Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur Laboratoire de Technologie des Poudres Prof H.Hofmann. Corrigés (1-21, Chaleur)

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1 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur aboratoir d chnologi ds Poudrs Prof H.Hofmann orrigés (-, halur) Exrcic q 3 / m cm max 5 const.,? avc P q S max ( - ) t (x) x + 3 q , m 44,,5 / m [ ] On chrch donc un matériau ayant un conductivité thrmiqu [/mk] u, Al, Zn pas possibl (voir Fig 7.9) Acir doux 33 / m ; 7,5cm ( 35 ) [ ] ( 35 ) [ ] ( 35 ) [ ] Acir inox. / m ; 4,5cm Magnési 3 / m ;,68cm 7 5m? équ. 3.4 t 3.5 -(-) x/ x x Problèm S o lu tio n

2 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Exrcic moyn [ ] [ ] m ( ) ( x) x x m avc d + (équ.3.34) f() m ( + ) d m + m + m ( ) + ( ) m m ( x) m + ( + ),5,55 + (( ) + ( ) ),55 [ ] m,55 +,5 + ( x) ( ),55 ( ) ( x) x,55 +,5 ( ) + ( ( x) ),55 8 x,55 +,5 ( ( x ) ) + ( 8 ) autr intrprétation (plus «mathématiqu») : d () + on tir l «vrai» (l «b» d y ax + b) ().55.5x pour s ramnr à un graphiqu «simpl» il faut ramnr l origin à zéro : on a donc : () t on trouv pour m (.5/).55 (avant on avait + (-)) x () +

3 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 3 mpratur ( ) constant Distanc x (m) x (m) ( ),48 8,73 6,9 4

4 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 4 Exrcic 3 5,% du poids céramiqu 6,4 % vol. a) composit (équation 7.33) c / d + V d c / d + comp c c / d Vd c / d + 6g cm 3 5g.833cm 3 7.8g cm 3 95g.8cm 3 Avc ls indics suivants : c phas continu d phas disprsé V i volum d la phas i V d comp acir,899 6,9 m b) P S ( ) 6,9 P ( 5 3) 67,6, P q 33,8 S m c) équ ff c ( P) 8,8 (,64) 7,6 m P q S S ( ) 7,6 P ( ) 7, 4, Exrcic 4 On calcul pour l cas régim stationnair: q ' h h ' ' 5 + +, m h h' d'où 94 5 soit: q 37 D plus, 37 d'où 43 t cst h h'

5 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 5 Si maintnant cm: 5- q' 66 +, + m 5 ' 446 t ' 33 Ainsi q a diminué d 3% (t non d moitié), a augmnté t diminué. s résultats sont loin d'êtr intuitifs. Exrcic 5 a)briqus réfractairs On a donc : cm m Isolant cm, m., 3 - Ici, q cst 36, +, m, t donc q 36 d'où 74, b) Briqus réfractair : Isolant réfractair : 7cm Isolant : 3 3 cm, m. Avc à nouvau :, 4 Nous trouvons : / m a) 3cm,5 m. b) q' 373,7 +,3 +, m,5, q',9q ',7 t 373 d'où ' 87, ' ',3,5 3 d plus 373, donc ' ' 3 <. On s rnd compt qu'il convint d s méfir ds solutions intuitivs ou "évidnts" t qu'il vaut miux ls étayr par un calcul, mêm approximatif.

6 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 6 Exrcic 6 (mur avc production d chalur) q p q p n intégrant dux fois on trouv : ( x) x + Ax+ B x q avc la. on a : ( ) B on a donc ( x) x + Ax+ d q p q avc q q px A q q p A t donc : A dx q p q p q + + on trouv l'équation chrché q p q + èr p Exrcic 7, 95m h 34 cal/ hm h 6 cal/ hm ,5 cal/ hm q Σ +Σ rj +Σ λ h Σ rj 8 3 cal q 8793[ ], hm 344, q m inutil ici [ / ] ' ' avc q ou h h on trouv alors : ' 47,5 t ' 45, 8 3 h ' ' h 9.5mm

7 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 7 Exrcic 8 a) Puissanc calorifiqu P U I U R I P RI t comm q st la puissanc par unité d volum q i RI V, i l π avc R ρl, V S l d l S 4 ρ l I 4 ρ 4 I 4 6I q S π d l π d π d π d l l i ρ l 4 q u 6, Ωcm A VA π cm Acm cm m q u 3 689,683[ / ] m 3, q Graphit,547 [ / m ] π Graphit 793!! c ' st pourquoi on utilis l graphit dans ls fours ( car l uivr dégagmnt d chalur par fft joul st très impor tan t ( mauvais conductur)) b) qr i - + B équ d ondition aux limits : si r r ( xt t r Rxt ) qr i qr i + B B qr i qr i q i ( r) ( r r ) 4 4 4

8 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 8 q i ( r ) ( r) + r 4 q i r 4 ρ 6Ir ρ 6 I d ρ I 4π d 4π d 4 π d l l l m m 4 48 m uivr :,5, 3 Graphit :,5479, ,8 4 Exrcic 9 c.. x x y y π x A sin x, y? as général : nπ θ An sin x ( équ.4.) n avc nπ y y nπ ( x, y) An sin x n n nπ avc c. y f x nπ f ( x) An sin x Multiplication ds dux côtés par sin mπ x t intégration ntr x t x. mπ mπ nπ f ( x) sin xdx An sin x sin x dx x x x n si n m An si n m π Rmplacr f(x) par A sin x

9 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 9 A n A π x mπ An sin sin x dx x A πx mπ sin sin xdx x avc la rlation trigonométriqu : ( n) π ( + n) ( ) π ( + ) mπ π cos m x cos m πx sin x sin xdx dx π A An cos x cos x dx Intégration : ( m) ( m) A π + π An sin x sin x ( m) π ( + m) π A A n sin (( ) ) sin (( ) ) A m π + m π π ( m) ( + m) m n,,,... m, 3,... sin( m ) π m lim π m m Aπ A π y π ( x, y) A sin x π Y, y.5 Z X y 8 x x F(x)

10 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Exrcic h 5,5 On calcul n tout prmir Biot,54 37 rfroidissmnt " Nwtonin"( car Biot.) A,3 H ; V,5,3 H ( not : ici on néglig ls 4bords :4(.5 H )) A,3 H avc l ' équ.5.4 t avc l rapport : V,5,3 H, 5 A avc ( la dmi épaissur ) V d d V ρ p ha( f ) avc taux d rfroidismnt [ / s] dt dt d ha ( f ) dt V ρ p Al 5 a) 3 d 5 ( 35 9) m m g J 3 dt,5 7 9 m m gj sj s d 35 8,8 [ / s] dt Eau b) d dt , /, [ s] c) - f hat h t xp xp équ. 5.5 avc épaissur i f ρpv ρp ρ p f t ln h i f èr 7 9, étap : t ln,5 s èm 7 9, 5 étap : 9 t ln ,5 s t tot t + t 4,6 s

11 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Exrcic t t i f 5 35 h r 4.5 Bi, 45 λ 5.5 f 35 5, i f Acir inox Air forcé 5 Avc diagramm 5.3a α t 4r 4,5 Fo 4 t. s 6 r α 4,5 mpératur suprficill : 5,5 (Diagramm 5.3b) [avc F 4, B i,45] 5, ,75 Exrcic r,m 9 h h F au huil 5 avc 45 / m 7 / m h r 45, Biau,9 5,5 7, Bihuil, 96. 5,5 5,5 F t, 44 t , α t Fo p ρ ρ p r Eau 5 Acir inox 9

12 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Avc Diagramm 5.3 b t θ t (s) F,44,88 5, ( f ) ( i f ) s s 5s θ,6,4,3 au ( ) θ,88,7,6 huil ) On rmarqu bin qu l rfroidissmnt dans l au st bin plus rapid qu clui dans l huil (l cofficint d transfrt d chalur h st donc plus élvé pour l au) Exrcic 3 a) équ. 5.9 Al 5 ˆ - n f sin λn ˆ ˆ cos λξ n xp λn F ˆ ˆ ˆ i f n λn + sin λn cos λ n pour x ξ cos ˆ λnξ h 55, 5 Bi, 68; 37 t 37 F, 56 ρp 7 9, 5 Eau avc tablau 5. (il faut fair un intrpolation graphiqu ou numériqu (Excl )) avc (pour un plaqu) / (dmi épaissur) (attntion d utilisr ls valurs du tablau n radian) λ ˆ λ ˆ,57 λ λ 3,8 sin ˆ λ ˆ sin λ,56,4 ˆ λ + sin ˆ λ cos ˆ λ ˆ λ + sin ˆ λ cos ˆ λ

13 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 3 f,56 xp (,57 ),56, 4 xp( 3, 8 ),56 i f,337 9,5 f,674 i f, 674(5 9) b) méthod graphiqu Avc diagramm 5.a f,75 i f, calculr-graphiqu 3 Exrcic 4 Equation 6.8 π ρl H f V t 4 m ρ cp A ) plaqu V a b l A ab + al + bl , π t 475 s 4 ( 48 ) 6,8 5, 4 t 4,5min ) sphèr 4 3 π r V 3 r,5.6 π A 4 r 3 3 Soit nvirons 6 fois moins qu la plaqu (6.5 fois xactmnt) t 35s 4 min On rmarqu qu la différnc d tmps d solidification pour dux piècs d mêm épaissur put êtr très différnt. rapport du volum sur l air st donc très important (d plus c trm st au carré!). Ici la différnc d volum à aussi son importanc car pour un volum égal (sphèr d r ~8cm) il faut h min d solidification.

14 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 4 Exrcic 5 5 µ p, 9, 4 g m s cal m s Pr,735 (sans dimnsion) 6 6, m s g cal um d ρ 6,5,4, m m g s m R (écoulmnt turbulnt) 5 3 µ, 9 s m g m s Nu, 3R Pr h d Nu,8, 4 h, 86 h 95,68 m 47,5 cal ms Air 6.5m/s Exrcic 6 t xrcic a dux solutions, parc qu la définition d h n st pas assz clair.. Vrsion. Vrsion h coff. d transfrt d chalur h coff. d transfrt d chalur du métal d la surfac intériur du tub h h Iso r 3 r r r 3 M h r r h h Vrsion a) : h h h h vapur - métal cal vapur-solid 976 ' 346 hm m 4 p air iso solid-air (convction naturll),3 ( formul8.5) r m cal,4,63 hm m vapur 3,8bar 39 P vapur air ΣR (pas d résistanc ntr ls couchs))

15 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 5 as stationnair (équ 3.37): Vapur M( V ) M( V ) M( Iso) Iso( M) Iso( Air) Iso( Air) Air P r ln 3 ln r r r h π r 4 π Iso Air M π Iso, 3 π r 3 r3 Estimations : orsqu h st très grand, la résistanc ntr la vapur t l solid t très ptit, donc vapur M( V ) orsqu st très grand ; donc l gradint d la tmpératur dans l métal st négligabl Iso( M) M M(V) M( Iso) Vapur (t la résistanc à l'intrfac métal isolant st aussi négligabl) Iso( M) 39 Iso( Air ) Air ( ) 39 ( ) P, 35 ln, 3 π,6, 7 ( 39 ) ( ) P,54 4,5 4,3 π,35 ( ), t on trouv n tatonnant ou à l'aid d'un graphiqu P 6,8 / m tub Vérification ds stimations: Vapur Métal <,9 négligabl!! M 3, m π,5 Flux d vapur : 3 3,8,568,4 g / s 4 p Vapur 5,7 / m tub m c p

16 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 6 Vrsion b) : Solutions pour l cas où h coff. d transfrt d chalur du tub cal J h hm sm m cal J Iso,4,6 hm sm m 39 4 Vapur 4 p air h,3 équ. 8.5 (convction naturll) r m h? Régim turbulnt ou laminair? donc il faut calculr R um d ρ R µ um 3 [m/s] d,5 [m] 3 ρ,8[g/m ] (Il faut chrchr ls valurs pour vapur saturé) 6 g µ 3,4 [ ] m s R '7 donc turbulnt!! Nu h d Nu,6( R Pr ),6 ( 7,54 ) Pr pour vapur sat. 39,54 Nu 47,3 3 47,3 8, -3 h [ ] pour vapur sat. 39 8,,5 mk h 5,65 [ ] m Prts? vapur air P ΣR 39 P,3,35 ln ln,6, /4 5,65 π,6 π ( 976,4) π,6,3 iso air π,35 Problèms car inconnu

17 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 7 dans l métal très ptit 39 M(V) M ( Iso ) as stationnair : ( 39-) ( ) P,35 ln,3 4,3 π,35 π,6,7 ( ) 39 P,54,555 4,5 P 6,7 [ ] m tub ( ) 4 Vérification ds stimations : vapur métal 39 m 6, 7 m, 4 5,65 π,6 m vapur Parc qu la différnc st trop grand on fait un nouvll stimation: M(V) M( Iso) Isolant ( M) dans l métal st négligabl 39- m m iso, 35 ln 5,65 π,6,3 π,6 39 m m iso, 3,54 ( iso + 9,5 ) iso,66m 9,5 m, 66 alcul d la tmpératur d la surfac d'isolant iso(air) : ( + 9,5) iso iso, 66 iso, 35 ln,3 9,5 4 iso + π,6, 66, 3 π,35,35

18 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 8 (graphiqu, par intrpolation) iso(air) 4 P 4 5 / m tub 4 4,3 π,35,35 Vérification si dans l tuyau st négligabl : 5,3 ln,6 π 39, 4 négligabl onclusion On comprnd miux après ct xrcic pourquoi ls isolants à l amiant ont été intrdit Exrcic 7 ( ρ µ ) f a,,p, avc a vitss du son a N gm g p M m sm sm 3 ρ M N s gm s g µ M Pa s m sm s m a) n 4 (grandur : a, ρ, p, η) b) 3 (Dimnsion : M,, ) c) il y a donc m 4 3 paramètr sans dimnsion α β γ π µ p ρ a d) α α α β β β γ 3γ M M M pour M: α+ β+ γ pour : -αβ - -3 γ+ pour : -α-β- M+ - γ- γ - β - α ρ π a a π p p ρ

19 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés 9 Exrcic 8 a fraction d flux émis dans la dirction D s'écrit: d Φ D ds cos βdϖ équ.9.5 π 4 Avc pour un corps noir : σ équ. 9., 9.4 t 9. 4 σ d Φ D ds cos β dϖ π Exrcic 9 a) émissivité ε lié au O c O total c P,5,3atm P,3,5,45 m atm c g 773K Diagramm O (Fig 9.4 a) ε, corrction : P atm, (Fig. 9.4 b) ε,,,3 O Absorbtion lié au O Φ m σ K 6 4 R,6 / R R 7 > R!! parc qu < (P )*P / ε ' f( P*, ) α c g ( ) ε' / O g R g R c c R g R mpératur d rayonnmnt,65 ( P) ( 7 c ) *,3,5, Diagramm O ε ', orrction idntiqu, ε ', ( 7 ) c,65 αo,,4 773 Important : α ε!! Not : l gaz N st transparnt b) ε t α d'au au O O Emission lié à la vapur d'au P,,4 atm P,4,5,6 m atm au 773K g

20 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Diagramm H O ε,9 (Fig. 9.5) orrction P + Pt, au,4 (Fig. 9.5) ε au, 4,9, 66 Absorbtion lié à la vapur d'au ε'f α au R ( P ) R au ε' 7K P,6 au ε ',5 α, 4,5, α au ε au c) ε gas εo + εau ε gas O au O ( au O ) P au α, ε f, ( Pau + PO ), (Fig 9.6) PO P + au Pau,4,57 P + P, 3 +, 4 au P + P,3 +,4,5,5 > 94 ε α,5 gas orrction α α + α α ε α gas,3 +,66, 5,344,4 +,, 5, 8 Exrcic ε, ( à K) ε,6 ( à 6 K) K 6K σ 5,673 / m K 8 4 εε ϕ σ 44,5 [ / m ] équ ( ε)( ε)

21 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Avc écran : x as stationnair : ( ) ( ε )( ε ) q q q 4 4 ( ) εε 4 4 ε ε σ σ ( ) ( ) ε ε ε ε ( ) 4 cst ( ) 8 [ / mk] ε, ε, 5 + intrpolation linéair ε, 6 ε ε q σ 4 4 q 4 avc 8/mK, ε,5 aucun influnc d la conduction sur l flux d chalur ε ε ε ε q σ ( ) σ q ( ) ε ε ( ε )( ε) 83, 9,7 /mk (ittératur) 3,5 [ / ] m Vérification : 35,3,97 q λ 9,7 83,5 89,5

22 Exrcics d Phénomèns d ransfrt d halur : orrigés Exrcic N.67 bars hrmocoupl Alumin (ε à 73 K,8) 3 3 Graphit ( corps noir ε ) azot st transparnt (donc aucun influnc) Avc équation 9.63 : εε 3 ε + ε + 4 ( ε )( ε ) ,8 K 7K 73K.3m.6m 3K.9m