MAT4081 Chapitre 2 Distribution de formes quadratiques

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1 MAT408 Chapite Distibutio de fomes quadatiques Nous étudios ici les popiétés de cetaies foctios quadatiques de la fome y Ay, où y est u vecteu aléatoie et A est ue matice éelle symétique fixe.. Loi khi-deux (cetale) ( ) Défiitio Soit z, z,..., z ν des vaiables idépedates et idetiquemet distibuées (i.d.d.) selo la loi omale cetée éduite(0 ; ) et = z z... z. Alos suit ue loi appelée loi khi-deux à degés de libeté : Foctio de desité La foctio de desité d ue vaiable de loi est / x / f(x) = x e, x > 0 (..) / ( / ) Losque ~, o a E() = et Va() =.. Remaque La loi est u cas paticulie de la loi gamma de paamètes α et β, dot la foctio de x/ desité est g(x) = x e x 0. La loi est doc ue loi gamma de paamète α = ν/ et β ( ) =. Du fait que g(x)dx =, o tie la fomule x/ x e dx 0 = (α)β α, souvet utilisée das des développemets théoiques. Elle pemet, pa exemple de mote aisémet que E( k ) = k / x/ / 0 ( / ) x x e dx k / x/ = / 0 ( / ) x e dx /k = ( / k) = / ( / ) ( / k )...( / ) ( / ) / ( / ) /k = ( / k )...( / ) k. D où E() = ν, E( ) = (ν/+)(ν/) = ν(ν+), et Va() =ν(ν+) ν = ν. Ces mêmes techiques pemettet d obtei la foctio gééatice des momets. Foctio gééatice des momets La foctio gééatice des momets d'ue vaiable de loi est φ(t) = ( - t) -/ (t < /). (..) Si y est u vecteu omal, il suffit que les covaiaces ete les composates de y soiet ulles pou que celles-ci soiet idépedates. Nous avos doc, si y ~ (0 ; I ), alos y'y ~ (..3) Additivité et soustactivité de vaiables de loi khi-deux Les popositios suivates caactéiset les situatios où ue somme de vaiables de loi est de loi. Popositio.. Additivité Si ~, Y ~ s et si et Y sot idépedates, alos Z = + Y ~ s.

2 . MAT408 Chapite - Fomes quadatiques Démostatio. Si et Y sot les foctios gééatices des momets (fgm) de et de Y, espectivemet, alos la fgm Z de Z est, gâce à l'idépedace, Z (t) = (t) Y (t) = (-t) -/ (-t) -s/ = (-t) -(+s)/ ce qui est la fgm d'ue loi s. Exemple Soit y, y,, y, vaiables aléatoies omales idépedates de moyees μ, μ,, μ et yi i de vaiaces,,...,. Alos ~ s et yi i i ~. Popositio... Soustactivité Soit Z = + Y où Z ~, ~, >, et, Y sot idépedates. Alos Y~. Démostatio. Soit Z (t), (t) et Y (t) les fgm de Z, et Y, espectivemet. Puisque Z est ue somme de vaiables aléatoies idépedates, sa fgm est le poduit des fgm de ses facteus: Z (t) = (t) Y (t). Puisque Z (t) = (-t) - /, (t) = (-t) -/, ous avos Y (t) = (-t) -(-)/ ce qui est la fgm d'ue.. Fomes quadatiques gééales (y'ay) Popositio.. Soit y u vecteu aléatoie de moyee μ et matice de covaiace Σ ; et A ue matice costate éelle symétique. Alos E(y Ay) = t(aσ) + μ Σμ. Démostatio. E(y Ay) = E[t(y Ay)] = E[t(Ayy )] = t[e(ayy )] = t[ae(yy )] = t[a(σ+μμ )] = t[aσ + Aμμ )] = t(aσ) + t(aμμ ) = t(aσ) + t(μ Aμ) = t(aσ) + μ Aμ. Popositio.. Soit y ~ (0 ; I ), A ue matice éelle symétique de ag. i) Si A = A, alos y Ay ~ où = (A); ii) Si y Ay ~ s, alos A = A, s = (A). Démostatio. i) Démostatio de (i) Supposos que A = A. Alos il existe ue matice P telle que P'P = I et A = PP'. Alos y'ay = y'pp'y = (P'y) (P'y)= z'z, où z = P'y ~ (0 ; I ). Doc z'z suit ue loi. ii) Démostatio de (ii) Supposos doc que y'ay ~ s. Puisque A est éelle et symétique, il existe ue matice P telle que A = PDP, où D est ue matice diagoale dot les élémets de la diagoale sot les valeus popes,..., o ulles de A et P P = I. Doc y'ay = y'pdp'y = z'dz = i z i où z = P'y ~ (0 ; I ). Soit (t) la fgm de y'ay. D'ue pat, puisque y'ay ~ s, o a (t) = (-t) -s/. D'aute pat, y'ay = i z i où z i ~ de fgm i (t) = (-t) -½ et les z i sot idépedates. Puisque la fgm de i z i est i ( i t), o a (t) = i it) i ( = i t / ( ) i M408.0.Khi.H. e févie 0

3 MAT408 Chapite - Fomes quadatiques.3 Il suit (-t) -s/ = i t / ( ) (-t)s = i ( i t ) i d où i =, i =,..., et = s. Il suit D = I, A = PP' et alos A = PP PP = A. Coollaie Soit y ~ (μ ; I ), A ue matice éelle symétique de ag et supposos que Aμ = 0. Alos y Ay ~ où = (A). Démostatio. Puisque Aμ = 0, y Ay = (y-μ) A(y-μ), et puisque y-μ est de moyee 0, le ésultat suit. Exemple.. Soit y, y,, y, vaiables aléatoies idépedates de même moyee μ et de même vaiace σ. Doc y ~(μ ; σ I), où μ = μe. Alos ()S = ( ) y i i y ~. Pou le mote, o commece pa expime ( y ) i i y sous la fome yay, où y = [y ; y ; ; y ]. I ( ) N ( yi ) ( ey ' ) ee' y i i y = y i i - = y y- = y y- y' y = y Cy, où C = I- e( ee ' ) e '. O ee ' véifie aisémet que C est idempotete et doc (C) = t(c) = t[i- e( ee ' ) e ' ] = t(i)-t[ e( ee ' ) e ' ] = -t[ ( ee ' ) ee ' ] =. Il e este plus qu à véifie que Cμ = 0..3 Loi khi-deux o cetale Si y ~ (µ ; I ), alos y'y suit ue loi appelée loi khi-deux à degés de libeté et paamète de o cetalité = µ µ : y'y ~ ( ). Losque le paamète de o cetalité est ul, la loi khideux o cetale est e fait ue khi-deux cetale odiaie. Fomes quadatiques gééales (y'ay) Popositio.3. Soit y ~ (µ ; I ), A ue matice éelle symétique de ag. Alos i) Si A = A, alos y Ay ~ () où = (A) et = µ Aµ; ii) Si y Ay ~ (), alos A = A, s = (A) et = µ Aµ. s Démostatio. i) Démostatio de (i) Supposos que A = A. Alos il existe ue matice P telle que P'P = I et A = PP'. Alos y'ay = y'pp'y = (P'y) (P'y)= z'z, où z = P'y ~ (P µ ; I ). Doc z'z suit ue loi ii) Omise. () avec = (P µ) (P µ) = µ'pp'µ = µ'aµ. Popositio.3. Soit Q ~ (). Alos E(Q) = + λ..4 Idépedace de fomes quadatiques Quad est-ce que deux fomes quadatiques y Ay et y By de loi khi-deux sot idépedates? Il est souvet écessaie de le savoi afi d e déduie la distibutio de leu somme ou de leu quotiet. Le théoème suivat doe ue épose pou des vaiables de matice de covaiace I. Nous démoteos le cas gééal plus loi. M408.0.Khi.H.3 e févie 0

4 .4 MAT408 Chapite - Fomes quadatiques Popositio.4. Soit y ~ (µ ; I ), A et B deux matices symétiques. Soit y Ay et y By deux fomes quadatiques de loi khi-deux (cetale ou o). Alos y Ay et y By sot idépedates si et seulemet si AB = 0. Démostatio i) Supposos que y Ay et y By sot des khi-deux idépedates. Alos A et B sot idempotetes et y Ay + y By = y (A+B)y est de loi khi-deux. Doc A + B est idempotete : (A+B) = A + B + AB + BA = A + B A + B + AB + BA = A + B AB + BA = 0 AB = -BA ABB = -BAB AB = -BAB, ce qui etaîe que AB est symétique. Doc AB = (AB) = B A = BA. Alos AB + BA = 0 AB + AB= 0 AB = 0. C est ce qu il fallait démote. ii) Supposos que AB = 0. Puisque y Ay et y By sot de loi khi-deux, A et B sot idempotetes. Doc il existe des matices P et Q telles que A = PP, B = QQ, et P P et Q Q sot des matices idetité. Alos y Ay = y PP y = (P y) (P y) est foctio de P y; et y By = y QQ y = (Q y) (Q y) est foctio de Q y. Doc y Ay et y By sot idépedates si P y et Q y le sot. C est ce que ous allos démote. Pou le faie, il suffit de mote que P Q = 0. O a AB = 0 PP QQ = 0 P PP QQ Q = 0 IP QI = 0 P Q = 0. Exemple.4. Soit y, y,, y, vaiables aléatoies idépedates de même moyee μ et de même vaiace σ. Doc y ~(μ ; σ I), où μ = μe. Alos ()S = ( ) y ( ) y i i y et sot idépedates. O a déjà moté à l exemple.. que ( ) y i i y = y Cy, où C = I- e( ee ' ) e ' y ( ) y ( ) et que y Cy ~. La statistique s écit sous fome maticielle comme = ye ' ( ee ' ) ey '. La matice e( ee ' ) e' est idempotete et doc ye ' ( ee ' ) ey ' est de loi. Il suffit alos de véifie que Ce( ee ' ) e ' = 0, ce qui se fait sas difficulté. Nous allos maiteat gééalise les deux théoèmes pécédets : ous cosidéeos le cas où la matice de covaiace est ue matice défiie positive quelcoque. Les ésultats sot pesque idetiques das ce cas. Popositio.4. Soit y ~ (µ ; ), A ue matice éelle symétique de ag. Alos i) Si AA = A, alos y Ay ~ () où = (A) et = µ Aµ; ii) Si y Ay ~ (), alos AA = A, s = (A) et = µ Aµ. s Démostatio Puisque est défiie positive, il existe ue matice symétique o sigulièe E telle que = E. Alos y Ay = y E EAEE y = z EAEz, où z = E y ~ (E µ ; I ). Nous pouvos alos applique le théoème 3 à la fome quadatique z EAEz. Das la patie (i) du théoème, la coditio d idempotece deviet EAEEAE = EAE, ce qui, état doé que E est o sigulièe est équivalet à AEEA = A, c est à die AA = A. Si cette coditio est véifiée, alos d apès le théoème 3, z EAEz ~ () où = (EAE) = (A) gâce à la o sigulaité de E; et = (E µ) EAE(Eµ) = µ Aµ. Récipoquemet, si z EAEz ~ (), alos, pa le théoème 3, EAEEAE = EAE s AEEA = A (pa la o sigulaité de E), ce qui est équivalet à AA = A; s = (EAE) = (A); et = (E µ) EAE(E µ) = µ Aµ. M408.0.Khi.H.4 e févie 0

5 MAT408 Chapite - Fomes quadatiques.5 Nous allos maiteat démote ue popiété su l idépedace de fomes quadatiques dot la popositio.4.4 est ue gééalisatio. Popositio.4.3 Soit y ~ (µ ; ), A et B deux matices symétiques. Soit y Ay et y By deux fomes quadatiques de loi khi-deux (cetale ou o). Alos y Ay et y By sot idépedates si et seulemet si AB = 0. Démostatio Puisque est défiie positive, il existe ue matice symétique o sigulièe E telle que = E. Alos y Ay = y E EAEE y = z EAEz, et y By = y E EBEE y = z EBEz où z = E y ~ (E µ ; I). D apès le théoème.4., z EAEz, et z EBEz sot idépedates si et seulemet si EAEEBE = 0. Mais état doée la o sigulaité de E, ceci etaîe que AEEB = 0, c est-à-die, que AB = 0. Voici u théoème gééal coceat la décompositio d ue fome quadatique e ue somme de fomes quadatiques idépedates. Le théoème est cou sous le om de théoème de Cocha. Popositio.4.4 Soit y ~ (0 ; I ). Soit A ue matice idempotete et symétique de ag, et A = A A k, (A i ) = i, Q = y'ay, Q i = y'a i y, i =,..., k. Alos les tois popositios suivates sot équivaletes : k i) (A) = i (A i ) ; ii) A = A i et A i Aj = 0; iii) Les Q i sot idépedates et Q i ~ i i Si 'est que semi défiie positive et o défiie positive, ous avos la gééalisatio suivate: Popositio.4.5. Soit y ~ (0 ; ) où est semi défiie positive. La fome quadatique y'ay suit ue loi si et seulemet si ΣAA = A, auquel cas, le ombe de degés de libeté est = t(a). Loi de Studet (loi t) Soit Y ~ (0 ; ) et ~, et supposos que et Y sot idépedates. Alos la vaiable T = Y / suit ue loi appelée loi de Studet à degés de libeté. Loi de Fishe (loi) Soit ~ et ~, et idépedates, alos la vaiable suit ue loi appelée loi de Fishe, ou loi, à et degés de libeté : F ~ Remaques Si F ~ ;, alos ~ ; F Si T ~ t ν, alos t ~ ;ν.. F = / / ;. M408.0.Khi.H.5 e févie 0

6 .6 MAT408 Chapite - Fomes quadatiques À RETENIR Soit y u vecteu aléatoie de moyee μ et matice de covaiace Σ ; et A ue matice costate éelle symétique. Alos E(y Ay) = t(aσ) + μ Σμ. O désige pa s () la loi khi-deux o cetale à s degés de libeté et paamète de o cetalité. Soit y ~ (µ ; ), où est défiie positive, A ue matice éelle symétique de ag. Alos (i) si AA = A, alos y Ay ~ () où = (A) et = µ Aµ; (ii) si y Ay ~ s (), alos AA = A, s = (A) et = µ Aµ. = 0 si et seulemet si A = 0. 3 Soit y ~ (µ ; ), A et B deux matices symétiques. Soit y Ay et y By deux fomes quadatiques de loi khi-deux (cetale ou o). Alos y Ay et y By sot idépedates si et seulemet si AB = 0. 4 Cas paticulie : = I. Alos y y/ i yi μμ ' = ~ () où =. y Ay/ ~ () où = (A) et = µ Aµ/ si et seulemet si A est idempotete ; si A et B sot idempotetes, alos y Ay et y By sot idépedates si et seulemet si AB = 0. Y 5 U quotiet T = suit ue loi appelée loi de Studet à degés de libeté si et sot / idépedates, ~ 6 Le quotiet F = et ~ / / sot idépedates, ~, suit ue loi appelée loi de Fishe, ou loi, à et degés de libeté si et et ~. M408.0.Khi.H.6 e févie 0

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