Chapitre 5: Croissance et Études de fonctions

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1 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 83 Chapitre 5: Croissance et Études de fonctions Prérequis: Généralités sur les fonctions, Calcul de dérivées Requis pour: Études de fonctions, Optimisation. 5.1 Croissance et etremum Introduction La dérivée d'une fonction f () en un point A a été définie comme la pente de la tangente à la courbe de f () au point A. Mais au-delà du calcul d'une tangente à une courbe, la dérivée nous fournit directement des informations sur la "forme" de la courbe de f (). Commençons par étudier ceci sur deu eemples d'introduction: 1 er eemple: On considère la fonction f () = En voici sa représentation graphique: En comparant les 2 graphiques, quelles constatations pouvez-vous faire?? = f() Déterminer la dérivée f () = Tracer le graphique de f () ci-dessous: = f '()

2 84 CHAPITRE 5 2 ème eemple: Soit la fonction f () = En voici sa représentation graphique: Déterminer la dérivée f '() = = f() 300 Tracer le graphique de f '() ci-contre: f () = f '() Ce 2 ème eemple confirme-t-il vos constatations précédentes?? On peut alors compléter l'encadré ci-dessous: Pour tout a vérifiant: f (a) < 0 alors la fonction f () est car f (a)> 0 alors la fonction f () est car. f (a) = 0 alors la fonction f () admet.. car

3 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 85 Eercice 5.1 : En déterminant graphiquement la pente de la tangente à = f () en différents points, représenter graphiquement la fonction f () correspondante. Eercice 5.2 : Les 2 premiers graphiques représentent deu fonctions f et g. Retrouver dans les 6 esquisses proposées en dessous la représentation graphique des dérivées correspondantes.

4 86 CHAPITRE 5 Définitions: Une fonction f () est dite croissante si lorsque augmente, f () aussi. Une fonction f () est dite décroissante si lorsque augmente, f () diminue Une fonction f () admet un maimum en a si pour toutes valeurs b dans un voisinage de a, f (a) > f (b) Une fonction f () admet un minimum en a si pour toutes valeurs b dans un voisinage de a, f (a) < f (b) Une fonction f () admet un replat en a si f (a) = 0 mais qu'il ne s'agit ni d'un minimum ou ni maimum. Remarques Les notions introduites ci-dessus sont locales: une fonction peut admettre un maimum et prendre en d'autres points des valeurs supérieures. De manière générale, un etremum est un maimum ou un minimum 5.2 Étude de la croissance d'une fonction. Méthode: Le signe de la dérivée permet de savoir pour quelles valeurs de la fonction est croissante, décroissante ou admet une tangente de pente nulle. Ainsi, il suffira d'effectuer le tableau de signes de f () pour obtenir la croissance de f ().

5 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 87 Eemples Étudier la croissance des 4 fonctions suivantes 1) f () = alors f () = croiss f O + 2 ème coordonnée du minimum: f (1/2) = 3 (1/2) 2 3 (1/2) + 7 = 25/4 Min (1/2 ; 25/4) 1/2 min 2) f () = ( 2)( + 3) 3 alors f () = 1( + 3) 3 + ( 2) [ 3( + 3) 2 (1) ] = ( + 3) 3 + 3( 2)( + 3) 2 = ( + 3) 2 [( + 3)+ 3( 2) ] = ( + 3) 2 (4 3) Voici le graphique de f() pour se convaincre du résultat obtenu ( + 3) f () croiss f -3 3/4 + O + + O replat O min 2 ème coordonnée du replat: f (-3) = (-5) (0) 3 = 0 Replat (-3 ; 0) 2 ème coordonnée du minimum: f (3/4) = (3/4 2) (3/4 + 3) 3 = -65,9 Min (3/4 ; -65,9) + +

6 88 CHAPITRE 5 Eemple à compléter 3) f ( ) = Eemple à compléter 4) f ( ) = ( 2)2 ( + 2) 2 Voici le graphique de f () pour se convaincre du résultat obtenu

7 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 89 Eercice 5.3 : Étudier la croissance des fonctions suivantes: 1) f () = ) f () = ) f () = ( + 2) 3 ( 3) 2 4) f () = ) f () = ( 1) ) f () = Plan d'étude d'une fonction. Plan: Complétons le plan d'étude étudié en 2 ème année avec les nouvelles notions rencontrées dans les chapitres précédents: 1) Recherche de l'ensemble de définition E D de f 2) Recherche des zéros de la fonction puis étude du signe de la fonction f 3) Calcul des limites au etrémités de l'ensemble de définition et recherche des asmptotes éventuelles (AV, AH, AO) avec la position de la courbe relativement à ses asmptotes 4) Calcul de la dérivée 5) Tableau de croissance 6) Calculs de points particuliers (min, ma, ord. à l'origine) 7) Tracé de la courbe représentative de f (format A4) Conseil: L'étude d'une fonction forme un tout. Soez particulièrement attentifs à la cohérence des résultats des différentes parties de cette étude. Si vous constatez une incohérence que vous n'epliquez pas, mentionnez-le en précisant le tpe d'incohérence et l'endroit probable où se situe l'erreur.

8 90 CHAPITRE 5 Eemple à compléter Étudier la fonction f () = 3 ( 1) 2

9 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 91 Eercice 5.4 : Étudier selon le plan d'étude les fonctions: 1) f () = ) f () = ) f () = ) f () = f () est factorisable à l'aide de 4) f () = ) f () = ) f () = ( +1)3 (2 ) 2

10 92 CHAPITRE 5 Eercice 5.5 : Représenter le graphe des fonctions dont on donne les éléments suivants : 1) f (0) = 1 f (2) = 3 f (3) = 1 f (3) = 9/2 f () ) f (0) = 2 f (2) = f ( 2) = 1 f () ) f (0) = 1 f (1) = 3/2 f (1) = 3/4, f (-3) = -7/2 f ( 3) = 3/4 = -1 est une asmptote f () ) = 0 est une asmptote horizontale f () f () (-1; -1) (1; 1) 5) = 0, = 4 et = 1 sont des asmptotes, f (3) = -4 et f (6) = -1/ f () f () Eercice 5.6 : On donne le graphe d une fonction f. Déterminer : l E D, le tableau de signes et les zéros de f, l équation de toutes les asmptotes, le tableau de croissance ainsi que les coordonnées approimatives des etrema. 1) 2)

11 CROISSANCE ET ETUDES DE FONCTIONS 93 Eercice 5.7 : Même consigne que l eercice précédent: 1) 2)

12 94 CHAPITRE 5

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