Optique géométrique. L. Zimmermann Athénée royal d Uccle 1

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1 Optique géométrique L. Zimmermann Athénée royal d Uccle 1

2 Table des matières Table des matières... 2 Introduction... 5 Chapitre 1. Propagation de la lumière Lumière Sources lumineuses...6 a) Sources intrinsèques et par diffusion Milieux transparents, opaques, translucides Propagation de la lumière Célérité de la lumière...8 a) Exercices Rayons Faisceaux Pinceaux lumineux Applications [ ]...10 a) Chambre noire...10 b) Ombre Pénombre Pleine lumière...10 c) Éclipses...11 Chapitre 2. Réflexion et réfraction Réflexion et réfraction sur un dioptre plan...13 a) Expérience b) Terminologie...13 c) Expérience d) Conclusions : Lois de Descartes...15 a) 1 re loi...15 b) 2 e loi Loi de la réflexion...15 c) 3 e loi Loi de la réfraction...15 d) Exercices Principe de retour inverse de la lumière [ ]...16 a) Cas de la réfraction...16 b) Cas de la réflexion...17 c) Conclusion Lames à faces parallèles [ ]...17 a) Expérience...17 b) Explication...17 c) Exercice Indice de réfraction absolu [ ] Loi de Snell...18 a) Formulation de la loi...18 b) Exercices Réfringence...19 a) Exercices Angles limites et réflexion totale...20 a) Angle de réfraction limite Angle d incidence limite...20 Version du

3 b) Réflexion totale...21 c) Remarques...21 d) Exercices...22 e) Applications...23 f) Exercices Dispersion des couleurs...25 a) Exercices Exercices supplémentaires [ ]...27 Chapitre 3. Objets et images Points objets et images Points réels et virtuels...29 b) Exercice Caractérisation d une image...31 Chapitre 4. Les miroirs plans Image d un objet réel donnée par un miroir plan Image d un objet virtuel donnée par un miroir plan Exercices...33 Chapitre 5. Les lentilles Classification des lentilles Lentilles convergentes et lentilles divergentes...36 a) Expériences...36 b) Interprétation...36 c) Conclusions...37 d) Exercices Propriétés des lentilles minces...38 a) Notion de lentille mince...38 b) Centre optique d une lentille mince...38 c) Foyers d une lentille mince...38 d) Constructions graphiques...41 e) Formules des lentilles minces [ ] Applications...46 a) L objectif photographique...46 b) Le projecteur de diapositives...48 c) Le rétroprojecteur Les lentilles réelles Aberrations...50 Chapitre 6. Étude de quelques instruments L œil...51 a) Structure de l œil...51 b) Accommodation...51 c) Pouvoir de résolution...52 d) Défauts de la vue La loupe...53 a) Conditions d emploi Grossissement...53 b) Exercices La lunette astronomique...54 a) Description...54 b) Mise au point...55 Version du

4 c) Grossissement...55 d) Luminosité de l objectif...56 e) Exercices Exercices récapitulatifs...57 Chapitre 7. Notions utiles de trigonométrie Définitions fondamentales Table de valeurs trigonométriques Mesure des angles Cas des petits angles...59 Version du

5 Introduction L optique géométrique est la discipline qui traite de la propagation de la lumière modélisée en tant que rayons lumineux. Elle se distingue de l optique ondulatoire (ou optique physique), qui est, elle, fondée sur un modèle plus fidèle et plus sophistiqué de la lumière, qui est considérée comme une onde. L optique géométrique permet de décrire de façon entièrement satisfaisante la formation d images dans tous les instruments d optique usuels. Cependant des phénomènes secondaires, dus à la diffraction des ondes lumineuses, se manifestent et le recours à l optique ondulatoire s impose pour les traiter. Dans ce cours, nous décrirons le modèle des rayons lumineux. Ensuite nous aborderons les phénomènes de réflexion et de réfraction et les lois qui en rendent compte. Après cela, nous aborderons le problème de la formation des images par les miroirs plans et les lentilles minces. Enfin, nous aborderons le fonctionnement d appareils d optique centrés simples. Leur étude, ainsi que celle des lentilles, se limitera à des conditions d emploi dans lesquelles les rayons lumineux restent toujours proches de l axe optique et peu inclinés par rapport à lui (conditions de Gauss, rayons paraxiaux) et qui permettent de nombreuses simplifications. Version du

6 Chapitre 1. Propagation de la lumière 1.1. Lumière Sources lumineuses La notion de lumière s oppose à celle d obscurité. L obscurité est l absence de lumière. On explique l existence de lumière par la présence de sources lumineuses. a) Sources intrinsèques et par diffusion La clarté qui règne le jour est due à la présence du Soleil, notre étoile. Comme les autres étoiles, il produit lui-même la lumière qu il rayonne dans l espace. La pleine Lune éclaire nos nuits sans nuages. Cependant seul son hémisphère qui fait face au Soleil paraît lumineux (phases de la Lune). La Lune ne rayonne de la lumière que parce qu elle renvoie une partie de celle qu elle a reçue du Soleil. C est également le cas des planètes. On distingue ainsi les sources lumineuses primaires ou intrinsèques qui produisent elles-mêmes la lumière qu elles émettent et les sources secondaires ou par diffusion qui sont des objets éclairés par d autres sources et qui renvoient en partie la lumière qu ils en reçoivent. Exemples. Le Soleil, les étoiles, une bougie, une ampoule électrique à incandescence, un tube luminescent (incorrectement appelé «tube néon»), un laser sont des sources lumineuses primaires ; elles brillent par elles-mêmes. La Lune, les planètes, un trait de craie au tableau, un trou percé dans un écran éclairé par l arrière sont des sources secondaires. Parmi les sources lumineuses, on fait en outre la distinction entre : les sources ponctuelles, qui n ont pas de dimensions apparentes (elles apparaissent comme des points) ; exemples : trou d aiguille dans un écran, source lointaine, étoile, etc. ; les sources étendues, qui présentent des dimensions apparentes appréciables (elles apparaissent comme des objets étendus) ; exemples : le Soleil, la Lune, tube lumineux, etc Milieux transparents, opaques, translucides Selon leur comportement vis-à-vis de la lumière, les milieux sont répartis en trois catégories : Milieux transparents : ils se laissent traverser par la lumière ; on peut donc distinguer ce qui se trouve derrière eux. Exemples : verre à vitres, air, vide, eau... Milieux translucides : ils laissent passer la lumière, mais on ne peut pas distinguer les objets situés derrière eux. Exemples : papier, papier calque, verre dépoli, brouillard... Milieux opaques : ils ne se laissent pas traverser par la lumière. Exemples : mur, écran... Cette classification est parfois ambiguë : une feuille de papier est considérée tantôt comme opaque, tantôt comme translucide ; l aluminium est considéré comme opaque, mais il est partiellement transparent en couche très mince (miroirs semi-réfléchissants, filtres métallisés). Version du

7 1.3. Propagation de la lumière Les rais de lumière solaire dans une église, un faisceau de lampe de poche dans la nuit, un rayon laser dans la brume, etc. permettent de visualiser le trajet suivi par la lumière. Un rayon lumineux est la trajectoire selon laquelle la lumière se propage. Dans la suite, les rayons lumineux seront adoptés comme modèle de représentation de la lumière. Les observations qui viennent d être citées montrent que les rayons lumineux sont rectilignes. Il s agit toutefois de situations particulières où la lumière se propage dans un milieu (quelques mètres d air) qui possède les mêmes propriétés optiques en tous ses points. Sur des distances de cet ordre, l air est optiquement homogène. Un milieu est homogène s il possède les mêmes propriétés en chacun de ses points. Il n en va cependant pas toujours ainsi. Une clé plate plongée dans l eau semble brisée (la lumière provenant de la partie immergée se propage d abord dans l eau et ensuite dans l air). Les objets éloignés semblent être animés de petits mouvement d ondulation ou d agitation lorsque la lumière qui en provient traverse des masses d air rendues turbulentes par un chauffage intense, par exemple lors de l observation au-dessus d une route surchauffée en été. Un faisceau laser qui pénètre dans un récipient d eau où un sucre vient de se dissoudre suit une trajectoire incurvée (la concentration en sucre augmente progressivement avec la profondeur, l eau n est donc pas homogène). Sur l illustration ci-contre, la lumière se propage de droite à gauche et on peut remarquer qu elle se réfléchit partiellement sur le fond du récipient. Les mirages donnent parfois l illusion de la présence d une étendue d eau au beau milieu d un désert. Il s agit de phénomènes qui se manifestent lorsque l air est plus chaud et donc moins dense au niveau du sol. Au lieu d être incurvés vers le bas, les rayons lumineux peuvent alors être incurvés vers le haut et faire voir le bleu du ciel dans une direction plus basse que celle de l horizon. Lorsqu il est au ras de l horizon, le Soleil paraît aplati verticalement ; cet aspect s explique par le fait que les rayons lumineux qui proviennent de son bord supérieur et de son bord inférieur ont suivi des trajectoires courbes lors de leur traversée de l atmosphère terrestre (l air se raréfie avec l altitude, l atmosphère n est donc pas homogène). Si l on considère un rayon qui provient du bord inférieur du Soleil et un rayon qui provient du bord supérieur du Soleil, on voit sur le schéma que le premier effectue un parcours plus long dans l atmosphère et est de ce fait courbé davantage que le second rayon. La courbure des rayons a pour effet de relever la direction dans laquelle leur source est vue. Le bord inférieur du Soleil paraît donc relevé plus fort que son bord supérieur et son disque paraît donc aplati (le Version du

8 diamètre apparent du Soleil est voisin de 32,0 ; lorsque son bord inférieur est vu sur l horizon il se trouve en réalité 36,6 en dessous de l horizon ; à ce moment son bord supérieur n est relevé que de 31,0 ; l aplatissement est de 5,6 soit 17,5 %). 24,6 +31,0 Horizon +36,6 32,0 Horizon Observateur Soleil Atmosphère Terre Ces phénomènes se manifestent dès que la lumière est amenée à traverser un milieu hétérogène (le contraire d homogène) du point de vue optique ou une succession de milieux différents. Ces constatations conduisent au principe suivant : Dans un milieu transparent homogène, les rayons lumineux sont rectilignes. Dans un milieu hétérogène, les rayons lumineux sont généralement courbes. S ils passent d un milieu à un autre, ils sont brisés Célérité de la lumière La lumière se propage à une vitesse très élevée, qui dépend du milieu traversé. Elle est la plus rapide dans le vide ; sa vitesse de propagation (ou célérité) y approche km/s. La célérité de la lumière dans le vide est une constante physique fondamentale 1 : c = m/s. En 1969, les astronautes de Apollo 11 on déposé un premier réflecteur à cataphotes sur le sol lunaire, destiné à renvoyer vers la Terre un peu de la lumière d un puissant faisceau laser tiré depuis un observatoire (voir exercices page 33). Quatre autres ont été déposés par les missions Apollo 14 et Apollo 15 ainsi que par deux sondes automatiques. La mesure de la durée qui s écoule entre l émission de l impulsion lumineuse et la réception du faible signal réfléchi permet 1 Depuis 1986, le mètre est défini comme la fraction 1 / de la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1 seconde. Version du

9 de connaître la distance de la Lune avec une précision de quelques centimètres sur une distance de km environ! Dès 1635, Galileo Galilei (Galilée) avait imaginé un moyen de déterminer la vitesse de propagation de la lumière : une nuit, en découvrant brièvement une lanterne, il enverrait un signal lumineux à un assistant situé à grande distance de lui et qui, à sa réception, renverrait de la même manière un autre signal lumineux ; après avoir mesuré la durée de l aller et retour de la lumière et la distance qui le séparait de son assistant, Galilée espérait calculer la vitesse de la lumière. Malheureusement, la durée du trajet était si brève que les imprécisions des mesures dues aux délais de réaction (réflexes) ne lui permirent pas de parvenir à un résultat. Il déduisit seulement que la propagation de la lumière est très grande, voire instantanée. En 1676, Olaüs Römer (un astronome danois travaillant à l observatoire de Paris) parvient pour la première fois à déterminer de la vitesse de propagation de la lumière. Il Soleil Terre Jupiter y parvient grâce à l observation des quatre plus gros satellites de Jupiter, découverts en 1610 par Galilée. Ils décrivent autour de la planète des orbites quasi circulaires avec une très grande régularité (entre 1,769 jour pour Io, le plus proche de la planète, et 16,689 jours pour Callisto, le plus éloigné). Ce mouvement amène les trois premiers à être éclipsés à chaque révolution, lors de leur passage dans l ombre de Jupiter, avec la même régularité. Or, entre l instant de l opposition (situation dans laquelle la planète est vue dans une direction diamétralement opposée à celle du Soleil) et environ trois mois plus tard, les éclipses ont pris un retard de 8 min 20 s environ, qui est cependant résorbé à l opposition suivante. Römer attribue ce retard au délai mis par la lumière pour parcourir le supplément de trajet depuis Jupiter jusqu à la Terre. Les dimensions absolues de l orbite de la Terre étant connues avec une précision acceptable depuis , il lui a été possible de déterminer la vitesse de la lumière. Sa valeur était proche de celle admise actuellement. a) Exercices 1. Sur la base du texte qui précède, estimez le rayon de l orbite terrestre (raisonnement inverse de celui mené par Römer). 150 millions de kilomètres. 2. La distance de la Lune peut être déterminée par tir laser à environ 3 cm près. Quelle est la longueur du «trait» lumineux? Quelle est la durée de l impulsion laser? Si la durée entre l émission et la réception su signal est de 2,63 s, quelle est la distance de la Lune? 3 cm ; 0,1 ns ; km. 3. Calculez la longueur de l année de lumière, qui est la distance parcourue par la lumière dans le vide en un an. 9, km. 4. Proxima Centauri, l étoile la plus proche du Soleil, se situe à une distance de 4,3 années de lumière. Combien de temps la lumière met-elle pour nous en parvenir? 4,3 années. 5. Si le Soleil cessait soudainement de briller, après combien de temps la Terre serait-elle plongée dans l obscurité? Le Soleil étant une sphère de 1, km de diamètre, comment le verrionsnous s éteindre? 8 min 20 s ; d abord le centre, puis le bord 2,3 s plus tard. 2 Mesure de la parallaxe de Mars entre Paris et Cayenne par Richer et Cassini. Version du

10 1.5. Rayons Faisceaux Pinceaux lumineux Le concept de rayon lumineux est purement théorique ; il est impossible d isoler un seul rayon lumineux. En pratique, on ne considère jamais un seul rayon lumineux à la fois, mais bien un ensemble de rayons lumineux. Un tel ensemble porte le nom de faisceau. On distingue trois catégories de faisceaux : divergent : les rayons semblent provenir d une région restreinte de l espace et s écarter les uns des autres. Exemple : la lumière émise par une ampoule électrique ; convergent : les rayons semblent se concentrer vers une petite région de l espace. Exemple : la lumière concentrée par une loupe ; parallèle : les rayons sont parallèles entre eux, ils ne se rapprochent pas et ne s écartent pas les uns des autres. Exemples : la lumière provenant d un laser (les rayons émis divergent très faiblement ; on mesure leur angle de divergence en milliradians), du Soleil (la Terre se trouve tellement loin du Soleil qu en pratique les rayons qu elle reçoit sont parallèles), d une étoile, d un point à l infini. Un pinceau est un faisceau extrêmement étroit dans lequel les rayons sont quasiment parallèles entre eux. Par exemple : les rayons partant d une source ponctuelle éloignée et pénétrant dans notre œil. Dans la suite, on utilisera indifféremment la notion de pinceau ou de rayon lumineux Applications [ ] a) Chambre noire Une chambre noire est une boîte percée à l avant d un petit trou et fermée à l arrière par un écran translucide (verre dépoli, papier calque). Elle fournit une reproduction renversée d un objet lumineux placé devant elle. Cette reproduction est d autant plus nette que le trou est plus petit et que la longueur de la chambre est courte. Elle est d autant plus lumineuse que le trou est grand et que la longueur de la chambre est courte. Le principe de la chambre noire est mis à profit pour la réalisation de photographies sans objectif, celui-ci étant remplacé par un trou d épingle (sténopé). b) Ombre Pénombre Pleine lumière Faisceau convergent Faisceau parallèle Faisceau divergent Éclairons un objet opaque par une source ponctuelle et plaçons un écran derrière lui. Sur l écran, on observe l ombre de l objet. Elle a un contour net. L ombre est la région de l espace où ne parvient aucune lumière depuis la source et donc d où il est impossible de voir la source. Si on éclaire l objet avec une source étendue, il se forme sur l écran une ombre aux contours dégradés mal définis, entourée d une pénombre. S Ombre S Ombre Pénombre Version du

11 L ombre est encore la région de l espace où ne parvient aucune lumière et d où il n est possible de voir aucun point de la source. La pénombre est la région de l espace où parvient la lumière émise par certains points de la source, mais pas celle émise par d autres ; c est aussi la région de l espace d où il n est possible de voir qu une partie de la source. La pleine lumière est la région de l espace où arrive la lumière provenant de chaque point de la source et d où on peut voir la source entière. c) Éclipses Éclipses de Soleil Une éclipse de Soleil est un phénomène astronomique au cours duquel le Soleil disparaît derrière la Lune (il s agit en toute rigueur d une occultation du Soleil par la Lune). Une éclipse de Soleil n est donc évidemment possible qu un jour de nouvelle lune. Lorsqu une éclipse de Soleil se produit, elle est visible comme éclipse totale (disque solaire entièrement masqué) uniquement depuis les régions de la Terre qui sont plongées dans l ombre de la Lune. Il s agit d un ovale assez étroit (rarement plus de 300 km) qui balaie la surface terrestre, grossièrement d ouest en est, sur plusieurs milliers de kilomètres. Depuis les régions situées dans la pénombre de la Lune, l éclipse n est que partielle (disque solaire en partie visible). En dehors, il n y a pas d éclipse visible. Si le cône d ombre de la Lune se termine avant d atteindre la surface terrestre, l éclipse n est nulle part totale ; pour les régions d où l on peut voir le disque lunaire se profiler en entier devant le disque solaire, il y a éclipse annulaire. Il se produit souvent deux éclipses de Soleil par an. Mais l étroitesse des zones d ombre et de pénombre explique qu elles passent rarement par le lieu où l on se trouve. Ainsi, des quatre éclipses qui ont eu lieu en l an 2000, aucune n a été visible depuis notre pays. Éclipses de Soleil visibles à Uccle au début du XXI e siècle Éclipse annulaire, en partie visible comme éclipse partielle Éclipse annulaire, entièrement visible comme éclipse partielle Éclipse totale, entièrement visible comme éclipse partielle Éclipse totale, entièrement visible comme éclipse partielle Éclipse partielle, en partie visible comme éclipse partielle Éclipse totale, entièrement visible comme éclipse partielle Éclipse totale, en partie visible comme éclipse partielle. L éclipse totale du 11 août 1999, par contre, a pu être observée en tant que telle dans l extrême sud de la Belgique (photo ci-dessus et carte ci-contre). Version du

12 Éclipses de Lune Une éclipse de Lune est un phénomène astronomique au cours duquel la Lune passe dans l ombre de la Terre. Pour cette raison, une éclipse de Lune n est évidemment possible qu une nuit de pleine lune. N étant alors plus éclairée directement par la lumière du Soleil, mais uniquement par les rayons rougis qui ont traversé l atmosphère terrestre en suivant des trajectoires incurvées, la Lune prend une teinte orangée ou cuivrée à rouge au cours de l éclipse. Une éclipse est dite «par l ombre» si au cours du phénomène la Lune pénètre au moins en partie dans l ombre de la Terre ; il y a éclipse totale si elle y passe entièrement, éclipse partielle dans les autres cas. Au contraire, si la Lune ne traverse que la pénombre sans jamais s avancer dans l ombre, il y a éclipse «par la pénombre». Celles-ci sont généralement imperceptibles. Les mêmes phases d une éclipse de Lune sont visibles simultanément depuis tous les points du globe terrestre pour lesquels la Lune est levée (en pratique, tout l hémisphère plongé dans la nuit). La grandeur d une éclipse exprime, en fonction du diamètre de la Lune, la distance maximale dont son disque s enfonce dans l ombre. Elle est inférieure à 1 en cas d éclipse partielle, supérieure à 1 en cas d éclipse totale. Éclipses de Lune par l ombre visibles à Uccle au début du XXI e siècle Éclipse totale (1,186), entièrement visible Éclipse totale (1,124), seulement 1 re moitié visible Éclipse totale (1,015), entièrement visible Éclipse totale (1,301), entièrement visible sauf début Éclipse totale (1,309), entièrement visible Éclipse partielle (0,177), seulement 2 de moitié visible Éclipse totale (1,229), entièrement visible Éclipse totale (1,106), entièrement visible Éclipse partielle (0,801), entièrement visible sauf début de la phase par la pénombre Éclipse partielle (0,071), entièrement visible Éclipse totale (1,257), seulement entrée dans la pénombre et l ombre visibles Éclipse totale (1,702), seulement 2 de moitié visible Éclipse totale (1,102), seulement sortie de l ombre et de la pénombre visibles Éclipse partielle (0,014), entièrement visible sauf début de la phase par la pénombre Éclipse totale (1,273), entièrement visible Éclipse partielle (0,246), seulement 2 de moitié visible. Version du

13 Chapitre 2. Réflexion et réfraction Lorsqu on éclaire un objet quelconque, on peut l observer depuis des points situés dans toutes les directions autour de lui. Ceci signifie que les rayons lumineux qui l atteignent sont renvoyés dans toutes les directions. Ce phénomène porte le nom de diffusion de la lumière. Il a plus particulièrement lieu lorsque la lumière touche une surface non polie. Nous restreindrons notre étude à deux autres phénomènes, la réflexion et la réfraction de la lumière, qui se produisent lorsqu un rayon lumineux atteint une surface parfaitement polie ; si celle-ci sépare deux milieux transparents différents, elle porte le nom de dioptre. La réfraction est le phénomène par lequel la lumière subit une déviation en passant d un milieu dans un autre 3. Elle n a lieu que si les deux milieux envisagés sont transparents. C est la réfraction qui explique qu un bâton immergé dans l eau semble être brisé. La réflexion est le phénomène par lequel la lumière est renvoyée dans le milieu duquel elle provient. Elle a toujours lieu à la rencontre d une surface polie, que le second milieu soit transparent (dioptre) ou opaque (miroir). Seule la proportion de lumière réfléchie change. Si le second milieu est transparent et que toute la lumière est réfléchie, on parle de réflexion totale, sinon on parle de réflexion vitreuse Réflexion et réfraction sur un dioptre plan On étudiera les dioptres plans. Dans le cas d un dioptre courbe, tout se passe comme avec un dioptre plan qui serait tangent à la surface au point où arrive la lumière. a) Expérience 1 On dispose d une source (laser) fournissant un faisceau étroit de rayons lumineux parallèles, par exemple un laser. On dirige ce pinceau obliquement vers la tranche plane polie d une demi-lune en plexiglas (ou en verre). On examine ce qui se passe au niveau de ce dioptre plan. On constate qu une partie de la lumière est renvoyée dans le milieu d où elle vient (réflexion) et qu une autre partie de la lumière pénètre dans le verre en traversant le dioptre, tout en subissant un changement de direction (réfraction). Laser b) Terminologie Réflexion et réfraction consistent toutes deux en un changement de la direction de propagation des rayons lumineux. Lorsque la lumière repart dans le milieu d où elle provient, sans avoir traversé le dioptre, le changement de la direction de propagation de la lumière porte le nom de réflexion. Lorsque la lumière pénètre dans le second milieu après avoir traversé le dioptre, le changement de la direction de propagation de la lumière porte le nom de réfraction. 3 ou lorsque les propriétés optiques du milieu de propagation changent le long de son trajet (cf. les mirages, l aplatissement du disque solaire, etc.). Version du

14 Le rayon qui arrive sur le dioptre est appelé rayon incident. Le rayon qui a subi une réflexion est appelé rayon réfléchi. Après réflexion, il repart dans le milieu d où il vient. Le rayon qui a subi une réfraction est appelé rayon réfracté. Après réfraction, il pénètre dans le second milieu. Le point d incidence (I) est le point où le rayon incident touche le dioptre et d où repartent les rayons réfléchi et réfracté. Rayon incident Une normale est une droite perpendiculaire au dioptre. On considère la normale qui passe par le point d incidence ; c est la normale au point d incidence. Tous les angles seront toujours mesurés à partir de la normale (jamais à partir du dioptre!) Le plan défini par le rayon incident et la normale au point d incidence est appelé plan d incidence. Les schémas ci-dessus représentent ce qui se passe dans le plan d incidence. L angle compris entre la normale et le rayon incident est appelé angle d incidence (noté i1). L angle compris entre la normale et le rayon réfléchi est appelé angle de réflexion (noté r1). L angle compris entre la normale et le rayon réfracté est appelé angle de réfraction (noté r2). i1 Point d incidence Normale I r2 r2 r1 Rayon réfracté Rayon réfléchi Dioptre c) Expérience 2 On reprend la demi-lune et on la place sur un rapporteur. Il est gradué de manière telle qu il est possible d y lire directement la valeur des angles d incidence, de réflexion et de réfraction (cela pour autant que le point d incidence corresponde au centre du disque et que la normale au point d incidence soit dirigée vers les graduations 0 ). Laser Pour différentes orientations du dioptre plan, on relève les valeurs suivantes : angle d incidence i1 angle de réflexion r1 angle de réfraction r2 sini 1 sinr , ,5 1, ,5 1, , , , ,489 d) Conclusions : a) Un rayon lumineux qui arrive perpendiculairement sur un dioptre le traverse sans changer de direction. b) L angle de réflexion est identique à l angle d incidence (aux éventuelles erreurs de mesure près). Version du

15 c) Il n y a pas de proportionnalité entre l angle d incidence et l angle de réfraction ; un graphique de r2 en fonction de i1 montre que ces angles sont liés par une relation non linéaire (ci-dessous à gauche). Cependant, un graphique de sin (r2) en fonction de sin (i1) fait apparaître une relation linéaire (ci-dessous à droite). On note aussi dans le tableau ci-dessus que le quotient des sinus prend toujours pratiquement la même valeur, quel que soit l angle d incidence r 2 1 0,8 sin (r 2 ) 60 0, ,4 15 i 1 0,2 sin (i 1 ) ,2 0,4 0,6 0, Lois de Descartes Les lois de Descartes sont déduites des constatations précédentes. a) 1 re loi Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont contenus dans le plan d incidence, déterminé par le rayon incident et la normale au point d incidence. (Le rayon incident, le rayon réfléchi, le rayon réfracté et la normale au point d incidence sont coplanaires.) Ils sont situés au-delà de la normale par rapport au rayon incident. b) 2 e loi Loi de la réflexion Le rayon réfléchi se trouve de l autre côté de la normale par rapport au rayon incident (la lumière a traversé la normale, mais elle n a pas traversé le dioptre). L angle de réflexion est égal à l angle d incidence. r1 = i1. En d autres termes, le rayon réfléchi est symétrique au rayon incident par rapport à la normale au point d incidence. c) 3 e loi Loi de la réfraction Le rayon réfracté se trouve de l autre côté de la normale par rapport au rayon incident (la lumière a traversé la normale, ainsi que le dioptre). Il existe un rapport constant entre le sinus de l angle d incidence et le sinus de l angle de réfraction : sini sin N 1 2/1 r =. 2 La valeur de la constante N2/1 dépend de la nature des deux milieux en présence ainsi que, dans une moindre mesure, de la couleur de la lumière utilisée (voir le paragraphe Dispersion des couleurs à la page 25). On l appelle indice de réfraction relatif du second milieu par rapport au premier. Version du

16 d) Exercices 6. Sur la figure ci-contre, un dioptre est représenté par un trait épais et les rayons lumineux par des traits plus fins. Quels sont les angles d incidence, de réflexion et de réfraction? b c a d g e f 7. Un rayon lumineux se propage dans l eau et se réfracte dans une substance inconnue X. On a mesuré l angle de réfraction pour différents angles d incidence. Vérifiez si la 3 e loi de Descartes est satisfaite. angle d incidence angle de réfraction , Voici un tableau de valeurs des angles i1 et r2. Sont-elles proportionnelles? Sont-elles réalistes, si l on sait que la 3 e loi de Descartes décrit correctement la réfraction de la lumière? angle d incidence angle de réfraction Oui, non. 9. Grâce aux mesures fournies dans le tableau suivant, vérifiez (tableau, graphique) si la 3 e loi de Descartes est satisfaite. Que vaut l indice de réfraction relatif N2/1? angle d incidence angle de réfraction Oui, 1, D après les mesures du tableau de la page 14, indiquez si l on peut déterminer l indice de réfraction relatif de l air par rapport au plexiglas ou du plexiglas par rapport à l air et donnez-en la valeur approximative. Nplexiglas/air ; environ 1, Voici un tableau de valeurs des angles i1 et r2. Déterminez l indice de réfraction relatif du second milieu par rapport au premier et complétez les angles manquants. angle d incidence 33 54? 77 angle de réfraction? ,125 ; 29 ; Principe de retour inverse de la lumière [ ] a) Cas de la réfraction Expérience L expérience précédente (page 14) a montré que si un rayon lumineux se propageant dans l air arrive sous un angle d incidence i1 = 40, il se réfracte dans le plexiglas sous un angle r2 = 26. En retournant le dispositif (ou en renvoyant le rayon réfracté sur lui-même à l aide d un petit miroir plan), on peut diriger un rayon se propageant dans le plexiglas et arrivant sur le dioptre sous un angle d incidence i 2 = 26. On constate que le rayon se réfracte dans l air sous un angle r 1 = 40. S i1 air r 1 plexiglas r2 i 2 S Version du

17 On constate que, après retournement, le rayon repasse exactement par le même chemin, même après avoir retraversé le dioptre en sens contraire. Conclusion Si on renverse le sens de propagation de la lumière, le trajet suivi par la lumière reste le même. b) Cas de la réflexion De manière tout à fait évidente, cette conclusion est également vraie dans le cas de la réflexion (symétrie du rayon incident et du rayon réfléchi par rapport à la normale). c) Conclusion Le principe de retour inverse s énonce comme suit, à la fois pour la réflexion et pour la réfraction de la lumière : La lumière peut parcourir le même trajet indifféremment dans les deux sens Lames à faces parallèles [ ] a) Expérience Un rayon lumineux se propageant dans l air (milieu 1) arrive sur une lame à faces parallèles en verre (milieu 2). Il se réfracte une première fois à l entrée de la lame et une seconde fois à la sortie. On constate que, quel que soit l angle d incidence initial, le rayon émergent est toujours parallèle au rayon incident. Le rayon lumineux a simplement subi un décalage latéral dont la grandeur croît avec l angle d incidence. b) Explication Remarquons d abord que l angle d incidence i2 sur le second dioptre est identique à l angle de réfraction r2 sur le premier dioptre (angles alternes internes). La réfraction qui se produit au point B correspond donc à la situation inverse de la réfraction au point A. En vertu du principe de retour inverse, l angle de réfraction r1 est donc identique à l angle d incidence i1. Le rayon émergent est donc bien parallèle au rayon incident. milieu 1 i1 A milieu 2 r2 i2 milieu 1 B r1 c) Exercice 12. Grâce aux deux premiers schémas de la figure cicontre, tracez avec les angles corrects le trajet suivi par le rayon lumineux qui arrive sur la lame à faces parallèles avec un angle d incidence de ; 25 ; Version du

18 2.5. Indice de réfraction absolu [ ] La 3 e loi de Descartes exprime que, pour un dioptre entre deux milieux donnés, le rapport des sinus des angles d incidence et de réfraction conserve une valeur constante quel que soit l angle d incidence. Toutefois, cette constante (l indice de réfraction relatif N2/1) dépend des deux milieux présents de part et d autre du dioptre. Elle n est donc caractéristique ni de l un, ni de l autre. Afin d obtenir une grandeur qui caractérise les propriétés optiques de chaque substance, on convient de les comparer toutes à un même milieu de référence : le vide. On observe par conséquent comment la lumière se réfracte en passant du vide dans le milieu donné. Le rapport du sinus de l angle d incidence dans le vide (ivide) et de l angle de réfraction dans le milieu en question (rx) est, par définition, l indice de réfraction absolu (symbole : nx) de ce milieu. n sini vide X NX/vide =. sinrx Comme les indices de réfraction relatifs, les indices de réfraction absolus dépendent également de la couleur de la lumière (voir le paragraphe Dispersion des couleurs à la page 25). En particulier, si les deux milieux sont le vide, la lumière n est pas déviée, les deux angles sont égaux (ivide = rx) et il résulte évidemment que : nvide = 1. En formant un dioptre entre le vide et n importe quelle substance (solide!), il est possible d en déterminer directement l indice de réfraction absolu par voie expérimentale. Le tableau ci-dessous en donne leur valeur approximative pour quelques substances et pour la lumière jaune. Toutes les substances possèdent un indice de réfraction absolu supérieur à 1. Milieu vide 1 (exact) air 1,00029 eau 1,33 verre ordinaire 1,5 sulfure de carbone 1,63 diamant 2,42 n On peut démontrer (en utilisant le principe de retour inverse et la propriété des lames à faces parallèles) qu entre les indices de réfraction absolus n1 et n2 de deux milieux et leur indice de réfraction relatif N2/1 il existe la relation suivante : N n 2 2/1 =. n Loi de Snell a) Formulation de la loi En rassemblant la 3 e loi de Descartes (pour la réfraction) et la relation entre indices de réfraction absolus et relatifs ci-dessus, on trouve : sini sinr n = N = /1 2 n1 En effectuant le produit croisé des membres extrêmes, on trouve finalement : n sini = n sinr Version du

19 Cette forme symétrique de la loi de la réfraction porte le nom de loi de Snell. Elle permet de calculer exactement le chemin suivi par n importe quel rayon lumineux, à condition de connaître avec précision les indices de réfraction absolus n des milieux traversés. b) Exercices 13. Un rayon lumineux se propage dans l air et arrive sur un dioptre air/eau. Déterminez la manière dont il se réfracte s il tombe sous les incidences suivantes : 0, 30, 60, 90 0 ; 22,1 ; 40,6 ; 48, Déterminez dans quelle direction par rapport à l horizontale un plongeur dans l eau voit le Soleil qui se couche sur la mer (on supposera que la mer est horizontale sans vague et le Soleil ponctuel). 41, Un rayon lumineux qui se propage dans de la glycérine arrive sous un angle d incidence de 31,5 sur un dioptre avec de l eau. Il se réfracte sous un angle de réfraction de 35,3. Quel est l indice de réfraction absolu de la glycérine? 1, Une étoile est vue depuis le sol dans une direction inclinée de 60 au-dessus de l horizon. En négligeant la courbure de la Terre et en assimilant l atmosphère à une couche d air homogène, déterminer la direction réelle de l étoile et la valeur de la réfraction atmosphérique (angle dont le rayon a été dévié). En dehors de l atmosphère règne le vide. 59,990 ; 0,010 = Réfringence a) Définition On dit qu un milieu est plus réfringent qu un autre si son indice de réfraction absolu est supérieur à celui de l autre milieu. Inversement, on dit qu un milieu est moins réfringent qu un autre si son indice de réfraction absolu est inférieur à celui de l autre milieu. Toutes les substances sont légèrement plus réfringentes pour de la lumière bleue que pour de la lumière rouge (voir plus loin). Le vide est le milieu le moins réfringent (nvide = 1, nmatière > 1). b) Description qualitative de la réfraction Considérons un rayon lumineux qui passe d un milieu n 1 à un milieu n 2 plus réfringent (schéma de gauche). Dans ce cas : n2 > n1. Par conséquent, pour conserver l égalité de la loi de Snell, il faut que sin (r2) < sin (i1) et donc : r2 < i1. n2 > n1 i1 n2 < n1 i1 r2 r2 Conclusion : r2 < i1 r2 > i1 lorsqu un rayon lumineux passe d un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent, il se rapproche de la normale. De la même manière, on peut montrer (schéma de droite) que : lorsqu un rayon lumineux passe d un milieu plus réfringent dans un milieu moins réfringent, il s écarte de la normale. Version du

20 c) Exercices 17. Citez un milieu moins réfringent et un milieu plus réfringent que le verre (voir le tableau à la page 18). 18. D après les deux premiers schémas ci-contre, classez les milieux par réfringence croissante. Déterminez ensuite 1 comment le troisième rayon se réfractera. 2 n2 < n1 < n Poursuivez le trajet du rayon lumineux de manière vraisemblable dans les cas suivants : a) n1 < n2 < n3 ; b) n1 > n2 > n3 ; c) n1 > n2 = n3 ; d) n1 > n2 et n3 = n1 (une justification mathématique s impose). 1 3 n1 n2 n Voici trois rayons qui se propagent dans l air, vers l œil d un observateur, et qui proviennent d un point P situé sous l eau. a) Déterminez graphiquement de quel point P la lumière semble provenir pour cet observateur. b) Le point P réellement à l origine des rayons se situe-t-il au même endroit? c) Une piscine dont l eau est calme a-t-elle vraiment la profondeur qu elle semble avoir vue du bord, une profondeur plus grande ou une profondeur plus petite? Air Eau 2.8. Angles limites et réflexion totale a) Angle de réfraction limite Observation Reprenons les mesures des angles d incidence et de réfraction de la page 14 et le graphique de r2 en fonction de i1. Dans ce cas, le second milieu est plus réfringent que le premier. On constate que lorsque l angle d incidence augmente jusqu au voisinage de 90, l angle de réfraction augmente également, mais atteint une valeur maximale, voisine de 42. Généralisation La valeur maximale de l angle de réfraction est appelée angle de réfraction limite (rlim). C est l angle sous lequel se réfracte un rayon lumineux arrivant en incidence rasante (i1 = 90 ), lorsqu il passe d un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent (n2 > n1). Appliquons la loi de Snell dans ce cas (4 e schéma ci-contre, i1 = 90, r2 = rlim) : n1 n2 > n1 90 rlim n = sin 90 n sin 1 2 r lim sinr lim n1 = (pour n2 > n1). n 2 Lorsque de la lumière se propage d un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent, elle pourra toujours se réfracter (en se rapprochant de la normale), mais l angle de réfraction ne dépassera jamais l angle de réfraction limite. Version du

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