Algèbre linéaire. Cours 3. 1 Valeurs propres et vecteurs propres. Soit V un espace vectoriel sur un corps K et T un opérateur linéaire sur

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1 Algèbre linéaire Cours 3 Valeurs propres et vecteurs propres V. Soit V un espace vectoriel sur un corps K et T un opérateur linéaire sur Définition. Un scalaire λ K est une valeur propre de T s il existe un vecteur v V non nul tel que T (v = λv. Le vecteur v est alors appelé un vecteur propre de T correspondant à la valeur propre λ. Exemple. Considérons l opérateur différentiel D = d sur l espace des dt fonctions différentiables R R. Alors, pour tout a R différent de zéro, la fonction e at est un vecteur propre de D correspondant à la valeur propre a. En effet, D(e at = deat dt = ae at. Soit A une matrice carrée avec les éléments dans un corps K. Elle peut être vue comme un opérateur linéaire sur K n. Les notions de valeurs propres et vecteurs propres se transposent donc sur les matrices. Définition 3. Un scalaire λ K est une valeur propre de A s il existe un vecteur v K n non nul tel que Av = λv. Le vecteur v est alors appelé un vecteur propre de A correspondant à la valeur propre λ. Propriété 4. Les vecteurs propres correspondant à la même valeur propre λ forment un sous-espace vectoriel de K n : si u et v sont des vecteurs propres, alors, quel que soit k K, les vecteurs ku et u + v sont aussi des vecteurs propres correspondant à λ.

2 Démonstration. Nous avons A(ku = kau = kλu = λ(ku, A(u + v = Au + Av = λu + λv = λ(u + v. Par définition, ku et u + v sont des vecteurs propres de A correspondant à la valeur propre λ. Définition 5. Le polnôme caractéristique de A est défini de la manière suivante : p A (λ = det(a λi. ( Exemple 6. Le polnôme caractéristique de A = est 3 p A (λ = λ 3 λ = ( λ( λ 3 = λ 3λ 4. Proposition 7. Un scalaire λ est une valeur propre de A si, et seulement si, il est une racine du polnôme caractéristique de A : p A (λ =. Démonstration. Soit λ une valeur propre de A. Par définition, il existe un vecteur non nul v tel que Av = λv. Ceci est équivalent à (A λiv =. Puisque cette équation possède une solution v, la matrice est nécessairement singulière ce qui implique det(a λi =. Supposons maintenant que λ vérifie p A (λ = det(a λi =. Cela implique qu il existe une solution non nulle v à l équation (A λiv = Av = λv. Par définition, λ est donc une valeur propre de A et v est un vecteur propre correspondant. ( Exemple 8. Trouvons les valeurs propres de la matrice A =. Nous 3 avons déjà trouvé son polnôme caractéristique. Les valeurs propres sont les racines de l équation λ 3λ 4 =. Ce sont donc λ = 4 et λ =.

3 ( x Trouvons maintenant les vecteurs propres correspondants. Soit v = un vecteur propre correspondant à λ = 4. Il vérifie l équation ( ( ( 3 x =. 3 Ce sstème d équations sur x et est équivalent à une équation 3x =, ( x d où = 3x. Tous les vecteurs propres sont donc de la forme v = 3 ( x Par exemple, en choisissant x =, on obtient v =. Tous les autres 3 vecteurs propres correspondant à( λ = 4 sont des multiples de v. x De la même manière, si w = est un vecteur propre correspondant à λ =, alors ( 3 3 ( x = ( On obtient x+ = d où = x. Tous les vecteurs ( propres correspondant à la valeur propre sont des multiples de w =. ( Exemple 9. Considérons la matrice A =. Son polnôme caractéristique est égal à p A (λ = λ λ = λ +. L équation λ + n a pas de racines dans R. Par conséquent, si la matrice A est considérée comme une matrice sur R, alors elle n a pas de valeurs propres. Si A est une matrice sur C, alors ses valeurs propres sont λ = i et λ = i. Cet exemple montre l importance du corps K dans la notion de valeur propre. Proposition. Des matrices semblables ont le même polnôme caractéristique et, par conséquent, les mêmes valeurs propres. Démonstration. En effet, si A = P BP où P est une matrice inversible, alors p A (λ = det(a λi = det(p BP λi = det(p (B λip. = det(p det(b λi det(p = det(b λi = p B (λ.. 3

4 Remarque. La réciproque n est pas vraie : si A et B ont le même polnôme caractéristique, elles ne sont pas nécessairement semblables. Considérons, par exemple, les deux matrices suivantes : Nous avons A = ( et B = p A (λ = p B (λ = λ. ( Montrons que A et B ne sont pas semblables. En effet, quelque soit une matrice P, ( P BP = A. La remarque suivante permet d écrire ( directement le polnôme caractéristique d une matrice. Si A = a a, alors a a p A (λ = λ (a + a λ + (a a a a = λ tr(aλ + det(a, ( où tr(a est la trace de A définie comme la somme de ces éléments diagonaux. On peut généraliser cette propriété à des matrices d ordre arbitraire n n. Soit k n. Considérons les sous-matrices k k de A dont les éléments diagonaux se trouvent sur la diagonale principale de A. Notons M k la somme des déterminants de toutes ces matrices. Alors, p A (λ = ( n λ n +( n M λ n +( n M λ n + +( M n λ+m n. Notons que M = tr(a et M n = det(a. Si n =, on obtient bien la formule (. Pour des matrices 3 3, la formule prend la forme suivante :. p A (λ = λ 3 + tr(aλ M λ + det(a, où M = a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 3 a 3 a 33. Diagonalisation Nous sommes prêts à formuler une condition nécessaire et suffisante pour qu une matrice A soit diagonalisable (semblable à une matrice diagonale. 4

5 Théorème. Une matrice carrée n n A est semblable à une matrice diagonale Λ si et seulement si A a n vecteurs propres linéairement indépendants. Dans ce cas, les éléments diagonaux de Λ sont les valeurs propres. Démonstration. Supposons que A possède n vecteurs propres indépendants. Par définition des valeurs propres, nous avons : Av = λ v, Av = λ v,... ( Av n = λ n v n. Si on note P la matrice dont les colonnes sont les vecteurs v,..., v n et Λ la matrice diagonale avec les valeurs propres λ,..., λ n sur la diagonale, on peut écrire ces égalités sous forme matricielle : AP = P Λ. Puisque les vecteurs propres sont indépendants, la matrice P est inversible. En multipliant les deux côtés par P à droite, on obtient A = P ΛP. Par définition, la matrice A est semblable à la matrice diagonale Λ. Pour montrer la réciproque, supposons qu il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale Λ telles que A = P ΛP. Ceci est équivalent à AP = P Λ. Si v,..., v n sont les colonnes de P, alors on peut écrire la dernière égalité matricielle sous la forme (. Par définition, v,..., v n sont des vecteurs propres correspondant aux valeurs propres λ,..., λ n, les éléments diagonaux de Λ. Nous avons donc montré que si A est semblable à une matrice diagonale, elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants. ( Exemple 3. Considérons à nouveau la matrice A =. Nous avons 3 trouvé ( ses valeurs propres ( (4 et et les vecteurs propres correspondants : v = et w =. On vérifie directement que v et w sont linéairement indépendants. Par conséquent, d après le théorème, la matrice A 3 est diagonalisable. Plus précisément, A = ( 3 = ( 3 ( 4 ( 3. 5

6 Comment peut-on vérifier si une matrice donnée a n vecteurs propres indépendants? Nous allons établir des propriétés qui permettrons de répondre à cette question. Proposition 4. Des vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur le nombre de vecteurs k. Si k =, le vecteur v est linéairement indépendant puisqu il est non nul. Supposons que cette propriété est vraie pour k vecteurs propres correspondants à k valeurs propres distinctes. Prenons maintenant k vecteurs propres v,..., v k correspondant à des valeurs propres distinctes λ,..., λ k. Pour montrer qu ils sont indépendants, supposons que α v + + α k v k = (3 et montrons que tous les scalaires α i sont nuls. En multipliant cette égalité par A, on obtient α Av + + α k Av k = α λ v + + α k λ k v k =. On peut par ailleurs multiplier (3 par λ k : α λ k v + + α k λ k v k =. En soustraant cette égalité de la précédente, on obtient α (λ λ k v + α (λ λ k v + + α k (λ k λ k v k =. Puisque v,..., v k sont indépendants d après l hpothèse de récurrence, tous les coefficients α i (λ i λ k sont nuls. Comme les valeurs propres sont distinctes, nous avons (λ i λ k et donc α i =, pour i =,..., k. En substituant ces valeurs dans (3, on obtient α k v k =, d où α k =, puisque v k est un vecteur propre et donc différent de zéro. La proposition est démontrée. Corollaire 5. Si A possède n valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable. 6

7 Le cas de n valeurs propres distinctes n est pas le seul où la matrice est diagonalisable. Considérons la matrice suivante : 3 A = 3 Son polnôme caractéristique est le suivant : 3 λ p A (λ = 3 λ λ = (3 λ ( λ, puisque la matrice est triangulaire et donc son déterminant est égal au produit des éléments diagonaux. Nous en déduisons que les valeurs propres de A sont λ = 3 et λ =. Trouvons les vecteurs propres correspondant à λ = 3. Soit v = ( x z un tel vecteur. Nous avons donc le sstème suivant pour déterminer x, et z : x z = On voit que ce sstème est équivalent à une seule équation z = z =. On en déduit que tous les vecteurs propres correspondant à la valeur propre 3 ont la forme ( x avec x et arbitraires. On peut donc trouver deux vecteurs propres indépendants qui correspondent à λ = 3 : v =, v = Trouvons maintenant les vecteurs propres correspondant à λ =. Si v = ( x z, alors Ce sstème est équivalent à deux équations : x z x z =, z =. 7 =

8 On obtient x = z et = z, donc les vecteurs propres sont de la forme v = ( z z z avec z arbitraire. Ils sont donc tous des multiples de v 3 = Notons que le vecteur v 3 est indépendant de tous les vecteurs propres correspondant à λ = 3 d après la proposition 4. Par conséquent, les vecteurs v, v et v 3 sont trois vecteurs propres linéairement indépendants et donc A est diagonalisable. Plus précisément, A = P ΛP avec Λ = 3 3 et P = Résumons cet exemple : il existe des matrices qui n ont pas n valeurs propres distinctes mais qui sont tout de même diagonalisables. Remarque 6. La matrice P n est pas unique. En effet, on pourrait choisir d autres vecteurs propres sans changer le résultat (à condition de choisir v et v indépendants. Par exemple, ce qui donne v =, v = P = , v 3 = La matrice Λ est unique aux permutations des éléments diagonaux près. C est-à-dire, les éléments diagonaux sont toujours 3, 3 et mais leur ordre peut être différent. Par exemple, A est également semblable à la matrice diagonale suivante : 3 Λ = 3 Pour obtenir une matrice P correspondante, ( il faut changer de la même manière l ordre des colonnes de P : P = v v 3 v. Par exemple, 5 P = ou P = 3 Avec chacune de ces matrices, on a A = P Λ P., 8