Des ensembles linéairement indépendants; les bases Algèbre linéaire I MATH 1057 F

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Gauthier Morin
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1 Des ensembles linéairement indépendants; les bases Algèbre linéaire I MATH 157 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 9 mars 211

2 (In)dépendance linéaire Les définitions de la page 65 s étendent à un espace vectoriel quelconque V. Définition Un ensemble indicé de vecteurs {v 1,v 2,...,v p } de V est dit linéairement dépendant s il existe des poids c 1, c 2,..., c p non tous nuls tels que c 1 v 1 + c 2 v c p v p =. Définition Un ensemble indicé de vecteurs {v 1,v 2,...,v p } de V est dit linéairement indépendant si l équation vectorielle n admet que la solution triviale. x 1 v 1 + x 2 v x p v p =

..,v p } de V est dit linéairement dépendant s il existe des poids c 1, c 2,.

3 Rappel : (in)dépendance linéaire dans IR n et éq. Ax = (p. 66) Au lieu de considérer la dépendance ou l indépendance linéaire d un ensemble de vecteurs S = {v 1,v 2,...,v p } de IR n, on considère les solutions de l équation matricielle Ax = où les colonnes de A sont les vecteurs de S A = [ v 1 v 2 v p ]. Théorème Les colonnes d une matrice A sont linéairement indépendantes si et seulement si l équation Ax = n admet que la solution triviale.

..,v p } de IR n, on considère les solutions de l équation matricielle Ax = où les colonnes de A sont les

4 Dépendance linéaire dans un espace vectoriel (p. 237) Dans un espace vectoriel différent de IR n, on ne peut pas former la matrice A dont les colonnes sont des vecteurs. Pour le reste, on a les mêmes résultats sur la dépendance ou l indépendance linéaire. Théorème Si le vecteur nul est l un des vecteurs d un ensemble S = {v 1,v 2,...,v p } de V, alors l ensemble est linéairement dépendant. Théorème Un ensemble qui ne contient qu un vecteur disons v est linéairement indépendant si et seulement si v n est pas le vecteur nul.

Pour le reste, on a les mêmes résultats sur la dépendance ou l indépendance linéaire.

5 Dépendance linéaire dans un espace vectoriel (p. 237) Théorème Un ensemble de deux vecteurs {v 1,v 2 } est linéairement dépendant si et seulement si l un des vecteurs est un multiple scalaire de l autre. L ensemble est linéairement indépendant si et seulement si aucun des deux vecteurs n est un multiple scalaire de l autre. Théorème (4) Un ensemble indicé {v 1,...,v p } de deux vecteurs ou plus, avec v 1, est linéairement dépendant si et seulement si un vecteur v j (avec j > 1) est une combinaison linéaire des vecteurs précédents v 1,..., v j 1.

6 Dépendance linéaire dans un espace vectoriel (p. 237) Exemples : {[ 1 2 a. 3 4 b. {[ ] [, ] [ 3 2, 3 ] [ 3 2, 3 ]} ]} c. L ensemble de polynômes {p 1,p 2,p 3 } de P 2 définis par p 1 (t) = t, p 2 (t) = t 2 et p 3 (t) = 4t + 2t 2.

{[ 1 2 3 4 ] [, ] [ 3 2, 3 ] [ 3 2, 3 ]} ]} c.

7 Base d un espace vectoriel (p. 238) Définition Si v 1,v 2,...,v p sont des vecteurs d un espace vectoriel, l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de v 1,v 2,...,v p est noté L{v 1,v 2,...,v p }. Autrement dit, L{v 1,v 2,...,v p } est l ensemble de tous les vecteurs qui peuvent être écrits sous la forme c 1 v 1 + c 2 v c p v p où c 1, c 2,..., c p sont des scalaires. Définition Soit H un sous-espace d un espace vectoriel V. Un ensemble indicé de vecteurs B = {b 1,...,b p } de V est une base de H si 1. B est un ensemble linéairement indépendant et si 2. H = L{b 1,...,b p }.

8 Base canonique (p. 238) Définition Soit e 1,...,e n les colonnes de la matrice unité d ordre n. C est-à-dire e 1 = 1., e 2 = 1.,...,e n =. 1. L ensemble {e 1,...,e n } porte le nom de base canonique de IR n. Preuve dans IR 3 : La matrice [ ] 1 e 1 e 2 e 3 = 1 est 1 inversible d après le Théorème d Inversibilité (p. 129) TI-c. Donc les énoncés TI-e (les colonnes forment un ensemble linéairement indépendant) et TI-h (les colonnes engendrent IR 3 ) sont vrais. Donc {e 1,e 2,e 3 } est une base de IR 3.

Preuve dans IR 3 : La matrice [ ] 1 e 1 e 2 e 3 = 1 est 1 inversible d après le Théorème d Inversibilité (p. 129) TI-c.

9 Base canonique (p. 238) Définition L ensemble des polynômes {1,t,t 2,...,t n } est appelé base canonique de l espace vectoriel P n des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Démonstration. L ensemble engendre P n. Pour montrer que l ensemble est linéairement indépendant, on suppose que c 1 + c 1 t + + c n t n =. Alors, c = c 1 = = c n car deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Donc l ensemble est une base de P n.

10 Base Exemple : Soient v 1 = 1 2,v 2 = 1 1,v 3 = 1 3. Est-ce que {v 1,v 2,v 3 } forme une base de IR 3? Solution : Soit A = [ ] 1 1 v 1 v 2 v 3 = 2 1. En utilisant la réduction 1 3 par rapport aux lignes, A Donc A a trois pivots. D après le Théorème d Inversibilité, cela signifie aussi que les colonnes de A sont linéairement indépendantes, et qu elles génèrent IR 3. Par conséquent, {v 1,v 2,v 3 } est une base de IR 3.

En utilisant la réduction 1 3 par rapport aux lignes, A 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 5 Donc A a trois pivots.

11 Théorème de l ensemble générateur (p. 239) Une base est un ensemble générateur «efficace» au sens où il ne contient pas de vecteur superflu. Une base s obtient en effet en écartant d un ensemble générateur des vecteurs inutiles. Exemple : [ ] [ ] 1 Soient les vecteurs v 1 =,v 2 = et v 1 3 = Supposons x dans l espace L{v 1,v 2,v 3 }, alors [ 2 3 x = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 (2v 1 + 3v 2 ) = (c 1 + 2c 3 )v 1 + (c 2 + 3c 3 )v 2 ce qui prouve que x appartient à L{v 1,v 2 }. Par conséquent, L{v 1,v 2,v 3 } = L{v 1,v 2 }. ].

Une base s obtient en effet en écartant d un ensemble générateur des vecteurs inutiles.

12 Théorème de l ensemble générateur (p. 239) Théorème (5) Soit S = {v 1,...,v p } un ensemble générateur d éléments de V et soit H = L{v 1,...,v p }. a. Si l un des vecteurs de S, v k par exemple, est une combinaison linéaire des autres vecteurs de S, alors l ensemble des vecteurs de S amputé de v k est encore générateur de H. b. Si H {}, il y a un sous-ensemble de S qui est une base de H. Une base est donc le plus petit ensemble générateur possible. Une base est aussi un ensemble linéairement indépendant le plus grand possible.

Si l un des vecteurs de S, v k par exemple, est une combinaison linéaire des autres vecteurs de S, alors l ensemble des vecteurs de

13 Base de Nul A (p. 24) L algorithme pour trouver une description explicite de NulA construit, en fait, une base de NulA, car l ensemble générateur obtenu est linéairement indépendant. 1. Réduire par rapport aux lignes la matrice augmentée [ A ] jusqu à la forme échelonnée réduite. 2. Écrire les variables de base en fonction des variables libres. 3. Décomposer la solution générale en une combinaison linéaire de vecteurs dans laquelle les poids sont les variables libres. 4. L ensemble des vecteurs obtenus en (3.) forme une base de Nul A.

est linéairement indépendant. 1. Réduire par rapport aux lignes la matrice augmentée [ A ] jusqu à la forme échelonnée réduite. 2.

14 Base de ColA (p. 241) Les opérations élémentaires sur les lignes d une matrice n affectent pas la relation de dépendance linéaire entre les colonnes de la matrice. Par exemple, soit la matrice A donnée par A = [ a 1 a 2 a 3 a 4 ] = A = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = B. On observe que a 2 = 2a 1, a 4 = 4a 1 + 5a 3 et a 1 et a 3 ne sont pas multiples l un de l autre. De même, on observe que b 2 = 2b 1, b 4 = 4b 1 + 5b 3 et b 1 et b 3 ne sont pas multiples l un de l autre.

15 Base de ColA (p. 241) À cause de ces relations, on a Col A = L{a 1,a 2,a 3,a 4 } = L{a 1,a 3 }. 1 L ensemble {a 1,a 3 } = 2 3, 1 2 est une base de Col A. 4

16 Base de ColA Théorème (6) Les colonnes pivots d une matrice A forment une base de Col A. Algorithme : 1. Obtenir B qui est une forme échelonnée de A. 2. Extraire le numéro des colonnes pivots de B. 3. La base de Col A est composée des colonnes correspondantes de A. Attention, la base de Col A est composée des colonnes pivots de A, pas de B. Avec l exemple précédent, une base de Col A est 1 2 3,

Extraire le numéro des colonnes pivots de B. 3.

17 Base de ColA Exemple : Trouver une base de L{v 1,v 2,v 3 } avec v 1 = 2, v 2 = 4 et v 3 = Solution : On pose A = et on note que L{v 1,v 2,v 3 } = Col A. Par réduction par rapport aux lignes, on 1 2 obtient A 1. Par conséquent, une base de L{v 1,v 2,v 3 } est constituée des vecteurs qui sont colonnes pivots, i.e. {v 1,v 3 }.

3 6 9 Solution : On pose A = 1 2 3 2 4 6 3 6 9 et on note que L{v 1,v 2,v 3 } = Col A.

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