Vecteurs. TRAN Minh Tâm. Table des matières. Définitions, vitesses et accélérations Le mouvement rectiligne uniformément accéléré 18

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1 Physique Générle Cinémtique à une dimension de l prticule Vecteurs TRAN Minh Tâm Tble des mtières L Cinémtique à une dimension de l prticule 14 Définitions, vitesses et ccélértions Le mouvement rectiligne uniformément ccéléré 18 Une première pproche Une seconde pproche L ccélértion dns l chute libre Les vecteurs 21 Vecteurs et sclires L ddition des vecteurs

2 Composntes et vecteurs unitires Multipliction de vecteurs

3 L Cinémtique à une dimension de l prticule Définitions, vitesses et ccélértions L cinémtique est l étude du mouvement de l prticule ou des systèmes de prticules sns l recherche des cuses de ce mouvement. Les cuses des mouvement sont à rechercher dns les forces, ce ser l objet d étude de l dynmique. Nous nous limitons tout d bord à l étude du mouvement de l prticule et, dns ce prgrphe, à son mouvement selon une droite. Pr prticule, nous sous-entendons un objet ponctuel ou un objet qui se meut comme un objet ponctuel, c.à.d. dont tous les points se meuvent dns l même direction et vec l même vitesse. Position et déplcement. Pour locliser une prticule, nous recherchons s position reltive pr rpport à un point de référence ou origine sur un xe qui peut être porté pr l droite sur lquelle se déplce l prticule. Sur cet xe, nous pouvons définir un sens et, vec un étlon de longueur, mesurer l position de l prticule en chque instnt. L éqution x = x(t) est l éqution horire. Un chngement de position d une position initile x 1 à une position finle x 2 est ppelé déplcement x = x 2 x 1 ; nous remrquons que le déplcement est une quntité vectorielle, puisqu elle est crctétisée pr une direction (ici, celle du mouvement), un sens et un module. On peut représenter l position en fonction du temps sur un grphique pr une courbe x(t). On définit l vitesse moyenne pr v moy = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 Sur un grphique de x en fonction de t, l vitesse moyenne v moy est l pente de l droite relint les points (t 1, x 1 ) et (t 2, x 2 ). Comme le déplcement, v moy une direction (ici, celle du mouvement), un sens qui dépend de x 2 et de x 1 et un module. Comme t est toujours positif, v moy le même signe que x dns le mouvement à une dimension. -14-

4 L Cinémtique à une dimension de l prticule L figure ci-près montre le clcul de cette vitesse moyenne. x [m] v moy = pente de cette droite = x t t [s] x(t) t = 2,5 s - 1 s = 1,5 s vitesse à t 1 = pente en t 1 x = 2 m - (-2,5 m) = 4,5 m L vitesse instntnée ou simplement l vitesse permet de connître comment se déplce l prticule à un instnt donné : x v = lim t 0 t = d x d t v est le tux de vrition de l position x de l prticule en fonction du temps, c est l dérivée de x pr rpport u temps, v, à chque instnt est l pente de l tngente à l courbe x(t) à l instnt considéré. Point de contrôle Les équtions suivntes donnent l position x(t) d une prticule dns des situtions différentes (x est en mètres, t en secondes et t > 0) : (1) x = 3t 2, (2) x = 4t 2 2, (3) x = 2 t 2 et (4) x = 2 Dns quelle(s) sitution(s) l vitesse v de l prticule est-elle constnte? Dns quel(s) cs v est-elle dns l direction négtive? L ccélértion. Qund l vitesse de l prticule chnge, on dit qu elle subit une ccélértion (ou qu elle ccélère). Dns notre cs d un mouvement unidimensionnel, l ccélértion moyenne est définie comme : moy = v t = v 2 v 1 t 2 t 1-15-

5 L Cinémtique à une dimension de l prticule expression dns lquelle v 1 et v 2 sont les vitesses de l prticule ux instnts t 1 et t 2. On définit de l même fçon que précédemment l ccélértion instntnée ou ccélértion : v = lim t 0 t = d v d t = d ( ) d x = d2 x d t d t dt 2 L ccélértion d une prticule à l instnt t est l dérivée seconde pr rpport u temps de s position x(t). L ccélértion est exprimée en m/s 2. Signe de l ccélértion. Dns le lngge cournt, le signe de l ccélértion peut conduire à des conclusions fusses ; insi, une ccélértion positive ne veut ps toujours dire que l vitesse ugmente et une ccélértion négtive que l vitesse diminue, il fut ussi considérer le signe de l vitesse! Point de contrôle Une souris se meut sur l xe x. Quel est le signe de son ccélértion si elle se meut dns ) le sens positif de l xe vec une vitesse dont le module ugmente, b) le sens positif de l xe vec une vitesse dont le module diminue, c) le sens négtif de l xe vec une vitesse dont le module ugmente, d) le sens négtif de l xe vec une vitesse dont le module diminue? Exemple L position d une prticule sur l xe x est donnée pr x = 4 27 t + t 3, expression dns lquelle x est en mètres et t en secondes. L vitesse en chque instnt v(t) s obtient en dérivnt x(t) (pr rpport à t) : v = t 2 et l ccélértion (t), en dérivnt v(t) : = 6 t. Nous voyons que l ccélértion ugmente vec le temps et est positive ( t > 0 ) lors que l vitesse et l position peuvent être positive ou négtive. L vitesse s nnule pour t = ± 3 s. A l instnt t = 0, l prticule se trouve en x(0) = + 4 et une vitesse v(0) = 27 m/s : elle se meut donc dns le sens négtif de l xe ; son ccélértion en cet instnt est nulle. -16-

6 L Cinémtique à une dimension de l prticule Position [m] Vitesse [m/s] t [s] -40 t [s] Pour 0 < t < 3 s, l vitesse de l prticule est toujours négtive : l prticule se déplce toujours dns le sens négtif ; cependnt, l ccélértion étnt positive, le module de l vitesse diminue : l prticule rlentit. A t = 3 s, l vitesse de l prticule est nulle, s position est lors x(3) = 50 m. Pour t > 3 s, l vitesse est mintennt positive : l prticule v dns le sens positif de l xe, comme l ccélértion est positive, le module de l vitesse ugmenter constmment. -17-

7 Le mouvement rectiligne uniformément ccéléré Dns ce prgrphe, nous nous limitons u cs d un mouvement rectiligne uniformément ccéléré (MRUA) où l ccélértion est constnte. Les conclusions que nous tirons ici ne sont vlbles que pour ce cs prticulier. Une première pproche En prtnt de l définition de l ccélértion : nous pouvons écrire : = d v d t, dv = dt en prennt l primitive ou intégrle indéfinie des deux membres : Comme l ccélértion est constnte : dv = dv = dt. dt, ou v = t + C. L constnte d intégrtion C doit être déterminée pr l vleur initile v 0 de l vitesse à t = 0 ; pr conséquent : v = t + v 0. De même, en prtnt de l définition de l vitesse : v = d x d t, nous vons dx = v dt et, en remplçnt v pr son expression : comme et v 0 sont constnts : c.à.d. : x = 1 2 t2 + v 0 t + x 0 dx = dx = ( t + v 0 ) dt t dt + v 0 expression dns lquelle l position de l prticule à t = 0, x 0, est l constnte d intégrtion. dt -18-

8 Le mouvement rectiligne uniformément ccéléré Une seconde pproche Cette pproche, plus intuitive, n est vlble que pour le MRUA Accélértion [m/s 2] t [s] Vitesse [m/s] t [s] Position [m] t [s] Puisque dns le MRUA l ccélértion est constnte, ccélértions instntnnée et moyenne sont ǵles et nous vons : = moy = v t = v v 0 t 0 v 0 est l vitesse à l instnt t = 0 et nous vons tout de suite : Nous vons de même : v = v 0 + t v moy = x t = x x 0 x = x 0 + v moy t t 0 v est une fonction linéirement croissnte vec le temps. L vitesse moyenne entre deux instnts quelconques, comme pr exemple entre t = 0 et t, est l moyenne rithmétique des vitesses entre ces deux instnt : Pr conséquent : v moy = 1 2 (v 0 + v ) = v t x x 0 = v 0 t t2 Les deux éqution encdrées de cette pge et de l pge précédente sont les équtions de bse des mouvements rectilignes uniformément ccélérés. -19-

9 Le mouvement rectiligne uniformément ccéléré Point de contrôle L éqution horire x(t) d une prticule est donnée dns les cs suivnts : ) x = 5 t 4 b) x = 5t t c) x = 2/t 2 3/t d) x = 5 t 2 Dns 3 quel(s) cs le mouvement de l prticule est-il un MRUA? Point de contrôle préférez-vous? et pourquoi? Des deux pproches précédentes du MRUA, lquelle L ccélértion dns l chute libre Sur Terre, une prticule, lncée vers le hut ou vers le bs, subit une ccélértion, celle de grvité. En choisissnt un xe y perpendiculire à l surfce de l Terre et dirigé vers le hut, nous vons une ccélértion = g 9.81 m s 2 près de l surfce de l Terre le signe - montre que l ccélértion est toujours dirigée vers le centre de l Terre. Exemple Une blle est lncée verticlement vers le hut vec une vitesse initile de 12 m/s. A quel instnt tteindr-t-elle s huteur mximle et quelle est cette huteur mximle? Idées essentielles : Une fois lncée, dns son scension et dns s chute, l blle subit l même ccélértion = g = constnte : on est dons dns le cs d un MRUA. D utre prt, à son pogée, l blle une vitesse nulle. De v = v 0 + t, nous cherchons l instnt pour lequel l vitesse est nulle : t = v v 0 y mx y 0 = v 0 t t2 = Point de contrôle 0 12 m/s = 9.81 m/s = 1.22 s 2 ( ) v 2 v0 2 0 (12 m/s)2 = 2 2 ( 9.81 m/s 2 ) = 7.34 m Dns l exemple précédent, donnez le signe du déplcement dns l prtie scensionnelle et dns l prtie de chute de l blle. Quelle est l ccélértion de l blle à son pogée? -20-

10 Les vecteurs Vecteurs et sclires Un sclire est une grndeur qui est entièrement déterminée pr un nombre uniquement (éventuellement vec son signe) et une unité. Les sclires obéissent ux lois de l lgèbre ordinire. Un vecteur possède une direction, un sens et un module. Le vecteur le plus simple est le vecteur déplcement. Nous vons vu qu un déplcement dns un mouvement à une dimension devit être crctérisé pr un signe indiqunt le sens du déplcement et un module. Dns un mouvement à trois dimensions, nous devons spécifier le point origine et le point destintion, c.à.d. utiliser un vecteur, grndeur crctérisée pr une direction (l droite relint les deux points), un sens (de l origine vers l destintion) et un module (l distnce entre les points). B A Les trois chemins connectnt A et B correspondent u même vecteur déplcement Sur l figure, nous voyons que le vecteur déplcement représente le résultt du mouvement et non le mouvement lui-même. Un vecteur est un être mthémtique définie pr plusieurs vleurs numériques ; ces dernières décrivent s longueur, s direction et son sens. Les vecteurs obéissent ux lois de l lgèbre vectorielle. Exemples : Grndeurs sclires : une msse de 4 kg, une durée de 45 minutes, une tempérture de 20 C, etc... Grndeurs vectorielles : une force, une vitesse, un moment de forces, un ryon vecteur, un vecteur position, etc

11 Les vecteurs L ddition des vecteurs Considérons l somme de deux déplcements : le premier,, de A à B, puis de B à C, b. L effet résultnt de ces deux déplcements est le déplcement c de A à C ; cette résultnte n est ps une somme lgébrique usuelle. A b B b + b b + C On voit bien que le module du vecteur résultnt n est ps égl à l somme des modules des vecteurs et b [nous désignerons le module d un vecteur v pr v ] : s = + b + b On vérifie très fcilement les deux propriétés suivntes : Commuttivité : Associtivité : + b = b + ( + ) b + c = + ( b + c ) Le vecteur b est un vecteur qui ( le même module que b mis une direction opposée. Donc : b + ) b = 0 et : ( Soustrction : d = b = + ) b Point de contrôle et = d + b Quelle reltion doit-il exister entre et b pour que le module de leur somme + b soit égl à : () + b, (b) b, (c) b, (d) 2 + b 2? -22-

12 Les vecteurs Composntes et vecteurs unitires L ddition des vecteurs pr l méthode grphique devient rpidement peu prtique, surtout si nous devons triter des vecteurs dns l espce. On préfère l méthode nlytique. L figure ci-près représente le vecteur dns un cs à deux dimensions, dns le pln xy. Une composnte du vecteur est l projection du vecteur sur un xe ; y y θ x x insi, u lieu de définir pr son module et s direction (, θ ), on peut le définir pr ses composntes ( x, y ). On évidemment : x = cos θ et y = sin θ = 2 x + 2 y et tn θ = y x Vecteurs unités Pour des risons de commodités, nous introduisons les vecteurs unités î, ĵ, ˆk. Un vecteur unité est sns dimension et sert uniquement à définir l direction de l xe qui le porte. Son module est de 1 : î = ĵ = ˆk = 1. Dns l espce, un vecteur quelconque peut s écrire comme l somme de trois vecteurs prllèles à chcun des xes : = x î + y ĵ + z ˆk. Exemple : un déplcement : d = ( 5 km) î + 10 km ĵ + 30 km ˆk Nous utiliserons pr l suite un système d xes crtésien droit, dns lequel les xes sont perpendiculires entre eux et suivent l orienttion des trois doigts de l min droite. -23-

13 Les vecteurs z î k^ j^ y j^ z k^ x î y x Remrque En Physique, nous pouvons choisir notre système de coordonnées ; cependnt, les reltions de Physique impliqunt des vecteurs ne dépendent ps de ce choix. Eglité des vecteurs Si = b, lors : x î + y ĵ + z ˆk = bx î + b y ĵ + b z ˆk Comme î, ĵ, ˆk sont perpendiculires entre eux, cette éqution est stisfite si et seulement si x = b x, y = b y, z = b z. Pr conséquent, si s = + b, lors : s x = x + b x, s y = y + b y, s z = z + b z Vecteur unité quelconque Nous pouvons étendre l notion de vecteurs unités à des directions utres que celles des xes. Ainsi, à un vecteur, nous pouvons ssocier un vecteur unité û, de même direction et de même sens que le vecteur mis dont le module est de 1 : û = = x î + y ĵ + ˆk z -24-

14 Les vecteurs Multipliction de vecteurs Multipliction pr un sclire Nous l vons déjà bordé vec l définition des composntes d un vecteur : le vecteur λ, λ R, l même direction que, son sens est le même que celui de si λ > 0, dns le sens opposé si λ < 0, son module est λ = λ. Multipliction de deux vecteurs Deux possibilités : obtenir un sclire comme résultt, ou bien obtenir un vecteur. Produit sclire On le définit pr :. Propriétés b = b cos θ, θ est l ngle de à b projection de b sur = b cos θ θ b projection de sur b = cos θ b = 0 si et b sont orthogonux. Si l un des vecteurs est un vecteur unité û, le produit sclire û = cos θ est l projection de sur l direction portnt û. Le produit sclire est commuttif : b = b. En coordonnées crtésiennes : b = ( x î + y ĵ + z ˆk) (bx î + b y ĵ + b z ˆk) b = x b x + y b y + z b z -25-

15 Les vecteurs Produit vectoriel L définition nécessite le choix d un système d xes crtésiens Oxyz. c = b est défini pr : une direction perpendiculire à et à b, un sens tel que (, b, c) it l même orienttion que î, ĵ, ˆk, une norme b sinθ où θ est l ngle de à b. mjeur Min droite! c = b θ index pouce b θ c = b b Propriétés b = 0 si et b sont prllèles ou ntiprllèles. Le produit vectoriel n est ps commuttif : b = b (cf. figure ci-dessus). En coordonnées crtésiennes : b = ( y b z b y z ) î + ( z b x b z x ) ĵ + ( x b y b x y ) ˆk b = î ĵ ˆk x y z b x b y b z Point de contrôle Les vecteurs et b ont pour modules 3 et 4 unités. Quel est l ngle entre et b pour que : ) b = 0 b) b = 12 c) b = 0 d) b =