivée juste vnt et juste près (et donc on perd un petit peu plus de temps à clculer les vleurs de f sur ces points là). Si on cherche et le mximum et le minimum le tbleu des vritions nous force à clculer les signes et en plus souvent ne nous fit ps économiser beucoup d évlutions de f sur les points qu on trouvé, cr l plus prt d entre eux sont soit cndidts à minimiser soit à mximiser (suf ceux qui sont du type x 3, où l dérivée s nnulle sns chnger de signe, oe ceux qui sont de type 2x + x, où l fonction n est ps dérivble mis dérivée guche et droite ont le même signe). Pr contre, si l on cherche seulement l une des deux bornes (min ou mx), lors p-e le tbleu de vritions peut être rentble. Mis c est des petites différences, c est à peu près l même idée. Un vntge de cette pproche est pr contre qu on pourr l ppliquer en dimension plus grnde (en deuxième nnée, disons), qund une fonction définie sur le pln n ps un sens de vritions. Dernière chose : si f n est ps continue, prfois on peut qund même (pr exemple grâce à l semicontinuité) étblir l existence du mximum ou minimum. Après, si l on utilise un tbleu de vritions, il fut être trèèès ttentifs, cr ux points de discontinuité il y typiquement un sut. L fonction f(x) = x sur x 0 et f(x) = x + 1 sur x < 0 une dérivée positive vnt et près 0 mis 0 est qund même un cndidt minimum (à cuse du sut en bs entre 0 et 0 + ). 11

12 Chpitre 2 De l dérivtion ux développements limités 2.1 Propriétés des fonctions dérivbles On présente ici quelques théorèmes importnts sur les fonctions dérivbles qui seront répris dns l suite. Théorème (Rolle). Soit f : [, b] R une fonction continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble en tout point de l intervlle ouvert ], b[ [, b]. Supposons f() = f(b). Il existe lors un point ξ ], b[ tel que l on it f (ξ) = 0. Démonstrtion. L fonction f étnt continue et l intervlle [, b] fermé et borné, d près le théorème de Weierstrss on sit que f dmet un mximum et un minimum sur cet intervlle. Soient m et M les vleurs du minimum et du mximum, respectivement, et K l vleur commune de f() et f(b). On forcement m K M. Si toute les inéglités sont des églités lors on m = M et l fonction est constnte. Mis une fonction constnte dmet prtout dérivée nulle et tout point ξ ], b[ stisfit l condition. Supposons donc qu on it soit m < K = f() = f(b) soit l utre inéglité. Dns ce premier cs, il signifie qu il existe un point de minimum x 0 [, b] et que f(x 0 ) < f() = f(b). Celci implique en prticulier que x 0 est distinct de et de b. Il est donc à l intérieur et on sit que si un point à l intérieur rélise le minimum (un minimum locl urit été suffisnt) d une fonction dérivble, l dérivée en ce point là doit forcement être nulle. Il suffit donc de choisir ξ = x 0. Preillement, si c est le mximum M qui dépsse strictement K, on en déduit l existence d un point intérieur de mximum et ce point ur dérivée nulle. Observtion Vous pouvez remrquer qu on vriment utilisé toutes les hypothèses : l dérivbilité en tout point intérieur est à demnder cr on ne sit ps où le minimum tomber, et là où il tombe on besoin de dire que l dérivée vut zéro ; l continuité d utre côté est demndée pour ssurer l existence d un minimum et un mximum, et on en besoin sur un ensemble fermé borné. Non seulement, il est fcile de se rendre compte que sns l continuité en et b le théorème n urit ucune chnce d être vri : si l on dmet que les vleurs en et b puissent différer dess limites de f(x) lors que x tend vers et b repsectivement, on beu à supposer que les deux vleurs f() et f(b) sont égles, mis cel serit toujours une hypotèse inutile cr elle n implique rien u niveu du comportement intérieur de l fonction. Et évidemment sns f() = f(b) le théorème est fux (pr exemple prenez f(x) = x). Théorème (Acroissements finis). Soit f : [, b] R une fonction continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble en tout point de l intervlle ouvert ], b[ [, b]. Il existe lors un point ξ ], b[ tel que l on it f f(b) f() (ξ) =. b 12

13 Démonstrtion. Soit L = (f(b) f())/(b ) et considerons l fonction g donnée pr g(x) = f(x) Lx. Cette fonction grde les mêmes propriétés de continuité et dérivbilité de l fonction f cr on y rjouté tout simplement une fonction linéire, qui est elle même continue et dérivble en tout point. Montrons que g() = g(b), de fçon à pouvoir ppliquer le théorème de Rolle à l fonction g. On g(b) g() = f(b) f() L(b ) = f(b) f() f(b) f() (b ) = 0. b Ceci montre g(b) = g(). On peut donc ppliquer le théorème de Rolle à l fonction g et on obtient qu il existe un point ξ ], b[ tel que 0 = g (ξ) = f (ξ) L. Grâce u choix de L qu on fit, on vient de montrer l thèse. Remrque inutile : u délà des Alpes ce théorème s ppelle Théorème de Lgrnge. Indépendemment de son nom, il plusieurs conséquences intéressntes. L première qu on v voir concerne l notion de fonction Lipschitzienne. Définition Une fonction f : A R est dite Lipschitzienne si il existe une constnte L (ppelée constnte de Lipschitz, Lipschitz étnt le mec qui, peut-être, introuduit cette notion) telle qu on it f(x) f(y) L x y pour tout x, y A. Souvent on ppelle constnte de Lipschitz l plus petite constnte L qui permet de réliser l inéglité (cr, évidemment, si L est une constnte qui stisfit l inéglité ci-dessus, tout L L l stisfit ussi). On définit donc Lip(f) := inf{l 0 : f(x) f(y) L x y pour tout x, y A}. Il est fcile de voir que toute fonction Lipschitz est continue (il suffit toujours de choisir δ = ε/l). Pr contre, elle n est ps forcement dérivble : il suffit de penser à fonction f(x) = x, qui dmet 1 comme constnte de Lipschitz mis n est ps dérivbe u point 0. Il est intéressnt de remrquer que l non-dérivbilité vient ici de le non-existence de l limite des tux d croissement (limite différente à droite et à guche), même si ils restent qund même bornés (contrirement u cs pr exemple de l fonction f(x) = x 1/3, qui dmet l limite des tux d croissement en 0, mis elle n est ps finie, les tux n étnt ps bornés). L notion de fonction Lipschitzienne dévient très fcile dns le cs des fonctions dérivbles. Proposition Soit f : [, b] R une fonction dérivble en tout point de ], b[. Les deux fits suivnts sont équivlents : l dérivée de f est bornée sur ], b[, f est Lipschitzienne. De plus, si l dérivée est bornée et on f (x) L pour tout x ], b[, lors f dmet l même vleur L comme constnte de Lipschitz et si f dmet une constnte de Lipschitz, l même constnte est une borne supérieure pour f (x). On donc Lip(f) = sup x A f (x). Démonstrtion. Démontrons que une borne L sur l dérivée entrîne l nture Lipschitz de l fonction f vec constnte de Lipschitz L. Prenons x, y ], b[ et supposons pr simplicité 13

14 x < y (l condition de Lipschitz étnt tout à fit symmétrique en x et y). On peut ppliquer le théorème des croissements finis à l fonction f sur [x, y] et on obtient f(y) f(x) y x = f (ξ), ce qui implique f(x) f(y) = f (ξ) x y L x y, si L est une constnte qui borne l dérivée, c est-à-dire telle que f (ξ) L pour tout ξ ], b[. Mintennt supposons que f est Lipschitzienne vec constnte de Lipschitz L et démontrons f (x 0 ) L pour tout x 0 ], b[. En mettnt l vleur bsolue prtout dns l limite qui donne l définition de dérivée, on trouve f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Pourtnt on f(x) f(x 0 ) / x x 0 L et donc on en déduit f (x 0 ) L (celle-ci est l prtie fcile de l équivlence, lors que pour l utre il est nécessire d utiliser le théorème des croissements finis). Une utre conséquence du théorème des croissements finis est le fit qu on peut fire le développement suivnt : si f est une fonction dérivble en tout point d un intervlle A et x, x 0 A, lors on f(x) = f(x 0 ) + f (ξ)(x x 0 ), où ξ est un point de l intervlle ]x 0, x[ ou ]x, x 0 [ (ce qui dépende de x > x 0 ou x 0 > x). Celuici est un développement excte de l fonction f, qui est continue cr dérivble, et qui donne une idée de l écrt entre f(x) et f(x 0 ). Il s git en fit d un développement qui n est ps très stisfisnt et qui est sûrement dépssé pr le suivnt : f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ε(x)(x x 0 ), (2.1) où ε(x) est une quntité qui tend vers 0 lors que x x 0 (en fit, si l on définit ε grâce à l réltion ci-dessus, qui en donne l vleur en tout point x x 0,et on rjoute ε(x 0 ) = 0, on peut dire qu on obtient une fonction continue). Ce développement est obtenible à prtir de l défintion de dérivée, cr si f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ), on peut dire f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ) + ε(x) x x 0 et près réconstruire le dévéloppement souhité. L quntité ε(x)(x x 0 ) est ussi souvent notée pr le symbol o(x x 0 ). Il est en fit commun d écrire o(g(x)) si g est une fonction qui converge à zéro lorsque x x 0 et lors dns ce cs là dire f(x) = o(g(x)) ou f est un petit o de g signifie f(x) lim x x 0 g(x) = 0. Ceci équivut, dns l nottion de tout à l heure, f(x) = ε(x)g(x). Typiquement on utilise l nottion du petit o vec des puissnces de x x 0. Pr exemple on peut dire que x 2 + x 4 est un petit o de x pour x 0, mis non ps qu elle est un petit o de x 2 (cr l limite du rtio n est ps nulle mis 1). 14

15 Les deux dévéloppements ont des vntges et désvntges : le premier est excte, mis les termes qui sont connus (si l on connit le comportement de f en x 0, c est-à-dire f(x 0 ) et f (x 0 )) s rrêtent tout de suite et il n y que l prtie f(x 0 ) ; pr contre, le deuxième utilise une fonction ε dont on sit seulement qu elle converge vers zéro, mis il l vntge d rriver un peu plus loin vec les termes connus, cr il donne déjà une pproximtion vec une droite (l fonction x f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )). Le but de ce genre de dévéloppement est en fit d pprocher une fonction utour d un point x 0 en connissnt les vleurs de f et de s dérivée. On verr dns les sections suivntes que on rriver à fire beucoup mieux en utilisnt ussi ses dérivées d ordre supérieur. 2.2 Dérivées d ordre supérieur Une question nturelle qu on se pose qund on une fonction f dérivble en tout point est celle de considérer l fonction x f (x) est se demnder : est-elle continue? est-elle dérivble? Il est ssez nturel de se convincre que f n est ps forcement une fonction dérivble et l exemple le plus fcile est le suivnt : Exemple Considérons f(x) = x x, qui corréspond à deux prboles différentes, l une vec concvité en hut, l utre en bs, qui se joignent en 0 (cr f(x) = x 2 pour x 0 et f(x) = x 2 pour x 0). Il est fcile de clculer f (x) (et de vérifier qu elle existe) pour x 0, cr loclement l fonction coïncide vec une prbole connue. Concernnt 0, on peut clculer à l min l limite f x x 0 (0) = lim x 0 x 0 = lim x = 0 x 0 et finlement on obtient l expression générle f (x) = 2 x. Cette fonction n est ps dérivble en 0. Il est moins fcile de comprendre si f est forcement continue ou non. En fit il y ce résultt, dû à Drboux, qui montre que f une propriété typique des fonctions continues. Théorème (Drboux). Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble en tout point : lors, si x 0, x 1 A, pour toute vleur l intermediire entre f (x 0 ) et f (x 1 ), il existe ξ entre x 0 et x 1 tel que f (ξ) = l. Démonstrtion. Pr prticité, on v supposer l = 0, x 0 < x 1 et f (x 0 ) < 0 < f (x 1 ). Ceci ne réduit ps l générlité du théorème, cr il suffit de remplcr f pr l fonction x f(x) lx et, le cs échent, de chnger de signe f ou de fire un chngement de vrible x = x. Considérons donc l fonction f sur l intervlle [x 0, x 1 ] : comme elle est dérivble, elle est continue ussi et, l intervlle étnt fermé et borné, elle dmet minimum sur cet intervlle. Soit ξ ce point de minimum : on montrer ξ x 0 et ξ x 1, ce qui entriner qu il s git d un point intérieur, et donc f (ξ) = 0, ce qui conclut l preuve. Pour montrer ξ x 0 il suffit de remrquer f (x 0 ) < 0, ce qui empêche u point x 0 d être un point de minimum sur l intervlle [x 0, x 1 ], cr il ne respecte ps l condition nécessire pour les points du bord. En fit, si l dérivée u point initil est négtive, le point n est ps un minimum cr juste à s droite on des vleurs plus petites. Preillement on ξ x 1. Une utre propriété typique des fonctions continues qui est stisfite pr l dérivée est l suivnte. Théorème Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble sur A \ {x 0 }. Supposons lim x x 0 f (x) = l R. 15

16 Alors f (x 0 ) existe et est égle à l. En prticulier, si f est déjà dérivble prtout en A et lim x x0 f (x) existe lors f est continue u point x 0. Démonstrtion. On veut démontrer f(x) f(x 0 ) lim = l. x x 0 x x 0 Pour cel on utilise le fit suivnt : pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que f l < ε sur ]x 0 δ, x 0 + δ[ (grâce à l hypothèse sur l limite des dérivées u point x 0 ). De plus, on utilise le théorème des ccroissements finis et on voit que, si x ]x 0 δ, x 0 + δ[ lors f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (ξ) ]l ε, l + ε[, cr ξ ussi pprtient à ]x 0 δ, x 0 + δ[ (comme il est un point intermédiire entre x 0 et x). Ceci montre que l limite des tux d ccroissements est égle à l et que donc f est dérivble u point x 0 et f (x 0 ) = l. L même démonstrtion montre l continuité de f sous l hypothèse de l existence de l limite. Observtion Le même enoncé peut s étendre u cs d une limite à guche ou à droite seulement, vec églité vec l dérivée guche (ou droite). Observtion Il est importnt remrquer l différence qu il y en théorie entre l limite des tux d ccroissement et l limite des dérivées. Si on nous demnde de démontrer qu une fonction f donnée est dérivble u point x 0 on devrit considérere les tux d ccroissement (f(x) f(x 0 ))/(x x 0 ) et leur limite pour x x 0, et non ps l limite lim x x0 f (x). Preillement, pour démontrer qu elle n est ps dérivble il fut démontrer que l limite des tux d ccroissement n existe ps, et non ps celle des dérivées. L exemple d en bs montre ussi que cette deuxième limite peut ne ps exister lors que le première existe. Pourtnt, le résultt du Théorème nous ide si l limite des dérivées existe. De plus, si les limites droite et guche des dérivées existent et sont différentes, l fonction ne ser ps dérivble (cr l limite droite et l limite guche des tux d ccroissement seront différentes). Pourtnt, même si ces propriété sont typiques des fonctions continues, il n est ps vri que l dérivée d une fonction dérivble est continue, et on peut le voir de l exemple suivnt. Exemple Considérons l fonction f donnée pr f(x) = { x 2 sin 1/x si x 0, 0 si x = 0. Cette fonction est dérivble en tout point : elle est dérivble hors de 0 cr composée et produit de fonctions dérivbles, et pour vérifier l dérivbilité en 0 il suffite de clculer l limite des tux d ccroissement, en obtennt f x 2 sin 1/x 0 (0) = lim = lim x sin 1/x = 0, x 0 x 0 x 0 où l dernière limite peut être cluclée grâce à x x sin 1/x x. On donc f (x) = { 2x sin 1/x + cos 1/x si x 0, 0 si x = 0. On peut vérifier que cette expression n est ps continue en x = 0, cr il n existe ps l limite lim x 0 2x sin 1/x + cos 1/x, le premier terme convergent à zéro, mis le deuxième n ynt ps de limite. 16

17 En vue des exemples ci-dessus, il est nturel introduire l notion de fonctions C k, c est-à-dire les fonction dérivbles vec continuité k fois. Qu est-ce qu il signifie? une fonction C 1 est une fonction qui est dérivble et telle que s dérivée est une fonction continue. Une fonction C 2 est une fonction telle qu on puisse fire cette opértion deux fois, c est à dire que elle est dérivble et s dérivée est non seulement continue, mis dérivble ussi vec dérivée continue. On dit ussi C 0 propos des fonctions continue. On peut résumer pr récurrence tout ç en cette définition. Définition On dit qu une fonction f : A R est C 0 (A) si elle est continue. Pour tout k 1 on dit qu une fonction f : A R est C k (A) si elle est dérivble et l fonction f est C k 1 (A). Il n est ps difficile étblir le suivnt : Théorème Soit k 1. Si f et g sont deux fonctions C k (A) lors f + g, fg sont ussi C k (A), insi que 1/f si en plus f 0 sur A. Si g est une fonction C k (f(a)) (C k sur l ensemble f(a), qui est un intervlle si A est un intervlle) lors g f C k (A). Si en plus f 0 sur A lors f 1 est C k (f(a)) (f 1 existe cr f 0 et donc, grâce u théorème de Drboux, f est soit toujours positive soit toujours négtive, donc f est strictement monotone et donc inversible). Démonstrtion. Il suffit de tout démontrer pr récurrence. On sit que le résultt est vri pour k = 1. Mintennt on le suppose vri pour k = n et on le montre pour k = n + 1. Prenons f, g C n+1 (A) (donc f, g C n (A)) et considérons l somme et le produit. Comme on veut montrer que f + g, fg et 1/f pprtiennent à C n+1 (A) il nous suffit de montrer que leurs dérivées pprtiennent à C n (A). Les dérivées qu on regrde sont f + g, fg + f g et f /f 2 qui sont obtenues comme sommes, produits et rtios de fonctions C n. Donc, comme le résultt est supposé vri pour k = n, on en déduit que f + g, fg + f g et f /f 2 sont C n et donc f + g et fg sont C n+1. L idée est l même en ce qui concerne l composition : prenons f C n+1 (A) et g C n+1 (f(a)). L dérivée de l composée g f est donnée pr g f f qui est un produit d une fonction C n (A) (l fonction f, pr hypothèse sur f) et d une fonction qui est l composition de deux fonctions C n. en ppliqunt le résultt dns le cs k = n on trouve que (g f) est C n et donc g f est C n+1. Pour terminer il reste le cs de l inverse. Si f C n+1 (A) on clcule (f 1 ). On 1/(f f 1 ). L fonction f f 1 est l composition de deux fonctions C n et est donc C n. Là ussi on montré, en utilisnt les résultts pour k = n, que f 1 est C n+1. Observtion On peut dire qu une fonction est continue en un point x 0, on peut dire qu elle est dérivble en ce point, mis si l on dit qu elle est C 1 en x 0 lors on veut en fit dire qu elle est u moins dérivble hors de x 0 ussi et que s dérivée est continue en x 0. Preillement, dire qu une fonction est C k en un point donné implique prler de ses dérivées hors de x 0 ussi. Sous le côté nottions, on ppelle dérivée seconde d une fonction f, et on l note pr f, l dérivée de s dérivée (f = (f ) ) et plus en générl on prle de dérivée k ième. On écris en générl f, f, f, f mis près on utilise l nottion f (k) pour l dérivée k ième. Qund on prle de combien de fois une fonction est dérivble vec continuité on ppelle ç le dégré de régulrité de cette fonction. Une fonction est usuellement dite régulière si elle est suffismment dérivble pour ce qu on veut y fire vec. Prfois on dit régulière pour dire C, ce qui est introduit dns l définition suivnte. Définition Une fonction f est dite C (A) si f C k (A) pour tout k 0. 17

18 2.3 Formule de Tylor et dévéloppements limités On considère ici une fonction f suffismment régulière sur A et on donne des formules de développement beucoup plus fines de celles qu on donné vnt. Il s git en générl d pprocher une fonction f pr des fonctions polynomiles, en utilisnt les vleurs de f et de ses dérivées dns un point donné. Ce genre de développement est connu comme développement de Tylor. On présente ici deux différentes formules, qui donnent le même résultt (le même polynôme) mis l expression du reste est différente (et les hypothèses de régulrité ussi). On donner plus trd une définition plus générle de qu est-ce que c est qu un développement limité (ou DL, en générl il s git de remplcer une fonction pr un nombre limité d expressions plus fciles, des monômes) et on verr que les dveloppements de Tylor sont des DL. On commence pr le premier, le développement de Tylor-Lgrnge. Théorème Soit f : A R une fonction C n (A) qui dmet dérivées n + 1 ième en tout point de A et x 0 un point à l intérieur de A. Alors pour tout x A il existe un point ξ entre x 0 et x (c est-à-dire ξ ]x 0, x[ si x 0 < x ou ξ ]x, x 0 [ si x < x 0 ) tel que f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1. Démonstrtion. L démonstrtion qu on v voir est un exemple de démonstrtion mgique où l on rrive à l thèse en considérnt des fonctions qui n ont ps grnde chose à voir et en leur ppliqunt d utres théorèmes, jusqu à en obtenir une formule qui, pprmment pr hsrd, est utilisble dns le cdre qui nous intéresse. Dns ce cs on considérer l fonction n (x t) k φ(t) = f(x) f(t) f (k) (x t)n+1 (t) A, k! (n + 1)! k=1 où A est une constnte à choisir pour fire en sorte d voir φ(x) = φ(x 0 ) et ppliquer le théorème de Rolle à φ sur l intervlle [x 0, x]. Remrquons d bord que φ(x) = 0 et φ(x 0 ) = R A(x x 0 ) n+1 /(n + 1)!, où R est le reste du développement de Tylor, c est-à-dire n (x x 0 ) k R = f(x) f(x 0 ) f (k) (x 0 ). k! k=1 Notre but ser exctement de montrer R = f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 /(n + 1)! pour un ξ entre x et x 0. Supposons mintennt qu on it choisi A de fçon à voir φ(x 0 ) = 0, c est-à-dire R = A (x x 0) n+1. (2.2) (n + 1)! On peut bien ppliquer le théorème de Rolle à l fonction φ cr elle est continue et dérivble prtout à l intérieur de l intervlle [x 0, x] pr conséquence du fit que f C n (A) (donc toutes les fonctions qui pprissent dns l définition de φ sont continues) et que f (n) est dérivble (et donc toutes les fonctions qui pprissent sont dérivbles ussi). Si l on clcule l dérivée de φ on trouve un effet téléscopique : φ (t) = f (t) + = n k=1 (x t) k 1 (k 1)! f (k) (t) (x t)n f (n+1) (x t)n (t) + A. n! (n)! 18 n (x t) k f (k+1) (x t)n (t) + A k! (n)! k=1

19 Le théorème de Rolle nous dit qu il existe un point ξ dns l intervlle entre x 0 et x vec φ (ξ) = 0. Ceci implique, grâce à l formule pour φ, qu on f (n+1) (ξ) = A. En remplcent A pr f (n+1) (ξ) dns (2.2), on trouve justement ce qui étit notre but. R = f (n+1) (ξ) (x x 0) n+1, (n + 1)! Comme dns le cs des ccroissements finis, on peut obtenir un utre développement, plus puissnt sous le point de vue hypothèses de régulrité-dégré du développement, mis dont le reste une formultion moins explicite. Théorème Soit f : A R une fonction C n 1 (A) qui dmet une dérivée n ième u point x 0 A. Alors on f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ). Démonstrtion. Dns cette démonstrtion on v pr contre voir une utre technique de preuve très typique, et notmment celle de démonstrtion pr récurrence. On remrque que si n = 1 le théorème dit seulement que toute fonction dérivble dmet le développeent f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). Ceci descend directement de l définition de dérivée. Or, supposons le théorème vri pour un certin rng n et démontrons-le pour n + 1. Prenons f qui stisfit les hypothèses de régulrité du théorème vec n + 1 : il est évident que lors f stisfit les hypothèses du théorème vec n. Appliquons donc le résultt à f : on trouve f (x) = n k=1 f (k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) k 1 + o((x x 0 ) n ). (2.3) On écrit R(x) = f(x) n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k et on remrque que (2.3) peut s écrire sous l forme R (x) = ε(x)(x x 0 ) n, ε étnt une fonction qui tend vers zéro lorsque x x 0. Ceci signifie que pour tout η > 0 il existe δ > 0 tel qu on R (x) < η x x 0 n pour tout x (x 0 δ, x 0 + δ). L enoncé du théorème revient à montrer R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). Pour cel on remrque R(0) = 0 et on écrit R(x) = R (ξ) x x 0 η ξ x 0 n x x 0 η x x 0 n+1, où l inéglité est vlble si x (x 0 δ, x 0 + δ), cr dns ce cs là ξ ussi pprtient u même intervlle. Ceci montre exctement et donc R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). lim x x 0 R(x) = 0, (x x 0 ) n+1 Observtion Il fut remrquer que l formule de Tylor-Young devient beucoup plus fcile à démontrer, et on peut l déduire de celle de Tylor-Lgrnge, si on met l hypothèse f C n (A) (ce qui est deux fois plus restricitve : prce que l on demnde une dérivée n ième prtout, ps seulement en x 0, et prce qu on l veut continue). En fit, il suffit d écrire l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n 1 et remrquer que (f (n) (ξ) f (n) (x 0 ))(x x 0 ) n = o((x x 0 ) n ). 19

20 Plus en générl on ppelle développement limité u point x 0 d une fonction f à l ordre n un polynôme P de dégré n tel que f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ). Ce qu on vient de montrer est que, si l fonction f est C n (C n 1 vec dérivées n ièmes prtout étnt suffisnt) lors il existe en tout point un dévéloppement limité et les coefficients du développement sont clculés d près les vleurs des dérivées u point x 0. Il se peut que d utres fonctions, qui ne sont ps ssez régulières, dmettent qund même l existence d un développement limité d ordre supérieur à ce que l on urit pu s ttendre. En tout cs, si une fonction dmet un dévéloppement limité, ce développement est unique prmi les polynômes du même dégré. Théorème Soit f : A R une fonction qui dmet deux dévéloppements limités du même ordre n et u même point x 0, de l forme vec deg P, deg Q n. Alors P = Q. f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ) = Q(x) + o((x x 0 ) n ), Démonstrtion. On déduit fcilement du fit que P et Q sont des dévéloppements limités d une même fonction f que P (x) Q(x) = o((x x 0 ) n ). On sit bien que tout polynôme peut être écrit en terme de puissnces de x x 0 à l plce des puissnces de x (il suffit de vérifier que 1, x x 0, (x x 0 ) 2,..., (x x 0 ) n forment une bse de l espce des polynômes de dégré inférieur ou égle à n, où de démontrer ce résultt pr récurrence sur n). Donc P Q peut s écrire sous l forme P (x) Q(x) = A(x x 0 ) k + n i=k+1 A i (x x 0 ) i, pour un coefficient A 0 (en choisissnt pour k le premier dégré vec coefficient non nul dns cette déomposition : si ce dégré n existe ps c est pr ce que P Q est le polynôme nul, et dns ce cs là on obtenu P = Q). Donc on A(x x 0 ) k + n lim i=k+1 A i (x x 0 ) i x x 0 (x x 0 ) n = 0. Pourtnt, dns cette limite, l seule prtie qui compte est A(x x 0 ) k lim x x 0 (x x 0 ) n, ce qui donne comme résultt soit ± si k < n soit A si k = n. Comme cette limite ne donne jmis zéro, on une contrdiction et donc P = Q. Ce résultt d unicité des DL plusieurs conséquences. Une première conséquence que l on voit concerne les fonctions pires et impires. Proposition Soit A =], [ un ouvert symétrique de R qui inclut 0. Supposons que f : A R soit pire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A). Alors tout développement limité de f en zéro est pire ussi (et donc toute puissnce d exposnt impire coefficient nul). Si pr contre on suppose que f soit impire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A) on peut dire lors que ses développements sont impires ussi. 20

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