Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1) Transfert de Chaleur et de Masse Corrigée de TD4 - Convection en écoulements internes

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1 Université de Caen UFR des Sciences 1 Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1) Transfert de Chaleur et de Masse Corrigée de TD4 - Convection en écoulements internes Solution de l exercice - IV.1: Schématique : E reçue = ṁc p T m (x) dφ E générée E cédée = ṁc p (T m + dt m ) Volumes du contrôle pour le fluide pour l élément dx L Fluide de refroidissement, T, ṁ, c p Élément nucléaire D, P = P o sin(πx/l) x T s, h Hypothèses : (1) Régime permanent, (2) Propriétés constantes, (3) Coefficient uniforme pour la convection thermique, (4) Conduction thermique négligeable le long de l élément nucléaire, (5) Conduction thermique négligeable au sein du fluide le long de l axe du conduit, (6) Fluide incompressible avec dissipation visqueuse négligeable, (7) Surface extérieure isolée adiabatiquement.

P o sin(πx/l) x T s, h Hypothèses : (1) Régime permanent, (2) Propriétés constantes, (3) Coefficient uniforme pour la convection thermique, (4) Conduction thermique négligeable le long de l élément

2 Université de Caen UFR des Sciences 2 Analyse : (a) Commençons par le bilan d énergie (E) appliqué aux volumes du contrôle montrés sur la figure : Pour l élément : Ė générée dφ = 0, où dφ = ϕ s (x) (πddx) (1) Pour le fluide : Ė reçue + Ėgénérée Ėcédée = 0, (2) avec : Ė générée = P (π(d/2) 2 dx) = P o sin(πx/l) (π(d/2) 2 dx). D où, on obtient de l éq. (1) : P o sin(πx/l) (π(d/2) 2 dx) ϕ s (x) (πddx) = ϕ s = P o (D/4) sin(πx/l) Le flux thermique total est alors : L L Φ = ϕ s πddx = πd2 0 4 P o sin(πx/l)dx, 0 ou Φ = 1 2 D2 LP o (3) (b) Le bilan d énergie pour le volume du contrôle au sein du fluide, l éq. (2), conduit à : ṁc p T m + dφ ṁc p (T m + dt m ) = 0, = ṁc p dt m = πdϕ s dx Donc dt m dx = πd2 4ṁc p P o sin(πx/l) En intégrant cette expression sur l intervalle [0, x], on obtient le résultat recherchée pour T m (x) : T m (x) = T m,e + D2 L 4ṁc p P o [1 cos(πx/l)] (4) (c) La loi de Newton pour la convection thermique appliquée entre la surface de l élément et le fluide donne : ϕ s = h (T s T m )

(1) : P o sin(πx/l) (π(d/2) 2 dx) ϕ s (x) (πddx) = ϕ s = P o (D/4) sin(πx/l) Le flux thermique total est alors : L L Φ = ϕ s πddx = πd2 0 4 P o sin(πx/l)dx, 0 ou Φ = 1 2 D2 LP o (3) (b) Le bilan d

3 Université de Caen UFR des Sciences 3 ce qui conduit à : T s = ϕ s h + T m, soit après l insertion des expressions pour T m et ϕ s : T s = D 4h P o sin(πx/l) + T m,e + D2 L 4ṁc p P o [1 cos(πx/l)] (5) La valeur maximale de T s (x) a lieu quand dt s /dx = 0, dt s dx = 0 = Dπ 4hL P o cos(πx/l) + D2 π 4ṁc p P o sin(πx/l) ce qui conduit à D où : tan(πx/l) = ṁc p DhL. x = L ( π arctan ṁc ) p = x max DhL Solution de l exercice - IV.2: Schématique : Carte du circuit imprimé (CI), T s = 65 C Isolation thermique L air à T,e = 20 C p = 2 N/m 2 a = 5 mm T m,s x L = 150 mm Hypothèses : (1) Écoulement laminaire entièrement établi, (2) Surfaces supérieure et inférieure du canal isolées et d envergures infinies dans la direction transversale, (3) La température de la carte

x = L ( π arctan ṁc ) p = x max DhL Solution de l exercice - IV.

4 Université de Caen UFR des Sciences 4 du circuit imprimé est uniforme, (4) Propriétés constantes, (5) L air est un gaz parfait avec dissipation visqueuse négligeable. Propriétés : Tableau de propriétés de l air à T m 293 K, 1 atm. : ρ = 1, 192 kg/m 3, c p = 1007 J/kg/.K, ν = 1, m 2 /s, λ = 0, 0258 W/m. K, Pr = 0, 709 Analyse : Le bilan d énergie pour tout le fluide dans le canal impose Φ = ṁc p (T m,s T m,e ) = ϕ s A s (1) où ϕ s est la valeur moyenne de chaleur évacuée par unité de surface du (CI), A s = L b l aire de la carte du circuit imprimé, b étant la largeur du canal. Quant à la variation de la température moyenne le long du canal, elle est obtenue en effectuant le bilan d énergie pour un volume du contrôle infinitésimal de longueur dx (voir notes du cours). On obtient alors pour le cas T s uniforme : ( T s T m,s = exp PLh ) T s T m,e ṁc p où P est le périmètre du canal. Maintenant, vu que le transfert thermique a lieu d une surface seulement (l autre étant isolée et d envergure infinie ), on déduit que P = b. Pour déterminer T m,s, il nous faut donc le nombre de Nusselt Nu D = h D D h /ν pour un écoulement entièrement établi et supposé laminaire dans un canal rectangulaire d envergure infinie, où D h est le diamètre hydraulique, défini par D h = qui est, dans ce cas, donné par : 4 (l aire de la section droite du conduit), le périmètre de la section droite D h = 4(a b) 2(a + b) = 2a car a b D après le tableau correspondant (voir notes du cours), l écoulement donné correspond à un canal dont la section droite est caractérisée par b/a =, avec : (2) fre Dh = 96, Re Dh = u md h, (3) ν

K, Pr = 0, 709 Analyse : Le bilan d énergie pour tout le fluide dans le canal impose Φ = ṁc p (T m,s T m,e ) = ϕ s A s (1) où ϕ s est la valeur moyenne de chaleur évacuée par unité de surface du

5 Université de Caen UFR des Sciences 5 et Nu D = hd h /λ = 4, 86 (4) où f est le facteur de frottement dont la définition est donnée par f = (dp/dx)d h (ρu 2 m/2) u m étant la vitesse moyenne dans le canal. = pd h/l (ρu 2 m/2), car dp dx = p 2 p 1 x 2 x 1 = p/l, (5) Avant le calcul de h, il faut quand même vérifier que l hypothèse d un écoulement laminaire et bien valable. À cette fin, on doit calculer le nombre de Reynolds, ce qui requiert le calcul de u m. En combinant (3) et (4) on obtient: D où l expression suivante pour u m : fre Dh = pd h/l (ρu 2 m/2) u md h ν = 2 pd2 h ρu m νl u m = pd2 h 48ρν = 2 N/m 2 ( m) , 192 kg/m 3 1, m 2 /s (0, 15 m) Ainsi, on trouve pour le nombre de Reynolds Re Dh = u md h ν = 1, 52 m/s ( m) 1, m 2 /s = 96. (6) 994 = 1, 52 m/s Il vient alors que l écoulement est laminaire tel que l on a admis par hypothèse. Il nous reste maintenant de calculer le débit massique avant le calcul de la chaleur évacuée par la carte. On a pour le débit ṁ = ρa c u m = ρ(ab)u m et par conséquent ṁ/b = ρau m = 1, 192 kg/m 3 ( m) 1, 52 m/s = 0, kg/m.s De (4), on obtient : h = Nu D λ/d h = 4, 86 0, 0258 W/m.K/0, 01 m = 12, 5 W/m 2.K (7) On peut maintant chercher la température T m,s de l éq. (2): ( T m,s = T s (T s T m,e )exp Lh ) (ṁ/b)c p

À cette fin, on doit calculer le nombre de Reynolds, ce qui requiert le calcul de u m.

6 Université de Caen UFR des Sciences 6 qui conduit à T m,s = 28, 4 C. Finalement, ϕ s est déterminé de (1) : ϕ s = ṁc p (T m,s T m,e )/A s = (ṁ/b)c p (T m,s T m,e )/L = 0, kg/m.s 1007 J/kg.K (28, 4 20) C/0, 15 m 512 W/m 2 Remarques : 1. Les propriétés thermodynamiques sont calculées à la température moyenne sur toute la longueur de canal : T m = 1 (T 2 m,e + T m,s ). 2. La longueur d entrée thermique dans le cas d un écoulement laminaire peut être calculé de : l e,t = 0, 05DRe D Pr = 0, 05(2 0, 01 m) 994 0, 709 = 3, 5 m Il vient alors que l e,t L, et on conclu par conséquent que l écoulement ne pourrait pas être établi pour la configuration donnée! Solution de l exercice - IV.3: Schématique : Eau, D e = 100 mm ϕ = 0 L ṁ = 0, 02 kg/s T m,e = 20 C vapeur T m,s = 75 C D i = 25 mm T s = 100 C Hypothèses : (1) Conditions en régime permanent, (2) Conditions d écoulement entièrement établi, (3) Surface extérieure adiabatiquement isolée, (4) Température uniforme à la surface intérieure,

7 Université de Caen UFR des Sciences 7 (5) Propriétés constantes, (6) L eau traité comme un fluide incompressible avec dissipation visqueuse négligeable. Propriétés : Pour l eau à T m = 320 K : c p = 4180 J/kg.K, µ = N.s/m 2. Analyse : Le problème posé est d échange thermique entre un fluide chaud (la vapeur) s écoulant dans le tube intérieur et un fluide froid (l eau) s écoulant dans l espace annulaire entre les deux tubes, l annulus. Il s agit donc d un problème d un échangeur thermique. (a) Commençons par analysant le bilan d énergie pour un volume de contrôle de longueur dx comme illustré dans la figure ci-contre. Le bilan d énergie impose : dφ conv,o = ϕ o (πd o dx) Énergie reçue { }} { dφ conv + ṁc p T m ṁ, c p Énergie cédée { }} { ṁc p (T m + dt m ) = 0 (1) dφ conv,i = T m T m + dt m D où ϕ i (πd i dx) dφ conv = π (D i ϕ i + D o ϕ o ) dx = ṁc p dt m (2) Or, pour le problème posé, la surface extérieure est isolée adiabatiquement, ϕ o = 0, et la surface intérieure est isotherme, T s = Cte. Ainsi, en posant ϕ i = h i (T s T m ), l équation (2) s écrit dans la forme : dt m = d(t s T m ) = πd ih i ṁc p (T s T m )dx (3) car T s = Cte. Donc, en supposant que h i est constant (on prend la valeur moyenne), on obtient en intégrant sur toute la longueur de l annulus : ( ) Ts T m,s ln = πd ih i L (4) T s T m,e ṁc p dx

Analyse : Le problème posé est d échange thermique entre un fluide chaud (la vapeur) s écoulant dans le tube intérieur et un fluide froid (l eau) s écoulant dans l espace annulaire entre les deux

8 Université de Caen UFR des Sciences 8 D où la formule pour L L = ṁc ( ) p Ts T m,s ln πd i h i T s T m,e (5) Donc, afin de déterminer L il nous faut d abord h i. Pour utiliser la corrélation ou le tableau approprié, il faut déterminer si l écoulement est laminaire ou turbulent. On commence donc par le calcul de nombre de Reynolds pour l annulus, où le diamètre hydraulique est donné par Re D = ρu md h µ D h = 4 [π(d2 o D 2 i )/4] π (D i + D o ) = D o D i et la vitesse moyenne par Donc, Re D = u m = 4ṁ π (D i + D o )µ = ṁ ρπ(d 2 o D2 i )/4 4 0, 02 kg/s π(0, 125 m) N.s/m 2 = 353 ce qui signifie que l écoulement est laminaire. Il vient alors, que pour D i /D o = 0, 25, l on obtient du tableau pour Nu pour de tubes annulus Nu i = 7, 37 et par conséquent et, de (5), h i = λ D h Nu i = 0, 64 W/m.K (0, 01 0, 0025) m 7, 37 = 63 W/m2.K 0, 02 kg/s(4180 J/kg.K) L = π(0, 025 m)63 W/m 2.K ln (100 75) C (100 20) C (b) On a pour le flux thermique ϕ i : = 19, 7 m. ϕ i = h i (T s,i T m,o ) = 63 W/m 2.K (100 75) C = 1575 W/m 2.

On commence donc par le calcul de nombre de Reynolds pour l annulus, où le diamètre hydraulique est donné par Re D = ρu md h µ D h = 4 [π(d2 o D 2 i )/4] π (D i + D o ) = D o D i et la vitesse

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