EXERCICE n o 1 (problème France juin points) Soitf la fonction définie sur l intervalle ] 0 ; + [ par. f(x) = e x lnx + ex x.

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1 EXERCICE n o (problème France juin 7 - points) Soitf la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f(x) = e x lnx + ex x. On appellec la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal (O; ı ; j ) d unités graphiques cm sur l axe des abscisses et cm sur l axe des ordonnées. Partie A L objet de cette première partie est l étude des limites de la fonctionf aux bornes de son ensemble de définition.. Déterminer la limite def en +.. (a) Montrer que pour tout nombre réel strictement positifx,f(x) = ex (x lnx + ). x On rappelle que limx lnx =. En déduire la limite def en. x (b) Montrer que la courbec admet une asymptoteddont on donnera une équation. Partie B : étude d une fonction intermédiaire Soitg la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par g(x) = lnx + x x. (a) On désigne parg la dérivée de la fonctiong. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx,g (x) = x x + x. (b) Étudier le signe deg (x). En déduire que la fonctiongest strictement croissante sur l intervalle ] ; + [. L étude des limites n est pas demandée. [ ]. (a) Démontrer que l équation g(x) = admet une solution unique α dans l intervalle ;. (b) Donner un encadrement d amplitude deα.. Déduire des questions B et B le signe deg(x), pourxappartenant à l intervalle ] ; + [. Partie C : étude des variations de la fonctionf et construction de la courbe associée. (a)f désignant la dérivée def, calculerf (x) et montrer quef (x) = e x g(x), pour tout nombrex appartenant àl intervalle ] ; + [. (b) En déduire le signe def (x) sur l intervalle ] ; + [.. (a) Dresser le tableau de variations de la fonctionf. (b) Calculer une valeur approchée à près def(α), en prenant, 6 pour valeur approchée deα.. (a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. x,,,7,,,7,, f(x) à près (b) Construire l asymptotedet la courbec pourxappartenant à l intervalle ] ;, ]. Partie D : calcul d aire. Montrer que la fonctionf, définie sur l intervalle ] ; + [ parf(x) = e x lnx est une primitive def.. On désire calculer l aire de la partiee du plan comprise entre la courbec, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = et x =. (a) Hachurer la partiee sur le dessin. (b) Déterminer la valeur exacte de l aire dee en unités d aires, puis en cm.

2 EXERCICE n o (Problème France juin - points) L objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur la page annexe à joindre à la copie, puis d étudier certaines propriétés de cette fonction. Partie A Sur la page annexe, on a représené dans le plan muni d un repère orthonormal (O; ı ; j ) d unité graphique cm, la courbec d une fonctionf définie sur R. La courbec passe par les points de coordonnées A(; ) et B(, ; ). Donner les valeurs def() et def(, ).. On suppose que pour tout nombre réelx,f(x) s écrit sous la forme suivante : f(x) = (ax +b)e x +, oùaetbsont deux nombres réels. Utiliser les résultats de la question pour déterminer la valeur des nombres réelsaetb Partie B Dans toute la suite du problème on étudie la fonctionf définie sur R par f(x) = (x + )e x +.. Déterminer la limite def en.. (a) Montrer que pour tout nombre réelx:f(x) = x e x + e x +. (b) Déterminer alors la limite def en +. En déduire que la courbec a une asymptote (D) dont on donnera une équation. (c) Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbec au point B. (d) Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbec par rapport à la droite (D).. Prouver que la dérivéef de la fonctionf est définie pour tout nombre réelxpar : f (x) = ( x )e x.. Étudier le signe def (x) sur R, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf.. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbec au point A. Partie C On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe dans un repère orthonormal d unité graphique cm.. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbec au point E d abscisse (, ). Tracer sur la feuille annexe la tangente en. Compléter cette figure en représentant l asymptote (D) et la tangente (T). Hachurer la partie du plan comprise entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation x = etx =.. Montrer que la fonctionf définie par F(x) = ( x )e x +x est une primitive de la fonctionf sur R.. SoitAl aire en cm de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte dea, puis en donner une valeur arrondie au centième.

3 EXERCICE n o (Problème nouvelle calédonie novembre 8 - points) Le planp est rapporté au repère orthonormal (O; ı ; j ).(L unitégraphiqueestcm.) Le but du problème est l étude de la fonctionf définie sur l intervalle [ ; + [ par : f(x) = ex + e x +x. On notec la courbe représentative de la fonctionf dans le planp. I - Étude d une fonction auxiliaire On noteg la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : g(x) = e x (x ).. Déterminer la limite de la fonctiongen +.. Étude des variations deg (a) Calculer la fonction dérivéeg de la fonctionget étudier son signe sur l intervalle [ ; + [. (b) Dresser le tableau de variations de la fonctiongsur l intervalle [ ; + [.. Résolution de l équation g(x) = (a) Démontrer que l équation g(x) = possède une unique solution, notée α, appartenant à l intervalle [ ; ]. (b) Donner un encadrement deαd amplitude.. Déterminer le signe deg(x) pourxappartenant à l intervalle [ ; + [. II - Étude de la fonctionf. Étude de la limite en +. (a) Démontrer que pour tout nombre réelxappartenant à l intervalle [ ; + [, f(x) = + e x +xe x. (b) En déduire la limite def en + et interpréter graphiquement cette limite.. Étudier la position relative de la courbec et de la droited d équationy= sur l intervalle [ ; + [.. Étude des variations def (a) On notef la fonction dérivée de la fonctionf. Démontrer que, pour tout réelxappartenant à l intervalle [ ; + [,f (x) = g(x) (e x oùg est la fonction définie en. +x) (b) Déduire de la question I.., le sens de variations def sur l intervalle [ ; + [.. Construire la courbec et la droiteddans le repère. III - Calcul d aire On noteb l aire, exprimée en cm du domaine limitée par la courbec, la droited, l axe des ordonnées et la droite d équation x =.. Hachurer sur le graphique le domaineb.. Déterminer une primitivef de la fonctionf sur l intervalle [ ; + [.. En déduire la valeur exacte deb, puis une valeur approchée arrondie au mm.

4 EXERCICE n o (Problème France septembre 8-9 points) Étude de l énergie fournie par le rayonnement solaire Le but de ce problème est d étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est N et l altitude 9 m. Dans les questions.,. et., on étudie le rayonnement solaire un mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d une surface de m.. On suppose d abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m est donné en fonction de l inclinaison θ du soleil (θ étant exprimé en degrés) parp(θ) = e,8 sin(θ+,6). On attire l attention du candidat quant à l utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés. heure solaire 6 h 7 h 8 h 9 h h h h h h h 6 h 7 h 8 h inclinaison θ du soleil (en ),,7 7,7 7,7,7, rayonnement solaire 7 86 p(θ) (en W/m ). On veut maintenant modéliser l évolution du rayonnement solaire en fonction de l heure. On définit la variabletcomme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6 heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l après-midi, on se limitera à faire varier t dans l intervalle [ ; 6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6 h et h. On admet que le rayonnement solaire (en W/m ) peut être exprimé en fonction detpar : f(t) = 86 ( e,6t). (a) Compléter le duplicata du tableau ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie). heure solaire 6 h 7 h 8 h 9 h h h h temps t (en heures) 6 rayonnement so- laire 7 8 f(t) (en W/m ) (b) On désigne parf la dérivée de la fonctionf. Calculerf (t) et étudier son signe sur l intervalle [ ; 6]. (c) En déduire le tableau de variations de la fonctionf. (d) Tracer la courbe représentativecde la fonctionf dans un repère orthogonal ( cm pour une unité en abscisse et cm pour unités en ordonnée). (e) Donner une équation de la tangentet à la courbec au point d abscisse. TracerT dans le même repère que C. (f) Les dernières lignes des tableaux et vous paraissent-elles cohérentes?. La quantité d énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par : 6 6 ( E = f(t) dt = 7 e,6t) dt. Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l unité.. On s intéresse maintenant à l énergie solaire reçue sur une année. Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à 6 kwh, toujours pour une surface de m. (a) Vérifier que cette valeur correspond environ à 6 journées telles que celle étudiée aux questions.,. et.. (b) On suppose qu un dispositif de production d énergie électrique reçoit l énergie solaire sur une surface de km et qu il convertit % de cette énergie en électricité. Combien d habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu un habitant consomme en moyenne 7 kwh/an d énergie électrique domestique (hors chauffage)?

5 T ale STI Etude de fonctions exponentielles Fiche n Annexe du problème à rendre avec la copie A B - - O 6 - ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME ( à rendre avec la copie) heure solaire 6 h 7 h 8 h 9 h h h h h h h 6 h 7 h 8 h inclinaison θ du,,7 7,7 7,7,7, soleil (en ) rayonnement 7 86 solaire p(θ) (en W/m ) Tableau heure solaire 6 h 7 h 8 h 9 h h h h temps t (en 6 heures) rayonnement solaire 7 8 f(t) (en W/m ) Tableau