4. En déduire l existence d une asymptote oblique pour (C f ) en +. 3 x 2 + 2x 3, et on note (C f) sa courbe

Transcription

1 de la ère S à la TS. Exercice n : On donne la fonction f définie sur R par : = x 4 + x +. On appelle Γ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; ı, j).. Étudier la parité de f.. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 4. Dresser le tableau de variations de f. 5. Tracer la courbe représentative de f. Exercice n : Soit la fonction définie sur R {}, par = x + x +. x On note (C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. Montrer que (C f ) admet un centre de symétrie en un point d abscisse.. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. Que peut-on en déduire pour (C f )?. Déterminer trois réels a, b et c tels que : = ax + b + x x. 4. En déduire l existence d une asymptote oblique pour (C f ) en Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 6. Dresser le tableau de variation de f. 7. Tracer (C f ). Exercice n : On donne la fonction f définie par = représentative dans un repère orthonormé.. Déterminer le domaine de définition D f de la fonction f. x + x, et on note (C f) sa courbe. Montrer que la droite d équation x = est axe de symétrie de (C f ). Dans la suite de l exercice, la fonction f sera étudiée sur [; [ ]; + [.. Déterminer les limites en et la limite en +. Que peut-on en déduire pour (C f )? 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser le tableau de variations de f. 6. Tracer (C f ). L.BILLOT DDL

2 de la ère S à la TS. Exercice n 4: On donne la fonction f définie par = représentative dans un repère orthonormé.. Déterminer le domaine de définition de f. x x x +, et on note (C f) sa courbe. Déterminer les limites de f aux bornes du domaine, en déduire l existence d une asymptote horizontale ( ) pour (C f ).. Étudier les positions relatives de (C f )et de ( ). 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser le tableau de variations de f. 6. Tracer (C f ). Exercice n 5: On donne la fonction f définie par = x + 7 et on note (C x f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.. Montrer que la droite d équation y = x est asymptote oblique à la courbe en + et en. 4. (a) Justifier l équivalence : x x 7. (b) Calculer la fonction dérivée de f. (c) Étudier le signe de f. 5. Dresser le tableau de variations de f. 6. Tracer la courbe représentative de f. Exercice n 6: On donne la fonction f définie sur R par = cos x cosx et on note (C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. (a) Montrer que f est π périodique. (b) Montrer que f est paire.. (a) Montrer que la fonction dérivée de f s écrit : f (x) = sin x( cosx). (b) Étudier le signe de f sur [0; π].. Dresser le tableau de variations de f sur [0; π]. 4. Tracer (C f ) sur un intervalle de longueur 4π. L.BILLOT DDL

3 de la ère S à la TS. Exercice n 7: On donne la fonction f définie sur R par = représentative dans un repère orthonormé.. Montrer que f est définie ssi x π + kπ avec k Z.. Montrer que f est π périodique. Pour la suite de l exercice, on étudiera la fonction sur l intervalle. Déterminer les limites de f en : sin x sin x et on note (C f) sa courbe ] π ; π [. (a) π par valeurs supérieures, (b) π par valeurs inférieures, 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser le tableau de variations de f ] 6. Tracer (C f ) sur π ; 5π [. Exercice n 8: On donne la fonction f définie sur R par x x et on note (C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. Montrer que f est paire.. Donner l expression de f sans valeur absolue sur R + puis sur R.. Étudier la dérivabilité de f en Étudier la fonction f sur R Tracer (C f ) sur R. Exercice n 9: On donne la fonction f définie sur R par x x et on note (C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. Donner l expression de f sans valeur absolue sur [; [ et sur ] ; ].. Étudier la dérivabilité de f en.. Étudier la fonction sur ] ; ]. 4. Étudier la fonction sur [; + [. 5. Dresser le tableau de variations de f sur R. 6. Tracer la courbe (C f ). L.BILLOT DDL

4 de la ère S à la TS. Définition : soit x un nombre réel, on appelle partie entière de x et on note E(x), le plus grand entier inférieur ou égal à x. Exemples : E(5, 4) = 5 E( ) = E(4) = 4 E(, 5) =. Exercice n 0: Tracer la courbe représentative de la fonction partie entière : x E(x) sur l intervalle [, [. Exercice n : On définit sur R la fonction f par : = x E(x).. Montrer que E est périodique de période.. Donner l expression de f sur [0, [ puis sur [, [.. Tracer la courbe représentative de f sur [, [. L.BILLOT 4 DDL

5 de la ère S à la TS. Exercice n :. Pour tout x R, x R. (On peut aussi dire que le domaine de définition est centré en 0.) soit x R, f( x) = ( x) 4 + ( x) + = x 4 + x + =, donc f est paire. lim = lim x + x + x4 = et par symétrie : lim =. x. f est dérivable sur R et pour tout x R, on a : f (x) = x + 4x = 4x( x ). D une part 4x 0 x 0, d autre part x 0 x [; ] (règle du signe du trinôme), ce qui donne : 4. x 0 + 4x x + 0 f (x) x 0 + f (x) Dans un graphique doivent apparaître toutes les droites dont il a été question dans le sujet, auquel s ajoutent les tangentes horizontales. L.BILLOT 5 DDL

6 de la ère S à la TS. Exercice n :. Le domaine de définition est centré en, de plus pour tout h 0, on a : [f( + h) + f( h)] = [ ( + h) + ( + h) + + ( ] h) + ( h) + + h h = [ ] + h + h h + h + h h = [ + h + h + h h ] = h 6h h = Donc le point Ω de coordonnées (; ) est centre de symétrie de (C f ). x. lim = lim x + x + x = lim x + lim(x + x + ) = et lim x lim x < =. x > x = + et par symétrie, lim =. x = +, et par symétrie : x = 0 +, donc lim x >. Pour tout x, ax + b + c (ax + b)(x ) + c = = ax + (b a)x + c b, x x x en identifiant le numérateur de cette fraction avec celui de, on obtient : a = b a = c b = a = b = c =, donc = x + + x. 4. lim = 0, donc lim ( (x+)) = 0 et la droite (d) d équation y = x+ x + x x + est asymptote à la courbe en +. Puisque Ω (d), nous pouvons déduire que (d) est aussi asymptote à (C f ) en. 5. Pour x, f est dérivable comme quotient de deux polynômes, et : f (x) = (x + )(x ) (x + x + ) = x x. (x ) (x ) Pour tout x, (x ) > 0, donc f (x) est du signe de x x, polynôme ayant pour racines et + qui, d après la règle du signe du trinôme est positif ssi x ] ; [ ] + ; + [. 6. x f (x) Remarque : il était possible de ne faire que la moitié du tableau de variations L.BILLOT 6 DDL

7 de la ère S à la TS. Exercice n :. f est définie ssi x + x 0 ssi x et x, donc D f = R { ; }.. D f est symétrique par rapport à, et pour tout h ±, on a : f( + h) = ( + h) + ( + h) = h 4, et f( + h) = ( + h) + ( + h) = h 4. Donc f( + h) = f( h) et la droite d équation x = est axe de symétrie de (C f ).. lim x + x = 0, donc lim =, d autre part :lim x + x = 0 +, x < x < x > = +. donc lim x > (C f ) admet une asymptote verticale d équation x =. Remarque : Le signe (0 + ou 0 ) est facile à déterminer ici, cela serait plus compliqué avec par exemple : x x. lim x + x + x = +, donc lim = 0, (C f) admet une asymptote horizontale d équation y = 0 en +. x + 4. f est dérivable sur D f, et pour tout x D f : f (x + ) (x) = (x + x ). Le dénominateur étant strictement positif, f (x) 0 (x + ) 0 x. 5. x + f (x) L.BILLOT 7 DDL

8 de la ère S à la TS. Exercice n 4:. Le polynôme x x + a pour discriminant = < 0, donc ce polynôme ne s annule pas sur R et le domaine de définition de f est R. x x. lim = lim =, de même lim = lim x + x + x x x x =, donc (C f) admet une asymptote horizontale d équation y = en + et en.. Pour étudier les positions relatives de (C f )et de ( ), j étudie le signe de. x = x x + = x x x +. Pour tout x R, x x + > 0, donc 0 x 0 x. Donc (C f ) est au dessus de son asymptote sur [, + [ et elle est en dessous sur ] ; ]. 4. f est dérivable sur R et f (x) = x(x x + ) x (x ) x( x) = (x x + ) (x x + ). (x x+) étant strictement positif sur R, f (x) 0 x( x) 0 x [0; ]. 5. x 0 + f (x) L.BILLOT 8 DDL

9 de la ère S à la TS. Exercice n 5:. f est définie ssi x 0 ssi x 0, donc D f = R. x. lim = lim x x } lim x 0 (x + 7) = 7 lim x 0 x = 0 + x = lim x x =, de même lim = lim x = +. x + x + donc lim x 0 = +. (à gauche et à droite). Pour tout x 0, x = x + 7 x = 7 7 x x, or lim x + x = lim 7 x x = 0, donc la droite d équation y = x est asymptote oblique à la courbe en + et en. 4. (a) La fonction x x étant croissante sur R, on a : x x x 7. (b) f est dérivable sur R et pour tout x 0, f (x) = 6x x (x + 7) 4x = x(x 7) 4x 4x 4 x 4 (c) x 0 + x x x f (x) x 0 + f (x) L.BILLOT 9 DDL

10 de la ère S à la TS. Exercice n 6:. Le domaine de définition est R, donc pour tout x R, x + π R et x R. (a) Pour tout x R, f(x+π) = cos(x+4π) cos(x+π) = cos x cosx =, donc f est périodique, de période π. (b) Pour tout x R, f( x) = cos( x) cos( x) = cos(x) cosx =, donc f est paire.. (a) f est dérivable sur R et pour tout x R : f (x) = sin x + sin x = sin x cosx + sinx = sin x( cosx + ). (b) Pour tout x ]0; π[, sin x > 0, donc f (x) est du signe de cosx. Remarque : on a f (0) = f (π) = 0. Or, pour x [0, π], cosx 0 cosx x [ π ; π ]. x 0 π π f (x) π π π π π π π π. L.BILLOT 0 DDL

11 de la ère S à la TS. Exercice n 7:. f est définie ssi sin x 0 ssi sin x ssi x π + kπ avec k Z.. pour tout x π sin(x + π) + kπ, f(x + π) = sin(x + π) = sin x =, donc f sin x est π périodique.. (a) lim x > π sin x = et lim x > π (b) lim sin x = et lim x < π x < π 4. Pour tout x f (x) = ] π ; π sin x = 0 + donc lim x > π = + sin x = 0 + donc lim = + x < π [, f est dérivable et cosx( sin x) sin x( cos x) ( sin x) = cosx ( sin x). ( sin x) > 0, donc f (x) 0 cosx 0 x ] π ; π ]. 5. x π π f (x) π 5 4 π π π π π π π π 5π π 7π L.BILLOT DDL

12 de la ère S à la TS. Exercice n 8:. Le domaine de définition est R. Pour tout x R, f( x) = ( x) x = x x =.. Si x 0 : = x x et si x 0 : = x ( x) = x + x f(0). lim x 0 > x 0 f(0) lim x < 0 x x = lim x 0 > x x + x = lim x < 0 = lim x =. x 0 > = lim x + =. x 0 < x 0 x La limite à gauche et la limite à droite étant différente, la limite du taux d accroissement n existe pas et f n est pas dérivable en 0. (On parle ici de demi-tangentes à droite et à gauche de cœfficients directeurs et ). 4. Sur R +, = x x, de dérivée f (x) = x, négative sur [ [ ; +. Ce qui donne sur [0; + [ : 5. x 0 + f (x) [ 0; ] et positive sur 5 4 Remarque : La fonction valeur absolue existe sur vos calculatrice sous le nom de Abs. (Menu math sur TI, Optn puis Num sur Casio) L.BILLOT DDL

13 de la ère S à la TS. Exercice n 9:. Sur [; [, = x x et sur ] ; ], = x x. f() x x. lim = lim = lim x > x x > x x > et lim x < f() x = lim x < x x x = lim x < =. x x x = lim + x < x = +. Donc f n est pas dérivable en. En fait, une seule de ces limites était suffisante, mais j ai mis les deux pour que vous puissiez apprécier le changement de signe à la dernière étape de la deuxième limite.. Sur ] ; ], = x x. On a : lim x = +, donc lim =. x x Et f (x) = x = + qui est positif sur ] ; [, donc f est x croissante sur cet intervalle. 4. Sur [; + [, = x x. 5. On a : = x x ( x x ) = x ( ) x. ( x x = x car x > 0) Or lim x + x = 0, donc lim = +. x x + Et f (x) = x = x. x Pout tout x ]; + [, x > 0 et x 0 x x 4 x x + 4 f (x) L.BILLOT DDL

14 de la ère S à la TS. Exercice n 0: Ce type de fonction porte le nom de fonction en escalier. Exercice n :. Pour tout x R, E(x + ) = E(x) +. (Attention E(x + y) n est pas forcément égal à E(x) + E(y)). Ce qui donne f(x + ) = (x + ) E(x + ) = x + E(x) = x E(x) =. Donc f est périodique.. Pour x [0, [, E(x) = 0, donc = x E(x) = x. Pour x [, [, E(x) =, donc = x E(x) = x.. = x E(x) est la partie fractionnaire (ou décimale) de x L.BILLOT 4 DDL