Théorie des langages Damien Nouvel
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1 Automtes Théorie des lngges Dmien Nouvel
2 Théorie des lngges Pln Alphets et lngges Expressions régulières formelles Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 2 / 22
3 Théorie des lngges Pln Alphets et lngges Expressions régulières formelles Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 3 / 22
4 Théorie des lngges Alphets et lngges Struture du lngge : Algère, ensemle muni d'opértions (nneu) «Briques de se» : lphet Propriétés formelles prtiulières du lngge Diférents mnières de défnir un lngge : Intentionnelle : «tous les mots qui» Extensionnelle : {mot, utremot,,, 3, 42 } Défnitoire : {xyz x = yz } Opértion sur d'utres lngges (union, onténtion, intersetion, omplémentire ) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 4 / 22
5 Théorie des lngges Alphets et lngges Alphet, un ensemle «hors-lngge» : Ensemle des symoles utilisés pr un lngge = {,,, d z} ( = [-z] ) = {0, 1, 2 9} ( = [0-9] ) = {, f, d, x} = {,, 0, $, μ, z} = {, de, xyz} = {,, tuv, vu} On onsidère les éléments omme tomiques : peutêtre un symole unique pour un lngge Ps de répétitions u sein d'un lphet (ensemle) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 5 / 22
6 Théorie des lngges Alphets et lngges Mot (ou hîne) : Un élément de l'lphet est un mot Conténtion «.» de symoles issus d'un lphet : = {0, 1} : α 1 = , α 2 = Assoitive : (.). =.(.) Non ommuttive : Quelque soit l'lphet, il est possile de former le mot (ou hîne) vide, noté «ε» (diférent de ) Tille du mot : x, nomre de symoles : = 4 ( = {0, 1}) d.dd = 5 ( = {, d}) ε = 0 ( ) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 6 / 22
7 Théorie des lngges Alphets et lngges Un lngge est un ensemle de mots Défnition de lngges à prtir d'lphets : Lngge généré pr un lphet (réursive) : Tout mot de l'lphet pprtient u lngge Toute onténtion de mots du lngge pprtient u lngge Le mot vide ε pprtient u lngge Puissne «i» d'un lphet : Tous les mots formés pr onténtion de i éléments de Quelque soit l'lphet, 0 = { ε } Pr ex., si = {0, 1} lors : 1 = {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11} Liene Informtique L1 Dmien Nouvel 3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} Automtes 7 / 22
8 Théorie des lngges Alphets et lngges Fermeture / étoile de Kleene «*» : Kleene : mthémtiien mériin Fermeture (étoile, itéré) (informellement) : tout e qu'il est possile de onstruire à prtir d'un lphet / lngge Union de toutes les puissnes d'un lphet : * = Ou «lngge de», «lngge généré pr» Quelque soit : ε * Attention à l distintion symoles / mots : Si = {0, 11} lors n'pprtient ps à * Si = {, } lors. n'pprtient ps à * Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 8 / 22
9 Théorie des lngges Alphets et lngges Lngge sur un lphet : Un lngge L sur un lphet est un sous-ensemle de * Opértions sur les lngges (étnt donné ) : Conténtion : «L.M» (ou «LM») : mot formés pr onténtion d'éléments de L et de M (dns l'ordre) Assoitive, non ommuttive, élément neutre ε, élément sornt ø Puissne : «L i» = { α L * t. q. α = i } (idem lphet) Remrque : L 0 = ε et L i = L i-1.l Fermeture (étoile, itéré) : «L *» = i 0 L i (idem lphet) Idempotente : (L * ) * = L * Quelque soient L et : ε L * (idem lphet) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 9 / 22
10 Théorie des lngges Alphets et lngges Union : «L M» (ou L + M) mots issus soit de L soit de M Assoitive, ommuttive, élément neutre ø L onténtion est distriutive pr rpport à l'union Intersetion : «L M» : mots qui existent dns L et dns M Assoitive, ommuttive, élément neutre *, élément sornt ø Complémentire : «L» : mots de * qui ne sont ps dns L Fermeture (étoile, itéré) strite : : «L +» = i 1 L i Remrques : idempotente, L + = L.L * et L * = L + {ε} Quotient droit : «L.M -1» = {α *, β M, α.β L } Quotient guhe : «L -1.M» = {α *, β L, β.α M } Miroir : L (tilde u dessus), lngge ou tous les mots sont «renversés» : l'ordre des symoles est inversé Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 10 / 22
11 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples : Alphet = {,, } Lngges L 1 = {, }, L 2 = {, } L 1 L 2 Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 11 / 22
12 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Union : L 3 = L 1 L 2 L 1 L 3 L 2 Conténtion : L 4 = L 1. L 2 L 4 Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 12 / 22
13 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Union et onténtion : L 5 = L 1 ( L 1. L 2 ) L 1 L 5 L 1 L 1. L 2 L 2 Intersetion : L 6 = L 1 L 2 Éléments de l'lphet L 1 L 6 L 2 Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 13 / 22
14 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Puissne : L 7 = L 10, L 8 = L 11, L 9 = L 12, L 10 = L 1 3 L 1 L 7 ε L 8 L 9 L 2 L 10 Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 14 / 22
15 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Fermeture : L 11 = * (= ), L 12 = L 1 * L 1 L 11 L 12 L 2 ε ε Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 15 / 22
16 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Complémentire : L 13 = L 1 ( «* - L 1») L 1 L 13 L 2 * ε Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 16 / 22
17 Théorie des lngges Alphets et lngges Quelques exemples (suite) : = {,, }, L 1 = {, }, L 2 = {, } Intersetion et omplémentire : L 14 = ( L 2. L 1 ) L 2 2 L 1 L L 2 L 2. L 1 L 14 L 2 Éléments de l'lphet Éléments du lngge Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 17 / 22
18 Théorie des lngges Pln Alphets et lngges Expressions régulières formelles Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 18 / 22
19 Théorie des lngges Expressions régulières formelles Expressions régulières : expressions rtionnelles (lngge régulier rtionnel) Formlisées mthémtiquement en 1959 (Rin & Sott) Utilisées en progrmmtion (regexp) : grep, wk, Perl, Python Un «lngge pour défnir un lngge» Symoles (pr priorité) : { (, ), *, +, +} Une expression régulière «génère», «epte», «reonnît» un lngge (dit régulier) Lngge des expression régulières sur : Reg( ) Reg( ) ( { +, *, +, (, ) } ) * Progrmmtion : le + deviendr (éviter l onfusion) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 19 / 22
20 Théorie des lngges Expressions régulières formelles Défnition réursive (étnt donné ) : Tout élément de est une expression régulière Si r est une expression régulière, lors (r), r +, r * ussi Si r 1 et r 2 sont des exp. régulières, lors r 1 r 2 et r 1 + r 2 ussi Soit l'pplition L qui ssoie à une expression régulière un lngge, défnie de l mnière suivnte : L : Reg( ) * L( ) = { }, L( ε ) = { ε } et L( ) = L( r 1 + r 2 ) = L(r 1 ) L(r 2 ) L( r 1 r 2 ) = L(r 1 ). L(r 2 ) L( r * ) = L(r) * et L( r + ) = L(r) + Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 20 / 22
21 Théorie des lngges Expressions régulières formelles Pr ex., soit = {,, } : L() = L(+) = L() L() = {, } L() = L(). L() = {.} L( * ) = L() * = {} * = {ε,,,, } L(+ * ) = L() L( * ) = {} {} * = {ε,,,,, } L((+) * ) = (L() L()) * = {, } * = {ε,,,,,,,,,,,, } L(() + +) = (L(). L()) + L() = {} + {} = {,,, } L( + +() * +((+)) + ) = L() + L()) * L({, }.) + Liene Informtique L1 Dmien Nouvel = {,, ε,,,,, } Automtes 21 / 22
22 Théorie des lngges Expressions régulières formelles Quelques s d'pplitions lssiques : Trouver des fhiers dns un dossier : Tous les fhiers d'extension «.jpg» : *.jpg Cherher toutes les fontions «get» dns un progrmme : Expression régulière : funtion get[-z] * ( Extrire toutes les phrses d'un texte : Expression régulière : (.+?+!) * (.+?+!) * Vérifer si une entrée de progrmme est ien un entier : Expression régulière : (-+ε){09) * Cherher les mots u pluriel dns un texte : Expression régulière : [-z] * ((e+)ux+s) Liene Informtique L1 Dmien Nouvel Automtes 22 / 22
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